Волны френеля. Зачем нужны зоны френеля. Каковы условия наблюдения дифракции света
Согласно принципу Гюйгенса-Френеля световое поле в некоторой точке пространства является результатом интерференции вторичных источников. Френель предложил оригинальный и чрезвычайно наглядный метод группировки вторичных источников. Этот метод позволяет приближенным способом рассчитывать дифракционные картины, и носит название метода зон Френеля.
Зоны Френеля вводятся следующим образом. Рассмотрим распространение световой волны из точки L в точку наблюдения P. Сферический волновой фронт, исходящий из точки L разобьем концентрическими сферами с центром в точке P и с радиусами z1 + λ/2; z1 + 2 λ/2; z1 + 3 λ/2…
Полученные кольцевые зоны и носят название зон Френеля.
Смысл разбиения поверхности на зоны Френеля состоит в том, что разность фаз элементарных вторичных волн, приходящих в точку наблюдения от данной зоны, не превышает π. Сложение таких волн приводит к их взаимному усилению. Поэтому каждую зону Френеля можно рассматривать как источник вторичных волн, имеющих определенную фазу. Две соседние зоны Френеля действуют как источники, колеблющиеся в противофазе, т.е вторичные волны, распространяющиеся из соседних зон в точке наблюдения будут гасить друг друга. Чтобы найти освещенность в точке наблюдения P нужно просуммировать напряженности электрических полей от всех вторичных источников, приходящих в данную точку. Результат сложения волн зависит от амплитуды и разности фаз. Так как разность фаз между соседними зонами равна P, то можно перейти к суммированию амплитуд.
Амплитуда вторичной сферической волны пропорциональна площади элементарного участка, испускающего эту волну (т.е пропорциональна площади зоны Френеля). Кроме того, она убывает с увеличением расстояния z1 от источника вторичной волны до точки наблюдения по закону 1 / z1 и с ростом угла φ между нормалью к элементарному участку, испускающего волну, и направлением распространения волны.
19.Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске.
На круглом отверстии:
Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника монохроматического света S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием, диаметр которого d=BC. Пусть Ф - фронт волны, который является частью поверхности сферы. Разобьем поверхность фронта на зоны Френеля так, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения М в противофазе. Тогда амплитуда результирующей волны в точке М.
А=А1-А2+А3-А4+-Аm, где Аi - амплитуда волны, пришедшей от i-ой зоны Френеля. Перед Аm берется знак плюс, если m - нечетное, и минус, если m (число зон Френеля)- четное.
На диске: пусть диск перекрывает 1-ое m зон, тогда амплитуда результирующей волны: А=А m +1 -А m +2 +А m +3 +…=А m +1 /2 и тогда, на экране всегда в центре будет наблюдаться максимум светлое пятно, вверх и вниз будут располагаться менее интенсивные максимумы более высоких порядков.
20.Дифракция Фраунгофера на бесконечно длинной щели. Дифракция Фраунгофера, имеющая большое практическое значение, наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Чтобы этот тип дифракции осуществить, достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием. Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной. Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной а .Оптическая разность хода между крайними лучами , идущими от щели в произвольном направлении
где F - основание перпендикуляра, опущенного из точки на луч .
разобьем эту пов-ть на зоны Френеля,тогда на отрезок FN будет укладыв. число зон Френеля .Если открыто четное число зон Френ.,то волны от этих зон компенсируют друг друга и в выбранной точке будет наблюдаться минимум.
Это условие минимума на ДК.m – порядок минимума.
Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля.
Лекция 3. Дифракция света
План лекции
3.1. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля.
3.2. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске.
3.3. Дифракция Фраунгофера на щели и решетке.
3.4. Рентгеноструктурные методы исследования строительных материалов.
Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля.
Дифракцией называется отклонение волн от прямолинейного распространения, когда волны, огибая препятствия, заходят в область геометрической тени.
Дифракция света - частный случай дифракции волн. Она проявляется в чередующихся max и min интенсивности, когда фронт световой волны частично экранирован .
Как показывают эксперименты и расчеты, условием получения дифракции света с длиной волны λ от препятствия (или отверстия) размером b , находящегося на расстоянии l от источника, являются соотношения:
Поэтому различают два типа дифракции света:
1) дифракция Френеля – дифракция в сходящихся световых пучках, когда дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, т.е. когда b 2 ~ l λ;
2) дифракция Фраунгофера 1 – дифракция в параллельных лучах, когда источник света и экран расположены далеко один от другого, т.е. когда b 2 << l λ.
Направление распространения волнового фронта можно объяснить по принципу Гюйгенса 2 , который устанавливает способ построения фронта волны в момент времени t + Dt по известному положению фронта в момент времени t (см. рис. 3.1).
|
|
Рис. 3.1
И. Фраунгофер (1787 – 1826), немецкий физик.
2 Х. Гюйгенс (1629 – 1695), нидерландский ученый
Принцип Гюйгенса гласит: каждая точка, до которой доходит волна (в момент времени t), служит центром вторичных волн, огибающая которых дает положение волнового фронта в следующий момент времени (t + Δt).
Однако, принцип Гюйгенса, являясь чисто геометрическим способом построения волновых поверхностей, не затрагивает по существу вопроса об амплитуде, а, следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям.
Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл , дополнив его интерференцией вторичных волн.
Принцип Гюйгенса-Френеля гласит: световая волна, возбуждаемая каким либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции (интерференции ) вторичных когерентных световых волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источниками могут служить физически бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве такой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно.
Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и экраном находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии – такая же, как при отсутствии экрана.
Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства.
Используя принцип Гюйгенса-Френеля для вторичных волн можно рассчитать результирующую амплитуду световой волны, учитывая фазы интерферирующих волн.
Однако проще это сделать по методу зон Френеля (см. рис. 3.2). Найдем в произвольной точке P экрана амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на воображаемой поверхности Ф, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S.
|
Рис. 3.2
Согласно методу зон Френеля, на волновой поверхности Ф (радиуса a ) проводятся из точки Р экрана кольцевые зоны, отличающиеся по радиусу r на величину .
При этом площади каждой зоны будут примерно одинаковы:
а, следовательно, будут практически равны и амплитуды световых колебаний в точке экрана Р, т.е.
.
Т.к. колебания от соседних зон проходят расстояния до экрана, отличающиеся на λ/2, то они приходят в точку наблюдения Р в противофазе. Значит амплитуда результирующего светового колебания в точке Р будет:
где i - число зон (номер последней зоны).
Число зон на полусфере будет
При а = r = 10 см и λ = 0,5 мкм: , т. е. N очень велико.
Следовательно, для открытого фронта , т.е.
Френель предложил оригинальный метод разбиения волновой поверхности S на зоны, позволивший сильно упростить решение задач (метод зон Френеля ).
Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S , находящиеся на расстоянии от точки M (рис. 9.2). Точки сферы S , находящиеся на расстояниях , , и т.д. от точки M , образуют 2, 3 и т.д. зоны Френеля.
Колебания, возбуждаемые в точке M между двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода от этих зон до точки M .
Поэтому при сложении этих колебаний, они должны взаимно ослаблять друг друга:
, | (9.2.2) |
где A – амплитуда результирующего колебания, – амплитуда колебаний, возбуждаемая i -й зоной Френеля.
Величина зависит от площади зоны и угла между нормалью к поверхности и прямой, направленной в точку M .
Площадь одной зоны
Отсюда видно, что площадь зоны Френеля не зависит от номера зоны i . Это значит, что при не слишком больших i площади соседних зон одинаковы.
В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол и, следовательно, уменьшается интенсивность излучения зоны в направлении точки M , т.е. уменьшается амплитуда . Она уменьшается также из-за увеличения расстояния до точки M :
Общее число зон Френеля, умещающихся на части сферы, обращенной в сторону точки M , очень велико: при , , число зон , а радиус первой зоны .
Отсюда следует, что углы между нормалью к зоне и направлением на точку M у соседних зон примерно равны, т.е. что амплитуды волн, приходящих в точку M от соседних зон , примерно равны.
Световая волна распространяется прямолинейно. Фазы колебаний, возбуждаемые соседними зонами, отличаются на π. Поэтому в качестве допустимого приближения можно считать, что амплитуда колебания от некоторой m -й зоны равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т.е.
.
Тогда выражение (9.2.1) можно записать в виде
. | (9.2.2) |
Так как площади соседних зон одинаковы, то выражения в скобках равны нулю, значит результирующая амплитуда .
Интенсивность излучения .
Таким образом, результирующая амплитуда, создаваемая в некоторой точке M всей сферической поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной , а интенсивность .
Так как радиус центральной зоны мал (), следовательно, можно считать, что свет от точки P до точки M распространяется прямолинейно .
Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, то амплитуда в точке M будет равна . Соответственно, интенсивность в точке M будет в 4 раза больше, чем при отсутствии экрана (т.к. ). Интенсивность света увеличивается, если закрыть все четные зоны.
Таким образом, принцип Гюйгенса–Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде.
Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используются зонные пластинки – система чередующихся прозрачных и непрозрачных колец.
Опыт подтверждает, что с помощью зонных пластинок можно увеличить освещенность в точке М , подобно собирающей линзе.
В результате изучения данной главы студент должен: знать
- суть метода зон Френеля;
- теорию дифракции на круглом отверстии и круглом диске;
- теорию дифракции в параллельных лучах от одной щели;
- теорию дифракционной решетки (условия максимумов и минимумов, дисперсия и разрешающая способность решетки);
- теорию дифракции от объемных решеток и формулу Брэгга - Вульфа; уметь
- применять метод зон Френеля для расчета дифракционных картин;
- решать типовые прикладные физические задачи на дифракцию света; владеть
- навыками использования стандартных методов и моделей математики применительно к дифракции света;
- навыками проведения физического эксперимента, а также обработки результатов эксперимента по дифракции света.
Метод зон Френеля. Дифракция на круглом отверстии и круглом диске
Дифракцией света называют явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Проиллюстрировать это явление могут волны на воде, которые огибают даже довольно крупное препятствие, а мелкое (по сравнению с длиной волны) препятствие проходят так, как будто его и не было. И свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Если на пути параллельного светового пучка расположено круглое препятствие (круглый диск или круглое отверстие в непрозрачном экране), то на экране, расположенном на достаточно большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина - чередующиеся светлые и темные кольца. Если препятствие прямолинейное (нить, щель, край экрана), то на экране возникают параллельные полосы.
Рассмотрим сначала дифракцию на круглом отверстии - дифракционную задачу о прохождении плоской монохроматической волны через небольшое круглое отверстие радиуса R в непрозрачном экране (рис. 27.1). Точка наблюдения Р находится на оси симметрии на достаточно большом расстоянии L от экрана, причем
где X - длина волны.
Рис. 27.1
В соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля можно разбить волновую поверхность плоскости отверстия на набор вторичных источников, волны от которых дают интерференционную картину в точке Р. Исходя из круговой симметрии задачи, Френель разбил волновую поверхность падающей волны на кольцевые зоны (зоны Френеля) так, чтобы расстояния от границ соседних зон до точки Р отличались на полдлины волны:
Таким образом, волновая поверхность будет разбита на концентрические окружности (см. рис. 27.1). Найдем по теореме Пифагора радиусы р т этих окружностей (зон Френеля):
Здесь учтено условие удаленности экрана от отверстия, которое соблюдается на опыте обычно с большим запасом. Количество зон Френеля, укладывающихся на отверстии, определяется радиусом отверстия R:
где т - не обязательно целое число. Хотя для четкой интерференционной картины, как будет видно ниже, т с достаточно высокой точностью должно быть целым. Результат интерференции в точке Р зависит от числа т участвующих в интерференции зон Френеля. Покажем, что все зоны имеют одинаковую площадь S m:
Одинаковые по площади зоны, излучающие одинаковую по амплитуде волну, на первый взгляд, должны давать одинаковый вклад в освещенность в точке наблюдения. Однако это не совсем так. Чем больше номер зоны, тем больше угол а между лучом г т и нормалью к излучающей волновой поверхности. К тому же растет и расстояние до точки наблюдения г т. Оба эти фактора приводят к небольшому уменьшению амплитуды колебаний с увеличением т в точке наблюдения А т> обеспечиваемой зоной т:
Существенно, что возбуждаемые соседними зонами колебания находятся в противофазе, поскольку расстояния от них до точки наблюдения отличаются на Х/2. Поэтому волна от последующей зоны почти гасит волну от предыдущей зоны. При этом суммарная амплитуда в точке наблюдения равна конечной сумме, число слагаемых в которой ограничено величиной т
В результате группировки амплитуд видно, что суммарная амплитуда колебаний в точке наблюдения всегда меньше амплитуды колебаний, которые вызвала бы одна первая зона Френеля. Если бы отверстие было бесконечно большим и были открыты все зоны Френеля, то до точки наблюдения дошла бы невозмущенная препятствием волна с амплитудой А 0 . Тогда имеем в результате группировки амплитуд бесконечную сумму, упрощающуюся с учетом равенства (27.7):
Таким образом, действие (амплитуда), вызванное всей волновой поверхностью невозмущенной волны, равно лишь половине действия одной первой зоны. Иными словами, если отверстие в непрозрачном экране оставляет открытой одну зону Френеля, то амплитуда колебаний в точке наблюдения возрастает в 2 раза (а интенсивность - в 4 раза) по сравнению с действием невозмущенной волны. Если открыть две зоны, то амплитуда колебаний практически обращается в нуль. А если изготовить непрозрачный экран, который оставлял бы открытыми только несколько нечетных (или только несколько четных) зон, то амплитуда колебаний в точке наблюдения резко возрастет. Так, если открыты первая, третья, пятая и седьмая зоны, то амплитуда колебаний возрастает в 8 раз, а интенсивность - в 64 раза. Можно сделать вывод, что такие зонные пластинки обладают свойством фокусировать свет.
Перейдем теперь к задаче о дифракции на круглом диске , не пропускающем свет. Предположим, что при этом зоны Френеля с номерами от 1 до т оказываются закрытыми. Тогда амплитуда колебаний в точке наблюдения по аналогии с предыдущими рассуждениями дается бесконечной суммой:
Здесь учтено, что выражения в скобках в соответствии с равенством (27.7) равны нулю. Если экран закрывает не слишком много зон, то
и аналогично формуле (27.10)
Таким образом, в центре картины при дифракции света на диске наблюдается интерференционный максимум, называемый пятном Пуассона. Э го пятно окружено светлыми и темными дифракционными кольцами, причем интенсивность максимумов убывает но мере удаления от центра.
Оценим теперь характерные размеры зон Френеля. Пусть, например, дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии L- 1м от препятствия, а длина волны света X = 0,5 мкм (зеленый свет). Тогда радиус первой зоны Френеля по формуле (27.3) равен
р, = 4XL ~ 0,71 мм, а радиус сотой зоны Френеля
p wo = V100XL ~ 7,1 мм.
Дифракционные явления проявляются наиболее отчетливо, когда на
препятствии укладывается малое число зон (27.4): т = ~гу ~ 1, или
Это соотношение между длиной волны X, размером препятствия R и расстоянием от препятствия до точки наблюдения L можно рассматривать как границу применимости геометрической оптики. При больших длинах волн дифракция существенна, а при меньших работают геометрическая оптика и понятие геометрического луча света.
Вычисления по формуле
Представляет собой в общем случае очень трудную задачу. Однако, как показал Френель, в случаях, отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием.
Найдем в произвольной точке М
амплитуду сферической световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S
.
Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, заменим действие источника S
действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности Ф
, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S
(поверхность сферы с центром S
). Френель разбил волновую поверхность A
на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М
отличались на λ/2
,
Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке разбиения фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М
сферы радиусами
Так как колебания от соседних зон проходят до точки М
расстояния, отличающиеся на λ/2
, то в точку М
они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М
:
где А 1
, А 2
, … А m
− амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й
, 2-й
, …, m-й
зонами.
Для оценки амплитуд колебаний найдем площади зон Френеля. Пусть внешняя граница m-й
зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты h m
(рис.).
Обозначив радиус этого сегмента через r m
, найдем, что площадь m-й
зоны Френеля:
здесь σ m-1
− площадь сферического сегмента, выделяемого внешней границей m
− 1-й
зоны. Из рисунка следует, что
После элементарных преобразований, учитывая, что λ << a
и λ << b
, получим
Площадь сферического сегмента и площадь m-й
зоны Френеля:
где Δσ m
площадь m-й
зоны Френеля, которая, как показывает последнее выражение, не зависит от m
. При не слишком больших m
площади зон Френеля одинаковы.
Таким образом, построение зон Френеля разбивает волновую поверхность сферической волны на равные зоны.
Найдем радиусы зон Френеля
откуда
Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке М
тем меньше, чем больше угол φ m
между нормалью к поверхности зоны и направлением на М
, т.е. действие зон постепенно убывает от центральной (около Р 0
) к периферическим. Кроме того интенсивность излучения в направлении точки М
уменьшается с ростом m
и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М
. Учитывая оба этих фактора, можем записать:
Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на π
. Поэтому амплитуда результирующего колебания в точке М
определяется выражением
Последнее выражение запишем в виде:
Вследствие монотонного убывания амплитуд зон Френеля с возрастанием номера зоны, амплитуда колебания A m
от некоторой m-й
зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон
Тогда
Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке М
определяется действием только половины центральной зоны Френеля. Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку М сводится к действию ее малого участка, меньшего центральной зоны.
Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только первую зону Френеля, амплитуда в точке М
равна А 1
, а интенсивность в 4 раза
больше, чем при отсутствии преграды между точками S
и M
.
Распространение света от S
к M
происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль прямой SM
, т.е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде.
Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Если поставить на пути световой волны пластинку, которая перекрывала бы все четные или нечетные зоны Френеля, то интенсивность света в точке М
резко возрастает. При закрытых четных зонах Френеля амплитуда в точке М
будет равна
В опыте зонная пластинка во много раз увеличивает интенсивность света в точке М
, действуя подобно собирающей линзе.
Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные (или нечетные) зоны Френеля, а изменяя фазу их колебаний на 180°
. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с амплитудной зонной пластинкой фазовая дает дополнительное увеличение амплитуды в 2 раза
, а интенсивность света − в 4 раза
.