Показательная функция. Тема урока: "Показательная функция, ее свойства и график". Решение показательных неравенств
Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению . В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.
Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.
Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств , как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.
Показательная функция
Что такое показательная функция?
Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией .
Основные свойства показательной функции y = a x :
График показательной функции
Графиком показательной функции является экспонента :
Графики показательных функций (экспоненты)
Решение показательных уравнений
Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:
Теорема 1. Показательное уравнение a f (x ) = a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).
Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Пример 1. Решите уравнение:
Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:
Уравнение тогда принимает вид:
Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:
Переходя к обратной подстановке, получаем:
Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:
С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.
Ответ: x = 3.
Пример 2. Решите уравнение:
Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю).
Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:
Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.
Ответ: x = 6.
Пример 3. Решите уравнение:
Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:
Ответ: x = 0.
Пример 4. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:
Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x .
Ответ: x = 0.
Пример 5. Решите уравнение:
Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x -2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.
Ответ: x = -1.
Пример 6. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:
Ответ: x = 2.
Решение показательных неравенств
Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:
Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x ). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) < g (x ).
Пример 7. Решите неравенство:
Решение: представим исходное неравенство в виде:
Разделим обе части этого неравенства на 3 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится:
Воспользуемся подстановкой:
Тогда неравенство примет вид:
Итак, решением неравенства является промежуток:
переходя к обратной подстановке, получаем:
Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:
Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:
Итак, окончательно получаем ответ:
Пример 8. Решите неравенство:
Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:
Введем новую переменную:
С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:
Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:
Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t :
Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:
Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:
Окончательно получаем ответ:
Пример 9. Решите неравенство:
Решение:
Делим обе части неравенства на выражение:
Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:
t , находящиеся в промежутке:
Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:
Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:
Пример 10. Решите неравенство:
Решение:
Ветви параболы y = 2x +2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:
Ветви параболы y = x 2 -2x +2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:
Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x +2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.
Ответ: x = 1.
Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.
Сергей Валерьевич
P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.
Концентрация внимания:
Определение. Функция вида называется показательной функцией .
Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:
Само аналитическое выражение a x в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения x y точка x = 1; y = 1 входит в область допустимых значений.
Построить графики функций: и .
График показательной функции | |
y = a x , a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
Свойства показательной функции
Свойства показательной функции | y = a x , a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
|
||
2. Область значений функции | ||
3.Промежутки сравнения с единицей | при x > 0, a x > 1 | при x > 0, 0< a x < 1 |
при x < 0, 0< a x < 1 | при x < 0, a x > 1 | |
4. Чётность, нечётность. | Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). | |
5.Монотонность. | монотонно возрастает на R | монотонно убывает на R |
6. Экстремумы. | Показательная функция экстремумов не имеет. | |
7.Асимптота | Ось O x является горизонтальной асимптотой. | |
8. При любых действительных значениях x и y ; |
Когда заполняется таблица, то параллельно с заполнением решаются задания.
Задание № 1. (Для нахождения области определения функции).
Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:
Задание № 2. (Для нахождения области значений функции).
На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:
Задание № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей).
Каждую из следующих степеней сравните с единицей:
Задание № 4. (Для исследования функции на монотонность).
Сравнить по величине действительные числа m и n если:
Задание № 5. (Для исследования функции на монотонность).
Сделайте заключение относительно основания a , если:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4 x
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
В одной координатной плоскости построены графики функций:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
Число
одна из важнейших постоянных в математике. По
определению, оно равно пределу
последовательности
при
неограниченном
возрастании n
.
Обозначение e
ввёл Леонард Эйлер
в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в
десятичной записи, а само число назвали в честь
Непера «неперовым числом».
Число e играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием e , называется экспонентой и обозначается y = e x . Первые знаки числа e запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого - два раза, сорок пять, девяносто, сорок пять. |
Домашнее задание:
Колмогоров п. 35; № 445-447; 451; 453.
Повторить алгоритм построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII
§ 179 Основные свойства показательной функции
В этом параграфе мы изучим основные свойства показательной функции
у = а x (1)
Напомним, что под а в формуле (1) мы подразумеваем любое фиксированное положительное число, отличное от 1.
Свойство 1. Областью определения показательной функции является совокупность всех действительных чисел.
В самом деле, при положительном а выражение а x определено для любого действительного числа х .
Свойство 2 . Показательная функция принимает только положительные значения.
Действительно, если х > 0, то, как было доказано в § 176,
а x > 0.
Если же х <. 0, то
а x =
где - х уже больше нуля. Поэтому а - x > 0. Но тогда и
а x = > 0.
Наконец, при х = 0
а x = 1.
2-е свойство показательной функции имеет простое графическое истолкование. Оно заключается в том, что график этой функции (см. рис. 246 и 247) располагается целиком выше оси абсцисс.
Свойство 3 . Если а >1, то при х > 0 а x > 1, а при х < 0 а x < 1. Если же а < 1, то, наоборот, при х > 0 а x < 1, а при х < 0 а x > 1.
Это свойство показательной функции также допускает простую геометрическую интерпретацию. При а > 1 (рис. 246) кривые у = а x располагаются выше прямой у = 1 при х > 0 и ниже прямой у = 1 при х < 0.
Если же а < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые у = а x располагаются ниже прямой у = 1 при х > 0 и выше этой прямой при х < 0.
Приведем строгое доказательство 3-го свойства. Пусть а > 1 и х - произвольное положительное число. Покажем, что
а x > 1.
Если число х рационально (х = m / n ) , то а x = а m / n = n √a m .
Поскольку а > 1, то и а m > 1, Но корень из числа, большего единицы, очевидно, также больше 1.
Если х иррационально, то существуют положительные рациональные числа х" и х" , которые служат десятичными приближениями числа x :
х" < х < х" .
Но тогда по определению степени с иррациональным показателем
а x" < а x < а x"" .
Как показано выше, число а x" больше единицы. Поэтому и число а x , большее, чем а x" , также должно быть больше 1,
Итак, мы показали, что при a >1 и произвольном положительном х
а x > 1.
Если бы число х было отрицательным, то мы имели бы
а x =
где число -х было бы уже положительным. Поэтому а - x > 1. Следовательно,
а x = < 1.
Таким образом, при а > 1 и произвольном отрицательном x
а x < 1.
Случай, когда 0 < а < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
Свойство 4. Если х = 0, то независимо от а а x =1.
Это вытекает из определения нулевой степени; нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1. Графически это свойство выражается в том, что при любом а кривая у = а x (см. рис. 246 и 247) пересекает ось у в точке с ординатой 1.
Свойство 5. При а >1 показательная функция у = а x является монотонно возрастающей, а при а < 1 - монотонно убывающей.
Это свойство также допускает простую геометрическую интерпретацию.
При а > 1 (рис. 246) кривая у = а x с ростом х поднимается все выше и выше, а при а < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Приведем строгое доказательство 5-гo свойства.
Пусть а > 1 и х 2 > х 1 . Покажем, что
а x 2 > а x 1
Поскольку х 2 > х 1 ., то х 2 = х 1 + d , где d -некоторое положительное число. Поэтому
а x 2 - а x 1 = а x 1 + d - а x 1 = а x 1 (а d - 1)
По 2-му свойству показательной функции а x 1 > 0. Так как d > 0, то по 3-му свойству показательной функции а d > 1. Оба множителя в произведении а x 1 (а d - 1) положительны, поэтому и само это произведение положительно. Значит, а x 2 - а x 1 > 0, или а x 2 > а x 1 , что и требовалось доказать.
Итак, при a > 1 функция у = а x является монотонно возрастающей. Аналогично доказывается, что при а < 1 функция у = а x является монотонно убывающей.
Следствие. Если две степени одного и того же положительного числа, отличного от 1, равны, то равны и их показатели.
Другими словами, если
а b = а c (а > 0 и а =/= 1),
b = с .
Действительно, если бы числа b и с были не равны, то в силу монотонности функции у = а x большему из них соответствовало бы при а >1 большее, а при а < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или а b > а c , или а b < а c . И то и другое противоречит условию а b = а c . Остается признать, что b = с .
Свойство 6. Если а > 1, то при неограниченном возрастании аргумента х (х -> ∞ ) значения функции у = а x также неограниченно растут (у -> ∞ ). При неограниченном убывании аргумента х (х -> -∞ ) значения этой функции стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными (у ->0; у > 0).
Принимая во внимание доказанную выше монотонность функции у = а x , можно сказать, что в рассматриваемом случае функция у = а x монотонно возрастает от 0 до ∞ .
Если 0 < а < 1, то при неограниченном возрастании аргумента х (х -> ∞) значения функции у = а x стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными (у ->0; у > 0). При неограниченном убывании аргумента х (х -> -∞ ) значения этой функции неограниченно растут (у -> ∞ ).
В силу монотонности функции у = а x можно сказать, что в этом случае функция у = а x монотонно убывает от ∞ до 0.
6-е свойство показательной функции наглядно отражено на рисунках 246 и 247. Строго доказывать его мы не будем.
Нам осталось лишь установить область изменения показательной функции у = а x (а > 0, а =/= 1).
Выше мы доказали, что функция у = а x принимает только положительные значения и либо монотонно возрастает от 0 до ∞ (при а > 1), либо монотонно убывает от ∞ до 0 (при 0 < а <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция у = а x при своем изменении каких-нибудь скачков? Любые ли положительные значения она принимает? Вопрос этот решается положительно. Ecли а > 0 и а =/= 1, то, каково бы ни было положительное число у 0 обязательно найдется х 0 , такое, что
а x 0 = у 0 .
(В силу монотонности функции у = а x указанное значение х 0 будет, конечно, единственным.)
Доказательство этого факта выходит за пределы нашей программы. Геометрическая интерпретация его состоит в том, что при любом положительном значении у 0 график функции у = а x обязательно пересечется с прямой у = у 0 и притом лишь в одной точке (рис. 248).
Отсюда можно сделать следующий вывод, который мы формулируем в виде свойства 7.
Свойство 7. Областью изменения показательной функции у = а x (а > 0, а =/= 1) служит множество всех положительных чисел.
Упражнения
1368. Найти области определения следующих функций:
1369. Какие из данных чисел больше 1 и какие меньше 1:
1370. На основании какого свойства показательной функции можно утверждать, что
а) (5 / 7) 2,6 > (5 / 7) 2,5 ; б) (4 / 3) 1,3 > (4 / 3) 1,2
1371. Какое число больше:
а) π - √3 или (1 / π ) - √3 ; в) (2 / 3) 1 + √6 или (2 / 3) √2 + √5 ;
б) ( π / 4) 1 + √3 или ( π / 4) 2 ; г) (√3 ) √2 - √5 или (√3 ) √3 - 2 ?
1372. Равносильны ли неравенства:
1373. Что можно сказать о числах х и у , если а x = а y , где а - заданное положительное число?
1374. 1) Можно ли среди всех значений функции у = 2 x выделить:
2) Можно ли среди всех значений функции у = 2 | x| выделить:
а) наибольшее значение; б) наименьшее значение?