Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения линейного однородного дифееренциального уравнения. ФСР. Определитель Вронского и его свойства. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
см. также Решение линейных дифференциальных уравнений онлайн
Поиск фундаментальной системы решений в общем случае является достаточно трудной задачей. Тем не менее, есть класс уравнений, для которого эта задача достаточно легко решается. К изучению этого класса мы и приступаем.
(*)
Линейное дифференциальное уравнение (*) назовём уравнением с постоянными коэффициентами, если в этом уравнении коэффициенты постоянны, то есть a i (x)=const. Тогда соответствующее однородное уравнение L(y)=0 будет иметь вид
. (6)
Решение уравнения (6) будем искать в виде y = e rx . Тогда y" = r·e rx , y"" = r 2 ·e rx ,…, y (n) = r n ·e rx . Подставляя в (6), получаем
Так как e rx нигде в нуль не обращается, то
. (7)
Уравнение (7) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами .
Таким образом, нами доказана следующая теорема. Теорема. Функция y = e rx является решением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (6) тогда и только тогда, когда r есть корень характеристического уравнения (7).
Возможны ниже следующие случаи.
1. Все корни характеристического многочлена вещественны и различны. Обозначим их r 1 ,r 2 ,…,r n . Тогда получим n различных решений
y 1 = e r1x , y 2 = e r2x ,…, y n = e rnx (8)
уравнения (6). Докажем, что полученная система решений линейно независима. Рассмотрим её определитель Вронского
.
Множитель e (r 1+ r 2+..+ rn) x в правой части W(e r 1 x , e r 2 x ,…, e rnx) нигде в нуль не обращается. Поэтому осталось показать, что второй сомножитель (определитель) не равен нулю. Допустим, что
Тогда строки этого определителя линейно зависимы, т. е. существуют числа α 1 , α 2 , …, α n такие, что
Таким образом, мы получили, что r i , i = 1,2,..,n есть n различных корней полинома (n-1)-й степени, что невозможно. Следовательно, определитель в правой части W(e r 1 x , e r 2 x ,…, e rnx) не равен нулю и система функций (8) образует фундаментальную систему решений уравнения (6) в случае, когда корни характеристичес-кого уравнения различны.
Пример
. Для уравнения y""-3y" + 2y=0 корни характеристического уравнения r 2 - 3r + 2 = 0 равны r 1 = 1, r 2 = 2 (корни были найдены через сервис нахождения дискриминанта). Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции y 1 = e x , y 2 = e 2 x , а общее решение записывается в виде y = C 1 e x + C 2 e 2 x .
2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные. Предположим, что r 1 имеет кратность α, а все остальные различны. Рассмотрим вначале случай r 1 = 0. Тогда характеристическое уравнение имеет вид
так как в противном случае не являлось бы корнем кратности α. Следовательно, дифференциальное уравнение имеет вид
то есть не содержит производных порядка ниже α. Этому уравнению удовлетворяют все функции, у которых производные порядка α и выше равны нулю. В частности, таковыми являются все полиномы степени не выше α-1, например,
1, x, x 2 , …, x α-1 . (9)
Покажем, что данная система линейно независима. Составив определитель Вронского этой системы функций, получим
.
Это определитель треугольного вида с отличными от нуля элементами, стоящими на главной диагонали. Поэтому он отличен от нуля, что и доказывает линейную независимость системы функций (9). Заметим, что в одном из примеров предыдущего параграфа мы доказывали линейную независимость системы функций (9) другим способом. Пусть теперь корнем характеристического уравнения кратности α является число r 1 ≠0. Произведём в уравнении (6) L(y) = 0 замену y = ze r 1 x = z exp(r 1 x). Тогда
и так далее. Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, снова получим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами
(0)
с характеристическим уравнением
. (1)
Отметим, что если k - корень характеристического уравнения (1), то z = e kx - решение уравнения (0), а y = ye r 1 x = e (k + r 1) x является решением уравнения (6). Тогда r=k+r 1 - корень характеристического уравнения (7). С другой стороны, уравнение (6) может быть получено из уравнения (0) обратной заменой z = ye - r 1 x и поэтому каждому корню характеристического уравнения (7) соответствует корень k = r - r 1 характеристического уравнения (1). Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между корнями характеристических уравнений (7) и (1), причём различным корням одного уравнения соответствуют различные корни другого. Так как r = r 1 - корень кратности α уравнения (7), то уравнение (1) имеет k=0 корнем кратности α. По доказанному ранее, уравнение (0) имеет α линейно независимых решений
которым соответствует α линейно независимых решений
(2)
уравнения (7). Присоединяя полученную систему решений (2) к n- α решениям, соответствующим остальным корням характеристического уравнения, получим фундаментальную систему решений для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае наличия кратных корней.
Пример . Для уравнения y"""-4y""+4y" = 0 характеристическое уравнение r 3 -4r 2 + 4r = 0 имеет корни r=0 кратности 1 и r=2 кратности 2, так как r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2 , поэтому фундаментальной системой решений исходного уравнения является система функций y 1 = 1, y 2 = e 2 x , y 3 = xe 2 x , а общее решение имеет вид y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x .
3. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни. Можно рассматривать комплексные решения, но для уравнений с действительными коэффициентами это не очень удобно. Найдём действительные решения, соответствующие комплексным корням. Так как мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами, то для каждого комплексного корня r j = a+bi кратности α характеристического уравнения комплексно сопряжённое ему число r k = a-bi также является корнем кратности α этого уравнения. Соответствующими этим корням парами решений являются функции и , l=0,1,.., α-1. Вместо этих решений рассмотрим их линейные комбинации 3. Для уравнения y (4) + 8y"" + 16y =0 характеристическое уравнение r 4 +8r 2 +16=0 имеет r 1 = 2i, r 2 = -2i кратности 2, так как r 4 +8r 2 +16= (r 2 + 4) 2 , поэтому фундаментальной системой решений исходного уравнения является система функций y 1 = cos2x, y 2 = sin2x, y 3 = xcos2x, y 4 = xsin2x, а общее решение имеет вид y = C 1 cos2x+ C 2 sin2x+ C 3 xcos2x+ C 4 xsin2x.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид .
Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях и является решением этого уравнения.
Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .
Уравнение будем называть линейным неоднородным уравнением.
Определение. Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.
Известно, что квадратное уравнение имеет решение, зависящее от дискриминанта : , т.е. если , то корни и - действительные различные числа. Если , то . Если же , т.е. , то будет мнимым числом, а корни и - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать .
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Дискриминант этого квадратного уравнения , поэтому .
Покажем, как по виду корней характеристического уравнения найти общее решение однородного линейного уравнения второго порядка.
Если - действительные корни характеристического уравнения, то .
Если корни характеристического уравнения одинаковы, т.е. , то общее решение дифференциального уравнения ищут по формуле или .
Если же характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то .
Пример 5. Найти общее решение уравнения .
Решение. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: . Его корни , действительны и различны. Поэтому общее решение .
Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения
. В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n
его линейно независимых решений.
Опр. 14.5.5.1. фундаментальной системы решений
. Фундаментальной системой решений
линейного однородного дифференциального уравнения n
-го порядка называется любая линейно независимая система y
1 (x
), y
2 (x
), …, y n
(x
) его n
частных решений.
Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения
. Общее решение y
(x
) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
y
(x
) = C
1 y
1 (x
) + C
2 y
2 (x
) + …+ C n y n
(x
).
Док-во
. Пусть y
1 (x
), y
2 (x
), …, y n
(x
) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y
чо (x
) этого уравнения содержится в формуле y
(x
) = C
1 y
1 (x
) + C
2 y
2 (x
) + …+ C n y n
(x
) при некотором наборе постоянных C
1 , C
2 , …, C n
. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C
1 , C
2 , …, C n
как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений
Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y
(x
) = C
1 y
1 (x
) + C
2 y
2 (x
) + …+ C n y n
(x
) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C
1 , C
2 , …, C n
и сравним её с функцией y
чо (x
). Функции y
(x
) и y
чо (x
) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x
0 , следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y
чо (x
) = C
1 y
1 (x
) + C
2 y
2 (x
) + … + C n y n
(x
). Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n
. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n
.
Теорема 14.5.5.1.2 о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения.
Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n
-го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n
линейно независимых решений.
Док-во
. Возьмём любой числовой определитель n
-го порядка, не равный нулю
Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув . Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.
Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?
Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:
Найдём решение этой линейной системы уравнений . Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.
Преобразуем эту матрицу к треугольной.
Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{11}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{21}$, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{41}$, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.
Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{22}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{32}$, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{42}$, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{52}$, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.
Видим, что последние три строки – одинаковые
, поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.
По этой матрице записываем новую систему уравнений
.
Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов
. Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо
.
Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$, а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.
После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$, можем подставлять любые числа и находить $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР
нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$, $x_2$ и $x_3$, а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$.
ЛДУ n-ого порядка- ур-е, линейное относительно неизвестной ф-ии и ее производных и имеет вид
a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y’+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x)
φ(x)≠0- ЛНОУ
y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) ур-е в приведенном виде
*если y 1 - решение ЛОУ, то С y 1, где С- произвольная постоянная также является решением этого ур-я.
*Сумма y 1 + y 2 решений ЛОУ является решением того же ур-я.
1 0 Линейная комбинация с произвольными постоянными реш-й y 1 , y 2 ,…, y m ЛОУ является реш-ем того же ур-я.
*если ЛОУ (1) с действительными коэффициентами p i (x)∈R имеет комплексное решение y(x)=u(x)+iv(x),то действительная часть этого решения Rey=u(x) и его мнимая часть Imy=v(x) в отдельности являются решениями одного и того же ур-я.
Ф-ии y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) называются линейно зависимыми на некотором интервале (a,b), если существуют постоянные величины a1,a2,…,an≠0 такие, что для всех x интервала (a,b) справедливо тождество a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y’+a n y n (x)=0. Если ф-ии линейно завис.,то хотя бы одна из них является линейной комбинацией остальных.
Если же тождество справедливо лишь при a1=a2=…=an=0, то ф-ии y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) называются линейно независимыми на интервале (a,b).
*если ф-ии y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) линейно зависимы на интервале (a,b), то определитель(о. Вронского)
W(x)=W= =0 на этом интервале.
Условие линейной независимости частных решений:
* если линейно независимые ф-ии y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) являются решениями ЛОУ (1) с непрерывными на интервале (a,b) коэффициентами p i (x), то составленный для них определитель Вронского ни в одной точке интервала (a,b) не= 0.
Общим решением ЛОУ (1) с непрерывными на (a,b) коэффициентами p i (x) (i=1,2,…,n) является линейная комбинация y оо = n линейно независимых на том же интервале частных решений y i с произвольными постоянными коэффициентами.
1 0 максимальное число линейно независимых решений ЛОУ равно его порядку.
ФСР- любые n независимых частных реш-й ЛОУ n-ого порядка.
*y oн =y oo +y чн
Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
ЛНДУ решаются методом вариации произвольных постоянных. Сначала находится общее решение однородного уравнения , имеющего ту же левую часть, что и исходное неоднородное уравнение . Затем решение уравнения находится в виде , т.е. предполагается, что постоянные С явл ф-ми независимой переменной х. При этом ф-и С 1 (х) и С 2 (х) могут быть получены как решение системы
У он =у оо +у чн
максимальное число решений уравнения равно его порядку.
общее решение
44*. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений в случае простых корней характеристического многочлена (действительных и комплексных).
Уравнение вида y"+p(x)y=f(x), где p(x), f(x)- непрерывные ф-ии на интервале a Если f(x)= 0, то уравнение называется однородным. Если в ЛО ур-ии y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0 Все коэффициенты pi постоянны, то его частные решения могут быть найдены в виде y=e kx , где k- постоянная. Подставляя в ур-е (k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0 Сокращая на e kx получаем так наз. Характеристическое ур-е k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0 Это ур-е n-ой cтепени определяет те значения k, При которых y= e kx является решение исходного ДУ с постоянными коэф-ами. 1.k 1 , k 2 ,…,k n –вещественные и различные ФСР: e k 1 x , e k 2 x ,…, e knx 2. k 1 = k 2 =…=k m =k ~ , k ~ - m -кратный корень ур-я, а все остальные n- m корней различные ФСР: e k ~ x ,x e k ~ x ,…, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x Мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований
на однородной системе линейных уравнений
. Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого
уравнения системы равен нулю. Например: Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна
, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное
решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений: Пример 1
Решение
: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы
и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. (2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1. Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно. Ответ
: Сформулируем очевидный критерий
: однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение
, если ранг матрицы системы
(в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.). Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований: Пример 2
Решить однородную систему линейных уравнений Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание: Пример 7
Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме. Решение
: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: (1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие. (1) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. К 4-й строке прибавили первую строку, умноженную на 2. (3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили. В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее: – базисные переменные; Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения: – подставим в 1-е уравнение: Таким образом, общее решение: Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора. Подставим тройку значений в общее решение и получим вектор , координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно. Для тройки значений находим вектор И, наконец, для тройки получаем третий вектор: Ответ
: , где Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки и получить ответ в эквивалентном виде:
К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу и зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную , потом через дроби базисную переменную , и, надо сказать, процесс это был не самый простой и не самый приятный. Второй вариант решения
: Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные
. Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование:
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.Что такое однородная система линейных уравнений?
– свободные переменные.