Возведение в степень произведения. Формулы степеней и корней. Возведение в степень онлайн
Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.
Число c является n -ной степенью числа a когда:
Операции со степенями.
1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m ·a n = a m + n .
2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:
(a/b) n = a n /b n .
5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:
(a m) n = a m n .
Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.
Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .
Операции с корнями.
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:
3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:
5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:
Формулу a m :a n =a m - n можно использовать не только при m > n , но и при m < n .
Например . a 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Чтобы формула a m :a n =a m - n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.
Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней
Запомните!
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
a m · a n = a m + n , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
- Упростить выражение.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Представить в виде степени.
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17 - Представить в виде степени.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Важно!
Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.
Нельзя
заменять сумму
(3 3 + 3 2)
на 3 5
. Это понятно, если
посчитать
(3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36
, а
3 5 = 243
Свойство № 2
Частное степеней
Запомните!
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 443 8: t = 3 4
T = 3 8 − 4
Ответ: t = 3 4 = 81Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
- Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5 - Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Важно!
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4
Будьте внимательны!
Свойство № 3
Возведение степени в степеньЗапомните!
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
(a n) m = a n · m , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.
Свойства 4
Степень произведенияЗапомните!
При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
(a · b) n = a n · b n , где «a », «b » — любые рациональные числа; «n » — любое натуральное число.
- Пример 1.
(6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2 - Пример 2.
(−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6
Важно!
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
(a n · b n)= (a · b) nТо есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
- Пример. Вычислить.
2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000 - Пример. Вычислить.
0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4Свойства 5
Степень частного (дроби)Запомните!
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
(a: b) n = a n: b n , где «a », «b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.
- Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.
- Пример 1.
В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень . В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.
Навигация по странице.
Что значит «возведение в степень»?
Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.
Определение.
Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.
Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».
Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.
Возведение числа в натуральную степень
На практике равенство на основании обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .
Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.
Пример.
Вычислите значение степени .
Решение.
Покажем два способа решения.
Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .
Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень .
Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.
Ответ:
Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.
Пример.
Вычислите (44,89) 2,5 .
Решение.
Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью ): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:
Ответ:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.
В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3 .
Возведение в иррациональную степень
Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем . При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.
Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.
В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367... . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
Возведение в степень – операция, тесно связанная с умножением, это операция – результат многократного умножения какого-либо числа на само себя. Изобразим формулой: a1 * a2 * … * an = an .
Например, а=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Вообще возведение в степень часто используется в различных формулах по математике и физике. Эта функция имеет более научное предназначение, чем четыре основные: Сложение , Вычитание , Умножение , Деление .
Возведение числа в степень
Возведение числа в степень – операция не сложная. Оно связано с умножением подобно связи умножения и сложения. Запись an – краткая запись n-ого количество чисел «а» умноженных друг на друга.
Рассмотри возведение в степень на самых простых примерах, переходя к сложным.
Например, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Четыре в квадрате (во второй степени) равно шестнадцати. Если вам не понятно умножение 4 * 4 , то читайте нашу стать об умножении .
Рассмотрим еще одни пример: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Пять в кубе (в третьей степени) равно ста двадцати пяти.
Еще один пример: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Девять в кубе равняется семи сотням двадцати девяти.
Формулы возведения в степень
Чтобы грамотно возводить в степень нужно помнить и знать формулы, указанные ниже. В этом нет ничего сверх естественного, главное понять суть и тогда они не только запомнятся, но и покажутся легкими.
Возведение одночлена в степень
Что из себя представляет одночлен? Это произведение чисел и переменных в любом количестве. Например, двух – одночлен. И вот именно о возведении в степень таких одночленов данная статья.
Пользуясь формулами возведения в степень вычислить возведение одночлена в степень будет не трудно.
Например, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6 ; Если возводить одночлен в степень, то в степень возводится каждая составная одночлена.
Возводя в степень переменную уже имеющую степень, то степени перемножаются. Например, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Возведение в отрицательную степень
Отрицательная степень – обратное число. Что такое обратное число? Любому числу Х обратным будет 1/X. То есть Х-1=1/X. Это и есть суть отрицательной степени.
Рассмотрим пример (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Почему так? Так как в степени имеется минус, то просто переносим в знаменатель данное выражение, а затем возводим в его в третью степень. Просто не так ли?
Возведение в дробную степень
Начнем рассмотрение вопрос на конкретном примере. 43/2. Что означает степень 3/2? 3 – числитель, означает возведение числа (в данном случае 4) в куб. Число 2 – знаменатель, это извлечение корня второй степени из числа (в данном случае 4).
Тогда получаем квадратный корень из 43 = 2^3 = 8 . Ответ: 8.
Итак, знаменатель дробной степени может быть, как 3, так и 4 и до бесконечности любым числом и это число определяет степень квадратного корня, извлекаемого из заданного числа. Конечно же, знаменатель не может быть равным нулю.
Возведение корня в степень
Если корень возводится в степень, равной степени самого корня, то ответом будет подкоренное выражение. Например, (√х)2 = х. И так в любом случае равенства степени корня и степени возведения корня.
Если (√x)^4. То (√x)^4=x^2. Чтобы проверить решение переведем выражение в выражение с дробной степенью. Так как корень квадратный, то знаменатель равен 2. А если корень возводится в четвертую степень, то числитель 4. Получаем 4/2=2. Ответ: x = 2.
В любом случае лучший вариант просто перевести выражение в выражение с дробной степенью. Если не будет сокращаться дробь, значит такой ответ и будет, при условии, что корень из заданного числа не выделяется.
Возведение в степень комплексного числа
Что такое комплексное число? Комплексное число – выражение, имеющее формулу a + b * i; a, b – действительные числа. i – число, которое при возведение в квадрат дает число -1.
Рассмотрим пример. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.
Возведение в степень онлайн
С помощью нашего калькулятора, Вы сможете посчитать возведение числа в степень:
Возведение в степень 7 класс
Возведение в степень начинают проходить школьники только в седьмом классе.
Возведение в степень – операция, тесно связанная с умножением, это операция – результат многократного умножения какого-либо числа на само себя. Изобразим формулой: a1 * a2 * … * an=an .
Например, а=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8 .
Примеры для решения:
Возведение в степень презентация
Презентация по возведению в степень, рассчитанную на семиклассников. Презентация может разъяснить некоторые непонятные моменты, но, вероятно, таких моментов не будет благодаря нашей статье.
Итог
Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет - НЕ ментальная арифметика.
Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.