Вписанный угол, теория и задачи. Вписанные углы учитель математики мбоу « кингисеппская гимназия» тормозова ирина владимировна

Цели урока: формирования знаний по теме, организация работы по усвоению понятий, научных фактов.

Образовательные задачи:

• ввести понятие вписанного угла;
• научить распознавать вписанные углы на чертежах;
• предвидеть дополнительное построение, содержащее вписанный угол, ведущее к решению задачи;
• рассмотреть теорему о вписанном угле и следствия из нее;
• показать применение теоремы при решении задач;
• познакомить с оптическими иллюзиями

Воспитательные задачи: активизация самостоятельности познавательной деятельности учащихся. формирование навыков коллективной работы, развитие чувства ответственности за свои знания, культуры общения, приобщение к познанию оптической иллюзии и ее применение на практике, воспитание эстетической культуры.

Развивающие задачи: продолжить развитие умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи; совершенствовать графическую культуру.

Технология: проблемное изучение с применением информационных технологий.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма урока: урок – проблемное изложение.

Оборудование урока: презентация: презентация, листы самоанализа.

Этапы урока

1. Мотивирование к учебной деятельности -1 минута.
2. Постановка проблемы и создание плана ее решения – 2 минуты.
3. Актуализация знаний - 4 минуты.
4. Открытие нового понятия - 10 минут.
5. Исследовательская работа по выявлению свойств нового понятия - 4 минуты.
6. Применение новых знаний - 11 минут.
7. Игра “Веришь - не веришь” с целью закрепления нового теоретического материала - 2 минуты.
8. Индивидуальная работа с тестом - 5 минут.
9. Применение новых знаний в незнакомых ситуациях - 4 минуты.
10. Рефлексия - 3 минуты.

Ход урока

1. Мотивирование к учебной деятельности

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Я, надеюсь, что те знания, которые Вы получите на уроке пригодятся Вам в жизни.

2. Постановка проблемы и создание плана ее решения

Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы. В каких разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с этих точек все розы были видны под одним и тем же углом? (Cлайд 2). Презентация

Какие у Вас есть версии решения этой задачи?

Возникает проблемная ситуация. Знаний у учеников не хватает.

Чтобы ответить на этот вопрос, надо использовать свойства вписанного угла. Тогда давайте вместе составим план действий на уроке. Какие цели урока и как мы их будем достигать?”. В ходе обсуждения на экране появляется план урока. (Cлайд 3 )

3. Актуализация знаний

Учитель: “ Дайте определение угла. Что называется центральным углом?”. (Cлайд 4 )

Задачи (Cлайд 5

4. Открытие нового понятия

Сейчас вы видите шесть рисунков. На какие группы вы бы их разделили и почему? (Cлайд 6)

Острые, прямые, тупые.

Углы 1, 3, 5 и 2, 4, 6 по расположению вершины угла? Как называют углы 1, 3, 5 ?

А углы 2, 4, 6 –называются вписанными. Вот о них мы сегодня и поведём речь.

Чем похожи и чем отличаются углы АВС и КРО? (Cлайд 7 )

После ответа на этот вопрос учащиеся пытаются дать определение вписанного угла, после чего учитель выводит на экран формулировку, подчеркивая важные моменты: (Cлайд 8 )

• вершина лежит на окружности,
• стороны пересекают окружность.

Найти рисунки, на которых изображены вписанные углы.

Задание. Выразите величину вписанного угла, зная, как выражается величина центрального угла через дугу, на которую он опирается. Работа со слайдом 10

Какое дополнительное построение нужно сделать, чтобы выполнить указанное задание? Если учащиеся сразу не догадаются, уточнить: какой центральный угол нужно связать с данным вписанным углом?

Далее учащиеся видят, что полученный центральный угол является внешним углом равнобедренного треугольника и приходят к выводу, что один из углов (в частности вписанный), равный их полусумме, равен половине центрального, т.е. половине дуги, на которую он опирается.

Дается точная формулировка теоремы и проецируется на экран. (Cлайд 11 ).

Ученики в тетрадь переносят чертеж (слайд 12) , далее записывают в тетради условие. Один из учащихся комментирует записи. Следующий ученик записывает и комментирует доказательство теоремы. Логичность и полноту оформления проверяют с помощью слайда 12) . Таким образом, оформлено доказательство теоремы для случая, когда сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Случай, когда центр окружности лежит внутри угла, рассматривается устно с применением слайда 13.

Следующий случай, когда центр окружности лежит вне угла, учитель предлагает обосновать самостоятельно при домашней подготовке. (Cлайд 14 ). В классе же по чертежу слайда 15 выясняют, что данный вписанный угол можно рассматривать как разность двух углов, у каждого из которых одна сторона является какой либо стороной данного угла, а вторая сторона общая и проходит через центр окружности.

5. Исследовательская работа по выявлению свойств нового понятия

Работа со слайдом 15.

Задание. Как быстро с помощью циркуля и линейки построить сразу несколько углов, равных данному углу? Они замечают, что их способы способ нерациональны. Возникает проблемная ситуация: старые знания не дают рационального решения поставленной задачи.

Подумайте, как, используя новый материал, можно решить эту задачу. Можно провести окружность, проходящую через вершину угла, без указания центра и построить различные вписанные углы, опирающихся на одну дугу. Проблемная ситуация разрешена. После чего формулируется следствие 1: “Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны”.

Аналогично проводится работа, ведущая к формулировке следствия 2. (Cлайд 16 )

Как быстро с помощью циркуля и линейки построить прямой угол? Разъясняется, что “быстро” надо понимать за “минимальное число шагов”. Приходим к нерациональности данного построения. Если ученики не догадались, как выполнить построение, учитель задает вопрос: на какую дугу должен опираться прямой вписанный угол? После этого ученики излагают пошагово ход построения:

• Начертить окружность произвольного радиуса.
• Провести диаметр.
• Выбрать любую точку окружности, кроме концов диаметра.
• Провести лучи из выбранной точки через концы диаметра.

После этого учитель говорит, что в данном построении использовалось следствие 2 из теоремы о вписанном угле. Попробуйте его сформулировать.

Уточненная формулировка проецируется на экран. (Cлайды 17-19 )

6. Применение новых знаний

Решение задач на закрепление нового материала. Работа со слайдами 20-26 .

7. Игра на повторение с целью закрепления теоретического материала.(Cлайд 27 )

Игра “ Веришь - не веришь”

• Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚?
• Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности?Верите ли вы, что угол проходящий через центр окружности называется ее центральным углом?
• Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается?
• Верите ли вы, что величина центрального угла в два раза больше величины дуги, на которую он опирается?
• Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚?
• Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность называется вписанным углом?
• Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны?
• Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники?

8. Индивидуальная работа с тестом. (Cлайды 28-30 )

Листочки с ответами сдаются учителю. Затем учитель комментирует решения.

Вариант 1.

1. Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ

а) 96°; б) 114°; в) 104°; г) 76°;

2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО.

а) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°;

3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126°

а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °;

Вариант 2.

1. Угол МСК на 34 °меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК.

а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°;

2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС.

а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°;

3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В.

а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;

Ответы к заданиям проверяются после заполнения теста.

9. Применение новых знаний в незнакомых ситуациях

а) Работа со слайдами 31-33 .

Учитель: “Дома Вы решали задачу на вычисление углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность. Как Вы ее решили?”.

Как решить эту задачу с помощью теоремы о величине вписанного угла.

II способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается очень просто: 360°: 5:2 *5=180°.

б)Разбор математического софизма на применение теоремы о величине вписанного угла .

Хорда, не проходящая через центр, равна диаметру.(Cлайд 34-36 ) Найти ошибку в рассуждениях.

Решение. Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем какую-либо хорду ВС, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АЕ. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим ▲АВD и ▲ЕDС. В этих треугольниках: ВD=DC (по построению), Ð А = Ð С (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, Ð ВDА= Ð ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит,

▲ ВDА= ▲ ЕDC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

Поэтому, АВ=ЕС.

Найдите ошибку в рассуждениях.

в) Тест на оптическую иллюзию по рисункам с альтернативным ответом. (Cлайды 37-39 )

Показать, какую иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы и вписанные углы.

Тест1. Здесь иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы. Хотя углы АОВ, ВОС, COD равны, но за счет множества острых углов, на которых разбиты два угла, они выдают себя за наибольшие, чем средний угол.

Тест 2-3. Здесь доминирующими являются окружности. Углы, вписанные в окружность, образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник. Эти фигуры за счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к квадрату и треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь.

Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например, с ее помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры.

10. Рефлексия

Давайте вернемся к плану урока и посмотрим, на все ли вопросы мы ответили?

Мы с Вами не ответили на один вопрос. Так как же надо посадить три розы? (Cлайд 40-41)

Усвоив теорему о величине вписанного угла в окружность, делаем вывод, т.к. из всех точек окружности, кроме концов хорды, эта хорда видна под одним и тем же углом, мы можем посадить кусты роз в любой точке на окружности клумбы, кроме точек М и N. Это одно из практических применений теоремы о величине вписанного угла в окружность.

В конце урока учащимся для заполнения может быть выдана анкета, которая позволяет осуществить самоанализ, дать качественную и количественную оценку уроку, при этом, дополнительно, может быть сформулировано задание на аргументацию своего ответа:

1. На уроке я работал…;

2. Своей работой на уроке я…;

3. Урок для меня показался…;

4. За урок я…;

5. Материал урока мне был…;

6. Домашнее задание мне кажется…

Домашнее задание. (Cлайд 42 )

1. П. 71, выучить определение вписанного угла;
2. выучить теорему о вписанном угле, (записав доказательство 3 случая) и два следствия из нее;
3. № 654 № 656 № 657.

Список литературы:

1. Геометрия: Учеб. Для 7–9 кл. общеобразов. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 12-е изд., – М.: Просвещение, 2002 г.
2. Зив Б.Г., Мейлер В.М., Дидактические материалы по геометрии для 8 класса. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2002 г.
3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Устные упражнения по геометрии для 7–11 классов. Книга для учителя. М.; Просвещение, 2003 г.
4. Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. Геометрия 7–9 классы. “Илекса”, “Гимназия”, Москва-Харьков, 2003 г.

ЦОРы и Интернет-сайты:

1. Мастерская. Мультимедийные презентации для уроков математики. http://www.intergu.ru/infoteka/
2. Интернет-государство учителей в разделе Инфотека-Математика. http://www.intergu.ru/infoteka/
3. ЦОРы с портала “Сеть творческих учителей”.

Урок по теме « Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы» 8 класс. Цели урока: - повторить определения касательной, видов углов, закрепить знания по теме, научить поиску решения нестандартных задач; - активизировать самостоятельность и познавательную деятельность учащихся, научить применять полученные знания на практике. Ход урока. 1. Организационный момент. 2. Теоретическая разминка. 3. Тест « Верите ли Вы, что…» 4. Устная работа по готовым чертежам. 5. Тест по форме ГИА (части А и В). 6. Различные способы решения одной задачи. 7. Софизм и окружность. 8. Проект « Найди центр круга». 9. Итоги. 10.Рефлексия. 1. Вступительное слово учителя. Сегодня на уроке мы обобщим знания по теме «Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы», проверим теоретическую подготовку по данному разделу, закрепим умения решать задачи по готовым чертежам и навыки решения тестовых заданий, рассмотрим различные способы решения одной задачи и обратимся к математическим софизмам, как к средству развития интереса к математике. 2. Теоретическая разминка. - дайте определение окружности. - что называется хордой - какой отрезок является радиусом окружности. - каково может быть взаимное расположение прямой и окружности. - какая прямая называется касательной - сформулируйте свойство касательной - какой угол называется центральным - чему равна градусная мера дуги. - какой угол называется вписанным. - сформулируйте теорему о вписанном угле. - какие следствия из него знаете. - чему равен угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания. - сформулируйте теорему о двух пересекающихся хордах. - сформулируйте теорему о квадрате касательной. Белая Ирина Вячеславна 3. Тест «Верите ли вы, что…» (каждому ученику выдается лист с высказываниями; если он согласен с ним ставит знак +, если нет -) 1 вариант. 1. Верите ли вы, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу? 2. Верите ли вы, что угол, проходящий через центр окружности, называется центральным углом? 3. Верите ли вы, что хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности? 4. Верите ли вы, что градусная мера полуокружности равна 180º? 5. Верите ли вы, что любые две точки окружности делят ее на две дуги? 6. Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180º? 7. Верите ли вы, что отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности называется диаметром? 8. Верите ли вы, что если две хорды пересекаются, то сумма отрезков одной хорды равна сумме отрезков другой хорды? 9. Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90º, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу 45º? 10. Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны? 11. Верите ли вы, что прямая и окружность могут иметь одну, две, три общие точки? 2 вариант. 1. Верите ли вы, что окружность – это геометрическая фигура, состоящая из точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии? 2. Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается? 3. Верите ли вы, что хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром? 4. Верите ли вы, что величина центрального в два раза больше величины дуги, на которую он опирается? 5. Верите ли вы, что для изображения окружности на чертеже используют циркуль? 6. Верите ли вы, что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º? 7. Верите ли вы, что прямая, проходящая через середину хорды перпендикулярна этой хорде? 8. Верите ли вы, что дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности? 9. Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности? 10. Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность, называется вписанным углом? 11. Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники? Ответы. 1 вариант. --+++---++2 вариант. -++-++-+--+ 2 Белая Ирина Вячеславна 4. Устная работа по готовым чертежам. 1. 1) Найти ОА. (24) 2. 1) Найти угол АВС. (40) 3. 2) ОА=5, найти ОВ. (5√2) 2) Найти угол АВС. (130) 1) Найти углы АОD и ACD. 2) Найти угол АВС. (80; 40) (120) 4. 1) Найти DE. (4) 3) АВ =12, ОВ = 13 ; найти ОА. (5) 3) Найти углы А и С. (53 ; 90) 3) Найти угол ВСD. (110) 2) Найти CD. (6) 3 Белая Ирина Вячеславна 5. Тестирование по материалам ГИА (уровень Аи В). Вариант 1. 1. Угол АСВ на 38о меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ а) 96о; б) 114о; в) 104о; г) 76о; 2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО. а) 60о; б)40о; в) 30о; г) 45о 3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126о а) 112о; б) 123о; в) 117о; г) 113о; 4 Белая Ирина Вячеславна Вариант 2. 1. Угол МСК на 34о меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК. а) 112о; б) 102о; в) 96о; г) 68о; 2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС. а) 50о; б) 60о; в) 30о; г) 45о; 3. О – центр окружности, угол L =136о. Найдите угол В. а) 108о; б) 118о; в) 112о; г) 124о; Вариант 3. 1. Угол EFG на 42о меньше угла EOG найдите сумму углов. а) 102о; б) 126о; в) 84о; г) 116о; 2. KL – диаметр окружности, О – ее центр. КО=ОМ=КМ. Найдите угол ОМL. а) 60о; б) 40о; в) 30о; г) 45о; 3. Угол EOD – центральный, угол EFD – вписанный, найдите угол EFD, если угол EOD=174о. а) 116о; б) 120о; в) 93о; г) 103о; Ответы к тесту: 1 2 3 1 Вариант Б В В 2 Вариант Б В В 3 Вариант Б В В 6. Различные способы решения одной задачи 5 Белая Ирина Вячеславна Задана была задача на вычисление суммы углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность. (Рис. 1) Ученики могут решать эту задачу двумя способами, если нашли только один способ решения, то можно по усмотрению комментировать другой. I способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается очень просто; 360о/5/2*5=180о. II способ: Угол AMR – внешний угол треугольника MCE, поэтому

Вписанные углы Теорема о вписанном угле 1 случай Луч ВО совпадает со стороной угла АВС Теорема о вписанном угле 1 случай Луч ВО совпадает со стороной угла АВС Дано: Окр (О; R) АВС – вписанный угол Доказать: АВС = ½ АС Доказательство: 1. АОВ – равнобедренный, так как ОВ = ОА = R, значит, В = А. 2. СОА – внешний угол, следовательно, СОА = ОВА + ОАВ СОА = 2 ОВА, значит, ОВА = ½ СОА СВА = ½ АС.

°

Игра на повторение «Веришь не веришь» Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚? Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности? Верите ли вы, что угол проходящий через центр окружности называется ее центральным углом? Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается? Верите ли вы, что величина центрального угла в два раза больше величины дуги, на которую он опирается? Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚ ? Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность называется вписанным углом? Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны? Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники? Нет, отрезки касательных к окружности (проведенные из одной точки) равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через (эту точку и) центр окружности. ДА, если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚. Нет, угол проходящий (выходящий из) через центр окружности называется ее центральным углом. Да, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Нет, величина центрального угла в два раза больше (равна) величины дуги, на которую он опирается. Нет, вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚ (прямой). Нет, угол, стороны которого пересекают окружность (а вершина лежит на окружности) называется вписанным углом. Да, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. Да, при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники.

Вписанные углы Работа по тесту с программированным контролем решения. Вариант Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ а) 96 ° ; б) 114 ° ; в) 104 ° ; г) 76 ° ; 2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО. а) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°; 3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126 ° а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °; Вариант Угол МСК на 34 ° меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК. а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°; 2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС. а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°; 3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В. а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;

Хорда, не проходящая через центр, равна диаметру. Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем какую- либо хорду ВС, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АЕ. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим АВD и ЕDС. В этих треугольниках: ВD=DC (по построению), А = С (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, ВDА= ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит, ВDА= ЕDC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Поэтому, АВ=ЕС.

Найдем ошибку По теореме о признаке равенства треугольника: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. А в нашем случае, угол А не прилежит к стороне ВD.

Вписанные углы Тест на оптическую иллюзию по рисункам с альтернативным ответом. Оптическую иллюзию мы довольно часто наблюдаем и даже применяем в нашей практике, но очень мало знаем ее сущность. Иллюзию зрения используют архитекторы при постройке зданий, модельеры при создании моделей, художники при создании декораций. Нам известно, что тело, окрашенное в светлые тона, кажется больше, чем тело того же размера, окрашенное в темный тон. Бывают причины, вызывающие оптические иллюзии. Вписанные углы Тест 2 Тест 3 Тест 2 Тест 3 В окружность вписан: 1. квадрат 2. близкая к квадрату фигура Тест 2, 3: Здесь доминирующими являются окружности. Углы вписанные в окружность, образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник. Эти фигуры за счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к квадрату и треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь. Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например, с ее помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры. В окружность вписан: 1. треугольник 2. близкая к треугольнику фигура

Вписанные углы Усвоив теорему о величине вписанного угла в окружность, делаем Вывод, т.к. из всех точек окружности, кроме концов хорды, эта хорда видна под одним и тем же углом, мы можем посадить кусты роз в любой точке на окружности клумбы, кроме точек М и N. Это одно из практических применений теоремы о величине вписанного угла в окружность.

Вписанные углы Домашнее задание. п. 71, выучить определение вписанного угла; выучить теорему о вписанном угле, (записав доказательство 3 случая) и два следствия из нее;

Центральный угол - это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

На рисунке - центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается . Значит, центральный угол величиной в 90 градусов будет опираться на дугу, равную 90°, то есть круга. Центральный угол, равный 60°, опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.

Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу .

Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».

Равные центральные углы опираются на равные хорды.

1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой.

2. Центральный угол на 36° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть центральный угол равен х, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен у.

Мы знаем, что х = 2у.
Отсюда 2у = 36 + у,
у = 36.

3. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

Пусть хорда АВ равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим α.
В треугольнике АОВ стороны АО и ОВ равны 1, сторона АВ равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник АОВ - прямоугольный и равнобедренный, то есть угол АОВ равен 90°.
Тогда дуга АСВ равна 90°, а дуга АКВ равна 360° - 90° = 270°.
Вписанный угол α опирается на дугу АКВ и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135°.

Ответ: 135.

4. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Главное в этой задаче - правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки С?»
Представьте, что вы сидите в точке С и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде АВ. Так, как будто хорда АВ - это экран в кинотеатре:-)
Очевидно, что найти нужно угол АСВ.
Сумма двух дуг, на которые хорда АВ делит окружность, равна 360°, то есть
5х + 7х = 360°
Отсюда х = 30°, и тогда вписанный угол АСВ опирается на дугу, равную 210°.
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол АСВ равен 105°.