Методы решения уравнения стационарной теплопроводности. Уравнение теплопроводности. Задания для самостоятельной работы

Теплопроводность - это один из видов теплопередачи. Передача тепла может осуществляться с помощью различных механизмов.

Все тела излучают электромагнитные волны. При комнатной температуре это в основном излучение инфракрасного диапазона. Так происходит лучистый теплообмен .

При наличии поля тяжести еще одним механизмом теплопередачи в текучих средах может служить конвекция . Если к сосуду, содержащему жидкость или газ, тепло подводится через днище, в первую очередь прогреваются нижние порции вещества, их плотность уменьшается, они всплывают вверх и отдают часть полученного тепла верхним слоям.

При теплопроводности перенос энергии осуществляется в результате непосредственной передачи энергии от частиц (молекул, атомов, электронов), обладающих большей энергией, частицам с меньшей энергией.

В нашем курсе будет рассматриваться передача теплоты путем теплопроводности.

Рассмотрим сначала одномерный случай, когда температура зависит только от одной координаты х . Пусть две среды разделены плоской перегородкой толщины l (рис. 23.1). Температуры сред Т 1 и Т 2 поддерживаются постоянными. Опытным путем можно установить, что количество тепла Q , переданное через участок перегородки площадью S за время t равно

, (23.1)

где коэффициент пропорциональности k зависит от материала стенки.

При Т 1 > Т 2 тепло переносится в положительном направлении оси х , при Т 1 < Т 2 – в отрицательном. Направление распространения тепла можно учесть, если в уравнении (23.1) заменить (Т 1 - Т 2)/l на (- dT /dx ). В одномерном случае производная dT /dx представляет собой градиент температуры . Напомним, что градиент – это вектор, направление которого совпадает с направлением наиболее быстрого возрастания скалярной функции координат (в нашем случае Т ), а модуль равен отношению приращения функции при малом смещении в этом направлении к расстоянию, на котором это приращение произошло.

Чтобы придать уравнениям, описывающим перенос тепла, более общий и универсальный вид, ведем в рассмотрение плотность потока тепла j - количество тепла, переносимое через единицу площади в единицу времени

Тогда соотношение (23.1) можно записать в виде

Здесь знак «минус» отражает тот факт, что направление теплового потока противоположно направлению градиента температуры (направлению ее возрастания). Таким образом, плотность потока тепла является векторной величиной. Вектор плотности потока тепла направлен в сторону уменьшения температуры.

Если температура среды зависит от всех трех координат, то соотношение (23.3) принимает вид

где , - градиент температуры (е 1 , е 2 , е 3 - орты осей координат).

Соотношения (23.3) и (23.4) представляют основной закон теплопроводности (закон Фурье): плотность потока тепла пропорциональна градиенту температуры. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом теплопроводности (или просто теплопроводностью). Т.к. размерность плотности потока тепла [j ] = Дж/(м 2 с), а градиента температуры [dT/dx ] = К/м, то размерность коэффициента теплопроводности [k] = Дж/(м×с×К).

В общем случае температура в различных точках неравномерно нагретого вещества меняется с течением времени. Рассмотрим одномерный случай, когда температура зависит только от одной пространственной координаты х и времени t ,и получим уравнение теплопроводности - дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция T = T (x ,t ).

Выделим мысленно в среде малый элемент объема в виде цилиндра или призмы, образующие которого параллельны оси х , а основания перпендикулярны (рис 23.2). Площадь основания S , а высота dx . Масса этого объема dm = rSdx , а его теплоемкость c×dm где r - плотность вещества, с - удельная теплоемкость. Пусть за малый промежуток времени dt температура в этом объеме изменилась на dT . Для этого вещество в объеме должно получить количество тепла, равное произведению его теплоемкости на изменение температуры: . С другой стороны, dQ можно может поступить в объем только через основания цилиндра: (плотности потоков тепла j могут быть как положительными, так и отрицательными). Приравнивая выражения для dQ , получим

.

Заменяя отношения малых приращений соответствующими производными, придем к соотношению

. (23.5)

Подставим в формулу (23.5) выражение (23.3) для плотности потока тепла

. (23.6)

Полученное уравнение называется уравнением теплопроводности . Если среда однородна, и теплопроводность k не зависит от температуры, уравнение принимает вид

, (23.7)

где постоянная называется коэффициентом температуропроводности среды.

Уравнениям (23.6) – (23.8) удовлетворяет бесчисленное множество функций T = T (x ,t ).

Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия.

Начальное условие состоит в задании распределения температуры в среде Т (х ,0) в начальный момент времени t = 0.

Граничные условия могут быть различными в зависимости от температурного режима на границах. Чаще всего встречаются ситуации, когда на границах заданы температура или плотность потока тепла как функции времени.

В ряде случаев в среде могут оказаться источники тепла. Теплота может выделяться в результате прохождения электрического тока, химических или ядерных реакций. Наличие источников тепла можно учесть введением объемной плотности энерговыделения q (x ,y ,z ), равной количеству теплоты, выделяемому источниками в единице объема среды за единицу времени. В этом случае в правой части уравнения (23.5) появится слагаемое q :

.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при действии мгновенного сосредоточенного источника в неограниченной среде называется фундаментальным решением.

Мгновенный точечный источник

Для бесконечного тела, в начале координат которого действует мгновенный точечный источник, решение дифференциального уравнения теплопроводности следующее:

где T - температура точки с координатами x,y,z; Q - количество тепла, выделившееся в момент t = 0 в начале координат; t - время, прошедшее с момента введения тепла; R - расстояние от начала координат, где действует источник, до рассматриваемой точки (радиус - вектор). У равнение (4) является фундаментальным решением уравнения теплопроводности при действии мгновенного точечного источника в бесконечном теле.

В любой момент t ? 0 температура самого источника (R = 0) отлична от нуля и с течением времени уменьшается по закону t -3/2 , оставаясь выше температур других точек тела. Вместе с удалением от источника температура понижается по закону нормального распределения exp(-R 2 /4at). Изотермическими поверхностями являются сферы с центром в источнике, и температурное поле в данный момент времени зависит лишь от радиуса. В начальный момент времени (t = 0) температура не определена (T = ?), что связано со схемой сосредоточенного источника, в котором в бесконечно малом объеме в начальный момент времени содержится конечное количество тепла Q.

На основе решения для бесконечного тела (4) можно вывести уравнение температурного поля для схемы полубесконечного тела, которая применяется для описания тепловых процессов в массивных изделиях. Пусть в полубесконечном теле, ограниченном поверхность S - S действует мгновенный точечный источник Д (рис. 4). Для массивных тел тепловые потоки внутри значительно больше потока теплоотдачи с поверхности. Поэтому поверхность полубесконечного тела можно считать адиабатической границей, для которой (см.п. 1.4)

Дополним полубесконечную область z > 0 до бесконечной, дбавив область z < 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела

По такой же схеме моделируется и изотермическая граница (граничное условие 1-го рода) T S =0, но в этом случае T = T Д - T Ф. Следует подчеркнуть, что источник нагрева не может действовать на изотермической поверхности.

Графическое изображение температурного поля (6) требует четкого понимания пространственного положения поверхности, на которой строится распределение температуры. В декартовой системе координат (x, y, z) контрольными сечениями полубесконечного тела при действии точечного источника являются плоскости xy, xz и yz (рис. 5, а). Для полубесконечного тела изотермические поверхности являются полусферами (температура зависит от радиуса - вектора R). В плоскости xy изотермы, как сечение поверхности плоскостью

z=const, являются окружностями, а в других плоскостях - полуокружностями (рис. 5, б). Температурное поле мгновенного точечного источника в разные моменты времени представлено на рис. (6) (см. П 1.1.). На рисунке температура графически ограничена значением T=1000K|.

Температура в любой точке вне источника сначала возрастает, а затем убывает (рис.1.3). Момент достижения максимального значения температуры в данной точке найдется из условия

Дифференцируя выражение (6) по времени, получаем формулу для определения времени, когда температура максимальна

Максимальные темперы точек полубесконечного тела при действии точечного источника уменьшаются с расстоянием как R 3 .

При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:

1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ ;

2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль осиОХ ;

3) стержень тонкий - это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.

Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х ] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:

Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х ] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.

Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U , вычисляется по формуле: ∆Q=CρS∆x∆U , где С -удельная теплоемкость материала (=количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S - площадь поперечного сечения.

Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q 1 = -kSU x (x, t)∆t , где k - коэффициент теплопроводности материала (= количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х , а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть U x < 0 . Следовательно, чтобыQ 1 был положительным, в формуле стоит знак минус.

Аналогично, тепловой поток через правый конец участка стержня вычисляется по формуле: Q 2 = -kSU x (x +∆x,t)∆t .

Если предположить, что внутренних источников тепла в стержне нет, и воспользоваться законом сохранения тепла, то получим:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t .

Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:

Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид

U t =a 2 U xx ,

где - коэффициент температуропроводности.

В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t) , получится неоднородное уравнение теплопроводности

U t = a 2 U xx + f(x,t) ,
где .

Начальные условия и граничные условия.

Для уравнения теплопроводности задается только одно начальное условие U| t=0 = φ(х) (или в другой записиU(x,0) = φ(х) ) и физически оно означает, что начальное распределение температуры стержня имеет вид φ(х) . Для уравнений теплопроводности на плоскости или в пространстве начальное условие имеет такой же вид, только функция φ будет зависеть, соответственно, от двух или трех переменных.

Граничные условия в случае уравнения теплопроводности имеют такой же вид, как и для волнового уравнения, но физический смысл их уже иной. Условия первого рода (5) означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g 1 (t) ≡ Т 1 и g 2 (t) ≡ Т 2 , где Т 1 и Т 2 - постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т 1 = Т 2 = 0 и условия будут однородными. Граничные условия второго рода (6) определяют тепловой поток на концах стержня. В частности, если g 1 (t) = g 2 (t) = 0 , то условия становятся однородными. Физически они означают, что через концы не происходит теплообмен с внешней средой (эти условия еще называют условиями теплоизоляции концов). Наконец, граничные условиятретьего рода (7) соответствуют случаю, когда через концы стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (напомним, что при выводе уравнения теплопроводности мы считали боковую поверхность теплоизолированной). Правда, в случае уравнения теплопроводности условия (7) записываются немного по-другому:

Физический закон теплообмена со средой (закон Ньютона) состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды. Таким образом, для левого конца стержня он равен Здесь h 1 > 0 - коэффициент теплообмена с окружающей средой, g 1 (t) - температура окружающей среды на левом конце. Знак минус поставлен в формуле по той же причине, что и при выводе уравнения теплопроводности. С другой стороны, в силу теплопроводности материала поток тепла через этот же конец равен Применив закон сохранения количества тепла, получим:

Аналогично получается условие (14) на правом конце стержня, только постоянная λ 2 может быть другой, так как, вообще говоря, среды, окружающие левый и правый конец, бывают разные.

Граничные условия (14) являются более общими по сравнению с условиями первого и второго рода. Если предположить, что через какой-либо конец не происходит теплообмена со средой (то есть коэффициент теплообмена равен нулю), то получится условие второго рода. В другом случае предположим, что коэффициент теплообмена, например h 1 , очень большой.

Перепишем условие (14) при х = 0 в виде и устремим . В результате будем иметь условие первого рода:

Аналогично формулируются граничные условия и для большего числа переменных. Для задачи о распространении тепла в плоской пластине условие означает, что температура на ее краях поддерживается нулевой. Точно так же, условия и внешне очень похожи, но в первом случае оно означает, что рассматривается плоская пластина и края ее теплоизолированы, а во втором случае оно означает, что рассматривается задача о распространении тепла в теле и поверхность его теплоизолирована.

Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим однородную первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности:

Найти решение уравнения

U t = U xx , 00,

удолетворяющее граничным условиям

U(0,t) = U(l,t)=0, t>0 ,

и начальному условию

Решим эту задачу методом Фурье.

Шаг 1 . Будем искать решения уравнения (15) в виде U(x,t) = X(x)T(t) .

Найдем частные производные:

Подставим эти производные в уравнение и разделим переменные:

По основной лемме получим

Отсюда следует

Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратим внимание на то, что используя граничные условия (16), можно искать не общее решение уравнения б), а частные решения, удолетворяющие соответствующим граничным условиям:

Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля

Эта задача совпадает с задачей Штурма-Лиувилля, рассмотренной в лекции 3. Напомним, что собственные значения и собственные функции этой задачи существуют только при λ>0.

Собственные значения равны

Собственные функции равны (См. решение задачи)

Уравнение теплопроводности в однородной среде, как мы видели, имеет вид

Коэффициент внутренней теплопроводности, с - теплоемкость вещества и - плотность. Кроме уравнения (1), нужно иметь в виду начальное условие, дающее начальное распределение температуры и при

Если тело ограничено поверхностью (S), то на этой поверхности мы будем иметь и предельное условие, которое может быть различным, смотря по физическим обстоятельствам. Так, например, поверхность (S) может поддерживаться при определенной температуре, которая может и меняться с течением времени. В этом случае предельное условие сводится к заданию функции U на поверхности (S), причем эта заданная функция может зависеть и от времени t. Если температура поверхности не фиксирована, но имеется лучеиспускание в окружающую среду данной температуры то по закону Ньютона, правда, далеко не точному, поток тепла через поверхность (S) пропорционален разности температур окружающего пространства и поверхности тела (S). Это дает предельное условие вида

где коэффициент пропорциональности h называется коэффициентом внешней теплопроводности.

В случае распространения тепла в теле линейных размеров, т. е. в однородном стержне, который мы считаем расположенным вдоль оси вместо уравнения (1) мы будем иметь уравнение

При такой форме уравнения не учитывается, конечно, тепловой обмен между поверхностью стержня и окружающим пространством.

Уравнение (S) можно получить также из уравнения (1), предполагая U не зависящей от . Начальное условие в случае стержня

Уравнение теплопроводности для нестационарного случая

нестационарным , если температура тела зависит как от положения точки, так и от времени.

Обозначим через и = и (М , t ) температуру в точке М однородного тела, ограниченного поверхностью S , в момент времени t . Известно, что количество теплоты dQ , поглощаемой за время dt , выражается равенством

где dS − элемент поверхности, k − коэффициент внутренней теплопроводности, − производная функции и по направлению внешней нормали к поверхности S . Так как распространяется в направлении понижения температуры, то dQ > 0, если > 0, и dQ < 0, если < 0.

Из равенства (1) следует

Теперь найдем Q другим способом. Выделим элемент dV объема V , ограниченного поверхностью S . Количество теплоты dQ , получаемой элементом dV за время dt , пропорционально повышению температуры в этом элементе и массе самого элемента, т.е.

где плотность вещества, коэффициент пропорциональности, называемый теплоемкостью вещества.

Из равенства (2) следует

Таким образом,

где . Учитывая, что = , , получим

Заменяя правую часть равенства с помощью формулы Остроградского – Грина, получим

для любого объема V . Отсюда получаем дифференциальное уравнение

которое называют уравнением теплопроводности для нестационарного случая .

Если тело есть стержень, направленный по оси Ох , то уравнение теплопроводности имеет вид

Рассмотрим задачу Коши для следующих случаев.

1. Случай неограниченного стержня. Найти решение уравнения (3) (t > 0, ), удовлетворяющее начальному условию . Используя метод Фурье, получим решение в виде

− интеграл Пуассона.

2. Случай стержня , ограниченного с одной стороны. Решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию и краевому условию , выражается формулой

3. Случай стержня , ограниченного с двух сторон. Задача Коши состоит, чтобы при х = 0 и х = l найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию и двум краевым условиям, например, или .

В этом случае частное решение ищется в виде ряда

для краевых условий ,

и в виде ряда

для краевых условий .

Пример. Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

и краевым условиям .

□ Решение задачи Коши будем искать в виде

Таким образом,

Уравнение теплопроводности для стационарного случая

Распределение тепла в теле называют стационарным , если температура тела и зависит от положения точки М (х , у , z ), но не зависит от времени t , т.е.

и = и (М ) = и (х , у , z ).

В этом случае 0 и уравнение теплопроводности для стационарного случая обращается в уравнение Лапласа

которое часто записывают в виде .

Чтобы температура и в теле определялась однозначно из этого уравнения, нужно знать температуру на поверхности S тела. Таким образом, для уравнения (1) краевая задача формулируется следующим образом.

Найти функцию и , удовлетворяющую уравнению (1) внутри объема V и принимающую в каждой точке М поверхности S заданные значения

Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения (1).

Если на поверхности тела температура неизвестна, а известен тепловой поток в каждой точке поверхности, который пропорционален , то на поверхности S вместо краевого условия (2) будем иметь условие

Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего краевому условию (3), называется задачей Неймана или второй краевой задачей .

Для плоских фигур уравнение Лапласа записывается в виде

Такой же вид имеет уравнение Лапласа и для пространства, если и не зависит от координаты z , т.е. и (М ) сохраняет постоянное значение при перемещении точки М по прямой, параллельной оси Oz .

Заменой , уравнение (4) можно преобразовать к полярным координатам

С уравнением Лапласа связано понятие гармонической функции. Функция называется гармонической в области D , если в этой области она непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Пример. Найти стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня , .

□ Имеем одномерный случай. Требуется найти функцию и , удовлетворяющую уравнению и краевым условиям , . Общее уравнение указанного уравнения имеет вид . Учитывая краевые условия, получим

Таким образом, распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью линейно. ■

Задача Дирихле для круга

Пусть дан круг радиуса R с центром в полюсе О полярной системы координат. Надо найти функцию , гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию , где − заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа

Используя метод Фурье, можно получить

− интеграл Пуассона.

Пример. Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиуса R , верхняя половина поддерживается при температуре , а нижняя – при температуре .

□ Если , то , а если , то . Распределение температуры выражается интегралом

Пусть точка расположеиа в верхнем полукруге, т.е. ; тогда изменяется от до , и этот интервал длины не содержит точек . Поэтому введем подстановку , откуда , . Тогда получим

Так правая часть отрицательна, то и при удовлетворяет неравенствам . Для этого случая получаем решение

Если же точка расположена в нижнем полукруге, т.е. , то интервал изменения содержит точку , но не содержит 0, и можно сделать подстановку , откуда , , Тогда для этих значений имеем

Проведя аналогичные преобразования, найдем

Так как правая часть теперь положительна , то . ■

Метод конечных разностей для решения уравнения теплопроводности

Пусть требуется найти решение уравнения

удовлетворяющее:

начальному условию

и краевым условиям

Итак, требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), (4), т.е. требуется найти решение в прямоугольнике, ограниченном прямыми , , , , если заданы значения искомой функции на трех его сторонах , , .

Построим прямоугольную сетку, образованную прямыми

− шаг вдоль оси Ох ;

− шаг вдоль оси Оt .

Введем обозначения:

Из понятия конечных разностей можно записать

аналогично

Учитывая формулы (6), (7) и введенные обозначения, запишем уравнение (1) в виде

Отсюда получим расчетную формулу

Из (8) следует, что если известны три значения к k -ом слое сетки: , , , то можно определить значение в (k + 1)-ом слое.

Начальное условие (2) позволяет найти все значения на прямой ; краевые условия (3), (4) позволяют найти значения на прямых и . По формуле (8) находим значения во всех внутренних точках следующего слоя, т.е. для k = 1. Значения искомой функции в крайных точках известны из граничных условий (3), (4). Переходя от одного слоя сетки к другому, определяем значения искомого решения во всех узлах сетки. ;