Достаточные признаки сходимости рядов с положительными числами. Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения. Знакоположительные числовые ряды
На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.
Необходимый признак сходимости ряда
ТЕОРЕМА 1
Если
ряд
сходится, то его общий член
стремится к нулю при
,
т.е.
.
Кратко : если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.
Доказательство.
Пусть ряд сходится и его сумма равна
.
Для любого
частичная сумма
.
Тогда .
Из
доказанного необходимого признака
сходимости вытекает достаточный
признак расходимости ряда:
если при
общий член ряда не стремится к нулю, то
ряд расходится.
Пример
4.
Для
этого ряда общий член
и
.
Следовательно, данный ряд расходится.
Пример
5.
Исследовать
на сходимость ряд
Очевидно,
что общий член этого ряда, вид которого
не указан ввиду громоздкости выражения,
стремится к нулю при
,
т.е. необходимый признак сходимости
ряда выполняется, однако этот ряд
расходится, так как его сумма
стремится к бесконечности.
Знакоположительные числовые ряды
Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.
ТЕОРЕМА 2 (Критерий сходимости знакоположительного ряда)
Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом.
Доказательство.
Так как для любого
,
то,
т.е. последовательность
– монотонно возрастающая, поэтому для
существования предела необходимо и
достаточно ограничение последовательности
сверху каким-либо числом.
Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Далее приведены другие признаки сходимости, имеющие большее применение.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
ТЕОРЕМА 3 (Первый признак сравнения)
Пусть даны два знакоположительных ряда:
(1)
(2)
причем,
начиная с некоторого номера
,
для любого
выполняется неравенство
Тогда:
Схематическая запись первого признака сравнения:
сход.сход.
расх.расх.
Доказательство.
1) Так как отбрасывание конечного числа
членов ряда не влияет на его сходимость,
докажем теорему для случая
.
Пусть для любого
имеем
, (3)
где
и
-
соответственно частичные суммы рядов
(1) и (2).
Если
ряд (2) сходится, то существует число
.
Поскольку
при этом последовательность
- возрастающая, ее предел больше любого
из ее членов, т.е.
для
любого
.
Отсюда
из неравенства (3) следует
.
Таким
образом, все частичные суммы ряда (1)
ограничены сверху числом
.
Согласно
теореме 2 этот ряд сходится.
2) Действительно, если бы ряд (2) сходился, то по признаку сравнения сходился бы и ряд (1).
Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:
3)
-
ряд
Дирихле (он сходится при
и расходится при
).
Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:
,
,
,
.
Рассмотрим на конкретных примерах схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.
Пример
6.
Исследовать
ряд
на сходимость.
Шаг
1. Проверим знакоположительность ряда:
для
Шаг
2. Проверим выполнение необходимого
признака сходимости ряда:
.
Так как
,
то
(если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить).
Шаг
3. Используем первый признак сравнения.
Для этого подберем для данного ряда
ряд-эталон. Так как
,
то в качестве эталона можно взять ряд
,
т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так
как показатель степени
.
Следовательно, согласно первому признаку
сравнения сходится и исследуемый ряд.
Пример
7.
Исследовать ряд
на сходимость.
1)
Данный ряд знакоположительный, так как
для
2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо
3)
Подберем ряд-эталон. Так как
,
то в качестве эталона можно взять
геометрический ряд
.
Этот ряд сходится, следовательно,
сходится и исследуемый ряд.
ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения)
Если
для знакоположительных рядов
и
существует отличный от нуля конечный
предел
,
то
ряды
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.
Пусть ряд (2) сходится; докажем, что тогда
сходится и ряд (1). Выберем какое-нибудь
число
,
большее,
чем
.
Из
условия
вытекает
существование такого номера
,
что для всех
справедливо неравенство
,
или,
что то же,
(4)
Отбросив
в рядах (1) и (2) первые
членов (что не влияет на сходимость),
можно считать, что неравенство (4)
справедливо для всех
Но ряд с общим членом
сходится
в силу сходимости ряда (2). Согласно
первому признаку сравнения, из неравенства
(4) следует сходимость ряда (1).
Пусть теперь сходится ряд (1); докажем сходимость ряда (2). Для этого следует просто поменять ролями заданные ряды. Так как
то, по доказанному выше, из сходимости ряда (1) должна следовать сходимость ряда (2).
Если
при
(необходимый признак сходимости), то из
условия
,
следует, что
и
– бесконечно малые одного порядка
малости (эквивалентные при
).
Следовательно, если дан ряд
,
где
при
,
то для этого ряда можно брать ряд-эталон
,
где общий член
имеет тот же порядок малости, что и общий
член данного ряда.
При
выборе ряда-эталона можно пользоваться
следующей таблицей эквивалентных
бесконечно малых при
:
1)
; 4)
;
2)
; 5)
;
3)
; 6)
.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд
.
для любого
.
Так
как
,
то возьмем в качестве ряда-эталона
гармонический расходящийся ряд
.
Поскольку предел отношения общих членов
и
конечен и отличен от нуля (он равен 1),
то на основании второго признака
сравнения данный ряд расходится.
Пример
9.
по двум признакам сравнения.
Данный
ряд знакоположительный, так как
,
и
.
Поскольку
,
то в качестве ряда-эталона можно брать
гармонический ряд
.
Этот ряд расходится и следовательно,
по первому признаку сравнения, исследуемый
ряд также расходится.
Так
как для данного ряда и ряда-эталона
выполняется условие
(здесь использован 1-й замечательный
предел), то на основании второго признака
сравнения ряд
– расходится.
ТЕОРЕМА 5 (Признак Даламбера)
существует конечный предел
,
то ряд сходится при
и расходится при
.
Доказательство.
Пусть
.
Возьмем какое-либо число
,
заключенное
между
и
1:
.
Из условия
следует,
что начиная с некоторого номера
выполняется
неравенство
;
;
(5)
Рассмотрим ряд
Согласно
(5) все члены ряда (6) не превосходят
соответствующих членов бесконечной
геометрической прогрессии
Поскольку
,
эта прогрессия является сходящейся.
Отсюда в силу первого признака сравнения
вытекает сходимость ряда
Случай
рассмотрите самостоятельно.
Замечания :
следует,
что остаток ряда
.
Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.
Пример
10.
Исследовать на сходимость ряд
по признаку Даламбера.
Данный ряд знакоположительный и
.
(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя).
то по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Пример
11.
.
Данный
ряд знакоположительный и
.
Поскольку
то данный ряд сходится.
ТЕОРЕМА 6 (Признак Коши)
Если
для знакоположительного ряда
существует
конечный предел
,
то при
ряд сходится, а при
ряд расходится.
Доказательство аналогично теореме 5.
Замечания :
Пример
12.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Данный
ряд знакоположительный, так как
для любого
.
Поскольку вычисление предела
вызывает определенные трудности, то
проверку выполнимости необходимого
признака сходимости ряда опускаем.
то по признаку Коши данный ряд расходится.
ТЕОРЕМА 7 (Интегральный признак сходимости Маклорена - Коши)
Пусть дан ряд
члены которого положительны и не возрастают:
Пусть,
далее
-
функция, которая определена для всех
вещественных
,
непрерывна, не возрастает и
Определение . Числовой ряд (1.1) называется положительным, если все его слагаемые An – положительные числа. Частичная сумма Sn = а1+ а2 + …+ а N такого ряда при любом значении N тоже, естественно, положительна, причем с увеличением номера N она монотонно возрастает. Следовательно, имеются всего две возможности:
2) где S – некоторое положительное число.
В первом случае ряд расходится, во втором сходится. Какая из этих двух возможностей реализуется, зависит, очевидно, от поведения слагаемых ряда при N ® ∞. Если эти слагаемые стремятся к нулю, причем делают это достаточно быстро, то ряд будет сходиться. А если они не стремятся к нулю, или стремятся к нему, но недостаточно быстро, то ряд будет расходиться.
Например, у гармонического ряда (1.16) слагаемые хоть и убывают, стремясь к нулю, но делают это довольно медленно. Поэтому гармонический ряд оказался расходящимся. А вот у положительного ряда (1.6) слагаемые стремятся к нулю гораздо быстрее, поэтому он оказался сходящимся.
Еще пример. Ряд вида
(1.18)
Называется Обобщенным гармоническим рядом (при это будет обычный гармонический ряд). Если исследовать его на сходимость – расходимость аналогично тому, как исследовался гармонический ряд (1.16) (с помощью рисунка, подобного рисунку 7.1), то можно установить (попробуйте это сделать самостоятельно), что обобщенный гармонический ряд расходится при (его сумма ) и сходится при (его сумма S – конечное положительное число). И это понятно: при слагаемое обобщенного гармонического ряда убывают медленнее слагаемых гармонического ряда. А так как гармонический ряд расходится (скорость убывания его слагаемых недостаточна для сходимости), то тем более при будет расходиться и обобщенный гармонический ряд (1.18). А при слагаемые ряда (1.18) будут, очевидно, убывать быстрее, чем слагаемые гармонического ряда (1.16). И этой возросшей скорости убывания оказывается достаточно для сходимости ряда (1.18).
Можно эти соображения изложить строже, в виде так называемого Признака сравнения положительных числовых рядов .
Его суть в следующем. Пусть
(1.19)
(1.20)
Два произвольных положительных числовых ряда. И пусть для всех N =1,2,… . То есть (1.20) – ряд с бóльшими членами, чем ряд (1.19). Тогда очевидно, что:
1) Если ряд с бóльшими членами сходится, то и ряд с меньшими членами сходится.
2) Если ряд с меньшими членами расходится (его сумма равна +∞), то и ряд с бóльшими членами тоже расходится (его сумма тем более равна +∞).
3) Если ряд с бóльшими членами сходится (его сумма равна +∞), то про ряд с меньшими членами ничего сказать нельзя.
4) Если ряд с меньшими членами сходится (его сумма – число), то про ряд с бóльшими членами ничего сказать нельзя.
Замечание 1. В формулировке всех четырех пунктов признака сравнения можно условие , с помощью которого сравниваются ряды и которое должно выполняться для всех N =1,2,3,…, заменить на это же условие , справедливое не для всех N , а лишь начиная с некоторого номера N , то есть для N > N , ибо отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.
Замечание 2. Признак сравнения положительных числовых рядов допускает обобщение. А именно, если существует конечный и отличный от нуля предел
, (1.21)
То есть если
(Bn эквивалентны Lan при ), то положительные числовые ряды (1.19) и (1.20) сходятся или расходятся одновременно. Данное замечание оставим без доказательства.
Пример 5 . Ряд
(1.23)
Расходится (его сумма равна +∞). Действительно, сравнивая этот ряд с гармоническим (1.16), слагаемые которого меньше слагаемых ряда (1.23) для всех N >1, сразу приходим к этому выводу на основании пункта 2 признака сравнения. Его расходимость следует и из того, что это – обобщенный гармонический ряд (1.18) при .
Пример 6. Ряд
(1.24)
Это положительный ряд с меньшим для всех N >1 слагаемыми, чем ряд
(1.25)
Но ряд (1.25) представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Такой ряд, согласно (1.15), сходится и имеет сумму S =1. Но тогда сходится и меньший ряд (1.24), причем его сумма .
Пример 7 . Ряд - положительный числовой ряд, у которого слагаемые
при .
Но ряд 
расходится в силу (1.17). Значит, в соответствии с (1.22), расходится и данный ряд со слагаемыми An
.
Признак Даламбера . Этот признак состоит в следующем. Пусть - положительный числовой ряд. Найдем предел Q отношения последующего члена ряда к предыдущему:
(1.26)
Французский математик и механик 19-го века Даламбер доказал, что при Q <1 ряд Сходится; при Q >1 он расходится; при Q =1 вопрос о сходимости - расходимости ряда остается открытым. Доказательство признака Даламбера опускаем.
Пример 8. Исследовать на сходимость – расходимость положительный числовой ряд .
. Применим к этому ряду признак Даламбера. Для этого по формуле (1.26) вычислим Q :
Так как , то данный ряд сходится.
Интегральный признак Коши . Этот признак состоит в следующем. Если члены An положительного ряда монотонно убывают, то этот ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно. Здесь - непрерывная монотонно убывающая функция, принимающая при X = N значения An членов ряда.
В данной теме рассмотрим некие критерии, с помощью которых можно сделать выбор между необходимым признаком сходимости ряда, признаками Д"Аламбера и Коши, а также признаками сравнения. Напомню, что признаки сравнения, а также интегральный и радикальный признаки Коши применяются лишь для положительных числовых рядов (т.е. рядов, общий член которых не меньше нуля, $u_n≥ 0$). Признак Д"Аламбера применяется для строго положительных рядов ($u_n > 0$).
Выбор признака, с помощью которого можно проверить сходимость числового ряда, - в общем случае задача непростая. Однако для тех рядов, которые используются в стандартных типовых расчётах и контрольных работах, можно дать некие общие рекомендации. Эти рекомендации я запишу в таблицу.
Пару слов насчёт самой таблицы. Второй столбец описывает сферу применения того или иного признака сходимости в большинстве стандартных контрольных работ. Третий столбец иллюстрирует информацию второго столбца наглядными примерами (все эти примеры решены в соответствующих темах). Четвёртый столбец содержит примеры рядов, которые несколько выбиваются из общей схемы или же встречаются в стандартных контрольных работах не так уж часто.
| Название | Основное применение | Примеры рядов | Дополнительное применение |
| Необходимый признак сходимости | Общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Или же могут присутствовать корни от многочленов. С помощью необходимого условия сходимости можно доказать расходимость произвольного числового ряда (не обязательно положительного). | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^2}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+7}{2n+3}\right)^{9n+1}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin n$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{17n^5+4\cos(n!)}{6n^5+2n^2-1}$. |
| Признаки сравнения | Общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Или же вместо многочленов (или вместе с ними) могут присутствовать корни от многочленов. Для рядов такого вида приходится выбирать между необходимым признаком сходимости и признаками сравнения. Общий член ряда может содержать не только многочлен, но и некий "отвлекающий элемент", который не влияет на сходимость. Иногда, чтобы увидеть ряд для сравнения, приходится использовать эвивалентные бесконечно малые функции. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\arcsin\frac{7n-1}{9n}}{\sqrt{4n^2-3}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\arctg^2\sqrt{2n^3-1}}{\sqrt{3n^5-2}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\left(\frac{2+(-1)^n}{6}\cdot\pi\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{3n}+\cos n!}{5^{2n+1}-n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{7^n\cdot n!}$. |
| Признак Д"Аламбера | В выражении общего члена ряда присутствуют многочлен (многочлен может быть и под корнем) и степень вида $a^n$ или $n!$. Или же общий член ряда содержит произведение такого вида: $3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)$. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+5)!}{4^{3n+2}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{3^n\cdot n!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{6^{2n+5}\left(3n^2-1\right)}{(n+3)!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)}{(2n-1)!!}$. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{n}\sin\frac{2}{3^n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2n+1}-4}{2^{5n}(n+1)!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(n!\right)^2}{2^{n^2}}$. |
| Радикальный признак Коши | В выражении общего члена ряда все элементы возведены в степень, которую можно сократить на $n$. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3n^2-1}{5n^2+7n}\right)^{2n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+3}{7n-5}\right)^{n^2}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{n(3n+4)}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(5n+4)^n}{7^{2n}\cdot n^n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sin\frac{4}{n^2+2n}\right)^{\frac{n}{2}}$. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(3n^2+7\right)\cdot 5^{2n-1}}{4^n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{7^n\cdot n!}$. |
Пусть задан положительный числовой ряд $ \sum_{n=1} ^\infty a_n $. Сформулируем необходимый признак сходимости ряда:
- Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю: $$ \lim _{n \to \infty} a_n = 0 $$
- Если предел общего члена ряда не равен нулю, то ряд расходится: $$ \lim _{n \to \infty} a_n \neq 0 $$
Обобщенный гармонический ряд
Данный ряд записывается следующим образом $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n^p} $. Причем в зависимости от $ p $ ряд сходится или расходится:
- Если $ p = 1 $, то ряд $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n} $ расходится и называется гармоническим, несмотря на то, что общий член $ a_n = \frac{1}{n} \to 0 $. Почему так? В замечании говорилось, что необходимый признак не даёт ответа о сходимости, а только о расходимости ряда. Поэтому, если применить достаточный признак, такой как интегральный признак Коши, то станет ясно, что ряд расходится!
- Если $ p \leqslant 1 $, то ряд расходится. Пример,$ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} $, в котором $ p = \frac{1}{2} $
- Если $ p > 1 $, то ряд сходится. Пример, $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{\sqrt{n^3}} $, в котором $ p = \frac{3}{2} > 1 $
Примеры решений
| Пример 1 |
| Доказать расходимость ряда $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{n}{6n+1} $ |
| Решение |
|
Ряд положительный, записываем общий член: $$ a_n = \frac{n}{6n+1} $$ Вычисляем предел при $ n \to \infty $: $$ \lim _{n \to \infty} \frac{n}{6n+1} = \frac{\infty}{\infty} = $$ Выносим за скобку $ n $ в знаменателе, а затем выполняем на него сокращение: $$ = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(6+\frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{6} $$ Так как получили, что $ \lim_{n\to \infty} a_n = \frac{1}{6} \neq 0 $, то необходимый признак Коши не выполнен и ряд следовательно расходится. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| Ряд расходится |
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Числовые ряды
Лекция. Числовые ряды
1. Определение числового ряда. Сходимость
2. Основные свойства числовых рядов
3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
5. Знакопеременные ряды
Вопросы для самопроверки
Литература
Лекция. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1. Определение числового ряда. Сходимость.
2. Основные свойства числовых рядов.
3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.
4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.
5. Знакопеременные ряды.
1. Определение числового ряда. Сходимость
В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.
Пусть задана бесконечная числовая последовательность
, , …, , …Определение 1.1 . Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида
. (1.1) называются членами ряда , – общим или n – м членом ряда.Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента
вычисления -го члена ряда по его номеруПример 1.1 . Пусть
. Ряд (1.2)называется гармоническим рядом .
Пример 1.2 . Пусть
, Ряд (1.3)называется обобщенным гармоническим рядом . В частном случае при
получается гармонический ряд.Пример 1.3 . Пусть
= . Ряд (1.4)называется рядом геометрической прогрессии .
Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где
– сумма первых членов ряда, которая называется n -й частичной суммой , т. е. , , ,…………………………….
, (1.5)…………………………….
Числовая последовательность
при неограниченном возрастании номера может:1) иметь конечный предел;
2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).
Определение 1.2 . Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е.
В этом случае число
называется суммой ряда (1.1) и пишется .Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела .
Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.
Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.4. Доказать, что ряд
сходится, и найти его сумму.
Найдем n - ю частичную сумму данного ряда
.Общий член
ряда представим в виде .Отсюда имеем:
. Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:Пример 1.5 . Исследовать на сходимость ряд
(1.6)Для этого ряда
. Следовательно, данный ряд расходится.Замечание. При
ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд
(1.7)Для этого ряда
В этом случае предел последовательности частичных сумм
не существует, и ряд расходится.Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии (1.4):
Нетрудно показать, что n -я частичная сумма ряда геометрической прогрессии при
задается формулой .Рассмотрим случаи:
Тогда и .Следовательно, ряд сходится и его сумма равна
Загрузка...
