Найти координаты ортогональной проекции точки на прямую. Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую. Нахождение координат проекции точки на прямую

Существуют три вида уравнений равновесия плоской системы сил. Первый, основной вид вытекает непосредственно из условий равновесия:

;

и записывается так:

;
;
.

Два других вида уравнений равновесия также могут быть получены из условий равновесия:

;
;
,

где прямая AB не перпендикулярна осиx ;

;
;
.

Точки A , B и C не лежат на одной прямой.

В отличие от плоской системы сил условиями равновесия произвольной пространственной системы сил являются два векторных равенства:

.

Если эти соотношения спроецировать на прямоугольную систему координат, то получим уравнения равновесия пространственной системы сил:

Задание 1. Определение реакций опор составной конструкции (Система двух тел)

Конструкция состоит из двух ломаных стержней ABC иCDE , соединенных в точкеC неподвижным цилиндрическим шарниром и прикрепленных к неподвижной плоскостиxOy либо с помощью неподвижных цилиндрических шарниров (НШ), либо подвижным цилиндрическим шарниром (ПШ) и жесткой заделкой (ЖЗ). Плоскость качения подвижного цилиндрического шарнира составляет угол с осьюOx. Координаты точкиA , B , C ,D иE , а также способ крепления конструкции приведены в табл. 1. Конструкция загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностиq , перпендикулярной участку ее приложения, парой сил с моментомM и двумя сосредоточенными силами и . Равномерно распределенная нагрузка приложена таким образом, что ее равнодействующая стремится повернуть конструкцию вокруг точкиO против хода часовой стрелки. Участки приложенияq иM , а также точки приложения и , их модули и направления указаны в табл. 2. Единицы задаваемых величин: q – килоньютон на метр (кН/м);M – килоньютон-метр (кНм); и – килоньютон (кН);ипредставлены в градусах, а координаты точек – в метрах. Углы,иследует откладывать от положительного направления осиOx против хода часовой стрелки, если они положительны, и по ходу часовой стрелки – если отрицательны.

Определите реакции внешних и внутренней связей конструкции.

Указания к выполнению задания

На координатной плоскости xOy в соответствии с условием варианта задания (табл. 1) необходимо построить точкиA ,B, C ,D ,E ; изобразить ломаные стержниABC ,CDE ; указать способы крепления этих тел между собой и с неподвижной плоскостьюxOy . Затем, взяв данные из табл. 2, загрузить конструкцию двумя сосредоточенными силами и , равномерно распределенной нагрузкой интенсивностиq и парой сил с алгебраическим моментом M . Так как в задании исследуется равновесие составного тела, далее нужно построить еще один рисунок, изобразив на нем отдельно телаABC и CDE . Внешние (точкиA ,E ) и внутреннюю (точкаС ) связи на обоих рисунках следует заменить на соответствующие реакции, а равномерно распределенную нагрузку – на равнодействующую
(l – длина участка приложения нагрузки), направленную в сторону нагрузки и приложенную к середине участка. Поскольку рассматриваемая конструкция состоит из двух тел, то для нахождения реакций связей нужно составить шесть уравнений равновесия. Существуют три варианта решения этой задачи:

а) составить три уравнения равновесия для составного тела и три – для тела ABC ;

б) составить три уравнения равновесия для составного тела и три – для тела CDE ;

в) составить по три уравнения равновесия для тел АВС иCDE .

Пример

Дано: A (0;0,2);В (0,3:0,2);С (0,3:0,3);D (0,7:0,4);E (0,7:0);
кН/м,
кН, β = - 45˚, и
кН, γ = - 60˚,
кНм.

Определить реакции внешних и внутренней связей конструкции.

Решение. Разобьем конструкцию (рис. 7,а ) в точкеС на составные частиABC иCDE (рис. 7,б ,в ). Заменим шарнирыA иB соответствующими реакциями, составляющие которых укажем на рис. 7. В точкеC изобразим составляющие
- сил взаимодействия между частями конструкции, причем.

Таблица 1

Варианты задания 1

Таблица 2

Данные к заданию 1

Равномерно распределенную нагрузку интенсивности q заменим равнодействующей, кН:

Вектор образует с положительным направлением осиy угол φ, который несложно найти по координатам точекC иD (см. рис. 7,а ):

Для решения задачи воспользуемся первым видом уравнений равновесия, записав их отдельно для левой и правой частей конструкции. При составлении уравнений моментов выберем в качестве моментных точек точки A – для левой иE – для правой частей конструкции, что позволит решить эти два уравнения совместно и определить неизвестные
и .

Уравнения равновесия для тела ABC :

Представим силу как сумму составляющих:
, где. Тогда уравнения равновесия для телаCDE могут быть записаны в виде

.

Решим совместно уравнения моментов, предварительно подставив в них известные значения.

Учитывая, что по аксиоме о равенстве сил действия и противодействия
, из полученной системы найдем, кН:

Тогда из оставшихся уравнений равновесия тел ABC и CDE несложно определить реакции внутренней и внешних связей, кН:

Результаты вычислений представим таблицей:

Выше (6.5, случай 6) было установлено, что

Учитывая, что , , спроектируем формулы (6.18) на Декартовы оси координат. Имеем аналитическую форму уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил :

(6.19)

Последние три уравнения имеют место из-за того, что проекция момента силы относительно точки на ось, которая проходит через эту точку, равна моменту силы относительно оси (формула (6.9)).

Вывод произвольной пространственной системы сил , которая приложена к твердому телу, мы должны составить шесть уравнений равновесия (6.19), потому имеем возможность с помощью этих уравнений определить шесть неизвестных величин .

Рассмотрим случай пространственной системы параллельных сил. Систему координат выберем так, чтобы ось Оz была параллельна линиям действия сил (рис. 6.11).

Таким образом, остались три уравнения:

Вывод . При решении задач на равновесие параллельной пространственной системы сил, которая приложена к твердому телу, мы должны составить три уравнения равновесия и имеем возможность с помощью этих уравнений определить три неизвестных величины .

На первой лекции по разделу «Статика» мы выяснили, что имеют место шесть разновидностей систем сил , которые могут встретиться в Вашей практике инженерных расчетов. Кроме того есть две возможности расположения пар сил: в пространстве и в плоскости. Сведем все уравнения равновесия для сил и для пар сил в одну таблицу (табл. 6.2), в которой в последней колонке отметим количество неизвестных величин, которые позволит определить система уравнений равновесия.

Таблица 6.2 – Уравнения равновесия разных систем сил

	Вид системы сил	Уравнения равновесия	Количество определяемых неизвестных
	Сходящаяся плоская
	Параллельная плоская ( оси 0у )	т. А 0ху
	Произвольная плоская (в плоскости 0ху)	т. А – произвольная, принадлежащая плоскости 0ху

Продолжение таблицы 6.2

Продолжение таблицы 6.2

Вопросы для самоконтроля по теме 6

1. Как найти момент силы относительно оси?

2. Какая зависимость существует между моментом силы относительно точки и моментом этой же силы относительно оси, которая проходит через эту точку?

3. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю? А когда он наибольший?

4. В каких случаях система сил приводится к равнодействующей?

5. В каком случае пространственная система сил приводится:

– к паре сил;

– к динамическому винту?

6. Что называется инвариантом статики? Какие Вы знаете инварианты статики?

7. Запишите уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.

8. Сформулируйте необходимое и достаточное условие равновесия параллельной пространственной системы сил.

9. Изменится ли главный вектор системы сил при изменении центра приведения? А главный момент?

Тема 7. ФЕРМЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ

Силы, сходящиеся в точке. Силы, линии действия которых НС лежат в одной плоскости, образуют пространственную систему сил. Если линии действия сил пересекаются в одной точке, но не лежат в одной плоскости (рис. 1.59), то они образуют пространственную систему сходящихся сил. Главный момент такой системы сил относительно точки О, в которой пересекаются линии действия сил, всегда равен нулю, т.е. такая система сил в общем случае эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через точку О.

Рис. 1.59.

При использовании ОЗС (1.5) условия равновесия такой системы сил в рассматриваемом случае сводятся к выражению /? = (), и их можно записать в виде трех уравнений равновесия:

Если пространственная система сходящихся сил находится в равновесии, то суммы проекций всех сил на три декартовых оси координат равны нулю.

В случае пространственной системы сил может получиться так, что линия действия силы и ось являются скрещивающимися прямыми. В этом случае при составлении уравнений равновесия используется прием двойного проектирования (рис. 1.60).

Рис. 1.Б0. К приему двойного проектирования сил

Суть этого приема состоит в том, что для нахождения проекции силы на ось сначала проектируем ее на плоскость, содержащую эту ось, а затем уже непосредственно на саму ось: Ё ХУ = Я^пу; Е х = |Т^ гк |с05ф = / г 5туС08ф.

Произвольная пространственная система сил. Силы, линии действия которых не лежат в одной плоскости и не пересекаются в одной точке, образуют произвольную пространственную систему сил (рис. 1.61). Для такой системы отсутствует какая-либо предварительная информация о величинах, или направлениях главного вектора и главного момента. Поэтому необходимые условия равновесия, вытекающие из ОЗС, Я = 0; М 0 = 0, приводят к шести скалярным уравнениям:

Из ОЗС следует, что при равновесии произвольной пространственной системы сил три проекции главного вектора и три проекции главного момента внешних сил равны нулю.

Рис. 1.61.

Практическое использование этих соотношений не вызывает труда в случае нахождения проекций сил, требуемых для вычисления проекции главного вектора, тогда как вычисление проекций векторов моментов может оказаться весьма затруднительным, так как ни величины, ни направления этих векторов заранее не известны. Решение задач значительно упрощается, если использовать понятие «момент силы относительно оси».

Момент силы относительно оси - это проекция на эту ось вектора-момента силы относительно любой точки, лежащей на этой оси (рис. 1.62):

где /л 0 (/ 7) = г 0 х Т 7 - вектор-момент силы относительно точки О.

Рис. 1.Б2. К определению момента силы относительно оси

Модуль этого вектора равен |ал 0 (/ ;)| = 25 ДО/1й = /7?, где - площадь треугольника ОЛВ.

минуя определение вектора-момента т 0 (Р). Построим плоскость л, перпендикулярную оси, относительно которой определяется момент, и спроектируем силу на эту плоскость. По определению момент силы относительно оси:

с об ос - 28 ДО/)й АО, А 1 В ] - Р К И Х.

Таким образом, модуль момента силы относительно оси можно определить как произведение модуля проекции силы на плоскость л, перпендикулярную рассматриваемой оси, на расстояние от точки пересечения оси с плоскостью л до линии действия силы Р к, т.е. для определения момента силы относительно оси нет необходимости предварительно определять вектор т а (Р), а затем проектировать его на ось Ох.

Примечание. Заметим, что модуль момента относительно оси не зависит от выбора точки на оси, относительно которой вычисляют вектор момента, так как проекция площади АОАВ на плоскасть л не зависит от выбора точки О.

Из изложенного вытекает последовательность действий при определении момента силы относительно оси (см. рис. 1.61):

• строим плоскость л, перпендикулярную Ох, и отмечаем точку О;
• проектируем силу на эту плоскость;
• вычисляем модуль момента относительно оси и присваиваем полученному результату знак «+» или «-»:
• (1.28)

т ох (Р) = ±РЬ х.

Правило знаков следует из знака проекции вектора т ох (Р): если смотреть с «положительного конца» оси «поворот отрезка И х » силой Р п виден происходящим против хода часовой стрелки, то момент силы относительно оси считают положительным, в противном случае - отрицательным (рис. 1.63).

Рис. 1.63.

1 Р г - от фр. ргсуесйоп - проекция.

Примечание. Момент силы относительно оси равен нулю, когда сила параллельна оси или пересекает эту ось, т.е. момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости (рис. 1.64).

Рис. 1.В4. Случаи равенства нулю момента силы

относительно оси

С физической точки зрения момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект силы по отношению к оси.

Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил. Учитывая, что согласно ОЗС для пространственной системы сил, находящейся в равновесии, Я = 0; М а = 0. Выражая проекции главного вектора через суммы проекций сил системы, а проекции главного момента - через суммы моментов отдельных сил относительно осей, получаем шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил:

Таким образом, если произвольная пространственная система сил находится в равновесии, то сумма проекции всех сил на три оси декартовых координат и суммы моментов всех сил относительно этих осей равны нулю.

Пары сил в пространстве. В пространственной системе сил могут встречаться пары сил, расположенные в разных плоскостях, и при вычислении главного момента возникает необходимость нахождения моментов этих пар сил относительно разных точек пространства, не лежащих в плоскости пар.

Пусть силы пары расположены в точках/! и В (рис. 1.65). Тогда имеем: Р А = -Р в, а по модулю Р А = Р в = Р. Из рис. 1.65 следует, что г в = г л + Л В.

Рис. 1.В5. К определению вектора-момента пары сил относительно точки,

не лежащей в плоскости пары

Найдем главный момент пары сил относительно точки О:

Р а х К + р в х Р в = * л х + ? в х Л =

= (г в -?л)х Р в = х Р в = ВЛх Р А = т.

Поскольку положение точки О не вошло в конечный результат, отметим, что вектор-момент пары сил т не зависит от выбора мо-ментной точки О и определяется как момент одной из сил пары относительно точки приложения другой силы. Вектор-момент пары сил перпендикулярен плоскости действия пары и направлен так, чтобы с конца его видеть возможное вращение против хода часовой стрелки. Модуль вектора-момента пары сил равен произведению величины силы пары на плечо, т.е. ранее определенному значению момента пары в плоской системе сил:

т 0 (Р,-Р) = Рк = т. (1.31)

Вектор-момент пары сил является «свободным» вектором; его можно прикладывать в любой точке пространства, не изменяя модуля и направления, что соответствует возможности переноса пары сил в любую параллельную плоскость.

Момент пары сил относительно оси. Поскольку момент пары сил - вектор «свободный», то всегда пару сил, заданную векгором-момента,

можно расположить так, чтобы одна из сил пары (-^) пересекала заданную ось в произвольной точке О (рис. 1.66). Тогда момент

пары сил будет равен моменту силы Р относительно точки О:

т 0 (Р,-Р) = ОЛх Р = т.

Рис. 1.ББ. К определению момента пары сил относительно оси

Момент пары сил относительно оси определяют как проекцию на эту ось вектора-момента силы F относительно точки О, или, что то же самое, как проекцию вектора-момента пары сил m 0 (F,-F) на эту ось:

т х (F,-F) = tn cos ос = Рг х т. (1-32)

Некоторые примеры пространственных связей:

? сферический шарнир (рис. 1.67) позволяет осуществлять поворот вокруг точки в любом направлении. Поэтому, отбрасывая такую связь, нужно приложить силу /V, которая проходит через центр шарнира и неизвестна по величине и направлению в пространстве. Разлагая эту силу по направлениям трех координатных осей, получим три неизвестные реакции: Х А, Y a , Z a ;

Рис. 1.Б7. Сферический шарнир и схематическое изображение его реакций

? подшипник скольжения позволяет реализовать поворот вокруг своей оси и допускает свободу перемещения вдоль этой оси. Предполагая, что размер 8 очень мал и реактивными моментами относительно осей х и у можно пренебречь, получим одну неизвестную по величине и направлению реактивную силу N А или две неизвестные реакции: Х А, У А (рис. 1.68);

Рис. 1.Б8. Реакции подшипника со свободной осью

? подпятник (рис. 1.69) в отличие от подшипника позволяет осуществлять поворот вокруг своей оси, нс допуская перемещения вдоль нее, и имеет три неизвестные реакции: X А, ? Л, Z /1 ;

? глухая пространственная заделка (рис. 1.70). Поскольку при отбрасывании такой связи возникает произвольная пространственная реактивная система сил, характеризуемая главным вектором /? неизвестной величины и направления и главным моментом, например, относительно центра заделки А, также неизвестным по величине и направлению, то представим каждый из этих векторов в виде компонентов по осям: Я = X А + У А + 2 А; М А = т АХ + т АУ + т Аг.

Рис. 1.70.

Делаем вывод, что глухая пространственная заделка имеет шесть неизвестных реакций - три составляющих силы и три момента относительно осей, величины которых равны соответствующим проекциям сил и моментов на координатные оси: X А, У л 2 А, т АХ; т АУ т А/ .

Решение задач. При решении задач на равновесие пространственной системы сил весьма существенным является составление уравнений, которые можно решить простым способом. Для этих целей оси, относительно которых составляют уравнения моментов, следует выбирать так, чтобы они пересекли как можно больше неизвестных сил или были им параллельны. Желательно направлять оси проекций так, чтобы отдельные неизвестные были им перпендикулярны.

При затруднениях, возникающих в процессе определения момента силы относительно осей, следует заменить отдельные силы эквивалентными совокупностями двух сил , для которых вычисления упрощаются. В ряде случаев полезно отображать проекции рассматриваемой системы на координатные плоскости.

Заметим, опуская доказательства, что подобно тому, как это было в плоской системе сил, составляя уравнения равновесия для пространственной системы сил, можно увеличивать число уравнений моментов относительно осей вплоть до шести, соблюдая некоторые ограничения, накладываемые на направление осей, такие, чтобы уравнения моментов были бы линейно независимы.

Задача 1.3. Прямоугольная плита, опертая в точке В на сферический

шарнир и закрепленная в точках А и С с помощью стержней, поддер-

живается в равновесии нитью, как показано на рис. 1.71. Определить реакции связей плиты ЛВС.

Рис. 1.71.

Д а н о: G, т , Za, Z(3 = л/4.

Выбирая начало координат в точке В, выразим составляющие пространственно ориентированной реактивной силы Т по оси z и плоскости Вху :

Т 7 =Т cosa; T XY = Т sin a.

Условия равновесия для данной системы будут представлять систему последовательно решаемых уравнений, которые запишем, опуская пределы суммирования, в виде:

X m z = 0- -Х А а = 0;

=°’ ~T z a + G~m = 0;

X m xi = 0.

Х^ = о, X F n = 0;

T z a + Z c a = 0;

20. Условие равновесия пространственной системы сил:

21. Теорема о 3-х непараллельных силах: Линии действия трёх непараллельных взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке.

22. Статически определимые задачи – это задачи, которые можно решать методами статики твёрдого тела, т.е. задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия сил.

Статически не определимые – это системы, в которых число неизвестных величин превышает число независимых уравнений равновесия для данной системы сил

23. Уравнения равновесия плоской системы параллельных сил:

AB не параллельно F i

24. Конус и угол трения: Предельное положение активных сил, под действием которых может иметь место равенство, описывает конус трения c углом (φ).

Если активная сила проходит вне этого конуса, то тогда равновесие невозможно.

Угол φ называют углом трения.

25. Указать размерность коэффициентов трения: коэффициенты трения покоя и трения скольжения-безразмерные величины, коэффициенты трения качения и трения верчения имеют размерность длины(мм,см,м).м

26. Основные допущения, принимаемые при расчёте плоских статически опред.ферм: -стержни фермы считают невесомыми; -крепления стержней в узлах фермы-шарнирные; -внешняя нагрузка накладывается только в узлах фермы; -стержень попадает под связь.

27. Какая связь между стержнями и узлами статически определимой фермы?

S=2n-3 –простая статически определимая ферма, S-количество стержней, n-количество узлов,

если S<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если внешние силы будут одинаково соотноситься

S>2n-3 – статически не определимая ферма, имеет лишние связи, +расчёт деформации

28. Статически определимая ферма должна удовлетворять условию: S=2n-3; S-количество стержней, n-количество узлов.

29. Метод вырезания узлов: Этот метод состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу. Условно предполагают, что все стрежни растянуты(реакции стержней направлены от узлов).

30. Метод Риттера: Проводим секущую плоскость, рассекающую ферму на 2 части. Сечение должно начинаться и заканчиваться за пределами фермы. В качестве объекта равновесия можно выбирать любую часть. Сечение проходит по стержням, а не по узлам. Силы, приложенные к объекту равновесия, образуют произвольную систему сил, для которой можно составить 3 уравнения равновесия. Поэтому сечение проводим так, чтобы в него попало не более 3 стержней, усилия в которых неизвестны.

Особенностью метода Риттера является выбор формы уравнения таким образом, чтобы в каждое уравнение равновесия входила одна неизвестная величина. Для этого определяем положения точек Риттера, как точек пересечения линий действия двух неизвестных усилий и записываем уравнения моментов отн. этих точек.

Если точка Риттера лежит в бесконечности, то в качестве уравнения равновесия составляем уравнения проекций на ось, перпендикулярную этим стержням.

31. Точка Риттера- точка пересечения линий действия двух неизвестных усилий. Если точка Риттера лежит в бесконечности, то в качестве уравнения равновесия составляем уравнения проекций на ось, перпендикулярную этим стержням.

32. Центр тяжести объемной фигуры:

33. Центр тяжести плоской фигуры:

34. Центр тяжести стержневой конструкции:

35. Центр тяжести дуги:

36. Центр тяжести кругового сектора:

37. Центр тяжести конуса:

38. Центр тяжести полушара:

39. Метод отрицательных величин: Если твёрд.тело имеет полости, т.е. полости из которых вынута их масса, то мы мысленно заполняем эти полости до сплошного тела, и определяем центр тяжести фигуры, взяв вес, объём, площадь полостей со знаком «-».

40. 1-й инвариант: 1-м инвариантом системы сил называют главные вектор системы сил. Главный вектор системы сил не зависит от центра приведения R=∑ F i

41. 2-й инвариант: Скалярное произведение главного вектора на главный момент системы сил для любого центра приведения есть величина постоянная.

42. В каком случае система сил приводится к силовому винту? В случае, если главный вектор системы сил и её главный момент относительно центра приведения не равны нулю и не перпендикулярны между собой, задан. систему сил можно привести к силовому винту.

43. Уравнение центральной винтовой оси:

44. M x - yR z + zR y = pR x ,
M y - zR x + xR z = pR y ,
M z - xR y + yR x = pR z

45. Момент пары сил как вектор- этот вектор перпендикулярен плоскости действия пары и направлен в сторону, откуда видно вращение пары против хода часовой стрелки. По модулю векторный момент равен произведению одной из сил пары на плечо пары. Векторный момент пары явл. свободным вектором и может быть приложен к любой точке твердого тела.

46. Принцип освобождаемости от связей: Если связи отбрасываются, то их необходимо заменить силами реакций от связи.

47. Веревочный многоугольник- это построение графостатики, которым можно пользоваться для определения линия действия равнодействующей плоской системы сил для нахождения реакций опор.

48. Какая взаимосвязь между верёвочным и силовым многоугольником: Для нахождения неизвестных сил графически в силовом многоугольнике используем дополнительную точку О(полюс), в веревочном многоугольнике находим равнодействующую, перемещая которую в силовой многоугольник находим неизвестные силы

49. Условие равновесия систем пар сил: Для равновесия пар сил действующих на твердое тело необходимо и достаточно чтобы момент эквивалентных пар сил был равен нулю. Следствие: Чтобы уравновесить пару сил необходимо приложить уравновешивающую пару, т.е. пару сил можно уравновесить другой парой сил с равными модулями и противоположно направленными моментами.

Кинематика

1. Все способы задания движения точки:

естественный способ

координатный

радиус-векторный.

2. Как найти уравнение траектории движения точки при координатном способе задания её движения? Для того, чтобы получить уравнение траектории движение материальной точки, при координатном способе задания необходимо исключить параметр t из законов движения.

3. Ускорение точки при координ. способе задания движения:

над иксом 2 точки

над y 2 точки

4. Ускорение точки при векторном способе задания движения:

5. Ускорение точки при естественном способе задания движения:

= = * +v* ; a= + ; * ; v* .

6. Чему равно и как оно направлено нормальное ускорение – направлено по радиусу к центру,