Дайте определение бесконечно большой функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Определение монотонных последовательностей

При решении задач по статике, относящихся к равновесию твердого тела, почти всегда рассматриваемое тело является несвободным. Условия, стесняющие свободу движения рассматриваемого тела, называются в механике связями. В статике связи осуществляются при помощи твердых или гибких тел, соединенных с данным твердым телом или касающихся его. Обычно задача состоит в определении сил взаимодействия между данным твердым телом и телами, осуществляющими связи, наложенные на это тело. Сила, с которой связь, препятствующая перемещению данного твердого тела в каком-нибудь направлении, действует на это тело, называется реакцией связи. Направление реакции связи противоположно тому направлению, в котором связь препятствует перемещению данного тела.

Основные типы связей

Основные типы связей показаны на рис. 16.

1. Тело опирается на абсолютно твердую гладкую неподвижную поверхность в точке А. Реакция N такой поверхности направлена по общей нормали к поверхности данного тела и к опорной поверхности в точке А соприкосновения тела с опорой.

2. Тело опирается на неподвижную точку или на неподвижную линию. Если трением пренебречь, то в этом случае реакция связи N приложена к телу в точке соприкосновения его с опорой и направлена по нормали к поверхности тела в этой точке.

3. Тело опирается одной точкой на гладкую неподвижную поверхность. Реакция связи N в этом случае приложена в точке соприкосновения тела с поверхностью и направлена по нормали к этой поверхности.

4. Связь осуществляется гибкой, нерастяжимой нитью (цепью, или канатом). Реакция этой связи приложена в точке прикрепления нити к телу и направлена вдоль нити. При этом следует отметить, что нить может быть только растянута. Поэтому реакция нити может быть направлена вдоль нити только в одну сторону, а именно от точки закрепления нити на данном теле к другому закрепленному концу нити.

5. Тело опирается на гладкую неподвижную плоскость катками, которые могут перемещаться по этой плоскости. Реакция такой опоры направлена перпендикулярно к плоскости, по которой могут перемещаться катки.

6. Связь осуществляется при помощи неподвижного цилиндрического шарнира. В этом случае рассматриваемое тело может только вращаться вокруг неподвижной оси цилиндрического шарнира. Если трением в шарнире пренебречь, то реакция неподвижного цилиндрического шарнира направлена по нормали к его цилиндрической поверхности, т. е. лежит в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, и пересекает эту ось. Но направление реакции шарнира в этой плоскости заранее неизвестно; это направление приходится определять в каждом отдельном случае, т. е. в каждой конкретной задаче.

7. Связь осуществляется при помощи невесомого твердого стержня, шарнирно соединенного концами с данным телом, равновесие которого мы рассматриваем, и с другим каким-нибудь телом, например со стойкой, стеной или полом; причем никакие заданные силы к этому стержню не приложены (его весом пренебрегаем). Реакция RB такого стержня, приложенная к данному телу, направлена вдоль стержня. При этом стержень может подвергаться как сжатию, так и растяжению.

(см. оригинал)

8. а) Связь осуществляется при помощи подпятника. Подпятник А служит для укрепления пяты стойки и допускает только одно перемещение рассматриваемого твердого тела, а именно вращение этого тела вокруг оси стойки. Основание подпятника препятствует перемещению тела по вертикали вниз (вдоль оси стойки), а стенки подпятника препятствуют перемещению тела в плоскости, перпендикулярной к оси стойки. Реакция подпятника направлена по вертикали вверх, а реакция стенок подпятника лежит в горизонтальной плоскости, но направление ее в этой плоскости в общем случае неизвестно, поэтому при решении задач нужно разложить на две составляющие по направлениям осей и у, перпендикулярным к оси стойки.

б) Связь осуществляется при помощи неподвижного цилиндрического подшипника. Подшипник В не препятствует вращению тела вокруг оси и скольжению вдоль этой оси. Если трением пренебречь, то реакция подшипника (реакция цилиндрической поверхности его стенок) пересекает ось вращения тела и лежит в плоскости, перпендикулярной к этой оси; так как подшипник не препятствует скольжению тела вдоль оси вращения, то нет и реакции, направленной вдоль этой оси.

9. Связь осуществляется при помощи сферического шарнира. Сферический шарнир не препятствует вращению тела вокруг любой оси, проходящей через центр О этого шарнира (точку О). Реакция сферического шарнира проходит через центр шарнира О, а направление ее заранее указать нельзя. Поэтому при решении задач эту реакцию приходится разлагать на три составляющие по направлениям выбранных осей координат.

При взаимодействии между телом и его связями возникают силы, противодействующие возможным движениям тела. Тело, стремясь под действием приложенных сил осуществить перемещение, которому препятствует связь, будет действовать на нее с некоторой силой, называемой силой давления на связь . Одновременно по закону о равенстве действия и противодействия связь будет действовать на тело с такой же по модулю, но противоположно направленно силой.

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи или просто реакций связи.

Силовое взаимодействие связи на рассматриваемое тело приводится к силе R и паре сил с моментом М . Сила R называется реакцией связи, а момент М – моментом реакции, опорным или реактивным моментом.

Реакции связи и опорные моменты относятся к пассивным силам, т.к. они не способны сообщить движение телу, т.е. не способны изменить кинематическое состояние тела. Все остальные силы – активные , способные изменить кинематическое состояние тела (не исчезают при устранении связей).

Принцип освобождаемости от связей

Для определения реакций связей используют принцип освобождаемости от связей или аксиому связей :

Всякое несвободное тело можно, мысленно отбросив связи, рассматривать как свободное, если действия связей заменить реакциями связей.

Определение реакций связей является одной из основных задач статического расчета любого сооружения или механизма.

В зависимости от направления реакций связи можно разделить на три группы:

2) направление реакций частично определяются связями и зависят, кроме того, от других приложенных сил;

Направление сил реакции (основные правила )

1. Реакция связи всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела.

2. Если связь разрешает поступательные движения тела в каком-то направлении, то силы реакции в таком направлении не будет , если связь запрещает движение в каком-то направлении, то реакция будет .

3. Если связь разрешает повороты вокруг нее, то момента реакции не будет , если запрещает повороты, то будет действовать момент реакции.

ОдНосторонние связи (1 группа )

К этой группе относятся следующие, часто встречающиеся в практических задачах связи:

– связь в виде идеально гладкой поверхности ;

– свободное опирание тела о связь ;

– опора на катках ;

– гибкая связь ;

– идеальный блок .

3.3.1 Связь в виде гладкой (без трения) поверхности

Любая реальная поверхность является шероховатой и имеет трение. Если при движении по поверхности тело испытывает минимальное трение, например, при скольжении конькобежца по льду, при движении полированного стального или стеклянного бруска по полированной стеклянной или стальной поверхности и т.д. то силой трения можно пренебречь. В этом случае получим идеальную абсолютно гладкую поверхность . Подобное допущение упрощает решение задач.

Гладкая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра (нормали) к поверхности соприкасающихся тел в точке их касания. Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке .

Пример 1 . На гладкой неподвижной горизонтальной плоскости покоится шар (рис. 14 а ). Плоскость, ограничивая движение шара, является для него связью. Если мысленно освободить шар от связи (рис. 14 б ), то для удержания его в покое к нему в точке касания с плоскостью нужно приложить силу N , равную весу шара G по модулю и противоположную ему по направлению.

Сила N G и реакция плоскости N .



Рис. 14

Пример 2 . На рисунке 15 показана связь в виде контакта двух идеально гладких поверхностей: цилиндрической поверхности с неподвижной горизонтальной плоскостью. Реакция связи N направлена также по нормали к опорной поверхности.



Рис. 15

Сила N и будет реакцией плоскости. Тогда шар, освобожденный от связи, будет свободным телом, на которое действует задаваемая сила G и реакция плоскости N .

Основные понятия и аксиомы статики

Статика – учение о силах и условиях равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Сила – мера механического взаимодействия тел. Совокупность сил, действующих на абсолютно твердое тело, называется системой сил.

Абсолютно твёрдое тело - совокупность точек, расстояния между текущими положениями которых не изменяются, каким бы воздействиям данное тело ни подвергалось.

В статике решаются две задачи :

1. Сложение сил и приведение систем сил, действующих на тело к простейшему виду;

2. Определение условий равновесия действующих на тело систем сил.

Две системы сил называются эквивалентными , если они оказывают одинаковое механическое воздействие на тело.

Система сил называется уравновешенной (эквивалентной нулю), если она не изменяет механического состояния тела (то есть состояния покоя или движения по инерции).

Равнодействующей силой называется одна сила, если она существует, эквивалентная некоторой системе сил.

Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, называют сходящимися .

1. Аксиома о равновесии системы двух сил . Под действием двух сил, приложенных к абсолютно твердому телу, тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.1).

Рисунок 1.1

2. Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил, эквивалентной нулю . Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не

изменится, если к ней прибавить или отнять уравновешенную систему сил (т.е. эквивалентную нулю).

Имеем систему ; добавим 0

Получим { ; }.

Следствие: При переносе силы вдоль её линии действия, действие этой силы на тело не меняется. Из этого следствия вытекает, что сила приложенная к абсолютно твёрдому телу представляет собой скользящий вектор.

Пусть в точке А твердого тела приложена сила (рис.1.2). К этой силе на ее линии действия в точке В в соответствии с аксиомой II добавим систему сил , эквивалентную нулю, для которой . Выберем силу , равную силе .

Рисунок 1.2

Полученная система трех сил эквивалентна, согласно аксиоме о добавлении равновесной системе сил, силе , то есть .

Система сил , согласно аксиоме 1, эквивалентна нулю, и согласно аксиоме 2 ее можно отбросить. Получится одна сила , приложенная в точке В , то есть . Окончательно получаем . Сила приложена в точке А . Она эквивалентна такой же по модулю и направлению силе , приложенной в точке В , где точка В – любая точка линии действия силы . Теорема доказана: действие силы на твердое тело не изменится от переноса силы вдоль линии действия. Силу для твердого тела можно считать приложенной в любой точке линии действия, то есть сила – скользящий вектор. Как скользящий вектор сила характеризуется: численным значением (модулем) ; направлением силы ; положением линии действия силы на теле.

3.Аксиома параллелограмма сил. Две силы , приложенные в одной точке абсолютно твердого тела, имеют равнодействующую силу , приложенную в той же точке и равную геометрической (векторной) сумме этих сил (рис.1.3).

Рисунок 1.3

Следствие: Теорема о трех не параллельных силах: Если под действием трех сил тело находится в равновесии и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.

Рисунок. 1.4

Положим, что тело находится в равновесии под действием трех сил , 3 , приложенных в точках А, В, С (рис.1.4). По 3 аксиоме равнодействующая первых двух сил может быть найдена по правилу параллелограмма, построенного на силах 1 и 2, перенесенных вдоль линии их действия в точку О пересечения последних, т. е. . Согласно первой аксиоме статики для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы сила 3 была уравновешивающей двух первых сил. Это возможно только в том случае, когда силы и 3 лежат на одной прямой и имеют противоположные направления. Но тогда линии действия сил , 3 пересекутся в одной точке О. Любая из трех данных сил уравновешивает две другие. Выведенное условие равновесия трех не параллельных сил является необходимым, но не достаточным. Если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то отсюда вовсе не следует, что эти три силы представляют собой уравновешенную систему сил.

4. Аксиома о равенстве сил действия и противодействия. При всяком действии одного тела на другое имеет место такое же численно, но противоположное по направлению противодействие (III закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел не составляют систему уравновешенных сил, так как приложены к разным телам.

Рисунок 1.5

5. Аксиома о связях. Материальные объекты (тела и точки), которые ограничивают свободу перемещения рассматриваемого твердого тела, называются связями. Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещению, называется реакцией связи. Реакция связи направлена противоположно возможному перемещению тела. Аксиома связей утверждает, что всякую связь можно отбросить и заменить силой или системой сил (в общем случае), то есть реакциями связи.

6. Аксиома затвердевания. Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым). Если деформируемое тело находилось в равновесии, то оно будет находиться в равновесии и после его затвердевания.

Основные виды связей и их реакции

Приведем примеры связей для плоской системы сил и их замены силами реакций связей.

1. Гладкая поверхность (рис.1.6,а). Если тело опирается на идеально гладкую поверхность, то реакция поверхности направлена по нормали к общей касательной поверхностей тел в точке соприкосновения.

2. Подвижная шарнирная опора, подвижный шарнир – опора, поставленная на катки, не препятствующие перемещению тела параллельно опорной плоскости. Реакция подвижного шарнира направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки шарнира (рис.1.6,б).

а)

б)

3. Неподвижная шарнирная опора, неподвижный шарнир – совокупность неподвижного валика и надетой на него втулки с твердым телом, вращающимся вокруг оси (подшипник, петля). Реакция неподвижного шарнира проходит через ось валика, в неизвестном направлении, поэтому определяют две ее составляющие, направленные параллельно осям координат, перпендикулярных оси валика (рис. 1.6, в).

4. Жесткая заделка – жестко закрепленная балка, стержень. Связь препятствует любому движению конца балки. Для определения реакции жесткой заделки необходимо определить составляющие главного вектора R А, направленные параллельно осям координат и главный момент М А заделки (рис. 1.6, г).

5. Стержень – жесткий невесомый стержень, концы которого соединены с другими частями конструкции шарнирами. Реакция направлена по линии, проведенной через опорные шарниры стержня (рис. 1.6, д).

6. Гибкая связь – нить, цепь, трос. Реакция приложена к твердому телу в точке соприкосновения и направлена по связи (рис. 1.6, е).

Связи и реакции связей

Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела.

Все тела делятся на свободные и связанные.

Свободные тела - тела, перемещение которых не ограничено.

Связанные тела - тела, перемещение которых ограничено другими телами.

Тела, ограничивающие перемещение других тел, называют связями.

Силы, действующие от связей и препятствующие перемещению, называют реакциями связей.

Реакция связи всегда направлена с той стороны, куда нельзя перемещаться.

Всякое связанное тело можно представить свободным, если связи заменить их реакциями (принцип освобождения от связей).

Все связи можно разделить на несколько типов.

Связь - гладкая опора (без трения)

Рисунок 1

Реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре (рис. 1).

Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь) Груз подвешен на двух нитях (рис. 2).

Рисунок 2

Жесткий стержень

На схемах стержни изображают толстой сплошной линией (рис. 3).

Рисунок 3

Стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.

Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допускается в данный момент наложенными на него связями.

Убираем стержень 1, в этом случае стержень 2 падает вниз. Следовательно, сила от стержня 1 (реакция) направлена вверх. Убираем стержень 2. В этом случае точка А опускается вниз, отодвигаясь от стены. Следовательно, реакция стержня 2 направлена к стене.

Шарнирная опора

Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Различают два вида шарниров.

Подвижный шарнир

Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей (площадки) (рис. 4).

Рисунок 4

Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, т. к. не допускается только перемещение поперек опорной поверхности.

Неподвижный шарнир

Точка крепления перемещаться не может. Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Ее принято изображать в виде двух составляющих: горизонтальной и вертикальной ( Rx ; R у) (рис. 5).

Рисунок 5

Защемление или «заделка»

Любые перемещения точки крепления невозможны.

Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактивный момент М R , препятствующий повороту (рис. 6).

Рисунок 6

Реактивную силу принято представлять в виде двух составляющих вдоль осей координат

Примеры решения задач

Пример 1. Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии (рис. 7). Изобразить систему сил, действующих на шарнир А.

Рисунок 7

Решение

1. Реакции стержней направлены вдоль стержней, реакции гибких связей направлены вдоль нитей в сторону натяжения (рис. 7а).

2. Для определения точного направления усилий в стержнях мысленно убираем последовательно стержни 1 и 2. Анализируем возможные перемещения точки А.

Неподвижный блок с действующими на него силами не рассматриваем.

3. Убираем стержень 1, точка А поднимается и отходит от стены, следовательно, реакция стержня 1 направлена к стене.

4. Убираем стержень 2, точка А поднимается и приближается к стене, следовательно, реакция стержня 2 направлена от стены вниз.

5. Канат тянет вправо.

6. Освобождаемся от связей (рис. 7б).

Пример 2. Шар подвешен на нити и опирается на стену (рис. 8а). Определить реакции нити и гладкой опоры (стенки).

Рисунок 8

Решение

1. Реакция нити - вдоль нити к точке В вверх (рис. 8б).

2. Реакция гладкой опоры (стенки) - по нормали от поверхности опоры.

Контрольные вопросы и задания

4. Укажите возможное направление реакций в опорах (рис. 9).

Рисунок 9

1. Гладкая (без трения) плоскость или поверхность. Такие связи препятствуют перемещениям тела только в направлении общей нормали в точке касания, вдоль которой и будет направлена соответствующая реакция. Поэтому реакция гладкой плоской опоры перпендикулярна этой опоре (реакция на рис. 12,а); реакция гладкой стенки перпендикулярна этой стенке рис. 12, б); реакция гладкой поверхности направлена по нормали к этой поверхности, проведенной в точке касания на рис. 12, в).

2. Острый выступ. В этом случае можно считать, что опирается сам выступ, а опорой служит рассматриваемое тело. Это приводит к случаю 1 и выводу, что реакция гладкого выступа направлена по нормали к поверхности опирающегося тела (сила на рис. 12, в).

3. Гибкая связь (невесомые нить, трос, цепь и т.п.). Соответствующая реакция направлена вдоль связи от точки крепления нити к точке подвеса (сила на рис. 11,г, сила на рис. 12, б).

4. Невесомый прямолинейный стержень с шарнирами на концах. Реакция направлена вдоль стержня. Поскольку стержень может быть как сжат, так и растянут, реакция может иметь направление как к точке подвеса стержня, так и от точки подвеса (реакции и на рис. 13, а).

5. Невесомый коленчатый или криволинейный стержень. Реакция направлена вдоль прямой, проходящей через центры концевых шарниров (сила 53 на рис. 13, а; сила S на рис. 13, б).

6. Подвижная шарнирная опора. Реакция направлена перпендикулярно плоскости опоры (плоскости катания) (рис. 14, а, б).

7. Цилиндрический шарнир (рис. 15, а), радиальный подшипник (рис. 15, б). Реакция проходит через центр шарнира (центр срединного сечения подшипника) и лежит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (подшипника).

Она эквивалентна двум неизвестным по модулю силам - составляющим этой реакции вдоль соответствующих координатных осей (силы на рис. 15,а; и на рис. 15, б). (Разъяснения по этому поводу см. также в примере на стр. 16).

8. Сферический шарнир (рис. 16, а), подпятник (или радиально-упорный подшипник) (рис. 16, б). Реакция состоит из трех неизвестных по модулю сил - составляющих реакции вдоль осей пространственной системы координат.

9. Жесткая заделка (рис. 17). При действии на тело плоской системы сил полная реакция заделки складывается из силы с составляющими ХА и УА, и пары сил с моментом М, расположенных в той же плоскости, что и действующие силы.

10. Скользящая заделка (рис. 18). В случае плоской системы сил и отсутствия трения реакция состоит из силы N и пары сил с моментом М, расположенных в одной плоскости с действующими силами. Сила N перпендикулярна к направлению скольжения.