Какому отношению и функции соответствует следующий предикат. Предикаты и кванторы. Операции над кванторами

Кафедра: Высшая математика

Реферат

по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»

Тольятти, 2008

Введение

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x , y , z , …, t ), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u .

Если переменная является функцией от двух переменных х и у , то функциональную зависимость обозначают

z = f (x , y ).

Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у .

Так, для функции z = x 2 + 3xy

при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,

при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x , y , z , если дано правило, как по данной тройке значений x , y иz вычислить соответствующее значение u :

u = F (x , y , z ).

Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u , соответствующего данным значениям x , y иz .

Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz

при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,

при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,

при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x , y , z , …, t ) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u , то и u называется функцией от п переменных x , y , z , …, t , определенной на множестве Е , и обозначается

u = f (x , y , z , …, t ).

Переменные x , y , z , …, t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.

Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) и обозначается f (М 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f (x , y ) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х , у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу , соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F (x , y , z ) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x , y , z , …, t ) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x , y ) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:

(пишут еще f (x , y ) →А при (x , y ) → (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k , y k ).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

| f (x , y ) – A | < ε(3)

для всех (x , y ) , удовлетворяющих неравенствам

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x , y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x , y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Δх , у = у 0 + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ω х , ω у ) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

(х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t )

образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t < δ)

от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t )

если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0 , у 0) по направлению ω.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x , y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f (x , y ) | < ε, если

из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид

Пример 2. Рассмотрим в R 2 функцию

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2

Будем писать

|f (x , y ) | > N ,

коль скоро 0 <

Можно также говорить о пределе f , когда х , у → ∞:

Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство

Непрерывность функции

Функция двух переменных f (x, y), определенная в точке (x 0 , y 0) и в некоторой окрестности ее, называется непрерывной в точке (x 0 , y 0), если предел этой функции в точке (x 0 , y 0) равен значению этой функции f(x 0 , y 0), т.е. если

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Непрерывные функции двух переменных обладают свойствами, аналогичными свойствам непрерывных функций одной переменной.

Если в некоторой точке (x 0 , y 0) условие непрерывности не выполняется, то говорят, что функция f (x, y) в точке (x 0 , y 0) разрывна.

Дифференцирование функции двух переменных

Частные производные первого порядка

Еще более важной характеристикой изменения функции являются пределы:

Предел отношения

называется частной производной первого порядка функции z = f (x, y) по аргументу x (сокращенно - частной производной) и обозначается символами или или

Аналогично, предел

называется частной производной функции z =f (x, y) по аргументу y и обозначается символами или или.

Нахождение частных производных называется частным дифференцированием.

Из определения частной производной следует, что при нахождении ее по одному какому-нибудь частному аргументу, другой частный аргумент считается постоянной величиной. После выполнения дифференцирования, оба частных аргумента снова считаются переменными величинами. Говоря другими словами, частные производные и являются функциями двух переменных x и y.

Частные дифференциалы

Величина

называется главной линейной частью приращения? x f (линейной по отношению к приращению частного аргумента?x). Эта величинаназывается частным дифференциалом, и обозначается символом d x f.

Аналогично

Полный дифференциал функции двух переменных

По определению, полным дифференциалом функции двух переменных, обозначаемым символом d f, называется главная линейная часть полного приращения функции:

Полный дифференциал оказался равным сумме частных дифференциалов. Теперь формулу для полного дифференциала можно переписать так:

Подчеркнем, что формула для полного дифференциала получается в предположении, что частные производные первого порядка

непрерывны в некоторой окрестности точки (x, y).

Функция, имеющая в точке полный дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.

Чтобы функция двух переменных была дифференцируемой в точке, недостаточно, чтобы она имела в этой точке все частные производные. Необходимо, чтобы все эти частные производные были непрерывными в некоторой окрестности рассматриваемой точки.

Производные и дифференциалы высших порядков

Рассмотрим функцию двух переменных z =f (x, y). Выше уже отмечалось, что частные производные первого

сами являются функциями двух переменных, причем их можно дифференцировать по x и по y. Получаем производные высшего (второго) порядка:

Частных производных второго порядка оказалось уже четыре. Без доказательства высказывается утверждение: Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они и равны:

Рассмотрим теперь дифференциал первого порядка

Он является функцией от четырех аргументов: x, y, dx, dy, могущих принимать различные значения.

Дифференциал второго порядка вычисляем как дифференциал от дифференциала первого порядка: в предположении, что дифференциалы частных аргументов dx и dy - постоянные величины:

Определение 25.7.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.

или .

Пример 25.3.

1) непрерывна в любой точке.

2)

Предел не существует при , т.е. (0,0) – точка разрыва.

Основные свойства непрерывных функций двух переменных

Определение 25.8.

Множество точек плоскости называется связным , если любые две точки этого множества можно соединить линией.

Определение 25.9.

Точка называется внутренней точкой множества , если существует, состоящая из точек данного множества.

Определение 25.10.

Связное, открытое множество (состоящее лишь из внутренних точек) называется открытой областью или просто область

(например, внутренность круга).

Определение 25.11.

Точка называется граничной точкой области, если в любой существуют точки, как ей принадлежащие, так и не принадлежащие. Множество всех граничных точек этой области называется границей области. Обозначение: .

Определение 25.12.

Множество точек, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью .

Определение 25.13.

Множество называется ограниченным , если существует круг, внутри которого оно содержится.

Замечание 4 . Замкнутая ограниченная область, в которой определена функция двух переменных, является аналогом отрезка для функции одной переменной.

1) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то.

2) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.

3) Непрерывная в области функция принимает все свои промежуточные значения, т.е. если

Частные производные

Пусть функция определена в окрестности точки. Зададим переменнойв точкеприращение, оставляянеизменным, т.е. перейдем к точке, принадлежащей области(области определения функции).

Определение 26.1.

называется частным приращением по переменной в точке

Определение 26.2.

Если существует предел , то он называется частной производной функции в точкепо переменной.

Обозначение: .

Аналогично определяется

Если рассматривать частную производную по переменной в любой точке области определения функциина области, то частные производные можно рассматривать как новые функции на области.

Таким образом, частная производная функции двух переменных по переменной есть обычная производная одной переменнойпри фиксированном значении.

Пример 26.1.

Найти частные производные функций: ,,.

.

Понятие дифференцируемости функции двух переменных

Определение 26.3.

Пусть определена функция , тогда

- полное приращение функции.

Определение 26.4.

Пусть функция определена в окрестности точки.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

где -константы,-бесконечно малые функции при .

Теорема 26.1.

Если функция дифференцируема в точке, то онанепрерывна в этой точке.

Доказательство.

Очевидно из (26.1): .

Теорема 26.2 (необходимое условие дифференцируемости ).

Если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке частные производные, причем:

. (26.2)

Доказательство.

Пусть имеет место формула (26.1).

Положим ,

где при- бесконечно малая функция.

Разделив на , и переходя к пределу при, получим:

то есть частная производная по переменной существует и равна.

Второе равенство доказывается аналогично.

Замечание 1 . Из непрерывности не следует ее дифференцируемость!

Пример 26.2.

непрерывна в точке (0,0), но не существует.

Аналогочно, не существует частной производной по . Следовательно, функция не дифференцируема.

Замечание 2. Из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

Пример 26.3.

Функция имеет частные производные в точке (0,0),

но не является в этой точке непрерывной, следовательно –

не дифференцируема.

Теорема 26.3 (достаточное условие дифференцируемости ).

Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точкии эти производные непрерывны в самой точке, то функция дифференцируема в точке.

Следствие.

Если частные производные непрерывны, то функция непрерывна.

Определение 26.5.

Если функция дифференцируема в точке, то дифференциаломназывается линейная относительно приращений часть полного приращения этой функции в точке, т.е.

, или

Дифференциалами независимых переменных называются их приращения

Производная сложной функции двух переменных

Пусть – функция двух переменныхи каждая из них является функцией от переменной:.

Тогда – сложная функция переменной.

Теорема 26.4.

Если функции дифференцируемые в точке,

–дифференцируема в точке , то сложная функциятакже дифференцируема в точке. При этом:

(26.4)

Пример 26.4.

2)

.

Замечание 3.

Если и, то.

Градие́нт (от лат.gradiens , род. падеж gradientis - шагающий, растущий) - вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат,,называется векторная функция с компонентами

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если - функцияпеременных, то её градиентом называется-мерный вектор

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещениядаетполный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть измененияпри смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку- это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказываетсяковариантным вектором , то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного ), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря - для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

линией уровня функции называется множество точек из ее области определения, в которых функция принимает одно и то же фиксированное значение. Градиентом функции f(x) называется вектор

Δf(x) = df ,…, df

dx 1 dx n

указывающий направление наиболее быстрого возрастания функции, и, стало быть, ориентированный перпендикулярно линиям уровня.

Для линейной функции двух переменных линия уровня представляет собой прямую, перпендикулярную вектору с , который служит градиентом данной функции. Следовательно, если линия уровня определяется уравнением f(x)=c 1 x 1 + c 2 x 2 =const , то этот вектоp имеет вид

и указывает направление возрастания функции.

Таким образом, с геометрической точки зрения задача максимизации сводится к определению такой точки области D , через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему из возможных значений. Последнее означает, что для нахождения точки экстремума в задаче линейного программирования мы должны сначала построить линию уровня для некоторого произвольного значения целевой функции. Затем необходимо осуществлять ее параллельное передвижение (так, чтобы она оставалась перпендикулярной вектору с ) до тех пор, пока не достигнем такой точки области допустимых планов D , из которой смещение в направлении вектора с было бы невозможно. Такой метод решения получил название графического . Заметим, что решение задачи поиска минимума линейной функции осуществляется аналогично, с той лишь разницей, что движение по линиям уровня должно производиться в направлении, обратном градиенту целевой функции, т. е. по вектору (-с ).

На рис. 1.1 изображен некоторый частный случай, для которого решение ЗЛП достигается в угловой точке х* = (0, 6) области D . Нетрудно представить, что возможны и другие варианты. Они изображены на рис. 1.2.

Рисунок (а ) иллюстрирует ситуацию неограниченности целевой функции f(x)=cx на множестве D , т.е. сколько бы мы ни перемещались по линиям уровня в направлении вектора с , ее значение будет возрастать.

В случае, изображенном на рисунке (b ), линия уровня, соответствующая максимальному значению f(x), касается грани множества D , и, соответственно, все точки, лежащие на этой грани, являются оптимальными планами.

Во всех рассмотренных иллюстрациях допустимые планы ЗЛП представлялись в виде некоторого многогранного выпуклого множества на плоскости. Такое их представление в литературе получило название первой геометрической интерпретации задачи линейного программирования .