Закон сохранения главного момента количеств движения системы. Закон сохранения количества движения. Теорема об изменении момента количества движения точки

Реферат на тему:

Функция (математика)

План:

Введение

• 1 История
• 2 Определения
  • 2.1 Интуитивное определение
  • 2.2 Теоретико-множественное определение
• 3 Обозначения
  • 3.1 Функции нескольких аргументов
• 4 Способы задания функции
  • 4.1 Аналитический способ
  • 4.2 Графический способ
• 5 Связанные определения
  • 5.1 Сужение и продолжение функции
  • 5.2 Образ и прообраз (при отображении)
  • 5.3 Тождественное отображение
  • 5.4 Композиция отображений
  • 5.5 Обратное отображение
• 6 Свойства
  • 6.1 Образ и прообраз при отображении
    • 6.1.1 Взятие образа
    • 6.1.2 Взятие прообраза
  • 6.2 Поведение функций
    • 6.2.1 Сюръективность
    • 6.2.2 Инъективность
    • 6.2.3 Биективность
    • 6.2.4 Возрастание и убывание
    • 6.2.5 Периодичность
    • 6.2.6 Чётность
    • 6.2.7 Экстремумы функции
• 7 Примеры
• 8 Вариации и обобщения
  • 8.1 Многозначные функции
Примечания
Литература

Введение

График функции
.

Функция - математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Более точно, это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения ) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений ).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x 2 , а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека - его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Обычно рассматриваются числовые функции, которые ставят одни числа в соответствие другим. Такие функции обладают рядом отличительных свойств и удобно представляются на рисунках в виде графиков.

1. История

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному.

Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем - у Лакруа (1806 год) - уже практически в современном нам виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

2. Определения

Существуют два определения функции:

• интуитивное определение, где понятие функции переводится на обычный язык, используя слова «закон», «правило» или «соответствие»;
• теоретико-множественное определение (на основе понятия бинарного отношения), которое является наиболее строгим (в современном представлении).

Оба определения не противоречат друг другу.

2.1. Интуитивное определение

Функция f (отображение , операция , оператор ) - это закон или правило , согласно которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y .

При этом говорят, что функция f задана на множестве X , или что f отображает X в Y .

Если элементу сопоставлен элемент , то говорят, что элемент y находится в функциональной зависимости f от элемента x . При этом переменная x называется аргументом функции f или независимой переменной , множество X называется областью задания или областью определения функции, а элемент y , соответствующий конкретному элементу x - частным значением функции f в точке x . Множество Y всех возможных частных значений функции f называется её областью значений или областью изменения .

2.2. Теоретико-множественное определение

В теоретической математике функцию f удобно определить как бинарное отношение (то есть множество упорядоченных пар ), которое удовлетворяет следующему условию: для любого существует единственный элемент такой, что .

Это и позволяет говорить о том, что элементу сопоставлен один и только один элемент такой, что .

Таким образом, функция - это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов (f ,X ,Y ) , где

3. Обозначения

Если задана функция f , которая определена на множестве X и принимает значения в множестве Y , то есть, функция f отображает множество X в Y , то

Наличие функциональной зависимости между элементом и элементом

3.1. Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Если множество X представляет собой декартово произведение множеств , тогда отображение оказывается n -местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора называются аргументами (данной n -местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

В этом случае y = f (x ) означает, что .

4. Способы задания функции

4.1. Аналитический способ

Функция математический объект представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например: есть функция . Однако, этот способ совершенно непригоден для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции: степенная, линейная, показательная, логарифмическая и т. п.).

Для задания функции пользуются выражением: . При этом, x есть переменная, пробегающая область определения функции, а y - область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств. х и y могут пробегать любые множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере:

Пусть имеется множество яблоко, самолет, груша, стул и множество человек, паровоз, квадрат . Зададим функцию f следующим образом: (яблоко,человек), (самолет,паровоз), (груша,квадрат), (стул,человек) . Если ввести переменную x, пробегающую множество и переменную y, пробегающую множество , указанную функцию можно задать аналитически, как: .

Аналогично можно задавать числовые функции. Например: где х пробегает множество вещественных чисел задает некоторую функцию f. Важно понимать, что само выражение не является функцией. Функция как объект представляет собой множество (упорядоченных пар). А данное выражение как объект есть равенство двух переменных. Оно задает функцию, но не является ею.

Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.

4.2. Графический способ

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть - вещественная функция n переменных.

Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис (). Каждой точке функции сопоставим вектор: . Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим "школьное" определение графика функции.

Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.

Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике)

5. Связанные определения

5.1. Сужение и продолжение функции

Пусть дано отображение и .

Функция , которая принимает на M те же значения, что и функция f , называется суже́нием (или, иначе ограничением ) функции f на множество M .

Сужение функции f на множество M обозначается как .

Если функция такова, что она является сужением для некоторой функции , то функция f , в свою очередь, называется продолжением функции g на множество X .

5.2. Образ и прообраз (при отображении)

Элемент y = f (x ) , который сопоставлен элементу x , называется образом элемента (точки) x (при отображении f ).

Если взять целое подмножество A области определения функции f , то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества A , а именно подмножество области значений (функции f ) вида

которое, называется образом множества A (при отображении f ). Это множество иногда обозначается как f [A ] или A f .

Наоборот, взяв некоторое подмножество B области значений функции f , можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения (функции f ), чьи образы попадают в множество B , а именно - множество вида

которое называется (полным ) прообразом множества B (при отображении f ).

В том частном случае, когда множество B состоит из одного элемента, скажем, B = {y } , множество f − 1 ({y }) = {x :f (x ) = y } имеет более простое обозначение f − 1 (y ) .

5.3. Тождественное отображение

Отображения, у которых совпадают область определения и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями .

В частности, преобразование , которое сопоставляет каждой точке x множества X её саму или, что тоже самое,

называется тождественным .

Это отображение имеет специальное обозначение: i d X или, проще, i d (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичный»).

Другое обозначение тождественного преобразования - 1 X . Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве X . Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным .

5.4. Композиция отображений

Пусть и - два заданных отображения таких, что область значений первого отображения является подмножеством области определения второго отображения. Тогда для всякого однозначно определяется элемент такой, что y = f (x ) , но для этого самого y однозначно определяется элемент такой, что z = g (y ) . То есть, для всякого однозначно определяется элемент такой, что z = g (f (x )) . Другими словами, определено отображение h такое, что

Это отображение называется композицией отображений f и g и обозначается

5.5. Обратное отображение

Если отображение является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то определено отображение , у которого

• область определения (множество Y ) совпадает с областью значений отображения f ;
• область значений (множество X ) совпадает с областью определения отображения f ;
• x = f − 1 (y ) тогда и только тогда, когда y = f (x ) .

Такое отображение называется обратным по отношению к отображению f .

Отображение, у которого определено обратное, называется обратимым .

В терминах композиции функции, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: и .

6. Свойства

Пусть задана функция , где X и Y - данные множества, причём X = d o m f . Каждая такая функция может обладать некоторыми свойствами, описание которых приведено ниже.

6.1. Образ и прообраз при отображении

6.1.1. Взятие образа

Положим, A и B - подмножества области определения. Взятие образа (или, что то же самое, применение оператора f ) обладает следующими свойствами:

Последние два свойства, вообще говоря, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

6.1.2. Взятие прообраза

Положим, A и B - подмножества множества Y .

По аналогии с взятием образа, взятие прообраза (переход к прообразу) обладает также следующими двумя очевидными свойствами:

Данные свойства, также, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

В случае, если отображение обратимо (см. ниже), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

6.2. Поведение функций

6.2.1. Сюръективность

Функция f называется сюръективной (или, коротко, сюръекция ), если каждому элементу множества прибытия может быть сопоставлен хотя бы один элемент области определения. Другими словами, функция f сюръективна , если образ множества X при отображении совпадает с множеством Y : f [X ] = Y .

Такое отображение называется ещё отображением на .

Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением в .

6.2.2. Инъективность

Функция f называется инъективной (или, коротко, инъекция ), если разным элементам множества X сопоставлены разные элементы множества Y . Более формально, функция f инъективна , если для любых двух элементов таких, что f (x 1) = f (x 2) , непременно выполняется x 1 = x 2 .

Другими словами, сюръекция - это когда «у каждого образа есть прообраз», а инъекция - это когда «разные - в разные». То есть, при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов X отображались в один и тот же элемент Y . А при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент Y не имел прообраза.

6.2.3. Биективность

Если функция является и сюръективной , и инъективной , то такую функцию называют биективной или взаимно однозначной .

6.2.4. Возрастание и убывание

Пусть дана функция Тогда

• функция f называется возраста́ющей на M , если

• функция f называется стро́го возраста́ющей на M , если

• функция f называется убыва́ющей на M , если

• функция f называется стро́го убыва́ющей на M , если

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

6.2.5. Периодичность

Функция называется периодической с пери́одом , если справедливо

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция f называется апериоди́ческой .

6.2.6. Чётность

• Функция f называется чётной, если справедливо равенство

• Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида .

6.2.7. Экстремумы функции

Пусть дана функция и - внутренняя точка области определения f . Тогда

7. Примеры

В зависимости от того, какова природа области определения и области значений, различают случаи, когда эти области - это:

• абстрактные множества - множества, без какой-либо дополнительной структуры;
• множества, которые наделены некоторой структурой.

В первом случае рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например, является вопрос о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то два данных множества называют эквивалентными или равномощными . Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы, начальный фрагмент выглядит следующим образом:

• конечные множества - здесь мощность множества совпадает с количеством элементов;
• счётные множества - множества эквивалентные множеству натуральных чисел;
• множества мощности континуума (например, отрезок действительной прямой или сама действительная прямая).

В соответствии с этим, имеет смысл рассматривать следующие примеры отображений:

• конечные функции - отображения конечных множеств;
• последовательности - отображение счётного множества в произвольное множество;
• континуальные функции - отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

Во втором случае, основной объект рассмотрения - заданная на множестве структура и то, что происходит с этой структурой при отображении: если существует взаимно однозначное отображение одной структуры в другую, что при отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».

Существует великое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

• структура порядка - частичный или линейный порядок.
• алгебраическая структура - группоид, полугруппа, группа, кольцо, тело, область целостности или поле.
• структура метрического пространства - здесь задаётся функция расстояния;
• структура евклидового пространства - здесь задаётся скалярное произведение;
• структура топологического пространства - здесь задаётся совокупность т. н. «открытых множеств»;
• структура измеримого пространства - здесь задаётся функция (мера), которая действует на подмножествах данного пространства.

Природа множеств определяет и свойства соответствующих функций, поскольку эти свойства формулируются в терминах заданных на множествах структурах. Например, свойство непрерывности , требует задания топологической структуры . .

8. Вариации и обобщения

8.1. Многозначные функции

В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Не смотря на это, нередко, можно услышать про т. н. «многозначные» функции. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой само является семейством множеств.

Пусть , где - семейство подмножеств множества Y . Тогда f (x ) будет множеством для всякого .

Примечания

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь. - Гл. ред. Ю. В. Прохоров. - М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции - ru.wikisource.org/wiki/Элементарная_математика_с_точки_зрения_высшей/Общее_понятие_функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933

1. И. А. Лавров , Л. Л. Максимова . Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - 3-е изд. . - М .: Физматлит, 1995. - С. 13 - 21. - 256 с. - ISBN 5-02-014844-X
2. А. Н. Колмогоров , С. В. Фомин . Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. - 3-е изд. . - М .: Наука, 1972. - С. 14 - 18. - 256 с.
3. Дж. Л. Келли Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. - 2-е изд. . - М .: Наука, 1981. - С. 19 - 27. - 423 с.
4. В. А. Зорич Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Фунция // Математический анализ, часть I. - М, .
   Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike .

План урока.

Группа: 13 «Э».

Учебник: Н.В. Богомолов «Математика».

Тема урока: Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Цель урока: помочь студентам осознать социальную, практическую и личностную значимость учебного материала, связанного с использованием функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Задачи урока:

закрепить знания и умения по исследованию функций и построению графиков;

учить применять знания, умения по теме «Исследование функции» в реальных процессах и явлениях;

развивать практические навыки по построению графиков функции с использованием компьютера;

воспитывать чувство ответственности при работе в малых группах.

Формы работы и взаимодействия студентов: фронтальная, индивидуальная, индивидуальная интерактивная, парная интерактивная, групповая интерактивная.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений.

Оборудование: интерактивная доска, компьютеры, мультимедийный проектор, экран, слайды презентации, раздаточный материал - карточки с тестовыми заданиями, карточки по рефлексии, карточки с задачами, заготовки с координатными осями для изображения пословиц, карточки для ответов по тестам.

преподавателя

Деятельность студентов

Формируемые УУД

Средства определения результата

Организационный этап

Приветствует студентов, проверяет готовность группы, проводит рефлексию настроения на начало урока(изобразите свое настроение на начало урока). Задает вопросы по представленным на слайдах изображениях, и подводит к формулировке темы урока. Корректирует ответы студентов, уточняет тему и задачи урока. Объявляет критерии оценок за работу на уроке.

Приветствуют преподавателя, изображают свое настроение на начало урока. Отвечают на поставленные вопросы. Пытаются озвучить тему урока и цели. Подписывают конверты- копилки, куда будут складывать баллы за работу на уроке.

Регулятивные: постановка учебной задачи, планирование, прогнозирование.

Выборочный фронтальный опрос

Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний.

1. Проводит фронтальный опрос по графику на интерактивной доске.

Что такое функция?

Какова область определения функции?

Назовите множество значений функции.

Имеет ли функция нули?

Имеет ли данная функция точки экстремума?

Назовите промежутки монотонности функции.

Какой является функция: четной или нечетной?

Можно ли ее назвать периодической?

Проводит тестовую проверку знаний по вариантам с последующей самопроверкой по ключу.

Отвечают на вопросы преподавателя.

Выполняют тестовую работу и проверяют её. Набирают себе баллы.

Регулятивные: контроль, коррекция, оценка; личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке; коммуникативные: умение отвечать на вопросы; познавательные: контролирует и оценивает процесс и результаты деятельности;

Фронтальный опрос.

Тестовая работа.

Воспроизведение знаний и умений, проверка их качества.

1.Защита проектов.

Студенты, объединённые в группы, должны были представить собранную информацию по категориям « Демографическая ситуация в Пензенской области на примере п.Сосновоборска и с.Индерки в 2013г.», « Среднемесячная температура воздуха в Пензенской области за 2013г», « Атмосферное давление Пензенской области за октябрь 2013г», «Курс доллара за 9 месяцев текущего года» в виде графиков функций. Анализируются графики функций.

2. Работа с пословицами. Организует посредством групповой работы поиск решения поставленной задачи (Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функции, можно обратиться к пословицам. Ведь пословицы – это отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом. Изобразите пословицу в виде графика – как вы его понимаете, а затем обоснуйте своё решение. На доске заранее начерчены системы координат для экспериментов. Чья группа справится быстрее?

• Выше меры конь не скачет.

  Пересев хуже недосева).

Анализируют и высказывают решения своих проектных работ.

Совместно в группе пытаются графически изобразить пословицы и доказать свое решение.

Регулятивные: постановка учебной задачи, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, саморегуляция;

познавательные: структурирует знания, строит речевое высказывание в устной форме, выбирает эффективный способ решения проблемной ситуации, совместно с учителем создаёт алгоритм деятельности;

коммуникативные: умеет слушать и вступать в диалог, участвует в коллективном обсуждении проблемы, формулирует собственное мнение и позицию, приходит к общему решению в совместной деятельности;

личностные: интерес к новому учебному материалу и способам деятельности.

Воспроизведение знаний и применение их.

Постановка и решение практических задач.

1. Решение задачи по дисциплине «Защита и охрана лесов» с использованием компьютера. Преподаватель совместно со студентами выполняют решение задачи.

   Контроль самостоятельной работы по решению задачи, связанной со специальностью экономика по компьютеру и коррекция знаний.

Выполняют решение задачи в программе Excel с помощью преподавателя.

Решают задачи экономического характера самостоятельно за компьютером и посылают решение на рабочий стол преподавателя.

Регулятивные: планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка;

личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке, понимание причин успеха; коммуникативные: умение слушать и задавать вопросы, контролирует действия партнера, использует речевые средства для различных коммуникативных задач;

познавательные: выбирает эффективные способы решения задач, контролирует и оценивает процесс и результаты деятельности.

Выполнение по образцу.

Анализ деятельности студентов.

Рефлексия урока. Д/з

Творческое домашнее задание: отыскать функции, описывающие реальные физические процессы, которые вы встречали на уроках физики. Исследуйте эти функции. У кого есть возможность, выдайте график на компьютере. Выставляет оценки. Организует соотнесение результата деятельности с учебной задачей. Проводит рефлексию настроения(изобразите свое настроение в конце урока и сравните его в начале и в конце урока).

Записывают домашнее задание. Подсчитывают баллы, набранные на уроке, и выставляют себе оценке по критериям. Дорисовывают свое настроение на конец урока и сравнивают с тем, что было в начале урока. По кругу дополняют одно из предложений:

было интересно…

было трудно…

я выполнял задания…

я понял, что…

теперь я могу…

я почувствовал…

я приобрел…

я научился…

у меня получилось

я смог…

я попробую…

меня удивило…

урок дал мне для жизни…

Личностные: имеет адекватную самооценку;

коммуникативные: строит понятные для партнеров речевые высказывания, допускает возможность существования у людей различных точек зрения.

Анализ высказываний студентов, оценочная шкала.

Лекция 3. Общие понятия и определения. Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о бесконечно малых функциях.

Функция

При решении различных задач обычно приходится иметь дело с постоянными и переменными величинами.

Определение

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение или вообще или в данном процессе: в последнем случае она называется параметром.

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Понятие функции

При изучении различных явлений обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные и функции).

Определение

Переменная величина y называется функцией (однозначной) от переменной величины x, если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению x соответствует единственное вполне определенное значение величины y (сформулировал Н.И.Лобачевский).

Обозначение y=f(x) (1)

x – независимая переменная или аргумент;

y – зависимая переменная (функция);

f – характеристика функции.

Совокупность всех значений независимой переменной, для которых функция определена, называется областью определения или областью существования этой функции. Областью определения функции может быть: отрезок, полуинтервал, интервал, вся числовая ось.

Каждому значению радиуса соответствует значение площади круга. Площадь – функция от радиуса, определенная в бесконечном интервале

2. Функция (2). Функция определена при

Для наглядного представления поведения функции строят график функции.

Определение

Графиком функции y=f(x) называется множество точек M(x,y) плоскости OXY , координаты которых связаны данной функциональной зависимостью. Или график функции – это линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию.

Например, график функции (2) – полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат.

Простейшие функциональные зависимости

Рассмотрим несколько простейших функциональных зависимостей

1. Прямая функциональная зависимость

Определение

Две переменные величины называются прямо пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении, другая изменяется в том же соотношении.

y=kx , где k – коэффициент пропорциональности.

График функции

1. Линейная зависимость

Определение

Две переменные величины связаны линейной зависимостью, если , где - некоторые постоянные величины.

График функции

1. Обратная пропорциональная зависимость

Определение

Две переменные величины называются обратно пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении, другая изменяется в обратном отношении.

1. Квадратичная зависимость

Квадратичная зависимость в простейшем случае имеет вид , где k – некоторая постоянная величина. График функции – парабола.

1. Синусоидальная зависимость.

При изучении периодических явлений важную роль играет синусоидальная зависимость

- функция называется гармоникой.

A – амплитуда;

Частота;

Начальная фаза.

Функция периодическая с периодом . Значения функции в точках x и x+T , отличающихся на период, одинаковы.

Функцию можно привести к виду , где . Отсюда получаем, что графиком гармоники является деформированная синусоида с амплитудой A периодом T, сдвинутая по оси ОХ на величину

Способы задания функции

Обычно рассматривают три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

1. Аналитический способ задания функции

Если функция выражена при помощи формулы, то она задана аналитически.

Например

Если функция y=f(x) задана формулой, то ее характеристика f обозначает ту совокупность действий, которую нужно в определенном порядке произвести над значением аргумента x , чтобы получить соответствующее значение функции.

Пример . Выполняется три действия над значением аргумента.

1. Табличный способ задания функции

Этот способ устанавливает соответствие между переменными с помощью таблицы. Зная аналитическое выражение функции, можно представить эту функцию для интересующих нас значений аргумента при помощи таблицы.

Можно ли от табличного задания функции перейти к аналитическому выражению?

Заметим, что таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно. Это, так называемое интерполирование функции. Поэтому, в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить формулу, и при том не одну, которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции. Такого рода формула называется интерполяционной.

1. Графический способ задания функции

Аналитический и табличный способы не дают наглядного представления о функции.

Этого недостатка лишен графический способ задания функции y=f(x) , когда соответствие между аргументом x и функцией y устанавливается с помощью графика.

Понятие неявной функции

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.

Функция y от аргумента x называется неявной, если она задана уравнением

F(x,y)=0 (1) неразрешенным относительно зависимой переменной.

Понятие обратной функции

Пусть задана функция y=f(x) (1). Задавая значения аргумента х, получаем значения функции y.

Можно, считая y аргументом, а х – функцией, задавать значения y и получать значения x . В таком случае уравнение (1) будет определять x , как неявную функцию от y . Эта последняя функция называется обратной по отношению к данной функции y .

Предполагая, что уравнение (1) разрешено относительно x, получаем явное выражение обратной функции

(2), где функция для всех допустимых значений y удовлетворяет условию