Логика высказываний: теория и применение. Примеры решений задач. Сложные высказывания. Их виды и условия истинности

Свойства

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

1. Если A ,B - конечные множества, то A ×B - конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения - бесконечное множество.

2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): |A ×B |=|A |⋅|B | .

3. A np ≠(A n ) p - в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров 1×np , во втором же - как матрицу размеров n ×p .

4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: A ×B ≠B ×A .

5. Ассоциативный закон не выполняется: (A ×B )×C ≠A ×(B ×C ) .

6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: (A ∗B )×C =(A ×C )∗(B ×C ),∗∈{∩,∪,∖}

11. Понятие высказывания. Элементарные и составные высказывания.

Высказывание - это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно (И-1) или ложно (Л-0), но не то и другое одновременно.

Например, «Сегодня идет дождь», «Иванов выполнил лабораторную работу №2 по физике».

Если у нас имеется несколько исходных высказываний, то из них при помощи логических союзов или частиц мы можем образовывать новые высказывания, истинностное значение которых зависит только от истинностных значений исходных высказываний и от конкретных союзов и частиц, которые участвуют в построении нового высказывания. Слова и выражения «и», «или», «не», «если... , то», «поэтому», «тогда и только тогда» являются примерами таких союзов. Исходные высказывания называются простыми , а построенные из них с помощью тех или иных логических союзов новые высказывания - составными . Разумеется, слово «простые» никак не связано с сутью или структурой исходных высказываний, которые сами могут быть весьма сложными. В данном контексте слово «простой» является синонимом слова «исход-ный». Важно то, что значения истинности простых высказываний предполагаются известными или заданными; в любом случае они никак не обсуждаются.

Хотя высказывание типа «Сегодня не четверг» не составлено из двух различных простых высказываний, для единообразия конструкции оно также рассматривается как составное, по-скольку его истинностное значение определяется истинностным значением другого высказыва-ния «Сегодня четверг»

Пример 2. Cледующие высказывания рассматриваются как составные:

Я читаю «Московский комсомолец» и я читаю «Коммерсант».

Если он сказал это, значит, это верно.

Солнце не является звездой.

Если будет солнечно и температура превысит 25 0 , я приеду поездом или автомобилем

Простые высказывания, входящие в составные, сами по себе могут быть совершенно произвольными. В частности, они сами могут быть составными. Описываемые ниже базисные типы составных высказываний определяются независимо от образующих их простых высказываний.

12. Операции над высказываниями.

1. Операция отрицания.

Отрицанием высказывания А (читается «не А », «неверно, что А »), которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.

Отрицающие друг друга высказывания А и называются противоположными.

2. Операция конъюнкции .

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А В (читается «А и В »), истинные значения которого определяются в том и только том случае, когда оба высказывания А и В истинны.

Конъюнкцию высказываний называют логическим произведением и часто обозначают АВ.

Пусть дано высказывание А – «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С » и высказывание В – «в Витебске идет дождь». Тогда А В будет следующей: «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С и в Витебске идет дождь». Данная конъюнкция будет истинной, если будут высказывания А и В истинными. Если же окажется, что температура была меньше 0 С или в Витебске не было дождя, то А В будет ложной.

3 . Операция дизъюнкции .

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В (А или В ), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно и ложно – когда оба высказывания ложны.

Дизъюнкцию высказываний называют также логической суммой А+В.

Высказывание «4<5 или 4=5 » является истинным. Так как высказывание «4<5 » – истинное, а высказывание «4=5 » – ложное, то А В представляет собой истинное высказывание «4 5 ».

4 . Операция импликации .

Импликацией высказываний А и В называется высказывание А В («если А , то В », «из А следует В »), значение которого ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

В импликации А В высказывание А называют основанием, или посылкой, а высказывание В – следствием, или заключением.

13. Таблицы истинности высказываний.

Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.

Таблицы истинности применяются для:

Вычисления истинности сложных высказываний;

Установления эквивалентности высказываний;

Определения тавтологий.

Установление истинности сложных высказываний.

Пример 1. Установить истинность высказывания · С

Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.

14. Равносильные формулы.

Две формулы А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулу элементарных высказываний.

Равносильность обозначается знаком « ». Для преобразования формул в равносильные важную роль играют основные равносильности, выражающие одни логические операции через другие, равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

Для любых формул А , В , С справедливы равносильности.

I. Основные равносильности

закон идемпотентности

1-истина

0-ложь

Закон противоречия

Закон исключенного третьего

закон поглощения

формулы расщепления

закон склеивания

II. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

закон де Моргана

III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

коммутативный закон

ассоциативный закон

дистрибутивный закон

15. Формулы логики высказываний.

Виды формул классической логики высказываний – в логике высказываний различают следующие виды формул:

1. Законы (тождественно-истинные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «истинно» ;

2. Противоречия (тождественно-ложные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «ложно» ;

3. Выполнимые формулы – такие, которые принимают значение «истинно» хотя бы при одном наборе значений истинности входящих в их состав пропозициональных переменных.

Основные законы классической логики высказываний:

1. Закон тождества: ;

2. Закон противоречия: ;

3. Закон исключенного третьего: ;

4. Законы коммутативности и : , ;

5. Законы дистрибутивности относительно ,и наоборот: , ;

6. Закон удаления истинного члена конъюнкции: ;

7. Закон удаления ложного члена дизъюнкции: ;

8. Закон контрапозиции: ;

9. Законы взаимовыразимости пропозициональных связок: , , , , , .

Процедура разрешимости – метод, позволяющий для каждой формулы установить является она законом, противоречием или выполнимой формулой. Самой распространенной процедурой разрешимости является метод истинностных таблиц. Однако он не единственный. Эффективным методом разрешимости является метод нормальных форм для формул логики высказываний. Нормальной формой формулы логики высказываний является форма, не содержащая знака импликации « ». Различают конъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы. Конъюнктивная форма содержит только знаки конъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к конъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является противоречием . Дизъюнктивная форма содержит только знаки дизъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к дизъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является законом . Во всех остальных случаях формула является выполнимой формулой .

16. Предикаты и операции над ними. Кванторы.

Предложение, содержащее одну или несколько переменных и которое при конкретных значениях переменных является высказыванием, называется высказывательной формой или предикатом.

В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные, трехместные и т.д. предикаты, обозначаемые соответственно: А(х ), В(х , у ), С(х , у , z ).

Если задан некоторый предикат, то с ним связаны два множества:

1. Множество (область) определения Х , состоящее из всех значений переменных, при подстановке которых в предикат последний обращается в высказывание. При задании предиката обычно указывают его область определения.

2. Множество истинности Т, состоящее из всех тех значений переменных, при подстановке которых в предикат получается истинное высказывание.

Множество истинности предиката всегда является подмножеством его области определения, то есть .

Над предикатами можно совершать те же операции, что и над высказываниями.

1. Отрицанием предиката А(х ), заданного на множестве Х, называется предикат , истинный при тех значениях , при которых предикат А(х ) обращается в ложное высказывание, и наоборот.

Из данного определения следует, что предикаты А(х ) и В(х ) не являются отрицаниями друг друга, если найдется хотя бы одно значение , при котором предикаты А(х ) и В(х ) обращаются в высказывания с одинаковыми значениями истинности.

Множество истинности предиката является дополнением к множеству истинности предиката А(х ). Обозначим через Т А множество истинности предиката А(х ), а через Т - множество истинности предиката . Тогда .

2. Конъюнкцией предикатов А(х ) и В(х х ) В(х х Х, при которых оба предиката обращаются в истинные высказывания.

Множество истинности конъюнкции предикатов есть пересечение множеств истинности предиката А(х ) В(х ). Если обозначить множество истинности предиката А(х) через Т А, а множество истинности предиката В(х) через Т В и множество истинности предиката А(х) В(х) через , то

3. Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат А(х ) В(х ), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х Х, при которых хотя бы один из предикатов обратился в истинное высказывание.

Множество истинности дизъюнкции предикатов есть объединение множеств истинности образующих ее предикатов, т.е. .

4.Импликацией предикатов А(х ) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат А(х ) В(х ), который ложен при тех и только тех значениях переменной, при которых первый предикат обращается в истинное высказывание, а второй – в ложное.

Множество истинности импликации предикатов есть объединение множества истинности предиката В(х ) с дополнением к множеству истинности предиката А(х ), т.е.

5. Эквиваленцией предикатов А(х ) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат , который обращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях переменной, при которых оба предиката обращаются либо в истинные высказывания, либо в ложные высказывания.

Множество истинности эквиваленции предикатов есть пересечение множества истинности предиката с множеством истинности предиката .

Кванторные операции над предикатами

Предикат можно перевести в высказывание способом подстановки и способом «навешивание квантора».

Про числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 можно сказать: а) все данные числа простые; б) некоторые из данных чисел четные.

Так как относительно этих предложений можно сказать, что они истинны или ложны, то полученные предложения – высказывания.

Если из предложения «а» убрать слово «все», а из предложения «б» - слово «некоторые», то получим следующие предикаты: «данные числа простые», «данные числа нечетные».

Слова «все» и «некоторые» называются кванторами. Слово «квантор» латинского происхождения и означает «сколько», т. е. квантор показывает, о скольких (всех или некоторых) объектах говорится в том или ином предложении.

Различают два основных вида кванторов: квантор общности и квантор существования.

Термины «всякий», «любой», «каждый» носят название – квантор всеобщности. Обозначается .

Пусть А(х ) – определенный предикат, заданный на множестве Х. Под выражением А(х ) будем понимать высказывание истинное, когда А(х ) истинно для каждого элемента из множества Х, и ложное в противном случае.R .

В примере 1 для R 1 область определения: , множество значений - . Для R 2 область определения: , множество значений: .

Во многих случаях удобно использовать графическое изображение бинарного отношения. Оно осуществляется двумя способами: с помощью точек на плоскости и с помощью стрелок.

В первом случае выбирают две взаимно перпендикулярные линии в качестве горизонтальной и вертикальной осей. На горизонтальной оси откладывают элементы множества A и через каждую точку проводят вертикальную линию. На вертикальной оси откладывают элементы множества B , через каждую точку проводят горизонтальную линию. Точки пересечения горизонтальных и вертикальных линий изображают элементы прямого произведения

18. Способы задания бинарных отношений.

Всякое подмножество декартова произведения A×B называется бинарным отношением, определенным на паре множеств A и B (по латыни «бис» обозначает «дважды»). В общем случае по аналогии с бинарными можно рассматривать и n-арные отношения как упорядоченные последовательностиn элементов, взятых по одному из n множеств.

Для обозначения бинарного отношения применяют знак R. Поскольку R- это подмножество множества A×B, то можно записать R⊆A×. Если же требуется указать, что (a, b) ∈ R, т. е. между элементами a ∈ A и b ∈ B существует отношение R, то пишут aRb.

Способы задания бинарных отношений:

1. Это использование правила, согласно которому указываются все элементы, входящие в данное отношение. Вместо правила можно привести список элементов заданного отношения путем непосредственного их перечисления;

2. Табличный, в виде графов и с помощью сечений. Основу табличного способа составляет прямоугольная система координат, где по одной оси откладываются элементы одного множества, по второй - другого. Пересечения координат образуют точки, обозначающие элементы декартова произведения.

На (рисунке 1.16) изображена координатная сетка для множеств. Точкам пересечения трех вертикальных линий с шестью горизонтальными соответствуют элементы множества A×B. Кружочками на сетке отмечены элементы отношения aRb, где a ∈ A и b ∈ B, R обозначает отношение «делит».

Бинарные отношения задаются двухмерными системами координат. Очевидно, что все элементы декартова произведения трех множеств аналогично могут быть представлены в трехмерной системе координат, четырех множеств- в четырехмерной системе и т. д;

3. Способ задания отношений с помощью сечений используется реже, поэтому рассматривать его не будем.

19. Рефлексивность бинарного отношения. Пример.

В математике бинарное отношение на множестве называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении с самим собой.

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент имеет петлю - дугу (х, х).

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества, то отношение называется антирефлексивным.

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли - нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения определяется как: .

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества, говорят, что отношение нерефлексивно.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-12

1.1 . Какие из следующих предложений являются высказываниями?

а) Москва  столица России.

б) Студент физико-математического факультета педагогического института.

в) Треугольник ABC подобен треугольнику А"В"С".

г) Луна есть спутник Марса.

е) Кислород  газ.

ж) Каша  вкусное блюдо.

з) Математика  интересный предмет.

и) Картины Пикассо слишком абстрактны.

к) Железо тяжелее свинца.

л) Да здравствуют музы!

м) Треугольник называется равносторонним, если его стороны равны.

н) Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонние.

о) Сегодня плохая погода.

п) В романе А. С. Пушкина «Евгений Онегин» 136 245 букв.

р) Река Ангара впадает в озеро Байкал.

Решение . б) Это предложение не является высказыванием, потому что оно ничего не утверждает о студенте.

в) Предложение не является высказыванием: мы не можем определить, истинно оно или ложно, потому что не знаем, о каких именно треугольниках идет речь.

ж) Предложение не является высказыванием, так как понятие «вкусное блюдо» слишком неопределенно.

п) Предложение  высказывание, но для выяснения его значения истинности нужно затратить немало времени.

1.2. Укажите, какие из высказываний предыдущей задачи истинные, а какие  ложные.

1.3. Сформулируйте отрицания следующих высказываний; укажите значения истинности данных высказываний и их отрицаний:

а) Волга впадает в Каспийское море.

б) Число 28 не делится на число 7.

д) Все простые числа нечетны.

1.4. Установите, какие из высказываний в следующих парах являются отрицаниями друг друга и какие  нет (объясните почему):

а) 2 < 0, 2 > 0. -

б) 6 < 9, 6  9.

в) «Треугольник ABC прямоугольный», «Треугольник ABC тупоугольный».

г) «Натуральное число n четно», «Натуральное число n нечетно».

д) «Функция f нечетна», «Функция f четна».

е) «Все простые числа нечетны», «Все простые числа четны».

ж) «Все простые числа нечетны», «Существует простое четное число».

з) «Человеку известны все виды животных, обитающих на Земле», «На Земле существует вид животных, не известный человеку».

и) «Существуют иррациональные числа», «Все числа рациональные».

Решение. а) Высказывание «2 > 0» не является отрицанием "высказывания «2 < 0», потому что требование не быть меньше 0 оставляет две возможности: быть равным 0 и быть больше 0. Таким образом, отрицанием высказывания «2 < 0» является высказывание «2  0».

1.5. Следующие высказывания запишите без знака отрицания:

а)
; в)
;

б)
; г)
.

1.6.

а) Ленинград расположен на Неве и 2 + 3 = 5.

б) 7  простое число и 9  простое число.

в) 7  простое число или 9  простое число.

г) Число 2 четное или это число простое.

д) 2  3, 2  3, 2 2  4, 2 2  4.

е) 2 2 = 4 или белые медведи живут в Африке.

ж) 2 2 = 4, и 2 2  5, и 2 2  4.

Решение. а) Так как оба простых высказывания, к которым применяется операция конъюнкции, истинны, поэтому на основании определения этой операции и их конъюнкция есть истинное высказывание.

1.7. Определите значения истинности высказываний А, В, С, D и Е, если:

 истинные высказывания, а

 ложные.

Решение. в) Дизъюнкция высказываний есть истинное высказывание лишь в случае, когда по меньшей мере одно из входящих в дизъюнкцию составляющих высказываний (членов дизъюнкции) истинно. В нашем случае второе составляющее высказывание «2 2 = 5» ложно, а дизъюнкция двух высказываний истинна. Поэтому первое составляющее высказывание С истинно.

1.8. Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции или дизъюнкции условие истинности каждого предложения (а и b - действительные числа):

а)
г)ж)

б)
д)
з)

в)
е)
и)

Решение. г) Дробь равна нулю лишь в случае, когда числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю, т. е. (а = 0) & (b  0).

1.9. Определите значения истинности следующих высказываний:

а) Если 12 делится на 6, то 12 делится на 3.

б) Если 11 делится на 6, то 11 делится на 3.

в) Если 15 делится на 6, то 15 делится на 3.

г) Если 15 делится на 3, то 15 Делится на 6.

д) Если Саратов расположен на Неве, то белые медведи обитают в Африке.

е) 12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3.

ж) 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3.

з) 15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3.

и) 15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4.

к) Тело массой m обладает потенциальной энергией mgh тогда и только тогда, когда оно находится на высоте h над поверхностью земли.

Решение. а) Так как высказывание-посылка «12 делится на 6» истинно и, высказывание-следствие «12 делится на 3» истинно, то и составное высказывание на основании определения импликации также истинно.

ж) Из определения эквивалентности видим, что высказывание вида
истинно, если логические значения высказыванийР и Q совпадают, и ложно в противном случае. В данном примере оба высказывания к которым применяется связка «тогда и только тогда», ложны. Поэтому все составное высказывание истинно.

1.10. Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а через В  высказывание «8 делится на 3». Определите значения истинности следующих высказываний:

а)
г)
ж)
к)

б)
д)
з)
л)

в)
е)
и)
м)

Решение. е) Имеем
,
. Поэтому

1.11.

а) Если 4  четное число, то А.

б) Если В, то 4  нечетное число.

в) Если 4  четное число, то С.

г) Если D, то 4  нечетное число.

Решение. а) Импликация двух высказываний есть ложное высказывание лишь в единственном случае, когда посылка истинна, а заключение ложно. В данном случае посылка «4  четное число» истинна и по условию все высказывание также истинно. Поэтому заключение А ложным быть не может, т. е. высказывание А истинно.

1.12. Определите значения истинности высказываний А, В, С и D в следующих предложениях, из которых первые два истинны, а последние два ложны:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

1.13. Пусть через А обозначено высказывание «Этот треугольник равнобедренный», а через В  высказывание «Этот треугольник равносторонний». Прочитайте следующие высказывания:

а)
г)

б)
д)

в)
е)

Решение. е) Если треугольник равнобедренный и неравносторонний, то неверно, что он неравнобедренный.

1.14. Следующие составные высказывания расчлените на простые и запишите символически, введя буквенные обозначения для простых их составляющих:

а) Если 18 делится на 2 и не делится на 3, то оно не делится на 6.

б) Произведение трех чисел равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю.

в) Если производная функция в точке равна нулю и вторая производная этой функции в той же точке отрицательна, то данная точка есть точка максимума этой функции.

г) Если в треугольнике медиана не является высотой и биссектрисой, то этот треугольник не равнобедренный и не равносторонний.

Решение. г) Выделим и следующим образом обозначим простейшие составляющие высказывания:

А: «В треугольнике медиана является высотой»;

В: «В треугольнике медиана является биссектрисой»;

С: «Этот треугольник равнобедренный»;

D: «Этот треугольник равносторонний».

Тогда данное высказывание символически записывается так:

1.15. Из двух данных высказываний А и В постройте составное высказывание с помощью операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, которое было бы:

а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания ложны;

б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания истинны.

1.16. Из трех данных высказываний А, В, С постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае.

1.17. Пусть высказывание
истинно. Что можно сказать о логическом значении высказывания?

1.18. Если высказывание
истинно (ложно), то что можно сказать о логическом значении высказываний:

а)
; б)
; в)
; г)
?

1.19. Если высказывание
истинно, а высказывание
ложно, то что можно сказать о логическом значении высказывания
?

1.20. Существуют ли три таких высказывания А, В, С, чтобы одновременно высказывание
было истинным, высказывание
 ложным и высказывание
 ложным?

1.21. Для каждого из помещенных ниже высказываний определите, достаточно ли приведенных сведений, чтобы установить его логическое значение. Если достаточно, то укажите это значение. Если недостаточно, то покажите, что возможны и одно, и другое истинностные значения:

Решение. а) Поскольку заключение импликации истинно, то и вся импликация будет истинным высказыванием независимо от логического значения посылки.

Относительно понятий и отношений между ними можно высказы­вать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Предложения, используемые в математике, могут быть записаны как в словесной форме, так и в символической. Предложения могут нести верную или ложную информацию.

Высказыванием называется любое повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Пример . Следующие предложения являются высказываниями:

1) Все студенты МГПУ – отличники (ложное высказывание),

2) На Кольском полуострове водятся крокодилы (ложное высказывание),

3) Диагонали прямоугольника равны (истинное высказывание),

4) Уравнение не имеет действительных корней (истинное высказывание),

5) Число 21 – четное (ложное высказывание).

Следующие предложения не являются высказываниями:

Какая погода будет завтра?

х – натуральное число,

745 + 231 – 64.

Высказывания принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С,…, Z .

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания . Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, одновременно быть и тем, и другим, оно не может.

Запись [ А ] = 1 означает, что высказываниеА – истинно .

А запись [ А ] = 0 означает, что высказываниеА – ложно .

Предложение
не является высказыванием, так как о нем невозможно сказать: истинно оно или ложно. При подстановке конкретных значений переменнойх оно обращается в высказывание: истинное или ложное.

Пример . Если
, то
– ложное высказывание, а если
, то
– истинное высказывание.

Предложение
называетсяпредикатом или высказывательной формой . Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.

Предикатом называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание всякий раз при подстановке вместо переменных их значений.

В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные, трехместные и т.д. предикаты, которые обозначаются: и т.д.

Пример . 1)
– одноместный предикат,

2) «Прямая х перпендикулярна прямой у » – двухместный предикат.

Также в предикатах переменные могут содержаться неявно. В предложениях: «Число четное», «две прямые пересекаются» переменных нет, но они подразумеваются: «Число х – четное», «две прямые х и у пересекаются».

При задании предиката указывают его область определения – множество, из которого выбираются значения переменных, входящих в предикат.

Пример . Неравенство
можно рассматривать на множестве натуральных чисел, а можно считать, что значение переменной выбирается из множества действительных чисел. В первом случае областью определения неравенства
будет множество натуральных чисел, а во втором – множество действительных чисел.

Одноместным предикатом , заданным на множестве Х , называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него переменной из множества Х .

Множеством истинности одноместного предиката называется множество тех значений переменной из области ее определения, при подстановке которых предикат обращается в истинное высказывание.

Пример . Множеством истинности предиката
, заданном на множестве действительных чисел, будет промежуток
. Множество истинности предиката
, заданном на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 2.

Множество истинности двухместного предиката
состоит из всех таких пар
при подстановке которых в этот предикат получается истинное высказывание.

Пример . Пара
принадлежит множеству истинности предиката
, т.к.
– истинное высказывание, а пара
не принадлежит, т.к.
– ложное высказывание.

Высказывания и предикаты могут быть как простыми, так и сложными (составными). Сложные предложения образуются из простых с помощью логических связок – слов «и », «или », «если…, то … », «тогда и только тогда, когда… ». С помощью частицы «не » или словосочетания «неверно, что » можно из данного предложения получить новое. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными .

Примеры . Составные предложения:

Число 42 – четное и делится на 7. Образовано из двух элементарных предложений: Число 42 четное, число 42 делится на 7 и составлено с помощью логической связки «и ».

Число х больше или равно 5. Образовано из двух элементарных предложений: Число х больше 5 и число х равно 5 и составлено с помощью логической связки «или ».

Число 42 не делится на 5. Образовано из предложения: Число 42 делится на 5 с помощью частицы «не ».

Значение истинности элементарного высказывания определяют, исходя из его содержания с опорой на известные знания. Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и уметь выявлять логическую структуру высказывания.

Пример . Выявим логическую структуру предложения: «Если углы вертикальны, то они равны». Оно состоит из двух элементарных предложений: А – углы вертикальные, В – углы равны. Соединены они в одно составное предложение с помощью логической связки «если…, то… ». Данное составное предложение имеет логическую структуру (форму): «если А, то В ».

Выражение «для любого х » или «для всех х » или «для каждого х » называется квантором общности и обозначается
.

при помощи квантора общности, обозначается:
и читается: «Для любого значениях из множества Х имеет место
».

Выражение «существует х » или «для некоторых х » или «найдется такое х » называется квантором существования и обозначается
.

Высказывание, полученное из высказывания или предиката
при помощи квантора существования, обозначается:
и читается: «Для некоторыхх из множества Х имеет место
» или «Существует (найдется) такое значениех из Х , что имеет место
».

Кванторы общности и существования употребляются не только в математических выражениях, но и в повседневной речи.

Пример . Следующие высказывания содержат квантор общности:

а) Все стороны квадрата равны; б) Каждое целое число является действительным; в) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; г) У всех студентов есть зачетная книжка.

Следующие высказывания содержат квантор существования:

а) Существуют числа, кратные 5; б) Найдется такое натуральное число , что
; в) В некоторых студенческих группах учатся кандидаты в мастера спорта; г) Хотя бы один угол в треугольнике острый.

Высказывание
являетсяистинным
– тождество, т.е. принимает истинные значения при подстановке в него любых значений переменной.

Пример . Высказывание
истинно.

Высказывание
ложно , если при некотором значении переменной х предикат

Пример . Высказывание
ложно, т.к. при
предикат
превращается в ложное высказывание.

Высказывание
являетсяистинным тогда и только тогда, когда предикат
не является тождественно ложным, т.е. при некотором значении переменнойх предикат

Пример . Высказывание
истинно, т.к. при
предикат
превращается в истинное высказывание.

Высказывание
ложно , если предикат
является противоречием, т.е. тождественно ложным высказыванием.

Пример . Высказывание
ложно, т.к. предикат
является тождественно ложным.

Пусть предложение А – высказывание. Если перед сказуемым данно­го предложения поставить частицу «не » либо перед всем предложением поставить слова «неверно, что », то получится новое предложение, кото­рое называется отрицанием данного и обозначается:  А или (читают: «не А» или «неверно, что А »).

Пример . Если высказывание А : «Вертикальные углы равны», то отрицание этого высказывания  А : «Вертикальные углы не равны». Первое из этих высказываний истинное, а второе – ложное.

Для построения отрицания высказываний с кванторами надо:

квантор общности заменить квантором существования или наоборот;

высказывание заменить его отрицанием (поставить перед глаголом частицу «не »).

На языке математических символов это запишется так.

Логика, созданная как наука Аристотелем (384-322 г. до н.э.), на протяжении столетий использовалась для развития многих областей знания, включая теологию, философию, математику.

Она - тот фундамент, на котором построено все здание математики. По сути, логика — это наука о рассуждениях, которая позволяет определить истинность или ложность того или иного математического утверждения, исходя из совокупности первичных предположений, называемых аксиомами. Логика применяется также в информатике для построения компьютерных программ и доказательства их корректности. Понятия, методы и средства логики лежат в основе современных информационных технологий. Одна из основных целей этой работы — изложить основы математической логики, показать, как она используется в информатике, и разработать методы анализа и доказательства математических утверждений.

Логические представления - описание исследуемой сис-темы, процесса, явления в виде совокупности сложных высказываний, составленных из простых (элементарных) высказываний и логических связок между ними. Логические представления и их составляющие характеризуются опре-деленными свойствами и набором допустимых преобразо-ваний над ними (операций, правил вывода и т.п.), реализую-щих разработанные в формальной (математической) логике правильные методы рассуждений — законы логики .

Понятие высказывания

Высказывание — это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Иными словами, утверждение об истинности или ложности высказывания должно иметь смысл. Истинность или ложность, приписываемые некоторому утверждению, называются его значением истинности , или истинностным значением.

Например, высказывания Дважды два четыре и Город Челябинск находится в азиатской части России истинные, а высказывания Три больше пяти и Река Дон в настоящее время впадает в Каспийское море ложны, так как не соответствуют действительности. Истинные высказывания принято обозначать T (true ) или И (истина ), а ложные, соответственно, F (false ) или Л (ложь ). В информатике истинность принято обозначать 1 (двоичная единица), а ложность - 0 (двоичный ноль).

Вот примеры предложений, не являющихся высказываниями:

Кто вы? (вопрос),

Прочтите эту главу до следующего занятия (приказ или восклицание),

Это утверждение ложно (внутренне противоречивое утверждение),

Площадь отрезка меньше длины куба (нельзя сказать истинно это предложение или ложно, т.к. не имеет смысла).

Мы будем обозначать высказывания буквами латинского алфавита р , q , r , Например, р может обозначать утверждение Завтра будет дождь , а q — утверждение Квадрат целого числа есть число положительное .

Логические связки

В обыденной речи для образования сложного предложения из простых используются связки — особые части речи, соединяющие отдельные предложения. Наиболее часто употребляются связки и , или , не , если ... то , только если , и тогда и только тогда . В отличие от обыденной речи, в логике смысл таких связок должен быть определен однозначно. Истинность сложного высказывания однозначно определяется истинностью или ложностью составляющих его частей. Высказывание, не содержащее связок, называется простым . Высказывание, содержащее связки, называется сложным . Логические связки также называют логическими операциями над высказываниями.

Пусть р и q обозначают высказывания

р: Джейн водит автомобиль,

q: У Боба русые волосы.

Сложное высказывание

Джейн водит автомобиль и у Боба русые волосы состоит из двух частей, объединенных связкой и . Это высказывание может быть символически записано в виде

где символ обозначает слово и на языке символических выражений. Выражение называется конъюнкцией высказываний р и q .

Встречаются также следующие варианты записи конъюнкции:

Точно так же высказывание

Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы.

символически выражается как

где обозначает слово или в переводе на символический язык. Выражение называется дизъюнкцией высказываний р и q .

Опровержение, или отрицание высказывания p обозначается через

Таким образом, если р есть высказывание Джейн водит автомобиль , то - это утверждение Джейн не водит автомобиль .

Если r есть высказывание Джо нравится информатика , то Джейн не водит автомобиль и у Боба русые волосы или Джо любит информатику символически запишется как

.

И наоборот, выражение

это символическая форма записи высказывания Джейн водит автомобиль, у Боба волосы не русые и Джо нравится информатика .

Рассмотрим выражение . Если некто говорит: "Джейн водит автомобиль и у Боба русые волосы" , то мы, естественно, представляем себе Джейн за рулем автомобиля и русоволосого Боба. В любой другой ситуации (например, если Боб не русоволос или Джейн не водит автомобиль) мы скажем, что говорящий не прав.

Возможны четыре случая, которые нам необходимо рассмотреть. Высказывание р может быть истинным (Т ) или ложным (F ) и независимо от того, какое истинностное значение принимает р , высказывание q может также быть истинным (Т ) или ложным (F ). Таблица истинности перечисляет все возможные комбинации истинности и ложности сложных высказываний.

Итак, конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания p и q , то есть в случае 1.

Точно так же рассмотрим высказывание Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы , которое символически выражается как . Если некто скажет: "Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы", то он будет не прав только тогда, когда Джейн не сможет управлять автомобилем, а Боб не будет русоволосым. Для того чтобы все высказывание было истинным, достаточно, чтобы одна из двух составляющих его компонент была истинной. Поэтому имеет таблицу истинности

Дизъюнкция ложна только в случае 4, когда оба р и q ложны.

Таблица истинности для отрицания имеет вид

Истинностное значение всегда противоположно истинностному значению р. В таблицах истинности отрицание всегда оценивается первым, если только за знаком отрицания не следует высказывание, заключенное в скобки. Поэтому интерпретируется как , так что отрицание применяется только к р . Если мы хотим отрицать все высказывание, то это записывается как .

Символы и называют бинарными связками, так как они связывают два высказывания. Символ ~ является унарной связкой, так как применяется только к одному высказыванию.

Еще одна бинарная связка - это исключающее или, которое обозначается через . Высказывание истинно, когда истинно p или q , но не оба одновременно. Эта связка имеет таблицу истинности

Используя слово или , мы можем иметь в виду исключающее или . Например, когда мы говорим, что р — либо истина, либо ложь, то, естественно, предполагаем, что это не выполняется одновременно. В логике исключающее или используется довольно редко, и в дальнейшем мы, как правило, будем обходиться без него.

Рассмотрим высказывание

,

где скобки использованы, чтобы показать, какие именно высказывания являются компонентами каждой связки.

Таблица истинности дает возможность однозначно указать те ситуации, когда высказывание является истинным; при этом мы должны быть уверены, что учтены все случаи. Поскольку сложное высказывание содержит три основных высказывания р , q и r , то возможны восемь случаев

Случай	p	q	r
	T	T	T	F	F	T
	T	T	F	F	F	T
	T	F	T	T	T	T
	T	F	F	T	F	T
	F	T	T	F	F	F
	F	T	F	F	F	F
	F	F	T	T	T	T
	F	F	F	T	F	F

При нахождении значений истинности для столбца мы используем столбцы для и r , а также таблицу истинности для . Таблица истинности для показывает, что высказывание истинно лишь в том случае, когда истинны оба высказывания и r . Это имеет место лишь в случаях 3 и 7.

Заметим, что при определении значений истинности для столбца играет роль только истинность высказываний p и . Таблица истинности для показывает, что единственный случай, когда высказывание, образованное с помощью связки или , ложно, — это случай, когда ложны обе части этого высказывания. Такая ситуация имеет место только в случаях 5, 6 и 8.

Другой, эквивалентный способ построения таблицы истинности состоит в том, чтобы записывать истинностные значения выражения под связкой. Снова рассмотрим выражение. Сначала мы записываем истинностные значения под переменными р , q и r . Единицы под столбцами истинностных значений указывают на то, что этим столбцам истинностные значения присваиваются в первую очередь. В общем случае число под столбцом будет показывать номер шага, на котором производятся вычисления соответствующих истинностных значений. Затем мы записываем под символом ~ истинностные значения высказывания . Далее записываем истинностные значения под символом . Наконец, записываем значения высказывания под символом .

1.1.3. Условные высказывания

Допустим, некто утверждает, что если случится одно событие, то случится и другое. Предположим, отец говорит сыну: "Если в этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично», я куплю тебе машину ". Заметьте, что высказывание имеет вид: если р, то q , где р — высказывание В этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично» , а q — высказывание Я куплю тебе машину . Сложное высказывание мы обозначим символически через . Спрашивается, при каких условиях отец говорит правду? Предположим, высказывания р и q истинны. В этом случае счастливый студент получает отличные оценки по всем предметам, и приятно удивленный отец покупает ему машину. Естественно, ни у кого не вызывает сомнения тот факт, что высказывание отца было истинным. Однако существуют еще три других случая, которые необходимо рассмотреть. Допустим, студент действительно добился отличных результатов, а отец не купил ему машину.

Самое мягкое, что можно сказать об отце в таком случае, — это то, что он солгал. Следовательно, если р истинно, а q ложно, то ложно. Допустим теперь, что студент не получил положительные оценки, но отец тем не менее купил ему машину. В этом случае отец предстает очень щедрым, но его никак нельзя назвать лжецом. Следовательно, если р ложно и q истинно, то высказывание если р, то q (т.е. ) истинно. Наконец, предположим, что студент не добился отличных результатов, и отец не купил ему машину.

Поскольку студент не выполнил свою часть соглашения, отец тоже свободен от обязательств. Таким образом, если р и q ложны, то считается истинным. Итак, единственный случай, когда отец солгал, — это когда он дал обещание и не выполнил его.

Таким образом, таблица истинности для высказывания имеет вид

Символ называется импликацией , или условной связкой .

Может показаться, что носит характер причинно-следственной связи, но это не является необходимым. Чтобы увидеть отсутствие причины и следствия в импликации, вернемся к примеру, в котором р есть высказывание Джейн управляет автомобилем , а q — утверждение У Боба русые волосы . Тогда высказывание Если Джейн управляет автомобилем, то у Боба русые волосы запишется как

если p , то q или как .

То, что Джейн управляет автомобилем, никак причинно не связано с тем, что Боб русоволосый. Однако нужно помнить, что истинность или ложность бинарного сложного высказывания зависит только от истинности составляющих его частей и не зависит от наличия или отсутствия между ними какой-либо связи.

Рассмотрим следующий пример. Требуется найти таблицу истинности для выражения

.

Используя таблицу истинности для , приведенную выше, построим сначала таблицы истинности для и , учитывая, что импликация ложна только в случае, когда .

Теперь используем таблицу для , чтобы получить для высказывания

таблицу истинности

Высказывание вида обозначается через . Символ называется эквиваленцией . Эквиваленция также иногда обозначается как (не следует путать с унарной операцией отрицания).