Теорема д гильберта о существовании собственных значений. Теорема гильберта о базисе. Проективная версия Nullstellensatz

Пусть G {\displaystyle G} а - её образующая. Тогда норма любого элемента β ∈ E {\displaystyle \beta \in E} равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент α ∈ E {\displaystyle \alpha \in E} , что

Доказательство

Достаточность очевидна: если β = α σ (α) , {\displaystyle \beta ={\frac {\alpha }{\sigma (\alpha))),} то, учитывая мультипликативность нормы, имеем N (β) = N (α) σ (α) . {\displaystyle N(\beta)={\frac {N(\alpha)}{\sigma (\alpha))).} Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех σ i (α) , {\displaystyle \sigma _{i}(\alpha),} а применение σ {\displaystyle \sigma } к такому произведению приводит лишь к перестановке сомножителей, то в силу равенства числителя и знаменателя N (β) = 1. {\displaystyle N(\beta)=1.}

Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:

i d + β σ + β σ (β) σ 2 + … + (β σ (β) … σ n − 2 (β) σ n − 1) . {\displaystyle \mathrm {id} +\beta \sigma +\beta \sigma (\beta)\sigma ^{2}+\ldots +(\beta \sigma (\beta)\ldots \sigma ^{n-2}(\beta)\sigma ^{n-1}).}

Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является нулевым. Поэтому существует элемент γ ∈ E , {\displaystyle \gamma \in E,} для которого

0 ≠ α = γ + β σ (γ) + β σ (β) σ 2 (γ) + … + (β σ (β) … σ n − 2 (β) σ n − 1 (γ) . {\displaystyle 0\neq \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma)+\beta \sigma (\beta)\sigma ^{2}(\gamma)+\ldots +(\beta \sigma (\beta)\ldots \sigma ^{n-2}(\beta)\sigma ^{n-1}(\gamma).}

Если применить отображение σ {\displaystyle \sigma } к α , {\displaystyle \alpha ,} а потом помножить полученное выражение на β , {\displaystyle \beta ,} то первое слагаемое перейдёт во второе и т. д., а последнее перейдёт в первое, так как β σ (β) … σ n − 2 (β) σ n − 1 (β) = N (β) = 1. {\displaystyle \beta \sigma (\beta)\ldots \sigma ^{n-2}(\beta)\sigma ^{n-1}(\beta)=N(\beta)=1.}

Тогда получаем, что β σ (α) = α , {\displaystyle \beta \sigma (\alpha)=\alpha ,} деля на σ (α) ≠ 0 {\displaystyle \sigma (\alpha)\neq 0} имеем β = α σ (α) . {\displaystyle \beta ={\frac {\alpha }{\sigma (\alpha))).} Необходимость доказана.

Аддитивная форма

Пусть G {\displaystyle G} - группа Галуа конечного циклического расширения E / K , {\displaystyle E/K,} а σ {\displaystyle \sigma } - её образующая. Тогда

ГИЛЬБЕРТА ТЕОРЕМА - 1) Г. т. о базисе: если А - коммутативное нётерово кольцо и А - кольцо многочленов от X 1 , ..., X n с коэффициентами в А, то и А - нётерово кольцо. В частности, в кольце многочленов от конечного числа переменных над полем или над кольцом целых чисел любой идеал порождается конечным числом элементов (имеет конечный базис). Именно в такой форме теорема была доказана Д. Гильбертом и играла вспомогательную роль в доказательстве основной Гильберта теоремы об инвариантах. Впоследствии Г. т. о базисе получила широкое распространение в коммутативной алгебре.

Лит.: Нilbеrt D., «Math. Ann.», 1890, Bd 36, S. 473-534.

В. И. Данилов.

2) Г. т. о неприводимости: пусть f(t 1 , ..., t k , x 1 , ..., x k) - неприводимый многочлен над полем рациональных чисел ℚ; тогда существует бесконечное множество значений t 0 1 , ..., t 0 k ∈ ℚ переменных t 1 , ..., t k , при к-рых многочлен f(t 0 1 , ..., t 0 k , x 1 , ..., x n) неприводим над ℚ. Так, многочлен f(t, x) = t - x 2 остается неприводимым для всех t 0 (t 0 ≠ a 2 , a ∈ ℚ) и только для них. Полученная Д. Гильбертом (D. Hilbert) в 1892, эта теорема обобщалась затем на случай многочленов над нек-рыми другими полями (напр., над полем конечного типа над своим простым подполем ).

Г. т. о неприводимости применяется в исследованиях, связанных с Галуа теории обратной задачей и алгебраических многообразий арифметикой. Пусть над полем K = k(t 1 , ..., t n) рациональных функций от t 1 , ..., t n существует такое расширение Е/К с группой Галуа G, что поле к алгебраически замкнуто в Е и к нему применима Г. т. о неприводимости. Тогда можно так выбрать значения переменных t 1 , ..., t n в поле k, что получающееся расширение поля k будет иметь группой Галуа группу G. Используя это соображение, Д. Гильберт построил в расширения поля ℚ с симметрической и знакопеременной группами. При этом, в случае симметрич. группы за Е берется поле рациональных функции от n переменных, а в качестве K - подполе поля симметрич. функций, к-рое само будет полем рациональных функций. Обобщая этот подход, Э. Нётер (Е. Noether) рассмотрела произвольную подгруппу G ⊂ S n и расширение Е соответствующего поля инвариантов Е относительно группы G (см. ). Г. т. о неприводимости дает возможность построить расширение поля k с группой Галуа G, если только поле E G есть поле рациональных функций над ℚ. Вопрос о выполнимости последнего условия (проблема Нётер), тесно связан с Люрота проблемой. Лишь в 1969 Р. Суон (В. Swan) показал, что в общем случае ответ на него отрицательный (см. , ).

Г. т. о неприводимости применяется также при построении рациональных точек абелевых многообразий А над полем рациональных чисел ℚ. В силу теоремы Морделла-Вейля группа рациональных точек А является конечно порожденной, и возникает вопрос о значении ее ранга r. Используя Г. т. о неприводимости, А. Нерон (A. Neron) построил многообразия А размерности g и ранга больше или равного 3g + 6 (см. ).

Лит.: Нilbеrt D., «J. reine und angew. Math.», 1892, Bd 110, S. 104-29; Lang S., Diophantine Geometry, N. Y., 1962; Чеботарев H. Г., Теория Галуа, M.-Л., 1936, с. 18-32, 90-94; Martinet J., «Seminaire Bourbaki», 1969/1970, В., 1971; Sсhinzel А., в кн: «Actes du Congrès International des Mathèmaticiens», t. 1, P., 1971; Воскресенский В. E., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1973, т. 82, с. 151-61.

А. Н. Паршин.

3) Г. т. о нулях (о корнях): пусть k - поле, k - кольцо многочленов над k, k̅ - алгебраич. замыкание поля k и F, F 1 , ..., F m - многочлены из k. Корнем многочлена F(X 1 , ..., X n) наз. последовательность (c 1 , ..., c n) элементов из k̅, удовлетворяющая условию F(c 1 , ..., c n) = 0. Если каждый общий корень многочленов F 1 , ..., F m является корнем многочлена F, то существует такое целое число r, зависящее только от F 1 , ..., F m , что F r принадлежит идеалу, порожденному F 1 , ..., F m , то есть

F r = A 1 F 1 + ... + A m F m ,

где A 1 , ..., A m - нек-рые многочлены. Получена Д. Гильбертом .

Г. т. эквивалентна утверждению, что для любого собственного идеала кольца k существует корень, общий для всех многочленов из . Таким образом, Г. т. может рассматриваться как далеко идущее обобщение основной теоремы алгебры. На Г. т. можно смотреть и как на утверждение о том, что любой простой идеал кольца k является пересечением максимальных идеалов, его содержащих; это приводит к понятию Джекобсона кольца.

При геометрич. интерпретации корни идеала ⊂ k соответствуют алгебраич. точкам аффинного многообразия, определяемого идеалом . Из Г. т. следует, что на любом непустом аффинном многообразии имеется алгебраич. точка. Таким образом, множество алгебраич. точек всюду плотно на многообразии, и потому однозначно его определяет - причина, по к-рой при изучении алгебраич. многообразий часто ограничиваются алгебраич. точками.

Лит.: Нilbеrt D., «Math. Ann.», 1893, Bd 42, S. 313-73; Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., ч. 2, 2 изд., М.-Л., 1947; 3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971.

В. И. Данилов.

4) Г. т. о поверхностях отрицательной кривизны: в трехмерном евклидовом пространстве не существует полной регулярной поверхности постоянной отрицательной кривизны. Доказана Д. Гильбертом (D. Hilbert, 1901; см. [I]).

Лит.: Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948.

Е. В. Шикин.

5) Г. т. о сизигиях - теорема о конечности цепи сизигий градуированного модуля над кольцом многочленов (в классич. формулировке см. [I]).

Пусть А - нётерово кольцо, М - нётеров A-модуль, и x 1 , ..., x n - система образующих модуля М. Модулем сизигий (соотношений) S(М) модуля М наз. модуль соотношений для x 1 , ..., x n , т. е. A-модуль векторов (a 1 , ..., a n), а i ∈ A, удовлетворяющих условию: а 1 x 1 + ... + а n х n = 0. Индуктивно определяется i-й модуль сизигий S i (M) = S(S i-1 (М)) модуля М(S 1 (М) = S(М)).Иначе это можно описать с помощью точной последовательности, наз. цепью сизигий:

0 → S i (M) → F i-1 → ... → F 0 → М → 0,

где F 0 , ..., F i-1 - свободные A-модули конечного типа. В современном изложении Г. т. о сизигиях допускает следующую формулировку: если А - локальное регулярное кольцо размерности m, то m-й модуль сизигий любого нётерова A-модуля является свободным модулем. Это эквивалентно тому, что любой A-модуль имеет свободную резольвенту длины m, или что А имеет глобальную проективную размерность m. Это свойство характеризует регулярные кольца .

Глобальный вариант Г. т. о сизигиях: над регулярным кольцом А (напр., над кольцом многочленов) любой A-модуль конечного типа имеет проективную (но уже не обязательно свободную) резольвенту конечной длины.

Лит.: Hilbert D., «Math. Ann.», 1890, Bd 36, S. 473-534; Serre J.-P., в кн.: Proceedings of the International - Symposium on Algebraic Number Theory, Tokyo, 1955, p. 175-89; Cepp Ж.-П., «Математика», 1963, т. 7, № 5, с. 3-93; 3apисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963.

В. И. Данилов.

6) Г. т. о циклических расширениях (теорема Гильберта 90): пусть К - циклич. расширение с циклической группой Галуа G(K/k) поля k и σ - образующая группы G(K/k); тогда норма N K/k (β) элемента β ∈ К равна единице в том и только в том случае, если существует ненулевой элемент α ∈ К, удовлетворяющий условию β = α ⋅ σ(α) -1 . Аналогично, след Тr K/k (β) равен нулю тогда и только тогда, когда β может быть представлено в виде β = α - σ(α), α ∈ K (см. , , ).

Г. т. может рассматриваться как следствие более общего утверждения о когомологиях групп Галуа (см. ). Именно: если K - расширение Галуа группы k с группой Галуа G, то мультипликативная группа K* поля К превращается в G-модуль, и первая группа когомологий Н 1 (G, К*) равна нулю. Аналогично, H q (G, К) = 0 при q ≥ 1 (см. Галуа когомологии).

Другим обобщением Г. т. является теория спуска Гротендика; одно из применений ее в этальной топологии, также известное под назв. «теорема Гильберта 90», утверждает, что этальные когомологий H 1 (X et , G m) схемы X со значениями в пучке мультипликативных групп G m изоморфны группе Пикара Pic(X) классов обратимых пучков на X .

Лит.: Нilbеrt D., «Jahresbericht der D. М. V.», 1897, Bd 4, S. 175-546; Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; Серр Ж.-П., Когомологии Галуа, пер. с франц., М., 1968; Аrtin М., Grothendieck A., Cohomologie êtale des schcmas, Seminaire IHES, 1963-64.

В. И. Данилов.

7) Г. т. о существовании абсолютного экстремума: пусть

есть функционал вариационной задачи в параметрич. форме, где F = F(x, у, ẋ, ẏ) - положительно определенная функция 1-й степени по (ẋ, ẏ), трижды непрерывно дифференцируемая по всем аргументам для всех (х, у) из области G и всех (ẋ, ẏ), удовлетворяющих условию ẋ 2 + ẏ 2 ≠ 0. Кроме того, предполагается, что F(x, у, ξ, η) >0 для всех (х, у) ∈ G и ξ 2 + η 2 = 1 (т. е. функционал I положительно определен), а также, что множества Ф(х, у)= {(ξ, η) : F(x, у, ξ, η) ≤ 1} строго выпуклы по (ξ, η) для всех (х, у) из выпуклой замкнутой подобласти G 0 (т. е. функционал I регулярен, пли эллиптичен).

При этих предположениях для любых двух точек (x 0 , y 0) и (x 1 , y 1) из G 0 найдется кривая, доставляющая функционалу I абсолютный минимум среди всех спрямляемых кривых.

Г. т. получена Д. Гильбертом (D. Hilbert, 1899).

Лит.: Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению, М., 1955.

В. М. Тихомиров.

8) Г. т. об инвариантах- теорема, устанавливающая конечнопорожденность алгебры всех многочленов на комплексном векторном пространстве форм степени d от r переменных, инвариантных относительно действия полной линейной группы GL(r, ℂ), определяемого линейными заменами этих переменных. Первое доказательство теоремы, использующее Гильберта теорему о базисе и формальные процессы инвариантов теории, дано в . Д. Гильберт конструктивно доказал эту теорему и получил оценку сверху для степеней образующих указанной алгебры инвариантов (что, в принципе, дает возможность их выписать явно).

Г. т. является первой основной теоремой теории инвариантов для d-й симметрич. степени стандартного представления GL(r, ℂ). Доказательство Г. т. стимулировало постановку вопроса о конечнопорожденности алгебр инвариантов для подгрупп группы CL(r, ℂ), а также постановку 14-й проблемы Гильберта. Используя теорию интегрирования на группах, Г. Вейль (Н. Weyl) доказал конечнопорожденность алгебры инвариантов для любых конечномерных представлений компактных групп Ли и комплексных полупростых групп Ли (см. ).

Г. т. принято называть также следующее ее обобщение: если R - алгебра конечного типа над полем k, G - геометрически редуктивная группа ее k-автоморфизмов и R G - подалгебра всех G-инварпантных элементов в R, то R G также имеет конечный тип над k (см. , ).

Лит.: Hilbert D., «Math. Ann.», 1890, Bd 36, S. 473-534; eго же, «Math. Ann.», 1893, Bd 42, S. 313-73; Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947; Mumford D., Geometric invariant theory, В.-Hdlb.-N.Y., 1965; Nagata M., «J. Math. Kyoto Univ.», 1963/64, v. 3.

В. Л. Попов.

Источники:

Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

С понятием идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем . Впервые доказана Давидом Гильбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313-373) и названа в его честь.

Формулировка

Пусть $k$ - произвольное поле (например, поле рациональных чисел), $K$ - алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел). Рассмотрим $K$ - кольцо многочленов от $n$ переменных с коэффициентами в поле $K$ , пусть $I$ - идеал в этом кольце. Алгебраическое множество $\hbox{V}(I)$ , определяемое этим идеалом, состоит из всех точек $x=(x_1,\dots,x_n)\in K^n$ таких, что $f(x)=0$ для любого $f\in I$ . Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен $p\in k$ зануляется на множестве $\hbox{V}(I)$ , то есть если $p(x)=0$ для всех $x\in V(I)$ , то существует натуральное число $r$ такое, что $p^r\in I$ .

Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если $I$ является собственным идеалом в кольце $K$ , то $\hbox{V}(I)$ не может быть пустым множеством , то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен $p(x)=1$ имеет корни всюду на $\hbox{V}(I)$ , следовательно, его степень принадлежит $I$ ). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого трюка Рабиновича . Предположение о том, что поле $K$ является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала $(x^2+1)$ в $\mathbb R[x]$ не имеют общего нуля.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры , теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала $J$ справедлива формула

$\hbox{I}(\hbox{V}(J))=\sqrt{J}$

где $\sqrt{J}$ - радикал идеала $J$ , а $\hbox{I}(U)$ - идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве $U$ .

Из этого следует, что операции $\hbox{I}$ и $\hbox{V}$ задают биективное , обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в $K^n$ и радикальными идеалами в $K$ .

Проективная версия Nullstellensatz

Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве , называемое проективной Nullstellensatz . Пусть $R=K$ , $R_d$ - множество однородных многочленов степени $d$ . Тогда

$R_+ = \bigoplus_{d \ge 1} R_d$

называется максимальным однородным идеалом . Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества $S \subseteq \mathbb{P}^n$ и однородного идеала $I$ пусть

$\begin{align}
\operatorname{I}_{\mathbb{P}^n}(S) &= \{ f \in R_+ | f(x) = 0 \;\forall x\in S \}, \\
\operatorname{V}_{\mathbb{P}^n}(I) &= \{ x \in \mathbb{P}^n | f(x) = 0 \;\forall f \in I \}.
\end{align}$

Напомним, что $f$ не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами $x$ , в которых $f(x)=0$ , определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала $I\in R_+$ верно

$\sqrt{I} = \operatorname{I}_{\mathbb{P}^n}(\operatorname{V}_{\mathbb{P}^n}(I)).$

Напишите отзыв о статье "Теорема Гильберта о нулях"

Литература

Атья М. , Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. - М: Мир, 1972
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. - М.: Наука, 1976.
Прасолов В. В. Многочлены. - М.: МЦНМО , 1999. ISBN 5-900916-32-4 .
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970

См. также



Пространства

Аксиоматика

Теоремы

Операторы

Общая теория относительности

Другое

Отрывок, характеризующий Теорема Гильберта о нулях

И Пьер, со страхом вспоминая, не сделал ли он чего нибудь предосудительного, краснея, оглянулся вокруг себя. Ему казалось, что все знают, так же как и он, про то, что с ним случилось.
Через несколько времени, когда он подошел к большому кружку, Анна Павловна сказала ему:
– On dit que vous embellissez votre maison de Petersbourg. [Говорят, вы отделываете свой петербургский дом.]
(Это была правда: архитектор сказал, что это нужно ему, и Пьер, сам не зная, зачем, отделывал свой огромный дом в Петербурге.)
– C"est bien, mais ne demenagez pas de chez le prince Ваsile. Il est bon d"avoir un ami comme le prince, – сказала она, улыбаясь князю Василию. – J"en sais quelque chose. N"est ce pas? [Это хорошо, но не переезжайте от князя Василия. Хорошо иметь такого друга. Я кое что об этом знаю. Не правда ли?] А вы еще так молоды. Вам нужны советы. Вы не сердитесь на меня, что я пользуюсь правами старух. – Она замолчала, как молчат всегда женщины, чего то ожидая после того, как скажут про свои года. – Если вы женитесь, то другое дело. – И она соединила их в один взгляд. Пьер не смотрел на Элен, и она на него. Но она была всё так же страшно близка ему. Он промычал что то и покраснел.
Вернувшись домой, Пьер долго не мог заснуть, думая о том, что с ним случилось. Что же случилось с ним? Ничего. Он только понял, что женщина, которую он знал ребенком, про которую он рассеянно говорил: «да, хороша», когда ему говорили, что Элен красавица, он понял, что эта женщина может принадлежать ему.
«Но она глупа, я сам говорил, что она глупа, – думал он. – Что то гадкое есть в том чувстве, которое она возбудила во мне, что то запрещенное. Мне говорили, что ее брат Анатоль был влюблен в нее, и она влюблена в него, что была целая история, и что от этого услали Анатоля. Брат ее – Ипполит… Отец ее – князь Василий… Это нехорошо», думал он; и в то же время как он рассуждал так (еще рассуждения эти оставались неоконченными), он заставал себя улыбающимся и сознавал, что другой ряд рассуждений всплывал из за первых, что он в одно и то же время думал о ее ничтожестве и мечтал о том, как она будет его женой, как она может полюбить его, как она может быть совсем другою, и как всё то, что он об ней думал и слышал, может быть неправдою. И он опять видел ее не какою то дочерью князя Василья, а видел всё ее тело, только прикрытое серым платьем. «Но нет, отчего же прежде не приходила мне в голову эта мысль?» И опять он говорил себе, что это невозможно; что что то гадкое, противоестественное, как ему казалось, нечестное было бы в этом браке. Он вспоминал ее прежние слова, взгляды, и слова и взгляды тех, кто их видал вместе. Он вспомнил слова и взгляды Анны Павловны, когда она говорила ему о доме, вспомнил тысячи таких намеков со стороны князя Василья и других, и на него нашел ужас, не связал ли он уж себя чем нибудь в исполнении такого дела, которое, очевидно, нехорошо и которое он не должен делать. Но в то же время, как он сам себе выражал это решение, с другой стороны души всплывал ее образ со всею своею женственной красотою.

В ноябре месяце 1805 года князь Василий должен был ехать на ревизию в четыре губернии. Он устроил для себя это назначение с тем, чтобы побывать заодно в своих расстроенных имениях, и захватив с собой (в месте расположения его полка) сына Анатоля, с ним вместе заехать к князю Николаю Андреевичу Болконскому с тем, чтоб женить сына на дочери этого богатого старика. Но прежде отъезда и этих новых дел, князю Василью нужно было решить дела с Пьером, который, правда, последнее время проводил целые дни дома, т. е. у князя Василья, у которого он жил, был смешон, взволнован и глуп (как должен быть влюбленный) в присутствии Элен, но всё еще не делал предложения.
«Tout ca est bel et bon, mais il faut que ca finisse», [Всё это хорошо, но надо это кончить,] – сказал себе раз утром князь Василий со вздохом грусти, сознавая, что Пьер, стольким обязанный ему (ну, да Христос с ним!), не совсем хорошо поступает в этом деле. «Молодость… легкомыслие… ну, да Бог с ним, – подумал князь Василий, с удовольствием чувствуя свою доброту: – mais il faut, que ca finisse. После завтра Лёлины именины, я позову кое кого, и ежели он не поймет, что он должен сделать, то уже это будет мое дело. Да, мое дело. Я – отец!»

R [x ] также нётерово.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

19. Оператор Гильберта

20. Теоремы о спектрах (продолжение)

10. Ортогонализация с помощью процедуры Грама Шмидта

Субтитры

Доказательство

Пусть F - идеал в R [x ] (мы здесь будем считать R коммутативным, для некоммутативных колец всё доказательство сохраняется, необходимо только считать все идеалы левыми), а p - множество старших коэффициентов многочленов, принадлежащих этому идеалу. Докажем, что p - идеал.

В самом деле, если a и b - элементы p , то a и b являются старшими коэффициентами некоторых многочленов из F - f (x ) = ax n + … и g (x ) = bx m + … Если, например, m ⩾ n , то a + b многочлена x m -n f (x ) + g (x ) , принадлежащего F . Если a является старшим коэффициентом f (x ) то ar является старшим коэффициентом rf (x ) из идеала F для любого элемента кольца r . Таким образом p - идеал, а так как R - нётерово кольцо, то p конечно порождается некоторыми элементами a 1 , a 2 … a n , являющимися соответственно старшими коэффициентами многочленов f 1 , f 2 … f n из F . Пусть наибольшая степень этих многочленов равна r . Можно считать что степень каждого из этих многочленов равна r (если она равна m ⩽ r , то можно сделать её такой, домножая на x r -m ).

Аналогично доказывается что p k - множество старших коэффициентов многочленов из F , степень которых равна k , объединённое с нулём кольца - является идеалом, и, в силу нётеровости, конечно порождается элементами a k 1 , a k 2 … . Пусть они являются старшими коэффициентами многочленов f k 1 , f k 2 … степени k из идеала F .

Докажем, что многочлены f 1 , …, f i , …, f 1 1 , …, f 1 i , …, f r -1 1 , …, f r-1 i … порождают идеал F . Пусть f (x ) = ax s + … - какой-нибудь многочлен идеала F , тогда a принадлежит p . Если его степень s ⩾ r , то так как a по доказанному является линейной комбинацией a = r 1 a 1 + r 2 a 2 + …r n a n старших членов многочленов f 1 , f 2 … f n степени r , то мы получим, что f (x ) − r 1 x s −r f 1 − r 2 x s-r f 2 − … − r n x s−r f n будет многочленом степени, меньшей, чем s и также принадлежащим идеалу F . Повторяя при необходимости эту операцию несколько раз можно прийти к многочлену степени ⩽ r .

Для многочлена степени ⩽ r применяется та же процедура, но с использованием многочленов f k 1 , f k 2 … старшие коэффициенты которых порождают идеал p k . Далее процедура повторяется, пока мы не придем к нулевому многочлену.

Следствия

Последовательно применяя теорему, можно доказать, что кольцо многочленов от n переменных R [x 1 , …, x n ] нётерово.

Кольцо R [u 1 , …, u n ] , конечно порожденное над нётеровым кольцом R , также нётерово (как факторкольцо кольца многочленов R [x 1 , …, x m ] ).