Прямая на плоскости – необходимые сведения. Прямая на плоскости – понятие. Плоскость общего положения

Положение точки на чертеже определяется координатами. Точка расположена выше другой, если у нее больше координата Z. Точка находится ближе к наблюдателю, если у нее большая координатаY. От профильной плоскости проекции дальше удалена та точка, у которой больше координата Х.

Практический интерес вызывают точки, расположенные на одном перпендикуляре к плоскости проекций (рис. 4.1). Такие точки на чертеже называются конкурирующими. По ним определяется видимость элементов на чертеже. Из двух конкурирующих точек видимой считается та, у которой больше координата на другой плоскости проекций.

В данном случае видимой на фронтальной плоскости проекций будет точка b, так как у нее больше координатаY.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

4.2. Взаимное расположение прямой и точки

Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат одноименным проекциям прямой (рис. 4.2).

4.3. Взаимное расположение двух прямых

Прямые относительно друг друга могут быть параллельными (рис. 4.3, а), пересекающимися (б), скрещивающимися (в).

4.4. Взаимное расположение точки и плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

П р и м е р. Плоскость задана следами (h 0
f 0 ). Требуется построить точку А, принадлежащую этой плоскости (рис. 4.4).

Р е ш е н и е. Так как в плоскости можно построить бесчисленное множество точек, принадлежащих этой плоскости, то на одной из плоскостей проекций произвольно ставим одну проекцию точки (например, А 2), но вторую проекцию А 1 находим из условия принадлежности точки плоскости. Для этого через А проводим прямую, т. е. через А 2 проводимh 2 до пересечения сf 0 , определяем горизонтальную проекцию точки 1 и из 1 1 параллельно горизонтальному следу проводимh 1 , на которой и отмечаем А 1 .

4.5. Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая принадлежит плоскости , если имеет две общие точки или одну общую точку и параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости. Пусть плоскость на чертеже задана двумя пересекающимися прямыми. В данной плоскости требуется построить две прямыеmиnв соответствии с этими условиями(Г (а
b))(рис. 4.5).

Ре ш е н и е. 1. Произвольно проводимm 2 , так как прямая принадлежит плоскости, отмечаем проекции точек пересечения ее с прямымиа иb и определяем их горизонтальные проекции, через 1 1 и 2 1 проводимm 1.

2. Через точку К плоскости проводим n 2 ║m 2 иn 1 ║m 1 .

Прямая параллельна плоскости , если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости.

Пересечение прямой и плоскости. Возможны три случая расположения прямой и плоскости относительно плоскостей проекций. В зависимости от этого определяется точка пересечения прямой и плоскости.

Первый случай – прямая и плоскость – проецирующего положения. В этом случае точка пересечения на чертеже имеется (обе ее проекции), ее нужно только обозначить.

П р и м е р. На чертеже задана плоскость следами Σ (h 0
f 0 ) – горизонтально проецирующего положения – и прямаяl – фронтально проецирующего положения. Определить точку их пересечения (рис. 4.6).

Точка пересечения на чертеже уже есть – К(К 1 К 2).

Второй случай – или прямая, или плоскость – проецирующего положения. В этом случае на одной из плоскостей проекций проекция точки пересечения уже имеется, ее нужно обозначить, а на второй плоскости проекций – найти по принадлежности.

Пр и м е р ы. На рис. 4.7, а изображена плоскость следами фронтально проецирующего положения и прямаяl – общего положения. Проекция точки пересечения К 2 на чертеже уже имеется, а проекцию К 1 необходимо найти по принадлежности точки К прямойl . На рис. 4.7, б плоскость общего положения, а прямаяm– фронтально проецирующего, тогда К 2 уже есть (совпадает сm 2), а К 1 нужно найти из условия принадлежности точки К плоскости. Для этого через К проводят прямую (h – горизонталь), лежащую в плоскости.

Третий случай – и прямая, и плоскость – общего положения. В этом случае для определения точки пересечения прямой и плоскости необходимо воспользоваться так называемым посредником – плоскостью проецирующей. Для этого через прямую проводят вспомогательную секущую плоскость. Эта плоскость пересекает заданную плоскость по линии. Если эта линия пересекает заданную прямую, то есть точка пересечения прямой и плоскости.

П р и м е р ы. На рис. 4.8 представлены плоскость треугольником АВС – общего положения – и прямая l – общего положения. Чтобы определить точку пересечения К, необходимо черезl провести фронтально проецирующую плоскость Σ, построить в треугольнике линию пересечения Δ и Σ (на чертеже это отрезок 1,2), определить К 1 и по принадлежности – К 2 . Затем определяется видимость прямойl по отношению к треугольнику по конкурирующим точкам. На П 1 конкурирующими точками взяты точки 3 и 4. Видима на П 1 проекция точки 4, так как у нее координата Z больше, чем у точки 3, следовательно, проекцияl 1 от этой точки до К 1 будет невидима.

На П 2 конкурирующими точками взяты точка 1, принадлежащая АВ, и точка 5, принадлежащаяl . Видимой будет точка 1, так как у нее координатаYбольше, чем у точки 5, и следовательно, проекция прямойl 2 до К 2 невидима.

На рис. 4.9 изображены плоскость общего положения (задана следами) и прямая mтакже общего положения. Чтобы определить точку пересеченияmи плоскости, надо черезm 2 провести Σ 2 – фронтально проецирующую плоскость, построить линию пересечения двух плоскостей (отрезок 1,2), отметить К 1 и по принадлежности этой точки прямойl определить К 2 .

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

Прямая перпендикулярна профильной плоскости (EF W )

EF – профильно-проецирующая прямая. Ее проекцияef перпендикулярна осиy H , проекцияe ′ f ′ перпендикулярна осиz , проекции точекe ″ иf ″ совпадают (см. рис. 3.15,в ):

(EF )W ; (EF ) //H ; (EF ) //V ;

e′′f′′ – точка; /ef / = /e′f′ / = /EF /; (ef ) (О y н ); (e′f′ ) (О z ).

Из чертежа видно, что проецирующая прямая является вместе с тем и прямой двойного уровня, так как она параллельна одновременно двум другим плоскостям проекций.

Следовательно, на две плоскости проекций проецирующие прямые проецируются без искажения, т. е. в натуральную величину, а на третью − в точку.

3.4. Взаимное положение точки и прямой

Точка и прямая в пространстве могут быть различно расположены относительно друг друга и плоскости проекций.

Если точка в пространстве принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат соответствующим проекциям этой прямой.

На рис. 3.12–3.14 это положение показано на наглядных изображениях и чертежах прямых линий и точек.

Рассмотрим еще раз это положение на

плоскостном чертеже (рис. 3.16).

Точка F принадлежит прямойAB , так

как горизонтальная проекция f точки принад-

лежит горизонтальной проекции ab прямой, а

фронтальная проекция f ′ точки принадлежит фронтальной проекцииa ′ b ′ прямой:

() F(AB) (f ab) (f′ a′b′).

Точки С ,D ,Е не принадлежат прямой

АВ . ТочкаC лежит над прямойAB , точкаD лежит под прямойAB , точкаE лежит за пря-

мой AB :

() C ()D ()E

(AB ) (AB ) (AB )

(c ab) (c′ a′b′); (d ab) (d′ a′b′); (e ab) (e′ a′b′).

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

3.5. Следы прямой

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой . На рис. 3.17,а точкаM − горизонтальный след прямой, точкаN − фронтальный.

Горизонтальная проекция m горизонтального следа прямой совпадает с самим следом− точкойM (рис. 3.17,a ), а фронтальная проекция этого следаm ′ лежит на осиx . Фронтальная проекцияn ′ фронтального следа прямой совпадает с фронтальным следом− точкойN , а горизон-

тальная проекция n лежит на той же оси проекций.

Чтобы построить на плоскостном чертеже горизонтальный след прямой (точки m иm ′) , надо продолжить фронтальную проекциюa ′ b ′ прямой до пересечения с осьюx (точкаm ′ ). Затем через нее провести перпендикуляр к осиx до пересечения с продолжением горизонтальной проекцииab . Точкаm − горизонтальная проекция горизонтального следа.

Для построения проекций фронтального следа (точек n иn ′) необходимо продолжить горизонтальную проекциюab прямой до пересечения с осьюx (точкаn ). Затем через нее провести перпендикуляр к осиx до пересечения с продолжением фронтальной проекцииa ′ b ′. Точкаn ′ − фронтальная проекция фронтального следа. Построение проекций следов прямойпоказанонарис. 3.17,б .

Прямая может пересекать и профильную плоскость проекций, т. е. иметь профильный след. Этот след на профильной плоскости проекций совпадает со своей проекцией. Фронтальная и горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях z иy .

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

3.6. Взаимное положение двух прямых

Прямые в пространстве могут занимать различные взаимные положения:

− пересекаться, т. е. иметь одну общую точку;

− быть параллельными, если точка пересечения прямых удалена

в бесконечность;

− скрещиваться, т. е. не иметь общих точек.

Пересекающиеся прямые . Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой и точки пересечения проекций лежат на одной линии связи.

Наглядное изображение двух прямых AB иCD , пересекающихся вточкеK , приведено на рис. 3.18,а ; их чертеж в системе плоскостейH иV –

нарис. 3.18, б .

Если одна из прямых профильная, то, чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли прямые, следует построить их профильные проекции.

На рис. 3.19 все проекции точки K (k ,k ′ ,k ″ ) одновременно принадлежат прямойAB и прямойCD. Это значит, что прямыеAB иCD пересекаются.

На рис. 3.20 профильная проекция k ″ точкиK принадлежит профильной проекцииc ″ d ″ , но не принадлежит профильной проекцииa ″ b ″ . Это значит, что прямыеAB иCD не пересекаются, они скрещиваются.

Параллельные прямые . Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. Действительно, на рис. 3.21 проецирующие плоскостиQ иR , проведенные через параллельные прямыеAB иCD , параллельны между собой. С плоскостью проекцийP они пересекаются по параллельным прямымab иcd − проекциям прямыхAB иCD . Чертеж двух параллельных прямых общего по-

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

ложения приведен на рис. 3.22, чертежи параллельных прямых частного положения − на рис. 3.23:

а) горизонтальныхпрямых(см. рис. 3.23, а ); б) фронтальных прямых (см. рис. 3.23,б ); в) профильных прямых (см. рис. 3.23,в ).

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

Сравнивая положение таких точек, определяют, какая из изображенных на чертеже прямых выше другой или ближе другой к наблюдателю.

На рис. 3.24, а видно, что точкаE (принадлежащая прямойAB ) расположена выше точкиK (принадлежащей прямойСD ). При взгляде сверху по указанной стрелке точкаE закрывает точкуK . Соответственно и на чертеже (рис. 3.24,б ) фронтальная проекцияe ′ расположена выше фронтальной проекцииk ′. При взгляде сверху по стрелкеN при проецировании на плоскостьH точкаe закрывает точкуk . ПрямаяAB проходит над прямойCD .

Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Прямая на плоскости – понятие

Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.

Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.

Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.

Имеем аксиому:

Определение 1

На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.

Точки обозначают как большими, так и маленькими латинскими буквами. Например, А и D или a и d .

Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.

Чтобы обозначить, принадлежит точка плоскости или точка прямой, используют знак « ∈ ». Если в условии дано, что точка A лежит на прямой a , тогда это имеет такую форму записи A ∈ a . В случае, когда точка А не принадлежит, тогда другая запись A ∉ a .

Справедливо суждение:

Определение 2

Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.

Данное высказывание считается акисомой, поэтому не требует доказательств. Если рассмотреть это самостоятельно, видно, что при существующих двух точках имеется только один вариант их соединения. Если имеем две заданные точки А и В, то прямую, проходящую через них можно назвать данными буквами, например, прямая А В. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:

Определение 3

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.

Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.

Если дано, что точки А и Р – концы отрезка, значит, его обозначение примет вид Р А или А Р. Так как обозначения отрезка и прямой совпадают, рекомендовано дописывать или договаривать слова «отрезок», «прямая».

Краткая запись принадлежности включает в себя использование знаков ∈ и ∉ . Для того, чтобы зафиксировать расположение отрезка относительно заданной прямой, применяют ⊂ . Если в условии дано, что отрезок А Р принадлежит прямой b , значит, и запись будет выглядеть следующим образом: А Р ⊂ b .

Случай принадлежности одновременно трех точек одной прямой имеет место быть. Это верно, когда одна точка лежит между двумя другими. Данное утверждение принято считать аксиомой. Если даны точки А, В, С, которые принадлежат одной прямой, а точка В лежит между А и С, следует, что все заданные точки лежат на одной прямой, так как лежат по обе стороны относительно точки B .

Точка делит прямую на две части, называемые лучами.Имеем аксиому:

Определение 4

Любая точка O , находящаяся на прямой, делит ее на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону луча относительно точки O , а другие – по другую сторону луча.

Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.

Определение 5

совпадать .

Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.

Определение 6

Две прямые на плоскости могут пересекаться .

Данный случай показывает, что имеется одна общая точка, которую называют пересечением прямых. Вводится обозначение пересечение знаком ∩ . Если имеется форма записи a ∩ b = M , то отсюда следует, что заданные прямые a и b пересекаются в точке M .

При пересечении прямых имеем дело образовавшимся углом. Отдельному рассмотрению подвергается раздел пересечения прямых на плоскости с образованием угла в 90 градусов, то есть прямого угла. Тогда прямые называют перпендикулярными.Форма записи двух перпендикулярных прямых такая: a ⊥ b , а это значит, что прямая a перпендикулярна прямой b .

Определение 7

Две прямые на плоскости могут быть параллельны .

Только в том случае, если две заданные прямые не имеют общих пересечений, а, значит, и точек, они параллельны. Используется обозначение, которое можно записать при заданной параллельности прямых a и b: a ∥ b .

Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.

Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.

Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.

Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:

• если две прямые параллельны третьей, тогда они все параллельны;
• если две прямые перпендикулярны третьей, тогда эти две прямые параллельны;
• если на плоскости прямая пересекла одну параллельную прямую, тогда пересечет и другую.

Рассмотрим это на рисунках.

Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.

Определение 8

Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.

Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки.

Определение 9

Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.

Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.

Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.

Определение 10

Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.

Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.

Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:

Определение 11

Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.

И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Точка может находиться либо на прямой, либо вне её.

а) Если точка находится на прямой, тогда на основании свойства принадлежности её проекции будут принадлежать проекциям прямой – точка А (рисунок 7-2);

б) Если же точка расположена вне прямой, то тогда хотя бы на одном из видов точка не будет находиться на прямой:

· точка В на виде сверху не лежит на прямой l , а находится ближе , чем фронтально-конкурирующая с ней точка, отмеченная крестиком; следовательно точка В находится перед прямой l ;

· точка С, как это следует из вида спереди, находится ниже прямой l , т.к. она расположена ниже горизонтально-конкурирующей с ней точки, отмеченной крестиком и лежащей на прямой;

· анализируя положение точки D относительно прямой l , приходим к выводу, что точка D находится над прямой l , что определяется по положению точки D на виде спереди. По виду сверху отмечаем, что точка D находится за прямой l .

Определить взаимное положение точки и прямой профильного положения р по двум видам не представляется возможным , т.к. такая прямая на видах спереди и сверху совпадает с линиями связи по направлению (рисунок 7-3).

Получить ответ можно с помощью построения профильной проекции (вида слева).

Так по виду слева определяем, что т. М находится перед прямой (Δf ) и над ней (ΔН), т.к. она лежит ближе фронтально-конкурирующей и выше горизонтально -конкурирующих точек, отмеченных крестиками.

Точка N находится ниже (под) прямой l и за (дальше) неё.

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ

Может быть два варианта:

· точка находится в плоскости;

· точка находится вне плоскости.

Точка находится в плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой этой плоскости.

Следовательно, чтобы построить точку на плоскости, необходимо сначала на этой плоскости построить произвольную прямую линию (или взять уже имеющуюся) и на ней взять точку.

Плоскость частного положения

Если точка находится в плоскостичастного положения (наклонной, вертикальной, профильно-проецирующей), то построение ее облегчается. В этом случае точка на одном из видов будет находиться на изображении плоскости, а на другом виде положение ее может быть произвольным (рисунок 7-4). Здесь показана т. А принадлежащая наклонной плоскости Б, т.к. на виде спереди она находится на прямой, являющейся изображением плоскости; а на виде сверху положение точки взято на линии связи произвольно.

Точка В находится под плоскостью, т.к. она лежит ниже отмеченной крестиком точки, с которой она горизонтально конкурирует,

Плоскость общего положения

Несколько сложнее построить на комплексном чертеже точку, принадлежащую плоскости общего положения.

Пусть задана плоскость Б(ΔАВС), (рисунок 7-5). Чтобы построить на чертеже какую-нибудь точку лежащую в плоскости Б, проведена произвольная прямая l явно принадлежащая плоскости (т.к. проходит через две точки плоскости А и 1). Затем на этой прямой взята т. М (свойство принадлежности).

Рассмотрим обратную задачу. Пусть заданы два вида точки N. Нужно определить положение т. N относительно плоскости.

Для решения этой задачи нужно на плоскости провести вспомогательную прямую, конкурирующую с данной точкой на любом из видов (например на виде спереди, как на рисунке 7-5) и определить взаимное положение данной точки N и прямой.

Итак, проведем фронтально-конкурирующую с точкой N прямую m , положение которой определено точками плоскости А и 2. По глубине точки N определяем, что она находится перед прямой l и, следовательно, перед плоскостью.

Поскольку плоскость Б - нисходящая (определяем по разным направлениям обхода на видах), и, учитывая, что т. N находится перед плоскостью, то она в то же время будет находиться и под плоскостью.

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.

1. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК.

2. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ.

3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ.

4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ.

Позиционные задачи – это задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга.

Различают прямые и обратные позиционные задачи:

· прямые – задачи на взаимопринадлежность (построение точки на линии или поверхности, проведение линии на поверхности или поверхности через заданные линии, задачи на пересечение);

· обратные – в которых определяется взаимное расположение точек, линий, плоскостей.

19. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК

Рассмотрим возможные варианты взаимного расположения двух точек (рисунок 7-1).

DIV_ADBLOCK124">

г) По рисунку 7-1г определяем, что точка А выше точки В на величину ΔН; по виду сверху отмечаем, что от наблюдателя точка А дальше точки В на величину Δf ; на обоих видах определяется, что точка А левее точки В на величину Δр .

20. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ

https://pandia.ru/text/80/056/images/image003_97.gif" alt="Подпись: Рисунок 7-3" align="left" width="166" height="45">DIV_ADBLOCK125">

Точка N находится ниже (под) прямой l и за (дальше) неё.

21. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ

Может быть два варианта:

· точка находится в плоскости;

· точка находится вне плоскости.

Точка находится в плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой этой плоскости.

Следовательно, чтобы построить точку на плоскости, необходимо сначала на этой плоскости построить произвольную прямую линию (или взять уже имеющуюся) и на ней взять точку.

21.1 Плоскость частного положения

https://pandia.ru/text/80/056/images/image006_56.gif" align="left" width="356" height="327 src=">Пусть задана плоскость Б(ΔАВС), (рисунок 7-5). Чтобы построить на чертеже какую-нибудь точку лежащую в плоскости Б, проведена произвольная прямая l явно принадлежащая плоскости (т. к. проходит через две точки плоскости А и 1). Затем на этой прямой взята т. М (свойство принадлежности).

Рассмотрим обратную задачу. Пусть заданы два вида точки N. Нужно определить положение т. N относительно плоскости.

Для решения этой задачи нужно на плоскости провести вспомогательную прямую, конкурирующую с данной точкой на любом из видов (например на виде спереди, как на рисунке 7-5) и определить взаимное положение данной точки N и прямой.

Итак, проведем фронтально-конкурирующую с точкой N прямую m , положение которой определено точками плоскости А и 2. По глубине точки N определяем, что она находится перед прямой l и, следовательно, перед плоскостью.

Поскольку плоскость Б - нисходящая (определяем по разным направлениям обхода на видах), и, учитывая, что т. N находится перед плоскостью, то она в то же время будет находиться и под плоскостью.

22. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ

Прямые в пространстве могут:

· совпадать;

· пересекаться;

· быть параллельными;

· скрещиваться.

Две прямые являются совпадающими , если на видах спереди

и сверху они сливаются (рисунок 7-6а).

Пересекающиеся прямые имеют общую точку – К, изображение которой на видах спереди и сверху расположены на одной линии связи (рисунок 7-6б).

Проекции пересекающихся прямых на одном из видов могут совпадать (рисунок 7-6в), такие прямые называются конкурирующими . Так как здесь они совпадают на виде сверху (на горизонтальной проекции), то в данном случае это горизонтально - конкурирующие прямые .

Если прямые а и Ь параллельны , то на основании свойства параллельного проецирования их одноименные проекции будут параллельны (рисунок 7-7а).

Проекции параллельных прямых на одном из видов могут совпадать, в этом случае прямые называются конкурирующими параллельными прямыми . На рисунке 7-7б изображены фронтально-конкурирующие прямые а и Ь, т. к. их изображения совпадают на виде спереди.

а) б) в)

Скрещивающиеся прямые - это такие прямые, которые не пересекаются и не параллельны друг другу (рисунок 7-7в). Если параллельные и пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости (задают плоскость), то скрещивающиеся прямые в одной плоскости не лежат. Кажущиеся точки пересечения прямых 1 и 2, 3 и 4 будут попарно конкурирующими; у них совпадает только одна из одноименных проекций: т. т.1 и 2 - конкурируют на виде спереди, т. т.3 и 4 - конкурируют на виде сверху.

Итак, - взаимное положение прямых общего положения определяется по двум видам заданных прямых.

22.1 Прямые профильного положения

Иначе обстоит дело с прямыми профильного положения. Для определения взаимного положения этих прямых следует построить вид слева.

DIV_ADBLOCK128">

Замерив глубины точек А, В, С, D от базы на виде сверху, откладываем полученные величины на соответствующих горизонтальных линиях связи от базы отсчета на виде слева.

Построив точки, и соединив их должным образом, приходим к выводу, что прямые p 1 и р 2 пересекаются в точке К. Найдя её на виде слева, строим точку К и на двух других видах.

23. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Прямая линия по отношению к плоскости может занимать следующие положения:

· принадлежать плоскости;

· быть параллельной данной плоскости;

· пересекать эту плоскость.

Прямая принадлежит плоскости, если две её точки лежат в данной плоскости (рисунок 7-9).

Прямая линия параллельна плоскости, если эта прямая параллельна какой-нибудь прямой лежащей в данной плоскости (рисунок 7-10а).

https://pandia.ru/text/80/056/images/image011_24.gif" align="left" width="337" height="369 src=">Пример 1 . Через данную точку А провести прямую параллельную наклонной плоскости Б (рисунок 7-10б). Искомая прямая m будет принадлежать наклонной плоскости, проходящей через т. А и параллельной плоскости Б. Поэтому на виде спереди прямая m параллельна. вырожденному виду плоскости Б, а на виде сверху занимает произвольное положение.

Пример 2. Через точку М провести прямую п , параллельно плоскости Б (а//Ь), (рисунок 7-10в).

Построим на плоскости Б произвольную прямую с , а затем проведем через точку М прямую п параллельную прямой с .

2. Пересечение прямой с плоскостью

Задача на пересечение прямой с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии.

Чтобы решить эту задачу в общем виде необходимо знать прием, способ решения (алгоритм). Но если в задаче имеются вырожденные виды оригиналов, то такая задача требует просто развитого пространственного воображения.

Все задачи на пересечение прямой с плоскостью можно разделить на несколько типов:

· Первый тип задач - плоскости имеют вырожденный вид , т. е. являются проецирующими, а прямая является прямой общего положения.

Основным методом решения задач этого типа является метод принадлежности. Рассмотрим ряд примеров.

Пример 3 . Построить точку К пересечения прямой l с вертикальной плоскостью Б (рисунок

https://pandia.ru/text/80/056/images/image013_17.gif" align="left" width="258" height="286">Пример 4. Построить точку пересечения К вертикальной прямой i с плоскостью Б (DАВС), (рисунок 7-12). Т. к. вырожденный вид прямой имеет ся на виде сверху, то решение начинаем с него.

Точка пересечения прямой i с плоскостью Б здесь совпа дает с вырожденным видом самой прямой; i = К.

Чтобы построить т. К на виде спереди проведем на плоскости через т. К (вид сверху) произвольную прямую, например С-1 . Построим эту прямую на виде спереди, и на пересечении прямой С-1 и l находим точку К. Видимость определяем представив (с помощью реконструкции чертежа) взаимное расположение оригиналов.

· Третий тип задач - задачи не содержат элементов частного положения, т. е. прямая и плоскость общего положения (вырожденного вида нет ).

В этом случае (рисунок 7-13) решение задачи сводится к рассмотрению взаимного положения двух прямых - данной прямой l и некоторой прямой t , лежащей в плоскости Б.

https://pandia.ru/text/80/056/images/image015_15.gif" align="left" width="290" height="350">Проводим в плоскости Б прямую t (1,2) фронтально-конкурирующую с данной прямой l .

По виду сверху определяем, что конкурирующие прямые пересекаются в т. К, которая и является точкой пересечения прямой l с плоскостью Б. Видимость определяем с помощью двух пар конкурирующих точек: 1=3 на виде спереди; точка 3 (принадлежащая l ) ближе; на виде сверху из двух точек 4=5, точка 4 выше точки 5.

На одном из видов видимость можно определить и по положению плоскости Б.