Дифференциальное уравнение движения системы материальных точек. Дифференциальные уравнения движения. Введение в динамику. Законы динамики

С помощью дифференциальных уравнений движения решается вторая задача динамики. Правила составления таких уравнений зависят от того, каким способом хотим определить движение точки.

1) Определение движения точки координатным способом.

Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся под действием сил , ,.., . Проведем неподвижные координатные оси Oxyz (рис.4). Про­ектируя обе части равенства на эти оси и учитывая,что и т.д., получим дифферен­циальные уравнения криволинейного дви­жения точки в проекциях на оси прямо­угольной декартовой системы координат:

Рис.4

Так как действующие на точку силы мо­гут зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости, то правые части уравнений могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее скорости . При этом в правую часть каждого из уравнений могут входить все эти переменные.

Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при

Зная действующие силы, после интегрирования уравнений найдем координаты х, y, z движущейся точки, как функции времени t, т.е. найдем закон движения точки.

Пример 3. Изучим движение тела, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту, рассматривая его как материальную точку массы т. При этом сопротивлением воздуха пренебрежём, а поле тяжести будем считать однородным (Р =const), полагая, что дальность полёта и высота траектории малы по сравнению с радиусом Земли.

Поместим начало координат О в начальном положении точки. Направим ось вертикально вверх; горизонтальную ось Ox расположим в плоскости, проходящей через Оy и вектор , а ось Oz проведём перпендикулярно первым двум осям (рис.5). Тогда угол между вектором и осью Ox будет равен .

Рис.5

Изобразим движущуюся точку М где-нибудь на траектории. На точку действует одна только сила тяжести , проекции которой на оси координат равны: , , .

Подставляя эти величины в дифференциальные уравнения и замечая, что и т.д. мы после сокращения на m получим:

Умножая обе части этих уравнений на dt и интегрируя, находим:

Начальные условия в нашей задаче имеют вид:

при t =0:

Удовлетворяя начальным условиям, будем иметь:

, , .

Подставляя эти значения С 1 , С 2 и С 3 в найденное выше решение и заменяя , , на придём к уравнениям:

Интегрируя эти уравнения, получим:

Подстановка начальных данных даёт С 4 =С 5 =С 6 =0, и мы окончательно находим уравнения движения точки М в виде:

Из последнего уравнения следует, что движение происходит в плоскости Оxy .

Имея уравнение движения точки, можно методами кинематики определить все характеристики данного движения.

1. Траектория точки. Исключая из первых двух уравнений (1) время t, получим уравнение траектории точки:

Это - уравнение параболы с осью, параллельной оси Оy. Таким образом, брошенная под углом к горизонту тяжёлая точка движется в безвоздушном пространстве по параболе (Галилей).

2. Горизонтальная дальность. Определим горизонтальную дальность, т.е. измеренное вдоль оси Оx расстояние ОС=Х . Полагая в равенстве (2) y =0, найдём точки пересечения траектории с осью Ох . Из уравнения:

получаем

Первое решение дает точку О , второе точку С . Следовательно, Х=Х 2 и окончательно

Из формулы (3) видно, что такая же горизонтальная дальность X будет получена при угле , для которого , т.е. если угол . Следовательно, при данной начальной скорости в одну и ту же точку С можно попасть двумя траекториями: на­стильной () и навесной ().

При заданной начальной скорости наибольшая горизонтальная дальность в безвоздушном пространстве получается, когда , т.е. при угле .

3. Высота траектории. Если положить в уравнении (2)

То найдется высота траектории Н :

4. Время полета. Из первого уравнения системы (1) следует, что полное время полета Т определяется равенством . Заменяя здесь Х его значением, получим

При угле наибольшей дальности все найденные вели­чины равны:

Полученные результаты практически вполне приложимы для ориен­тировочного определения характеристик полета снарядов (ракет), имеющих дальности порядка 200…600 км, так как при этих дальностях (и при ) снаряд основную часть своего пути проходит в стратосфере, где сопротивлением воздуха можно пренебречь. При меньших дальностях на результат будет сильно влиять сопротивле­ние воздуха, а при дальностях свыше 600 км силу тяжести уже нельзя считать постоянной.

Пример 4. Из пушки, установленной на высоте h , произвели выстрел под углом к горизонту (рис. 6). Ядро вылетело из ствола орудия со скоростью u . Определим уравнения движения ядра.

Рис.6

Чтобы правильно составить дифференциальные уравнения движения, надо решать подобные задачи по определённой схеме.

а) Назначить систему координат (количество осей, их направление и начало координат). Удачно выбранные оси упрощают решение.

б) Показать точку в промежуточном положении. При этом надо проследить за тем, чтобы координаты такого положения обязательно были положительными (рис.6).

в) Показать силы, действующие на точку в этом промежуточном положении (силы инерции не показывать!).

В этом примере – это только сила , вес ядра. Сопротивление воздуха учитывать не будем.

г) Составить дифференциальные уравнения по формулам: . Отсюда получим два уравнения: и .

д) Решить дифференциальные уравнения.

Как видно из этого примера, схема решения задач довольно проста. Сложности могут возникнуть только при решении дифференциальных уравнений, которые могут оказаться непростыми.

2) Определение движения точки естественным способом.

Координатным способом обычно определяют движение точки, не ограниченные какими-либо условиями, связями. Если на движение точки наложены ограничения, на скорость или координаты, то определить такое движение координатным способом совсем не просто. Удобнее использовать естественный способ задания движения.

Определим, например, движение точки по заданной неподвижной линии, по заданной траектории (рис. 7).

Рис.7

На точку М кроме заданных активных сил , действует реакция линии. Показываем составляющие реакции по естественным осям

· Дифференциальные уравнения движения точки связывают ускорение точки с действующими на нее силами. Фактически дифференциальные уравнения являются записью основного закона динамики в явной дифференциальной форме.
Для абсолютного движения точки (движение в инерциальной системе отсчета) дифференциальное уравнение имеет вид:
.

· Векторное уравнение может быть записано в проекциях на оси прямоугольной инерциальной системы координат:

· При известной траектория движения точки уравнение может быть записано в проекциях на оси естественной системы координат:

С учетом того, что ,
где - тангенциальное ускорение;
- нормальное ускорение,
уравнения примут вид:

Общие теоремы динамики

· Общие теоремы динамики устанавливают зависимость между мерами механического движения и механического взаимодействия. Выводы теорем являются результатом тождественного преобразования основного закона динамики.

· Теорема об изменении количества движения: изменение количества движения материальной точки (механической системы) за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени - для материальной точки;
- для механической системы.

· Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки (механической системы) при её перемещении равно сумме работ всех действующих внешних сил на этом перемещении - для материальной точки;
- для механической системы.

· Кинетическая энергия механической системы определяется в соответствии с , при этом для твердых тел выведены следующие зависимости:
- при поступательном движении тела;
- при вращательном движении тела;
- при плоско-параллельном движении тела.

· Момент инерции цилиндра относительно его оси:
.

· Момент инерции стержня относительно оси z :
.

· Момент инерции прямоугольной пластины относительно осей х иy : .

· Момент инерции шара определяется по формуле:
.

· Работа силы тяжести:
,
где P - сила тяжести;
h - изменение положения тела по вертикали.

· Работа силы при вращательном движении тела
,
где M - момент силы,
w - угловая скорость тела.
Следует иметь в виду, что работа, как скалярная величина, может быть положительной или отрицательной. Работа будет положительной если направление действия силы совпадает с направлением движения.

Принцип Даламбера

· Формулировка принципа Даламбера: если в любой момент времени к действующим на точку силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной :
.

· Для механической системы:
.

Примеры решения задач

Решение примеров по теме: «Статика твердого тела»

Пример 1. Условия равновесия

Висящий на нити, под углом в сорок пять градусов к гладкой стене шар весом в десять Ньютон, находится в состоянии равновесия (рис. а ). Необходимо определить давление однородного шара на гладкую стенку и натяжение нити.

Дано: P = 10 Н; α = 45°
Найти: N, T - ?

Решение.
Отбрасываем связи, а их действие на шар заменяем реакциями.
Реакция стенки N направлена перпендикулярно стенке (от точки касания С к центру шара О ), реакция нити Т - вдоль нити от точкиА к точке В .
Тем самым выявляется полная система сил, приложенных к покоящемуся шару.

Это система сил, сходящихся в центре О шара, и состоящая из веса шара Р (активная сила), реакции стенки N и реакции нити Т (рис.б ).

Реакции N и Т по величине неизвестны. Для их определения следует воспользоваться условиями равновесия (в той или иной форме - геометрической, аналитической).

При геометрическом способе решения строится замкнутый многоугольник сил и используются соотношения школьной геометрии (теорема синусов, теорема косинусов, теорема Пифагора и т.д.).

В данном случае это замкнутый силовой треугольник (рис. в ), из которого получаем:

После подстановки в формулы числовых значений, получим:
.

Ответ: .

Решение примеров

ДИНАМИКА

Электронный учебник по дисциплине: ”Теоретическая механика”

для студентов заочной формы обучения

Соответствует Федеральному образовательному стандарту

(третьего поколения)

Сидоров В.Н.,д.т.н.,профессор

Ярославский государственный технический университет

Ярославль, 2016

Введение …………………………………………………………………

Динамика…………………………………………………………………..

1.Введение в динамику. Основные положения …………………………

1.1.Основные понятия и определения ………………………………...

1.2.Законы Ньютона и задачи динамики ………………………………

1.3.Основные виды сил …………………................................................

Сила тяготения ……………………………………….. ………........

Сила тяжести ………………………………………………………..

Сила трения …………………………………………………………

Сила упругости ……………………………………………………..

1.4.Дифференциальные уравнения движения………………………..

Дифференциальные уравнения движения точки ………………..

Дифференциальные уравнения движения механической

системы …………………………………………………………….

2.Общие теоремы динамики ………………………. ……………………

2.1.Теорема о движении центра масс ……………….. ………………

2.2.Теорема об изменении количества движения ……………………

2.3.Теорема об изменении момента количества движения …… ……

Теорема моментов …………………………………………………

Кинетический момент твердого тела…………………………….

Осевой момент инерции твердого тела …………………………..

Теорема Гюйгенса – Штейнера – Эйлера ………………………..

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела …

2.4.Теорема об изменении кинетической энергии …………………..

Теорема об изменении кинетической энергии материальной

точки ……………………………………………………………….

Теорема об изменении кинетической энергии механической

системы ……………………………………………………………

Формулы для подсчета кинетической энергии твердого тела

в разных случаях движения ………………………………………

Примеры вычисления работы сил ……………………………….

2.5.Закон сохранения механической энергии ……………………….

Введение

«Кто не знаком с законами механики

тот не может познать природы»

Галилео Галилей

Значение механики, ее значительная роль в совершенствовании производства, повышении его эффективности, ускорении научно-технического процесса и внедрении научных разработок, росте производительности труда и улучшении качества выпускаемой продукции,к сожалению, понимается достаточно отчетливо не всеми руководителями министерств и ведомств, высших учебных заведений, равно как и то, что представляет механика наших дней /1/.Как правило, о ней судят по содержанию теоретической механики, изучаемой во всех высших технических учебных заведениях.

Студенты должны знать, насколько важна теоретическая механика, как одна из основополагающих инженерных дисциплин высшей школы,научная основа важнейших разделов современной техники, своеобразный мост, соединяющий математику и физику с прикладными науками, с будущей профессией. На занятиях по теоретической механике впервые студентам прививается системное мышление, умение ставить и решать практические задачи. Решать их до конца, до числового результата. Учиться анализировать решение, устанавливать границы его применимости и требование к точности исходных данных.

Не менее важно знать студентам, что теоретическая механика лишь вводная, хотя и совершенно необходимая, часть колоссального здания современной механики в широком понимании этой фундаментальной науки. Что она будет развиваться в других разделах механики: сопротивлении материалов, теории пластин и оболочек,теории колебаний, регулирования и устойчивости, кинематике и динамики машин и механизмов, механике жидкости и газа, химической механике.

Достижения всех разделов машиностроения и приборостроения, строительной индустрии и гидротехники, добычи и переработки руды, каменного угля, нефти и газа, железнодорожного и автомобильного транспорта, судостроения, авиации и космической техники опираются на глубокое понимание законов механики.

Учебное пособие предназначено для студентов машиностроительных, автомеханических специальностей заочной формы обучения в техническом университете по сокращенной программе курса.

Итак, несколько определений.

Теоретическая механика – это наука, изучающая общие законы механического движения и равновесия материальных объектов и возникающие при этом механические взаимодействия между материальными объектами.

Под механическим движением материального объекта понимают происходящее с течением времени изменение его положения по отношению к другим материальным объектам.

Под механическим взаимодействием подразумевают такие действия тел друг на друга, при которых изменяются движения этих тел, либо они сами деформируются (меняют свою форму).

Теоретическая механика состоит из трех разделов: статики, кинематики и динамики.

ДИНАМИКА

Введение в динамику. Основные положения

Основные понятия и определения

Сформулируем еще раз в несколько ином виде определение динамики как части механики.

Динамика – раздел механики, изучающий движение материальных объектов, с учетом действующих на них сил .

Обычно изучение динамики начинают с изучения динамики материальной точки и затем переходят к изучению динамики механической системы .

В силу схожести формулировок многих теорем и законов этих разделов динамики, дабы избежать излишнего дублирования и сократить текстовый объем учебника, целесообразно излагать эти разделы динамики совместно.

Введем некоторые определения.

Инерция (закон инерции ) – свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного поступательного движения в отсутствии действия на него со стороны других тел (т.е в отсутствии сил) .

Инертность - способность тел сопротивляться попыткам изменить с помощью сил их состояние покоя или равномерного прямолинейного движения .

Количественной мерой инерции служит масса (m). Эталоном массы является килограмм (кг).

Отсюда следует, что чем инертнее тело, чем больше его масса, тем меньше меняется его состояние покоя или равномерного движения под действием определенной силы, меньше меняется скорость тела, т.е. тело лучше сопротивляется воздействию силы. И наоборот, чем меньше масса тела, тем больше меняется его состояние покоя или равномерного движения, сильнее меняется скорость тела, т.е. тело хуже сопротивляется воздействию силы.

Законы и задачи динамики

Сформулируем законы динамики материальной точки. В теоретической механике они принимаются как аксиомы. Справедливость этих законов обусловлена тем, что на их базе строится все здание классической механики, законы которой выполняются с большой точностью. Нарушения законов классической механики наблюдаются только при больших скоростях (релятивистская механика) и в масштабах микромира (квантовая механика).

Основные виды сил

Прежде всего, введем разделение всех встречающихся в природе сил на активные и реактивные (реакции связей).

Активной называют такую силу, которая может привести в движение покоящееся тело .

Реакция связи возникает в результате действия активной силы на несвободное тело и препятствует перемещению тела . Собственно поэтому, являясь следствием, откликом, последействием активной силы.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в задачах механики силы.

Сила тяготения

Эта сила гравитационного притяжения между двумя телами, определяемая законом всемирного тяготения:

где - ускорение силы тяжести у поверхности Земли, численно равное g ≈ 9,8 м/с 2 , m – масса тела, или механической системы, определяемая как совокупная масса всех точек системы:

где - радиус-вектор k- ой точки системы. Координаты центра масс можно получить, спроецировав обе части равенства (3.6) на оси:

(7)

Сила трения

В инженерных расчетах исходят из экспериментально установленных закономерностей, называемых законами сухого трения (в отсутствии смазки), или законами Кулона :

· При попытке сдвинуть одно тело вдоль поверхности другого возникает сила трения (сила трения покоя ), величина которой может принимать значения от нуля до некоторого предельного значения .

· Величина предельной силы трения , равна произведению некоторого безразмерного, экспериментально определяемого коэффициента трения f на силу нормального давления N , т.е.

· По достижению предельного значения силы трения покоя за исчерпанием сцепных свойств сопрягающихся поверхностей тело начинает перемещаться вдоль опорной поверхности, причем сила сопротивления движению практически постоянна и не зависит от скорости (разумных пределах). Эта сила называется силой трения скольжения и она равна предельному значению силы трения покоя.

· поверхности.

Приведем значения коэффициента трения для некоторых тел:

Табл. 1

Трение качения

Рис.1

При качении колеса без проскальзывания (рис. 1) реакция опоры несколько смещается вперед по ходу движения колеса. Причина этого – в несимметричности деформации материала колеса и опорной поверхности в зоне контакта. Под действием силы давление у края В зоны контакта возрастает, а у края А убывает. В результате реакция оказывается смещенной в сторону движения колеса на величину k , называемой коэффициентом трения качения . На колесо действует пара сил и с моментом сопротивления качению, направленным против вращения колеса:

В условиях равновесия при равномерном качении моменты пар сил , и , уравновешивают друг друга: , откуда вытекает оценка значения силы, направленной против движения тела: . (10)

Отношение для большинства материалов значительно меньше коэффициента трения f. Этим и объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением.

Сила упругости

Эта сила, с которой деформированное тело стремится вернуться в свое исходное, недеформированное состояние. Если, например, растянуть пружину на величину λ , то сила упругости и ее модуль равны, соответственно:

Знак минус в векторном соотношении показывает, что сила направлена в противоположную сторону от перемещения . Величина с носит название «жесткость » и имеет размерность Н/м.

Дифференциальные уравнения движения

Дифференциальные уравнений движения точки

Вернемся к выражению основного закона динамики точки в виде (3.2), записав его в виде векторных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядков (нижний индекс будет соответствовать номеру силы):

(17)

(18)

Сравним, например, системы уравнений (15) и (17). Легко увидеть, что в описание движения точки в координатных осях сводится к 3-м дифференциальным уравнениям 2-го порядка, или (после преобразования), к 6-и уравнениям 1-го порядка. В тоже время описание движения точки в естественных осях связано со смешанной системой уравнений, состоящей из одного дифференциального уравнения 1-го порядка (относительно скорости ) и двух алгебраических.

Отсюда можно сделать вывод, что при анализе движения материальной точки иногда проще решать первую и вторую задачи динамики, формулируя уравнения движения в естественных осях .

К первой или прямой задаче динамики материальной точки относятся задачи в которых по заданным уравнениям движения точки, ее массе необходимо найти силу (или силы) действующие на нее.

Ко второй или обратной задаче динамики материальной точки относятся задачи в которых по ее массе, силе (или силам), действующей на нее и известным кинематическим начальным условиям требуется определить уравнения ее движения.

Необходимо отметить, что при решении 1-й задачи динамики дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические, решение системы которых является тривиальной задачей. При решении 2-ой задачи динамики для решения системы дифференциальных уравнений необходимо сформулировать задачу Коши, т.е. добавить к уравнениям т.н. «краевые» условия. В нашем случае – это условия, налагающие ограничения на положение и скорость в начальный (конечный) момент времени, или т.н. «

Поскольку по закону равенства действия и противодействия внутренние силы всегда парные (действуют на каждую из двух взаимодействующих точек), они равны, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки, то их сумма попарно равна нулю. Кроме того, сумма моментов этих двух сил относительно любой точки также равна нулю. Это означает, что сумма всех внутренних сил исумма моментов всех внутренних сил механической системы порознь равны нулю :

.

(23)

Здесь, - соответственно главный вектор и главный момент внутренних сил, вычисленный относительно точки О.

Равенства (22) и (23) отражают свойства внутренних сил механической системы .

Пусть на некую k –ю материальную точку механической системы действуют одновременно как внешние, так и внутренние силы. Поскольку они приложены к одной точки, их можно заменить равнодействующими соответственно внешних () и внутренних ()сил. Тогда основной закон динамики k –й точки системы может быть записан, как , следовательно для всей системы будет:

(24)

Формально число уравнений в (24) соответствует числу n точек механической системы.

Выражения (24) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме , если в них заменить вектора ускорений первой или второй производными от скорости и радиус-вектора соответственно: По аналогии с уравнениями движения одной точки (15) эти векторные уравнения можно преобразовать в систему из 3n дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Общие теоремы динамики

Общими называются такие теоремы динамики материальной точки и механической системы, которые дают закономерности справедливые для любых случаев движения материальных обьектов в инерциальной системе отсчета.

Эти теоремы вообще говоря являются следствиями из решений системы дифференциальных уравнений, описывающей движения материальной точки и механической системы.

Основной закон механики, как указывалось, устанавливает для материальной точки связь между кинематическими (w - ускорение) и кинетическими ( - масса, F - сила) элементами в виде:

Он справедлив для инерциальных систем, которые выбираются в качестве основных систем, поэтому фигурирующее в нем ускорение резонно называть абсолютным ускорением точки.

Как указывалось, сила, действующая на точку, в общем случае зависит от времени положения точки, которое можно определить радиусом-вектором и скорости точки Заменяя ускорение точки его выражением через радиус-вектор, основной закон динамики запишем в виде:

В последней записи основной закон механики представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, служащее для определения уравнения движения точки в конечной форме. Уравнение, приведенное выше, называется уравнением движения точки в дифференциальной форме и векторном виде.

Дифференциальные уравнение движения точки в проекциях на декартовы координаты

Интегрирование дифференциального уравнения (см. выше) в общем случае представляет собой сложную задачу и обычно для решения ее от векторного уравнения переходят к скалярным уравнениям. Так как сила, действующая на точку, зависит от времени положения точки или ее координат и скорости точки или проекции скорости то, обозначая проекции вектора силы на прямоугольную систему координат соответственно дифференциальные уравнения движения точки в скалярной форме будут иметь вид:

Естественная форма дифференциальных уравнений движения точки

В тех случаях, когда заранее известна траектория точки, например, когда на точку наложена связь, определяющая ее траекторию, удобно пользоваться проекцией векторного уравнения движения на естественные оси, направленные по касательной, главной нормали и бинормали траектории. Проекции силы, которые назовем соответственно будут в этом случае зависеть от времени t, положения точки, которое определяется дугой траектории и скорости точки, или Так как ускорение через проекции на естественные оси записывается в виде:

то уравнения движения в проекции на естественные оси имеют вид:

Последние уравнения называются естественными уравнениями движения. Из этих уравнений следует, что проекция действующей на точку силы на бинормаль равна нулю и проекция силы на главную нормаль определяется после интегрирования первого уравнения. Действительно, из первого уравнения будет определено как функция времени t при заданной тогда, подставляя во второе уравнение найдем так как при заданной траектории радиус кривизны ее известен.

Дифференциальные уравнения движения точки в криволинейных координатах

Если положение точки задано ее криволинейными координатами то, проектируя векторное уравнение движения точки на направления касательных к координатным линиям, получим уравнения движения в виде.

Проектируя уравнение (1) на координатные оси и учитывая зависимости задаваемых сил от координат, скоростей и времени, получим дифференциальные уравнения динамики точки. Так, для декартовых координат имеем:

Дифференциаль­ные уравнения движения в цилиндрической системе координат будут иметь вид

;

В заключение приведем дифференциальные уравнения динамики точки в проекциях на оси натурального триэдра; эти уравнения бывают особенно удобны в тех случаях, когда известна траектория движения точки. Проектируя уравнение (3.1) на касательную, главную нормаль и бинормаль к траек­тории, получаем

, ,

Рассмотрим теперь на примере уравнений динамики точки в декартовых координатах (3.2) постановку и процесс реше­ния задач динамики точки. Существуют две основные задачи динамики точки: прямая и обратная. Первая задача динамики (прямая) состоит в следующем: дано движение точки, обладающей массой , т. е. заданы функции

требуется найти силы, вызывающие это движение. Решение этой задачи не представляет затруднении. Со­гласно уравнениям (3.1) и (3.3) находим проекции для чего дважды дифференцируем заданные функции (3.3).

, , (3.4)

Выражения (3.4) представляют проекции равнодействую­щей всех сил, действующих на точку; часть сил (или часть проекций)могут быть известными, остальные (но не более трёх проекций) найдутся из уравнений (3.4). Эту задачу можноформально привести к решению задачи статики, если переписать уравнение (3.1) в виде

Здесь - сила инерции точки, проекции которой на оси х, у, z равны выражениям (3.3) с противополож­ными знаками. Формальное сведение задачи динамики к задаче статики при помощи введения сил инерции, которое довольно часто практикуется в задачах механики, носит название метода кинетостатики.

Вторая (обратная) задача динамики точки ставится сле­дующим образом: на точку массы т, положение и вектор скорости которой в начальный момент времени известны, действуют заданные силы; требуется найти движение этой точки (ее координаты х,у,z) как функции времени. Так как правые части уравнений (2) -проекции сил на оси х, у, z- являются известными функциями координат, их первых производных и времени, то для получения требуемого результата надо проинтегрировать систему трех обыкновен­ных дифференциальных уравнений второго порядка. Анали­тическое решение такой задачи оказывается возможным лишь в отдельных частных случаях. Однако численные ме­тоды позволяют решить задачу с практически любой необходимой степенью точности. Предположим, что мы проинтегрировали систему диффе­ренциальных уравнений (3.2) и нашли выражения для коор­динат х, у, z в функции времени. Так как система (3.2) имеет шестой порядок, то при интегрировании ее появятся шесть произвольных постоянных и мы получим следующие выра­жения для координат:

Для определения постоянных (i = 1, 2,... 6) в этом решении следует обратиться к начальным условиям задачи. Записывая поставленные условия применительно к декартовым координатам, имеем при t = 0

Подставляя в найденное выражение (3.5) первую группу начальных условий (3.6) при t =0, получаем три уравнения, связывающие постоянные интегрирования:

Недостающие три соотношения находятся следующим об­разом: дифференцируем уравнения движения (3.5) по време­ни и подставляем в полученные выражения вторую группу начальных условий (3.6) при t = 0; имеем

Решая теперь совместно эти шесть уравнений, получим искомые значения шести произвольных постоянных интегри­рования (i = 1, 2,... 6), подставляя которые в уравнения дви­жения (3.5), находим окончательное решение задачи.

При составлении дифференциальных уравнений движения точки для конкретного случая следует, прежде всего, оценить действия различных факторов: учесть основные силы и от­бросить второстепенные. При решении различных техниче­ских задач часто пренебрегают силами сопротивления воз­духа и силами сухого трения; так, например, поступают при вычислении собственных частот колебательных систем, на значения которых упомянутые силы оказывают незначитель­ное влияние. Если тело движется вблизи поверхности земли, то его силу тяжести считают постоянной, а поверхности земли - плоской; при удалении от поверхности земли па рас­стояния, сравнимые с ее радиусом, необходимо уже принимать во внимание изменение силы тяжести с высотой, по­этому в таких задачах используется закон тяготения Ньютона.

Нельзя пренебрегать силой сопротивления воздуха при больших скоростях движения тела; в этом случае обычно принимают квадратичный закон сопротивления (сила сопротивления считается пропорциональной квадрату скорости движения тела).

(3.6)

Здесь - скоростной напор, ρ – плотность среды, в которой движется точка, - коэффициент сопротивления, - характерный поперечный размер. Однако, как будет показано ниже, в некоторых задачах необходимо учитывать внутреннее трение в жидкости (в газе), что приводит к более общей формуле для определения силы сопротивления

Если дви­жение тела происходит в вязкой среде, то и при небольших скоростях движения надо учитывать силу сопротивления, однако в этой задаче достаточно считать ее пропорциональ­ной первой степени скорости.

Пример. Рассмотрим задачу о прямолинейном движении точки в среде с сопротивлением, сила сопротивления задана выражением (3.6). Начальная скорость точки - , конечная - . Надо определить среднюю скорость движения на заданном интервале скоростей. Из формулы (3.2) имеем

(3.7)

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, решение которого может быть представлено в виде

,

решение которого запишется в виде

(3.8)

Для определения пройденного расстояния перейдём к новым координатам, для этого умножим левую и правую части уравнения (3.7) на ; при этом заметим, что

,

тогда и здесь получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

,

решение которого может быть представлено в виде

(3.9)

Из формул (3.8) и (3.9) получаем выражение для средней скорости

.

Для средняя скорость равна .

Но если положить , то нетрудно увидеть, что в этом случае и , то есть движущееся тело никогда не остановится, что, во-первых, противоречит здравому смыслу, а во-вторых неясно чему будет равна средняя скорость. Чтобы определить возьмём левые интегралы в пределах от до бесконечно малого ε, тогда получим