Прямая и отрезок, измерение и сравнение отрезков. Измерение отрезков. Полные уроки — Гипермаркет знаний
Цели занятия: На этом занятии вы получите возможность актуализировать свои знания о простейших геометрических фигурах: точке, прямой, луче, отрезке, вспомнить, как измеряются отрезки, а также узнаете некоторые новые для вас геометрические факты.
Точка . Прямая . Отрезок. Аксиомы геометрии
Для первого знакомства с геометрией поработайте с материалами видеоурока «Прямая и отрезок».
Таким образом, вы должны знать несколько фактов:
- Геометрия – наука об измерении земли, дословно – «землемерие».
- Геометрия – одна из самых древних наук на земле, она возникла примерно за 300 лет до нашей эры.
- Геометрия подразделяется на два раздела: планиметрия – геометрия на плоскости, и стереометрия – геометрия в пространстве.
- Геометрия изучает геометрические фигуры и их свойства.
- Примерами плоских геометрических фигур являются треугольник, прямоугольник, окружность, круг и т.д.; примерами пространственных фигур являются параллелепипед, шар, конус, цилиндр и т.д.
- Простейшими, неопределяемыми геометрическими понятиями являются точка и прямая. Они не имеют размеров.
- Точки обозначают большими буквами латинского алфавита, прямые могут обозначаться маленькими буквами латинского алфавита.
- Геометрия строится на основных неопределяемых понятиях и на аксиомах, в которых фиксированы отношения простейших фигур.
Для того чтобы познакомиться с первыми аксиомами, поработайте со второй частью видеоурока «Прямая и отрезок».
Таким образом, вы должны знать следующие аксиомы:
Аксиома 1: каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация Аксиомы 1Аксиома 2: имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой (рис.2).
Рис. 2. Иллюстрация Аксиомы 2Аксиома 3: через любые две точки проходит прямая , и притом только одна.
Тот факт, что точка А лежит на прямой с фиксируется знаком принадлежности: А∈с . Если точка не принадлежит прямой с , то это записывается так: D∉c .
Теперь выполните задания практического электронного образовательного ресурса « ».
Аксиома 4: из трех точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими (рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация Аксиомы 4На рисунке отмечены три точки: А , В и D . Точка А лежит между точками В и D .
Эти точки, лежащие на прямой, образуют несколько новых фигур – отрезков.
На рисунке 3 изображены три отрезка: АВ, DA и DB .
Можно выделить несколько случаев взаимного расположения прямой и отрезка.
Рисунок 3 иллюстрирует случай, когда отрезок , например, АВ лежит на прямой , в этом случае отрезок и прямая имеют бесконечно много общих точек – это все точки отрезка АВ .
Рисунок 4 иллюстрирует другой случай: отрезок и прямая не имеют общих точек .
Рис. 4. Отрезок СЕ и прямая а не имеют общих точекВ этом случае точки С и Е лежат по одну сторону от прямой а .
Рисунок 5 иллюстрирует еще один случай: отрезок пересекает прямую . В этом случае отрезок и прямая имеют единственную общую точку, а концы отрезка CD лежат по разные стороны от прямой b .
Рис. 5. Отрезок и прямая имеют единственную общую точку:отрезок СD пересекает прямую b Рис. 6. Отрезок и прямая имеют единственную общую точку:
один из концов отрезка MN (точка М) лежит на прямой c
Теперь поработайте со последней частью видеоурока «Прямая и отрезок».
Итак, вы познакомились с первой теоремой : две разные прямые не могут иметь более одной общей точки.
Также вы рассмотрели доказательство этой теоремы.
Рассмотрим пример выполнения задания.
Пример 1.
На рисунке изображена прямая с и шесть точек.
Рис. 7. Прямая и точкиСколько всего отрезков изображено на прямой? Назовите эти отрезки.
Решение:
Сначала запишем все отрезки.
- Начнем с отрезков, одним из концов которых является точка
А
.
Итак, это отрезки АВ, АС, АЕ, AD, AF . Их всего 5. - Теперь перечислим отрезки, одним из концов которых является точка
В
.
Это отрезки ВЕ, ВС, BD и BF . Их 4. Мы не включили сюда отрезок АВ , так как мы записали его в первом пункте. - Продолжим записывать отрезки. И теперь перечислим отрезки с концом в очке С
, за исключением тех, которые мы уже записали.
Это отрезки СЕ, CD и CF . Их 3. - Теперь запишем оставшиеся отрезки: сначала с концом в точке Е – ED
и EF
, и наконец, в точке F – FD
.
Таким образом, получили 15 отрезков.
- Начнем с отрезков, одним из концов которых является точка
А
.
Пример 2.
Сколько точек можно провести через 4 точки: А, В, С и К , никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Решение:
Будем рассуждать так же, как и в предыдущем задании.
- Сначала провеем все прямые, проходящие через точку А : это прямые АВ, АС и АК .
- Теперь проведем все прямые, проходящие через точку В , за исключением прямой АВ , так ее мы уже учли в первом пункте. Это прямые ВС и ВК .
- Осталась одна прямая СК .
Всего таких прямых проведено 6.
На рисунке 8 изображены 4 точки и прямые, проведенные через них.
Рис. 8. Иллюстрация к примеру 2Измерение отрезков
Вы знаете, что длину отрезка можно измерить при помощи линейки с делениями.
Узнайте о свойствах длины отрезка, поработав с материалами видеоурока «Измерение отрезков».
Рассмотрим еще пример решения задачи.
Пример 3.
На прямой отмечены четыре точки: А, В, С и D произвольным образом. Известно, что длина отрезка АВ равна 10 см, BD = 12 см, CD = 6 см. Какой может быть длина отрезка АС ?
Решение:
Рассмотрим возможные случаи расположения точек на прямой.
Случай 1 изображен на рисунке 9.
Рис. 9. Первый случай взаимного расположения точек А, В, С и D на прямойВидно, что в этом случае длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС .
Прямая
Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.
Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины (рис. 1).
Полученную линию мы и будем называть прямой . Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Всю же прямую построить не имеется возможным, она является бесконечной на обоих своих концах.
Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 2).
Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:
Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.
Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.
Аксиома 3: Через $2$ произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.
Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:
- Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
- Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
- Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.
В этой статье мы не будем подробно останавливаться на этих понятиях.
Отрезок
Пусть нам дана произвольная прямая и две точки, принадлежащие ей. Тогда
Определение 1
Отрезком будет называться часть прямой, которая ограничена двумя ее произвольными различными точками.
Определение 2
Точки, которыми ограничен отрезок в рамках определения 1 называются концами этого отрезка.
Отрезки будем обозначать двумя её точками концов в квадратных скобках (рис. 3).
Сравнение отрезков
Рассмотрим два произвольных отрезка. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными. Чтобы разобраться в этом, нам нужна следующая аксиома геометрии.
Аксиома 4: Если оба конца двух различных отрезков совпадут при их наложении, то такие отрезки будут равными.
Итак, для сравнения выбранных нами отрезков (обозначим их отрезок 1 и отрезок 2) наложим конец отрезка 1 на конец отрезка 2, так, чтобы, отрезки оставались по одну сторону от этих концов. После такого наложения возможны два следующих случая:
Длина отрезка
Помимо сравнения одних отрезков с другими также часто необходимо измерение отрезков. Измерить отрезок означает найти его длину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» отрезок, который мы будем принимать за единицу (к примеру отрезок, длина которого равняется 1 сантиметру). После выбора такого отрезка мы проводим с ним сравнение отрезков, длину которого нужно найти. Рассмотрим пример.
Пример 1
Найти длину следующего отрезка
если следующий отрезок равняется 1
Для его измерения возьмем за эталон отрезок $$. Будем откладывать его на отрезок $$. Получим:
Ответ: $6$ см.
Понятие длины отрезка связаны со следующими аксиомами геометрии:
Аксиома 5: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, длина любого отрезка будет положительна.
Аксиома 6: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, мы можем для любого положительного числа найти отрезок, у которого длина равняется данному числу.
После определения длины отрезков у нас появляется второй способ для сравнения отрезков. Если при одном и том же выборе единицы длины отрезок $1$ и отрезок $2$ будут иметь одинаковую длину, то такие отрезки будут называться равными. Если же, без ограничения общности, отрезок 1 будет иметь длину по числовому значению меньше длины отрезка $2$, то отрезок $1$ будет меньше отрезка $2$.
Самым простым способом измерения длины отрезков является измерение, с помощью линейки.
Пример 2
Записать длины следующих отрезков:
Измерим их с помощью линейки:
- $4$ см.
- $10$ см.
- $5$ см.
- $8$ см.
Прямая
Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.
Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины (рис. 1).
Полученную линию мы и будем называть прямой . Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Всю же прямую построить не имеется возможным, она является бесконечной на обоих своих концах.
Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 2).
Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:
Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.
Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.
Аксиома 3: Через $2$ произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.
Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:
- Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
- Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
- Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.
В этой статье мы не будем подробно останавливаться на этих понятиях.
Отрезок
Пусть нам дана произвольная прямая и две точки, принадлежащие ей. Тогда
Определение 1
Отрезком будет называться часть прямой, которая ограничена двумя ее произвольными различными точками.
Определение 2
Точки, которыми ограничен отрезок в рамках определения 1 называются концами этого отрезка.
Отрезки будем обозначать двумя её точками концов в квадратных скобках (рис. 3).
Сравнение отрезков
Рассмотрим два произвольных отрезка. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными. Чтобы разобраться в этом, нам нужна следующая аксиома геометрии.
Аксиома 4: Если оба конца двух различных отрезков совпадут при их наложении, то такие отрезки будут равными.
Итак, для сравнения выбранных нами отрезков (обозначим их отрезок 1 и отрезок 2) наложим конец отрезка 1 на конец отрезка 2, так, чтобы, отрезки оставались по одну сторону от этих концов. После такого наложения возможны два следующих случая:
Длина отрезка
Помимо сравнения одних отрезков с другими также часто необходимо измерение отрезков. Измерить отрезок означает найти его длину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» отрезок, который мы будем принимать за единицу (к примеру отрезок, длина которого равняется 1 сантиметру). После выбора такого отрезка мы проводим с ним сравнение отрезков, длину которого нужно найти. Рассмотрим пример.
Пример 1
Найти длину следующего отрезка
если следующий отрезок равняется 1
Для его измерения возьмем за эталон отрезок $$. Будем откладывать его на отрезок $$. Получим:
Ответ: $6$ см.
Понятие длины отрезка связаны со следующими аксиомами геометрии:
Аксиома 5: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, длина любого отрезка будет положительна.
Аксиома 6: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, мы можем для любого положительного числа найти отрезок, у которого длина равняется данному числу.
После определения длины отрезков у нас появляется второй способ для сравнения отрезков. Если при одном и том же выборе единицы длины отрезок $1$ и отрезок $2$ будут иметь одинаковую длину, то такие отрезки будут называться равными. Если же, без ограничения общности, отрезок 1 будет иметь длину по числовому значению меньше длины отрезка $2$, то отрезок $1$ будет меньше отрезка $2$.
Самым простым способом измерения длины отрезков является измерение, с помощью линейки.
Пример 2
Записать длины следующих отрезков:
Измерим их с помощью линейки:
- $4$ см.
- $10$ см.
- $5$ см.
- $8$ см.
Смакотина Лидия Александровна,
учитель математики
Геометрия 7 класс
Тема: «Отрезок. Измерение отрезков»
(с применением лабораторно-практических работ)
Цели: систематизировать знания учащихся об отрезке; развивать наглядные
геометрические представления, научить изображать, измерять на рисунке
отрезки; привитие интереса к предмету геометрия через практическую
деятельность; формирование логического мышления учащихся.
Оборудование: измерительная линейка, цветные карандаши, компьютер
для показа слайдов.
Ход урока:
I.1. Проверка письменного домашнего задания.
2. Работа по вопросам:
а) Сколько прямых можно провести через две точки?
б) Сколько общих точек могут иметь две прямые?
3. Работа по слайду № 1.
Сколько общих точек имеют прямые, изображенные на рисунках? Записать через знаки «принадлежит», «не принадлежит», «не пересекаются».
II. Изучение нового материала
Практическая работа № 1
Начертите отрезок. Измерьте длину отрезка линейкой. Результаты запишите. Сделайте вывод.
(Например: А В, АВ = 3 см, АВ 0)
Начертите отрезок АС = 6 см. Точка В принадлежит отрезку. Длина отрезка
А В С АВ = 4 см. Измерьте длину отрезка ВС. Запишите результат. Сделайте вывод:
АС = 6см, АВ = 4 см, ВС = 2 см, АС = АВ + ВС
Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Практическая работа № 2.
Проведите прямую а
Нанесите три точки, принадлежащие этой прямой
Трое учащихся выходят к доске. Они играют роль букв А, В и С. (На груди у них приколоты соответствующие буквы) Встают в том порядке, в каком написаны буквы на прямой а.
Объясните, где стоит буква А?
Где расположена эта буква на прямой а?
Можно ли сказать, что буквы В и С стоят по разные стороны от буквы А?
Кроме точки А, лежит ли еще какая-нибудь точка между двумя другими?
Сделать вывод: Мы получили важное свойство расположения точек на прямой. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Выделите часть прямой между точками В и С цветным карандашом
Как называется выделенная часть прямой? Как обозначается отрезок?
Лабораторная работа «Единицы измерения отрезков»
Начертите произвольный отрезок СД. Возьмите за единицу измерения 1 см и измерьте отрезок СД.
У кого длина отрезка получилась целым числом сантиметров?
Назовите единицу измерения меньше 1 см.
Измерьте длину отрезка СД в мм. Сравните полученные результаты измерения в см и мм. Сделайте вывод. (Равные отрезки имеют одинаковую длину)
Какие единицы измерения вы еще знаете для измерения отрезков в тетради, на школьной доске, на местности, мелких предметов?
Что мы будем называть серединой отрезка? Как найти середину отрезка?
III. Закрепление изученного материала.
Решить задачу (она записана на слайде № 2). При решении данной задачи показать правильную запись в тетради; показать, что задачи могут иметь несколько решений и учить учащихся рассматривать все возможные случаи.
Задача: Точки М, А и В расположены на одной прямой, причем отрезок АМ вдвое больше отрезка ВМ. Найти отрезок АМ, если АВ = 6 см.
По условию, АВ = 6 см. АМ = 2 МВ, АМ = АВ = 4 см.
Имеем: АМ + АВ + ВМ. По условию. АВ + 6 см, АМ = 2 МВ, АМ + 2 АВ = 12см.
А по условию АМ ВМ, А ВМ.
Ответ: задача имеет два решения. Длина отрезка АМ равна 4 см или 12 см.
IV. Подведение итогов урока.
Повторение теоретического материала по слайду № 3.
Свойства измерения отрезков |
На практике часто приходится измерять отрезки, т. е. находить их длины.
Измерить отрезок - это значит сравнить его с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его называют также масштабным отрезком).
АВ = 2 см; АС = 3,4 см
Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рисунке 1 в отрезке АВ сантиметр укладывается ровно два раза. Это означает, что длина отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен 2 см» - и пишут: АВ = 2 см.
Может оказаться, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке - получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Например, на рисунке 1 в отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза и в остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина отрезка АС равна 3,4 см. Но возможно, что и взятая часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток. Так будет, например, с отрезком AD на рисунке 1, в котором сантиметр укладывается три раза с остатком, а в остатке миллиметр укладывается восемь раз вновь с остатком. В таком случае говорят, что длина отрезка AD приближенно равна 3,8 см. Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения. Мысленно этот процесс можно продолжать и дальше, измеряя длину отрезка со все большей точностью. На практике, однако, пользуются приближенными значениями длин отрезков.
За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок.
Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом.
Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.
Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.
AC + CB = AB
На рисунке 2 изображен отрезок АВ. Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы видим, что АС = 3 см, СВ = = 2,7 см, АВ = 5,7 см. Таким образом, АС + СВ = АВ. Также и во всех случаях, когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.
Пример 1. Точка С - середина отрезка АВ. Найти длину отрезка АС, если длина отрезка АВ равна 32 см.
Решение. Имеем: АС + СВ = АВ или АС + СВ = 32. Так как С - середина отрезка АВ, то АС = С В и, значит, 2АС = 32, откуда АС = 16 (см).
Пример 2. Точка С - середина отрезка АВ, точка О - середина отрезка АС. Найти АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см.
Решение. Так как С - середина отрезка АВ, то, как и в предыдущем примере, АС = СВ = 1/2 АВ, или АС = СВ = 1/2 2 = 1 (см). Так как точка О - середина отрезка АС = 1 см, то АО= ОС = 0,5 см. Наконец, ОВ = ОС + СВ = 0,5 + 1 = 1,5 (см).
Пример 3. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?
Решение. Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВУ ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (АВ + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.