Интегрирование неправильной дробно рациональной функции. Интегрирование рациональных функций Дробно – рациональная функция Простейшие
«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики ».
Г.Х.Харди
В первой главе отмечалось, что существуют первообразные довольно простых функций, которые уже нельзя выразить через элементарные функции. В связи с этим, огромное практическое значение приобретают те классы функций, о которых можно точно сказать, что их первообразные – элементарные функции. К такому классу функций относятся рациональные функции , представляющие собой отношение двух алгебраических многочленов. К интегрированию рациональных дробей приводят многие задачи. Поэтому очень важно уметь интегрировать такие функции.
2.1.1. Дробно-рациональные функции
Рациональной дробью (или дробно-рациональной функцией )называется отношение двух алгебраических многочленов:
где и – многочлены.
Напомним, что многочленом (полиномом , целой рациональной функцией ) n -й степени называется функция вида
где – действительные числа. Например,
– многочлен первой степени;
– многочлен четвертой степени и т.д.
Рациональная дробь (2.1.1) называется правильной , если степень ниже степени , т.е. n <m , в противном случае дробь называется неправильной .
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (дробной части). Выделение целой и дробной частей неправильной дроби можно производить по правилу деления многочленов «уголком».
Пример 2.1.1. Выделить целую и дробную части следующих неправильных рациональных дробей:
а) , б) .
Решение . а) Используя алгоритм деления «уголком», получаем
Таким образом, получаем
.
б) Здесь также используем алгоритм деления «уголком»:
В результате, получаем
.
Подведём итоги. Неопределённый интеграл от рациональной дроби в общем случае можно представить суммой интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби. Нахождение первообразных от многочленов не представляет трудностей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном правильные рациональные дроби.
2.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят кпростейшим (элементарным) рациональным дробям:
3) , |
4) , |
где – целое число, , т.е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.
Интегрирование простейших дробей 1-го и 2-го типа не представляет больших трудностей:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Рассмотрим теперь интегрирование простейших дробей 3-го типа, а дроби 4-го типа рассматривать не будем.
Начнём с интегралов вида
.
Данный интеграл обычно вычисляют путем выделения полного квадрата в знаменателе. В результате получается табличный интеграл следующего вида
или .
Пример 2.1.2. Найти интегралы:
а) , б) .
Решение . а) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:
Отсюда находим
б) Выделив из квадратного трёхчлена полный квадрат, получаем:
Таким образом,
.
Для нахождения интеграла
можно выделить в числителе производную знаменателя и разложить интеграл на сумму двух интегралов: первый из них подстановкой сводится к виду
,
а второй – к рассмотренному выше.
Пример 2.1.3. Найти интегралы:
.
Решение . Заметим, что . Выделим в числителе производную знаменателя:
Первый интеграл вычисляется при помощи подстановки :
Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе
Окончательно, получаем
2.1.3. Разложение правильной рациональный
дроби
на сумму простейших дробей
Любую правильную рациональную дробь можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель нужно разложить на множители. Из высшей алгебры известно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами
Интегрирование дробно-рациональной функции.
Метод неопределенных коэффициентов
Продолжаем заниматься интегрированием дробей. Интегралы от некоторых видов дробей мы уже рассмотрели на уроке , и этот урок в некотором смысле можно считать продолжением. Для успешного понимания материала необходимы базовые навыки интегрирования, поэтому если Вы только приступили к изучению интегралов, то есть, являетесь чайником, то необходимо начать со статьи Неопределенный интеграл. Примеры решений .
Как ни странно, сейчас мы будем заниматься не столько нахождением интегралов, сколько… решением систем линейных уравнений. В этой связи настоятельно рекомендую посетить урок А именно – нужно хорошо ориентироваться в методах подстановки («школьном» методе и методе почленного сложения (вычитания) уравнений системы).
Что такое дробно-рациональная функция? Простыми словами, дробно-рациональная функция – это дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены либо произведения многочленов. При этом дроби являются более навороченными, нежели те, о которых шла речь в статье Интегрирование некоторых дробей .
Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
Сразу пример и типовой алгоритм решения интеграла от дробно-рациональной функции.
Пример 1
Шаг 1. Первое, что мы ВСЕГДА делаем при решении интеграла от дробно-рациональной функции – это выясняем следующий вопрос: является ли дробь правильной? Данный шаг выполняется устно, и сейчас я объясню как:
Сначала смотрим на числитель и выясняем старшую степень
многочлена:
Старшая степень числителя равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и выясняем старшую степень
знаменателя. Напрашивающийся путь – это раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но можно поступить проще, в каждой
скобке находим старшую степень
и мысленно умножаем: – таким образом, старшая степень знаменателя равна трём. Совершенно очевидно, что если реально раскрыть скобки, то мы не получим степени, больше трёх.
Вывод : Старшая степень числителя СТРОГО меньше старшей степени знаменателя, значит, дробь является правильной.
Если бы в данном примере в числителе находился многочлен 3, 4, 5 и т.д. степени, то дробь была бы неправильной .
Сейчас мы будем рассматривать только правильные дробно-рациональные функции . Случай, когда степень числителя больше либо равна степени знаменателя, разберём в конце урока.
Шаг 2.
Разложим знаменатель на множители. Смотрим на наш знаменатель:
Вообще говоря, здесь уже произведение множителей, но, тем не менее, задаемся вопросом: нельзя ли что-нибудь разложить еще? Объектом пыток, несомненно, выступит квадратный трехчлен. Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант больше нуля, значит, трехчлен действительно раскладывается на множители:
Общее правило: ВСЁ, что в знаменателе МОЖНО разложить на множители – раскладываем на множители
Начинаем оформлять решение:
Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов раскладываем подынтегральную функцию в сумму простых (элементарных) дробей. Сейчас будет понятнее.
Смотрим на нашу подынтегральную функцию:
И, знаете, как-то проскакивает интуитивная мысль, что неплохо бы нашу большую дробь превратить в несколько маленьких. Например, вот так:
Возникает вопрос, а можно ли вообще так сделать? Вздохнем с облегчением, соответствующая теорема математического анализа утверждает – МОЖНО. Такое разложение существует и единственно .
Только есть одна загвоздочка, коэффициенты мы пока не знаем, отсюда и название – метод неопределенных коэффициентов.
Как вы догадались, последующие телодвижения так, не гоготать! будут направлены на то, чтобы как раз их УЗНАТЬ – выяснить, чему же равны .
Будьте внимательны, подробно объясняю один раз!
Итак, начинаем плясать от:
В левой части приводим выражение к общему знаменателю:
Теперь благополучно избавляемся от знаменателей (т.к. они одинаковы):
В левой части раскрываем скобки, неизвестные коэффициенты при этом пока не трогаем:
Заодно повторяем школьное правило умножение многочленов. В свою бытность учителем, я научился выговаривать это правило с каменным лицом: Для того чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена .
С точки зрения понятного объяснения коэффициенты лучше внести в скобки (хотя лично я никогда этого не делаю в целях экономии времени):
Составляем систему линейных уравнений.
Сначала разыскиваем старшие степени:
И записываем соответствующие коэффициенты в первое уравнение системы:
Хорошо запомните следующий нюанс . Что было бы, если б в правой части вообще не было ? Скажем, красовалось бы просто без всякого квадрата? В этом случае в уравнении системы нужно было бы поставить справа ноль: . Почему ноль? А потому что в правой части всегда можно приписать этот самый квадрат с нулём: Если в правой части отсутствуют какие-нибудь переменные или (и) свободный член, то в правых частях соответствующих уравнений системы ставим нули .
Записываем соответствующие коэффициенты во второе уравнение системы:
И, наконец, минералка, подбираем свободные члены.
Эх,…что-то я расшутился. Шутки прочь – математика наука серьезная. У нас в институтской группе никто не смеялся, когда доцент сказала, что разбросает члены по числовой прямой и выберет из них самые большие. Настраиваемся на серьезный лад. Хотя… кто доживет до конца этого урока, все равно будет тихо улыбаться.
Система готова:
Решаем систему:
(1) Из первого уравнения выражаем и подставляем его во 2-е и 3-е уравнения системы. На самом деле можно было выразить (или другую букву) из другого уравнения, но в данном случае выгодно выразить именно из 1-го уравнения, поскольку там самые маленькие коэффициенты .
(2) Приводим подобные слагаемые во 2-м и 3-м уравнениях.
(3) Почленно складываем 2-е и 3-е уравнение, при этом, получая равенство , из которого следует, что
(4) Подставляем во второе (или третье) уравнение, откуда находим, что
(5) Подставляем и в первое уравнение, получая .
Если возникли трудности с методами решения системы отработайте их на уроке Как решить систему линейных уравнений?
После решения системы всегда полезно сделать проверку – подставить найденные значения в каждое уравнение системы, в результате всё должно «сойтись».
Почти приехали. Коэффициенты найдены, при этом:
Чистовое оформление задание должно выглядеть примерно так:
Как видите, основная трудность задания состояла в том, чтобы составить (правильно!) и решить (правильно!) систему линейных уравнений. А на завершающем этапе всё не так сложно: используем свойства линейности неопределенного интеграла и интегрируем. Обращаю внимание, что под каждым из трёх интегралов у нас «халявная» сложная функция, об особенностях ее интегрирования я рассказал на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле .
Проверка: Дифференцируем ответ:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
В ходе проверки пришлось приводить выражение к общему знаменателю, и это не случайно. Метод неопределенных коэффициентов и приведение выражения к общему знаменателю – это взаимно обратные действия
.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл.
Вернемся к дроби из первого примера: . Нетрудно заметить, что в знаменателе все множители РАЗНЫЕ. Возникает вопрос, а что делать, если дана, например, такая дробь: ? Здесь в знаменателе у нас степени, или, по-математически кратные множители . Кроме того, есть неразложимый на множители квадратный трехчлен (легко убедиться, что дискриминант уравнения отрицателен, поэтому на множители трехчлен никак не разложить). Что делать? Разложение в сумму элементарных дробей будет выглядеть наподобие с неизвестными коэффициентами вверху или как-то по-другому?
Пример 3
Представить функцию
Шаг 1.
Проверяем, правильная ли у нас дробь
Старшая степень числителя: 2
Старшая степень знаменателя: 8
, значит, дробь является правильной.
Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Очевидно, что нет, всё уже разложено. Квадратный трехчлен не раскладывается в произведение по указанным выше причинам. Гуд. Работы меньше.
Шаг 3.
Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей.
В данном случае, разложение имеет следующий вид:
Смотрим на наш знаменатель:
При разложении дробно-рациональной функции в сумму элементарных дробей можно выделить три принципиальных момента:
1) Если в знаменателе находится «одинокий» множитель в первой степени (в нашем случае ), то вверху ставим неопределенный коэффициент (в нашем случае ). Примеры №1,2 состояли только из таких «одиноких» множителей.
2) Если в знаменателе есть кратный
множитель , то раскладывать нужно так:
– то есть последовательно перебрать все степени «икса» от первой до энной степени. В нашем примере два кратных множителя: и , еще раз взгляните на приведенное мной разложение и убедитесь, что они разложены именно по этому правилу.
3) Если в знаменателе находится неразложимый многочлен второй степени (в нашем случае ), то при разложении в числителе нужно записать линейную функцию с неопределенными коэффициентами (в нашем случае с неопределенными коэффициентами и ).
На самом деле, есть еще 4-й случай, но о нём я умолчу, поскольку на практике он встречается крайне редко.
Пример 4
Представить функцию в виде суммы элементарных дробей с неизвестными коэффициентами.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Строго следуйте алгоритму!
Если Вы разобрались, по каким принципам нужно раскладывать дробно-рациональную функцию в сумму, то сможете разгрызть практически любой интеграл рассматриваемого типа.
Пример 5
Найти неопределенный интеграл.
Шаг 1. Очевидно, что дробь является правильной:
Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Можно. Здесь сумма кубов . Раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения
Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Обратите внимание, что многочлен неразложим на множители (проверьте, что дискриминант отрицательный), поэтому вверху мы ставим линейную функцию с неизвестными коэффициентами, а не просто одну буковку.
Приводим дробь к общему знаменателю:
Составим и решим систему:
(1) Из первого уравнения выражаем и подставляем во второе уравнение системы (это наиболее рациональный способ).
(2) Приводим подобные слагаемые во втором уравнении.
(3) Почленно складываем второе и третье уравнения системы.
Все дальнейшие расчеты, в принципе, устные, так как система несложная.
(1) Записываем сумму дробей в соответствии с найденными коэффициентами .
(2) Используем свойства линейности неопределенного интеграла. Что произошло во втором интеграле? С этим методом Вы можете ознакомиться в последнем параграфе урока Интегрирование некоторых дробей .
(3) Еще раз используем свойства линейности. В третьем интеграле начинаем выделять полный квадрат (предпоследний параграф урока Интегрирование некоторых дробей ).
(4) Берём второй интеграл, в третьем – выделяем полный квадрат.
(5) Берём третий интеграл. Готово.
Интегрирование рациональных функций Дробно – рациональная функция Простейшие рациональные дроби Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование простейших дробей Общее правило интегрирования рациональных дробей
многочлен степени n. Дробно – рациональная функция Дробно – рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов: Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть m < n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P
Дробно – рациональная функция Привести неправильную дробь к правильному виду: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x
Простейшие рациональные дроби Правильные рациональные дроби вида: Называются простейшими рациональными дробями типов. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Теорема: Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители: можно представить, притом единственным образом в виде суммы простейших дробей: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D … применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и метод частных значений переменной. Первый метод рассмотрим на примере. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Представить дробь в виде суммы простейших дробей: Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Приравняем числители получившейся и исходной дробей Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx)52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x
Интегрирование простейших дробей Найдем интегралы от простейших рациональных дробей: Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k
Интегрирование простейших дробейdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg. C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln
Интегрирование простейших дробей Интеграл данного типа с помощью подстановки: приводится к сумме двух интегралов: Первый интеграл вычисляется методом внесения t под знак дифференциала. Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt
Интегрирование простейших дробей a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1(4)1(
Общее правило интегрирования рациональных дробей Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения коэффициентов или методом частных значений переменной. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример Приведем дробь к правильному виду. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx
Пример Разложим знаменатель правильной дроби на множители Представим дробь в виде суммы простейших дробей Найдем неопределенные коэффициенты методом частных значений переменной xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx
Пример dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln
2.,
5.
,
3.
,
6.
.
В интегралах 1-3 качествеu принимают. Тогда, послеn -кратного применения формулы (19) придем к одному из табличных интегралов
,
,
.
В интегралах 4-6 при дифференцировании
упроститься трансцендентный множитель
,
или
,
который следует принять заu
.
Вычислить следующие интегралы.
Пример 7.
Пример 8.
Приведение интегралов к самому себе
Если подынтегральная функция
имеет
вид:
,
,
и так далее,
то после двукратного интегрирования по частям получим выражение, содержащее исходный интеграл :
,
где
- некоторая постоянная.
Разрешая полученное уравнение относительно , получим формулу для вычисления исходного интеграла:
.
Этот случай применения метода интегрирования по частям называется «приведение интеграла к самому себе ».
Пример 9.
Вычислить интеграл
.
В правой части стоит исходный интеграл . Перенеся его в левую часть, получим:
.
Пример 10.
Вычислить интеграл
.
4.5. Интегрирование простейших правильных рациональных дробей
Определение. Простейшими правильными дробями I , II и III типов называются следующие дроби:
I . ;
II
.
;
(
- целое положительное число);
III
.
;
(корни знаменателя комплексные, то
есть:
.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей.
I
.
;
(20)
II . ; (21)
III
.
;
Преобразуем числитель дроби таким
образом, чтобы выделить в числителе
слагаемое
,
равное производной знаменателя.
Рассмотрим первый из двух полученных интегралов и сделаем в нем замену:
Во втором интеграле дополним знаменатель до полного квадрата:
Окончательно, интеграл от дроби третьего типа равен:
=
+
.
(22)
Таким образом, интеграл от простейших дробей I-го типа выражается через логарифмы,II–го типа – через рациональные функции,III-го типа – через логарифмы и арктангенсы.
4.6.Интегрирование дробно-рациональных функций
Одним из классов функций, которые имеют интеграл, выраженный через элементарные функции, является класс алгебраических рациональных функций, то есть функций, получающихся в результате конечного числа алгебраических операций над аргументом.
Всякая рациональная функция
может
быть представлена в виде отношения двух
многочленов
и
:
. (23)
Будем предполагать, что многочлены не имеют общих корней.
Дробь вида (23) называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть,m < n . В противном случае –неправильной .
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), представим дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби:
, (24)
где
- многочлен,- правильная дробь, причем степень
многочлена
- не выше степени (n
-1).
Пример.
Так как интегрирование многочлена сводится к сумме табличных интегралов от степенной функции, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.
В алгебре доказано, что всякая правильная
дробь
разлагается
на сумму рассмотренных вышепростейших
дробей, вид которых определяется корнями
знаменателя
.
Рассмотрим три частных случая. Здесь
и далее будем считать, что коэффициент
при старшей степени знаменателя
равен
единице=1,
то есть
многочлен приведенный
.
Случай 1.
Корни знаменателя, то есть,
корни
уравнения
=0,
действительны и различны. Тогда
знаменатель представим в виде произведения
линейных множителей:
а правильная дробь разлагается на простейшие дроби I-готипа:
, (26)
где
–
некоторые постоянные числа, которые
находятся методом неопределенных
коэффициентов.
Для этого необходимо:
1. Привести правую часть разложения (26) к общему знаменателю.
2. Приравнять коэффициенты при одинаковых
степенях тождественных многочленов,
стоящих в числителе левой и правой
частей. Получим систему линейных
уравнений для определения
.
3. Решить полученную систему и найти
неопределенные коэффициенты
.
Тогда интеграл дробно-рациональной функции (26) будет равен сумме интегралов от простейших дробей I-готипа, вычисляемых по формуле (20).
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Разложим знаменатель на множители, используя теорему Виета:
Тогда, подынтегральная функция разлагается на сумму простейших дробей:
.
х :
Запишем систему трех уравнений для
нахождения
х
в левой и
правой частях:
.
Укажем более простой способ нахождения неопределенных коэффициентов, называемый методом частных значений .
Полагая в равенстве (27)
получим
,
откуда
.
Полагая
получим
.
Наконец, полагая
получим
.
.
Случай 2.
Корня знаменателя
действительны,но среди них есть кратные (равные)
корни. Тогда знаменатель представим в
виде произведения линейных множителей,
входящих в произведение в той степени,
какова кратность соответствующего
корня:
где
.
Правильная дробь будет разлагаться сумму дробейI–го иII-го типов. Пусть, например,- корень знаменателя кратностиk , а все остальные (n - k ) корней различны.
Тогда разложение будет иметь вид:
Аналогично, если существуют другие кратные корни. Для некратных корней в разложение (28) входят простейшие дроби первого типа.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей первого и второго рода с неопределенными коэффициентами:
.
Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем многочлены, стоящие в числителях левой и правой части:
В правой части приведем подобные при одинаковых степенях х :
Запишем систему четырех уравнений для
нахождения
и.
Для этого приравняем коэффициенты при
одинаковых степеняхх
в левой и
правой части
.
Случай 3.
Среди корней знаменателя
есть
комплексные однократные корни. То есть,
в разложение знаменателя входят множители
второй степени
,
не разложимые на действительные линейные
множители, причем они не повторяются.
Тогда в разложении дроби каждому такому множителю будет соответствовать простейшая дробь IIIтипа. Линейным множителям соответствуют простейшие дробиI–го иII-го типов.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение.
.
.
.
ТЕМА: Интегрирование рациональных дробей.
Внимание! При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей – требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области. Поэтому необходимо изучить предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Если P (z ) и Q (z ) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной , если степень P (z ) меньше степени Q (z ) , и неправильной , если степень Р не меньше степени Q .
Любую неправильную дробь можно представить в виде: ,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
a R (z ) – многочлен, степень которого меньше степени Q (z ).
Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.
Определение 5. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:
1) , 2) , 3) , 4) .
Выясним, каким образом они интегрируются.
3) (изучен ранее).
Теорема 5. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).
Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:
Пример 1.
Следствие 2. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:
Пример 2.
Следствие 3. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:
Пример 3.
Следствие 4. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:
Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложения , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, используя, что:
1. равенство справедливо при любых значениях Х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты.
2. совпадают коэффициенты при одинаковых степенях Х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений с m – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты.
3. комбинированный метод.
Пример 5. Разложить дробь на простейшие.
Решение:
Найдем коэффициенты А и В.
1 способ - метод частных значений:
2 способ – метод неопределенных коэффициентов:
Ответ:
Интегрирование рациональных дробей.
Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.
Доказательство.
Представим рациональную дробь в виде: . При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 5 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S (x ) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.
Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.
Пример 1. Найти интеграл