Решение уравнений f x. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Методика использования эвристического метода

Критерий Гурвица.

Линейная система, характеристический полином которой равен

где a 0 >0, устойчива, если положительны n главных определителей матрицы Гурвица:

(5.8)

Порядок составления матрицы Гурвица следующий. На главной диагонали записываются все коэффициенты, начиная с первого. Далее заполняются строки: четными коэффициентами по порядку, если на главной диагонали стоит четный коэффициент, и нечетными, если на главной диагонали стоит нечетный коэффициент. Если какой-либо коэффициент отсутствует, то вместо него заносится нуль.

Для оценки устойчивости системы необходимо вычислить определители Гурвица D i (i = 1, 2, ... , n), которые получают из матрицы (5.8) путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы.

Система устойчива, если D i > 0 для всех i = 1, 2, ... , n.

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен

D n = a n ´ D n -1 .

Поэтому его положительность сводится при D n -1 >0 к условию a n >0,

Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов a i .

Если определитель D n =0, то система находится на границе устойчивости. Возможны два случая: апериодическая граница устойчивости, если свободный член характеристического уравнения равен нулю, что соответствует нейтрально устойчивой системе; колебательная граница устойчивости, если определитель D n -1 =0. Из условия D n -1 =0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.

Пример. Передаточная функция разомкнутой системы задана в виде: . Исследовать устойчивость системы.

Решение. Характеристическое уравнение замкнутой системы

D(p)=0, где .

Откуда следует

Раскрыв скобки, получим

T 1 T 2 p 3 + (T 1 + T 2)p 2 + p + k = 0.

Тогда имеем: a 0 = T 1 T 2 ; a 1 = (T 1 + T 2); a 2 = 1; a 3 = k.

Коэффициенты характеристического уравнения положительны.

Составляем матрицу Гурвица

и найдем определители этой матрицы. Для устойчивости системы все они должны быть положительными:

D 1 = a 1 , откуда (T 1 + T 2) > 0;

D 2 = a 1 ´a 2 - a 0 ´a 3 , откуда (T 1 + T 2) - kT 1 T 2 > 0;

D 3 = a 1 ´a 2 ´a 3 - a 0 ´a 3 2 = a 3 (a 1 ´a 2 - a 0 ´a 3), откуда a 3 >0 , то есть k > 0.

Условие устойчивости по критерию Гурвица получает вид

(T 1 + T 2) > kT 1 T 2 или k < ( + ).

Границы устойчивости:

1) a n = 0, k = 0;

2) D n -1 = 0, k гр = ( + );

3) a 0 = 0, T 1 T 2 = 0.

Эти три границы устойчивости можно изобразить графически в пространстве параметров k, T 1 , T 2 и найти области устойчивости системы.

Найдем сначала область устойчивости системы по одному параметру k (общий коэффициент передачи разомкнутой системы). Пространство параметров здесь одна прямая линия, а границы устойчивости - точки на ней: k = 0 и k = k гр (рис.5.6). Область устойчивости лежит между этими точками.

Рис. 5.6. Область устойчивости по одному параметру

Те же границы устойчивости системы можно построить на плоскости двух параметров, например: k и T 1 (рис.5.7). Первая граница k = 0 лежит на оси T 1 . Вторая граница = k - имеет вид гиперболы с асимптотами k = 0 и k = . Третья граница T 1 = 0 совпадает с осью k. Штриховка границ сделана в сторону области устойчивости.

НЕПРЕРЫВНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

(КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА)

Критерий был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком

А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу – задачу исследования устойчивости линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.

Адольф Гурвиц (нем. Adolf Hurwitz ),26 марта 1859 , Хильдесхайм - 18 ноября 1919 , Цюрих - немецкий математик.

Гурвиц поступил в университет Мюнхена в1877 году. Через год он переезжает вБерлин . Заканчивает обучение вЛейпциге (1880 ). Преподавательскую карьеру начал вКёнигсбергском университете , где в1884 году стал профессором. С1892 года профессор Политехнической школы вЦюрихе . Среди его студентов в Цюрихе былиДавид Гильберт иАльберт Эйнштейн .

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА

Чтобы все корни характеристического уравнения АС

a 0 s n +a 1 s n -1 + ...+ a n -1 s + a n = 0 ,

имели отрицательные вещественные части, необходимо, при a 0 > 0 выполнение условия:

все n определителей Гурвица, получаемые из квадратной матрицы коэффициентов

должны быть положительны.

Матрица Гурвица составляется следующим образом:

на главной диагонали записывают коэффициенты характеристического уравнения от a 1 доa n (в порядке возрастания индекса),

в каждом столбце выше возрастающими индексами,

в каждом столбце ниже диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательноубывающими индексами;

на местах коэффициентов с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули.

Определители Гурвица – это так называемые

ДИАГОНАЛЬНЫЕ МИНОРЫ:

;
;; . . .

Последний столбец матрицы содержит всегда только один элемент a n , отличный от нуля, поэтому согласно известному свойству определителей

Если a n = 0, то наблюдается апериодическая граница устойчивости (нулевой корень - астатическая система),

если
, то - колебательная граница устойчивости (комплексные корни).

Если хотя бы один из определителей Гурвица

отрицателен или равен нулю ,

то система неустойчива.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА

Главное достоинство критерия Гурвица состоит в том, что могут быть записаны формулы , по которым для конкретных порядков АС может быть не только установлена её устойчивость, но и проанализировано влияние параметров АС на это свойство.

Наиболее известно неравенство
для АС 3-го порядка (все коэффициенты ХПАС должны быть одного знака, чаще считают - положительными). Его намного раньше А. Гурвица получил И.А. Вышнеградский.

Для АС 4-го порядка кроме положительности всех коэффициентов ХПАС должно выполняться неравенство . Видно, что неравенство Вышнеградского является составной частью критерия.

Для АС 5-го порядка условия Гурвица имеют вид:
,,
,
. Обратите внимание, что «вычисляемых» неравенств стало теперь два и одно из них - неравенство Вышнеградского, которое входит и во второе условие.

Для АС 6-го порядка аналитический вид неравенств Гурвица таков:

,
,

(первое «вычисляемое» неравенство),

(второе «вычисляемое» неравенство).

При использовании формул, вытекающих из критерия Гурвица для конкретных порядков АС, нужно обращать внимание на форму записи полинома и индексацию его коэффициентов – начиная с 4-го порядка, можно получить неверную оценку устойчивости.

Сложность аналитических выражений точных алгебраических критериев устойчивости привела к разработке простых достаточных критериев устойчивости (А.В. Липатова - Н.И. Соколова, В.С. Воронова и др.).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. – М.: Радио и связь, 1986. – 248 с.

2. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления, под редакцией В.А. Бесекерского, издание пятое, переработанное, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1978, 512 с.

Критерий основан на построении определителя, составленного из коэффициентов, входящих в характеристическое уравнение системы.

Запишем характеристическое уравнение для системы 6-го порядка в виде

Аналогично можно записать уравнение системы любой степени, если порядок системы обозначить n . В нашем случае n =6.Уравнение записывается таким образом, чтобы коэффициент при высшей производной (а 6) был положительным, т.е. а 6 > 0.

Порядок построения определителя Гурвица.

1. По главной диагонали записываются все коэффициенты от до а 0 включительно (=5).

2. Вверх по диагонали записываются коэффициенты уравнения в порядке убывания индексов, а вниз от диагонали – в порядке возрастания индексов.

3. На месте коэффициентов, не входящих в характеристическое уравнение, ставят нули.

4. Определители меньших порядков получают вычеркиванием последнего столбца и последней строки.

5. Определитель высшего порядка D n =a 0 D n -1 (D 6 =а 0 D 5).

Условие устойчивости по Гурвицу

Система автоматического управления будет устойчивой, если все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения системы, от D n (D 6) до D 1 будут положительными, при этом а n (а 6) должно быть больше нуля.

Построим определитель Гурвица для системы шестого порядка.

Система устойчива, если а 0 >0; D 5 >0; D 4 >0; D 3 >0; D 2 >0; D 1 =а 5 >0.

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, система будет неустойчива.

Если главный определитель системы D п =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для систем 1, 2, 3-го порядков. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнений первого порядка

условие устойчивости

а 1 > 0 и D 1 = а 0 > 0,

т.е. необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов уравнения (<0).

2. Для уравнений второго порядка

,

условие устойчивости

а 2 > 0, D 1 = а 1 > 0; D 2 = а 0 а 1 > 0.

Таким образом, и для системы второго порядка положительность коэффициентов является необходимым и достаточным условием устойчивости.

3. Для уравнений третьего порядка

условие устойчивости

а 3 > 0, D 1 = а 2 > 0; D 2 = а 1 а 2 – а 0 а 3 > 0; D 3 = а 0 D 2 > 0.

Последнее неравенство Δ 3 > 0 эквивалентно неравенству D 2 > 0. Следовательно, для системы третьего порядка кроме положительности всех коэффициентов уравнения требуется, чтобы D 2 > 0.

Критерий Гурвица применяют для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n > 5 вычисление определителей становится громоздким.

Поэтому возникает естественное желание свести уравнение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка. В некоторых случаях это удаётся сделать. Рассмотрим их.

1. Уравнения вида y (n) =f(x) решаются последовательным интегрированием n раз
, ,… .
Пример . Решить уравнение xy""=1 . Можем записать , следовательно, y"=ln|x| + C 1 и, интегрируя ещё раз, окончательно получаем y=∫ln|x| + C 1 x + C 2

2. В уравнениях вида F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (то есть не содержащих в явном виде неизвестной функции и некоторых её производных) порядок понижается с помощью замены переменной y (k) = z(x). Тогда y (k +1) =z"(x),…,y (n) = z (n - k) (x) и мы получаем уравнение F(x,z,z",..,z (n - k)) порядка n-k. Его решением является функция z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) или, вспоминая, что такое z, получаем уравнение y (n- k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n - k) рассмотренного в случае 1 типа.
Пример 1 . Решить уравнение x 2 y"" = (y") 2 . Делаем замену y"=z(x) . Тогда y""=z"(x) . Подставляя в исходное уравнение, получаем x 2 z"=z 2 . Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем , или, что тоже самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, окончательно получаем
Пример 2 . Решить уравнение x 3 y"" +x 2 y"=1 .Делаем замену переменных: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Делаем замену переменных: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 или u"x 2 -xu+xu=1 или u"x^2=1. Откуда: u"=1/x 2 или du/dx=1/x 2 или u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Поскольку z=u/x, то z = -1/x 2 +c 1 /x. Поскольку y"=z, то dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2 . Ответ: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. Следующим уравнением, допускающим понижение порядка, является уравнение вида F(y,y",y"",…,y (n))=0 , не содержащее в явном виде независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены переменной y"=p(y) , где p - новая искомая функция, зависящая от y. Тогда
= и так далее. По индукции имеем y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)). Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок на единицу.

Пример . Решить уравнение (y") 2 +2yy""=0 . Делаем стандартную замену y"=p(y) , тогда y″=p′·p . Подставляя в уравнение, получаем Разделяя переменные, при p≠0, имеем Интегрируя, получаем или, что то же самое, . Тогда или . Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем При разделении переменных мы могли потерять решение y=C, которое получается при p=0, или, что то же самое, при y"=0, но оно содержится в полученном выше.

4. Иногда удаётся подметить особенность, позволяющую понизить порядок уравнения отличными от рассмотренных выше способами. Покажем это на примерах.

Примеры .
1. Если обе части уравнения yy"""=y′y″ разделить на yy″, то получим уравнение , которое можно переписать в виде (lny″)′=(lny)′. Из последнего соотношения следует, что lny″=lny+lnC , или, что то же самое, y″=Cy . Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа.
2. Аналогично для уравнения yy″=y′(y′+1) имеем , или (ln(y"+1))" = (lny)" . Из последнего соотношения следует, что ln(y"+1) = lny + lnC 1 , или y"=C 1 y-1. Разделяя переменные и интегрируя, получаем, ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Решить уравнения, допускающие понижение порядка можно с помощью специального сервиса

Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.

F(x,y,y")=0

1. Из уравнения F(x,y,y")=0 выразить y" через x и y . Получится одно или несколько уравнений вида y"=f(x,y), каждое из которых надо решить.

Пример.

у" 2 -y 2 =0

y"=y и y"=-y

dy/y=dx и dy/y=-dx

ln|y|=x+lnC и ln|y|=-xlnD

y=Ce x и y=De -x

2. Метод параметра (простейший вариант метода).

Пусть уравнение F(x,y,y")=0 y .

y=f(x,y") .

Введем параметр p=y"=dy/dx

Тогда y=f(x,p)

Возьмем полный дифференциал от обеих частей, заменив dy через pdx , получим

pdx=f x "dx+f y "dy

Если решение этого уравнения найдено в виде x=φ(p) , то получим решение исходного уравнения в параметрической форме:

Пример

y=ln(1+y" 2)

p=y"=dy/dx, y=ln(1+p 2)

При делении на р потеряли решение у=0

3. Если уравнение F(x,y,y")=0 можно разрешить относительно х :

x=f(y,y") , то также как в 2 вводим параметр p=y"=dy/dx

4. Уравнение Лагранжа

y=xφy"+Ψ(y")

и уравнение Клеро

y=xy"+Ψ(y")

являются частными случаями, рассмотренными в пункте 2.

5) Немного об особых решениях. Решение y=φ(х) уравнения F(x,y,y")=0 называется особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое ршение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение φ(х) , но не совпадающее сним в сколь угодно малой окрестности этой точки. Пусть F(x,y,y"), δF/δy и δF/δy" непрерывны. Тогда любое особое решение уравнения F(x,y,y")=0 удовлетворяет и уравнению δ F(x,y,y")/δy"=0 .

Чтобы отыскать особые решения, надо из системы

исключить y ". Полученное уравнение называется дискриминантной кривой . Для каждой ветви дискриминантной кривой надо проверить, является ли эта ветвь решением и если является, то будет ли оно особым (т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке).

Пример .

y=xy"-y 2 - Уравнение Клеро

p=y"=dy/dx, y=xp-p 2

pdx=pdx+xdp-2pdp

(x-2p)dp=0

dp=0, p=c , следовательно

x=2p, y=xp-p 2

y=Cx-C 2 или y=(x 2 /2)-(x 2 /4)

y=x 2 /4 -особое решение

y=x 2 /4 решение исходного уравнения. Докажем, что особое.

Берем произвольную точку на решении y=x 2 /4 , например (x o ,x 2 o /4 ). найдем С , при котором прямая y=Cx-C 2 также проходила через эту точку x 2 o /4=Cx o -C 2 , следовательно C=x o /2, т.е. y=(x o /2)x-(x 2 o /4) .