Охарактеризовать график функции. Показательная функция – свойства, графики, формулы. Степенная функция с отрицательным показателем p

Для понимая данной темы, рассмотрим функцию, изображенную на графике // Покажем, как график функции позволяет определить ее свойства.

Разбираем свойства функции на примере

Областью определения функции явл. промежуток [ 3,5; 5,5].

Областью значений функции явл. промежуток [ 1; 3].

1. При x = -3, x =- 1, x = 1,5, х=4,5 значение функции равно нулю.

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

//т.е. для данной функции числа -3;-1;1,5; 4,5 являются нулями.

2. На промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] график функции f расположен над осью абсцисс, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) под осью абсцисс, это объясняется так -на промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] функция принимает положительные значения, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) отрицательные.

Каждый из указанных промежутков (там где функция принимает значения одного и того же знака) называют промежутком знакопостоянства функции f.//т.е. например, если взять промежуток (0; 3), то он не является промежутком знакопостоянства данной функции.

В математике принято при поиске промежутков знакопостоянства функции указывать промежутки максимальной длины. //Т.е. промежуток (2; 3) является промежутком знакопостоянства функции f, но в ответ следует включить промежуток [ 4,5; 3), содержащий промежуток (2; 3).

3. Если перемещаться по оси абсцисс от 4,5 до 2, то можно заметить, что график функции идет вниз, то есть значения функции уменьшаются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 4,5; 2] функция убывает.

С увеличением x от 2 до 0 график функции идет вверх, т.е. значения функции увеличиваются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 2; 0] функция возрастает.

Функцию f называют , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f (x2) > f (x1). // или Функцию называют возрастающей на некотором промежутке , если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.//т.е. чем больше х, тем больше у.

Функцию f называют убывающей на некотором промежутке , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f(x2)убывающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. //т.е. чем больше х, тем меньше у.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей .

Если функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей .

Пример 1. график возрастающей и убывающей функций соотвественно.

Пример 2.

Определить явл. ли линейная функция f (x) = 3x + 5 возрастающей или убывающей?

Доказательство. Воспрользуемся определениями. Пусть х1 и x2 произвольные значения аргумента, причем x1 < x2., например х1=1, х2=7

Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R .Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x , при которых функция y = f (x )определена, называется областью определения функции . Множество Y всех действительных значений y , которые принимает функция, называетсяобластью значений функции . Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y , по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией .

Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:

Задана область определения функции X ;

Задана область значений функции Y ;

Известно правило (закон) соответствия, причём такое, что для каждого

Значения аргумента может быть найдено только одно значение функции.

Это требование однозначности функции является обязательным.

Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x 1 и x 2 из условия x 2 > x 1 следует f (x 2) > f (x 1), то функция f ( x ) называетсявозрастающей ; если для любых x 1 и x 2 из условия x 2 > x 1 следует f ( x 2) < f ( x 1), то функция f ( x ) называется убывающей . Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной .

Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной , если существует такое положительное число M , что | f (x ) | M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная .

П р и м е р ы.

Функция, изображённая на рис.3, является ограниченной, но не монотонной. Функция на рис.4 - как раз наоборот, монотонная, но неограниченная. (Объясните это, пожалуйста!).

Непрерывная и разрывная функции. Функция y = f (x ) называется непрерывной в точке x = a , если:

1) функция определена при x = a , т.e. f (a ) существует;

2) существует конечный предел lim f (x ) ;

x →a

(см. «Пределы функций»)

3) f (a ) = lim f (x ) .

x →a

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x = a .

Если функция непрерывна во всех точках своей области определения , то она называется непрерывной функцией .

Чётная и нечётная функции. Если для любого x f (- x ) = f (x ), то функция называется чётной ;если же имеет место: f (- x ) = - f (x ), то функция называется нечётной . График чётной функции симетричен относительно оси Y (рис.5), a график нечётной функции сим метричен относительно начала координат (рис.6).

Периодическая функция. Функция f (x ) - периодическая , если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f (x + T ) = f (x ). Такое наименьшее число называется периодом функции . Все тригонометрические функции являются периодическими.

П р и м е р 1 . Доказать, что sin x имеет период 2 .

Р е ш е н и е. Мы знаем, что sin (x+ 2n ) = sin x , где n = 0, ± 1, ± 2, …

Следовательно, добавление 2n к аргументу синуса не

Меняет его значениe. Существует ли другое число с таким

Же свойством?

Предположим, что P - такое число, т.e. равенство:

Sin (x+ P ) = sin x ,

Справедливо для любого значения x . Но тогда оно имеет

Место и при x = / 2 , т.e.

Sin ( / 2 + P ) = sin / 2 = 1.

Но по формуле приведения sin ( / 2 + P ) = cos P . Тогда

Из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы

Знаем, что это верно лишь при P = 2n . Так как наименьшим

Отличным от нуля числом из 2n является 2, то это число

И есть период sin x . Аналогично доказывается, что 2 из n есть , таким образом, это период sin 2x .

Нули функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём ( корнем) функции . Функция может иметь несколько нулей.Например, функция y = x (x + 1) (x -3) имеет три нуля: x = 0, x = -1, x = 3. Геометрически нуль функции - это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a , x = b и x = c .

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой .

Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение:

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Способы задания функции.

аналитический способ (с помощью математической формулы);
табличный способ (с помощью таблицы);
описательный способ (с помощью словесного описания);
графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1

Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1 f(x 2) .

4. Экстремумы

Точка Х max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х max , выполнено неравенство f(х) f(X max).

Значение Y max =f(X max) называется максимумом этой функции.

Х max – точка максимума
У max – максимум

Точка Х min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х min , выполнено неравенство f(х) f(X min).

Значение Y min =f(X min) называется минимумом этой функции.

X min – точка минимума
Y min – минимум

X min , Х max – точки экстремума
Y min , У max – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х 1 ,Х 2 ,Х 3 – нули функции y = f(x).

Задачи и тесты по теме "Основные свойства функции"

Свойства функций - Числовые функции 9 класс
Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1
Свойства логарифмов - Показательная и логарифмическая функции 11 класс
Уроков: 2 Заданий: 14 Тестов: 1
Функция квадратного корня, его свойства и график - Функция квадратного корня. Свойства квадратного корня 8 класс
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
Степенные функции, их свойства и графики - Степени и корни. Степенные функции 11 класс
Уроков: 4 Заданий: 14 Тестов: 1
Функции - Важные темы для повторения ЕГЭ по математике
Заданий: 24

Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.

Примеры.

1. Найти область определения функции.

Решение: область определения функции находится из условия

Пределы и непрерывность

Множества

Под множеством понимается совокупность однородных объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества. Множества обозначают прописными буквами, а их элементы – строчными. Если a является элементом множества A , то используется запись a ÎA . Если b не является элементом множества A , то это записывается так: b ÏA . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается так: Ø.

Если множество B состоит из части элементов множества A или совпадает с ним, то множество B называют подмножеством множества и обозначают B ÌA .

Два множества называют равными , если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств A и B называется множество C , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств: C =A ÈB .

Пересечением двух множеств A и B называется множество C , состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств: C =A ÇB .

Разностью множеств A и B называется множество E A , которые не принадлежат множеству B : .

Дополнением множества A ÌB называется множество C , состоящее из всех элементов множества B , не принадлежащих A .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми :

При этом N ÌZ ÌQ ÌR , I ÌR и R =I ÈQ .

Множество X , элементы которого удовлетворяют неравенству называется отрезком (сегментом) и обозначается [a ; b ]; неравенству a <x <b – интервалом и обозначается () ; неравенствам и - полуинтервалами и обозначаются соответственно и . Также часто приходится иметь дело с бесконечными интервалами и полуинтервалами: , , , и . Все их удобно называть промежутками .

Интервал , т.е. множество точек удовлетворяющих неравенству (где ), называется -окрестностью точки a .

Понятие функции. Основные свойства функции

Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y , то говорят, что на множестве X задана функция y =f (x ). При этом x называют независимой переменной или аргументом , а y – зависимой переменной или функцией , а f обозначает закон соответствия. Множество X называют областью определения функции, а множество Y – областью значений функции.

Существует несколько способов задания функций.

1) Аналитический способ – функция задается формулой вида y =f (x ).

2) Табличный способ – функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции y =f (x ).

3) Графический способ – изображение графика функции, т.е. множества точек (x ; y ) координатной плоскости, абсциссы которых представляют значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции y =f (x ).

4) Словесный способ – функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле принимает значение 1, если x – рациональное число и 0, если x – иррациональное число.

Выделяют следующие основные свойства функций.

1 Четность и нечетность Функция y =f (x ) называется четной , если для любых значений x из области ее определения выполняется f (–x )=f (x ), и нечетной , если f (–x )=–f (x ). Если не выполняется ни одно из перечисленных равенств, то y =f (x ) называется функцией общего вида . График четной функции симметричен относительно оси Oy , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2 Монотонность Функция y =f (x ) называется возрастающей (убывающей ) на промежутке X , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Пусть x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 . Тогда функция возрастает на промежутке X , если f (x 2)>f (x 1), и убывает, если f (x 2)<f (x 1).

Наряду с возрастающими и убывающими функциями рассматривают неубывающие и невозрастающие функции. Функция называется неубывающей (невозрастающей ), если при x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 выполняется неравенство f (x 2)≥f (x 1) (f (x 2)≤f (x 1)).

Возрастающие и убывающие функции, а также невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными.

3 Ограниченность Функция y =f (x ) называется ограниченной на промежутке X , если существует такое положительное число M >0, что |f (x )|≤M для любого x ÎX . В противном случае функция называется неограниченной на X .

4 Периодичность Функция y =f (x ) называется периодической с периодом T ≠0, если для любых x из области определения функции f (x +T )=f (x ). В дальнейшем под периодом будем понимать наименьший положительный период функции.

Функция называется явной , если она задана формулой вида y =f (x ). Если функция задана уравнением F (x , y )=0, не разрешенным относительно зависимой переменной y , то ее называют неявной .

Пусть y =f (x ) есть функция от независимой переменной , определенная на множестве X с областью значений Y . Поставим в соответствие каждому y ÎY единственное значение x ÎX , при котором f (x )=y .Тогда полученная функция x =φ (y ), определенная на множестве Y с областью значений X , называется обратной и обозначается y =f –1 (x ). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей .

Пусть функция y =f (u ) есть функция переменной u , определенной на множестве U с областью значений Y , а переменная u в свою очередь является функцией u =φ (x ), определенной на множестве X с областью значений U . Тогда заданная на множестве X функция y =f (φ (x )) называется сложной функцией (композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Элементарные функции

К основным элементарным функциям относят:

степенную функцию y =x n ; y =x – n и y =x 1/ n ;
показательную функцию y =a x ;
логарифмическую функцию y =log a x ;
тригонометрические функции y =sin x , y =cos x , y =tg x и y =ctg x ;
обратные тригонометрические функции y = arcsin x , y =arccos x , y =arctg x и y =arcctg x .

Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными .

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

· целая рациональная функция (многочлен или полином)

· дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)

· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной . К числу трансцендентных функций относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.