Малая ось эллипса. Линии второго порядка. Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность. Как найти фокусы эллипса
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
где a – большая полуось; b – малая полуось. Точки F1(c,0) и F2(-c,0) − c называются
a, b - полуоси эллипса.
Нахождение фокусов, эксцентриситета, директрис эллипса, если известно его каноническое уравнение.
Определение гиперболы. Фокусы гиперболы.
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
По определению |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.
Каноническое уравнение гиперболы. Полуоси гиперболы. Построение гиперболы, если известно ее каноническое уравнение.
Каноническое уравнение:
Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси (слева и справа относительно начала координат). Для ветви расположенной на положительной стороне, полуось будет равна:
Если выразить её через коническое сечение и эксцентриситет, тогда выражение примет вид:
Нахождение фокусов, эксцентриситета, директрис гиперболы, если известно ее каноническое уравнение.
Эксцентриситет гиперболы
Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с –
половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.
С учетом того, что с2 – а2 = b2:
Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).
Директрисы гиперболы
Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .
Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.
Определение параболы. Фокус и директриса параболы.
Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.
Каноническое уравнение параболы. Параметр параболы. Построение параболы.
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат: (или , если поменять местами оси).
Построение параболы при заданной величине параметра p выполняется в следующей последовательности:
Проводят ось симметрии параболы и откладывают на ней отрезок KF=p;
Через точку K перпендикулярно оси симметрии проводят директрису DD1;
Отрезок KF делят пополам получают вершину 0 параболы;
От вершины отмеряют ряд произвольных точек 1, 2, 3, 5, 6 с постепенно увеличивающемся расстоянием между ними;
Через эти точки проводят вспомогательные прямые перпендикулярные оси параболы;
На вспомогательных прямых делают засечки радиусом равным расстоянию от прямой до директрисы;
Полученные точки соединяют плавной кривой.
Введение
Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.
Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости -- по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.
Эллипс и его уравнение
Определение 1. Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Фокусы эллипса обозначаются буквами и, расстояние между фокусами - через, а сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов - через. Причем 2a > 2c.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
где связаны между собой равенством a 2 + b 2 = c 2 (или b 2 - a 2 = c 2).
Величина называется большой осью, а - малой осью эллипса.
Определение 2. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси.
Обозначается буквой.
Так как по определению 2a>2c, то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е. .
Точки F 1 (–c , 0) и F 2 (c , 0), где называются фокусами эллипса , при этом величина 2c определяет междуфокусное расстояние .
Точки А 1 (–а , 0), А 2 (а , 0), В 1 (0, –b ), B 2 (0, b ) называются вершинами эллипса (рис. 9.2), при этом А 1 А 2 = 2а образует большую ось эллипса, а В 1 В 2 – малую, – центр эллипса.
Основные параметры эллипса, характеризующие его форму:
ε = с /a – эксцентриситет эллипса ;
– фокальные радиусы эллипса (точка М принадлежит эллипсу), причем r 1 = a + εx , r 2 = a – εx ;
– директрисы эллипса .
Для эллипса справедливо: директрисы не пересекают границу и внутреннюю область эллипса, а также обладают свойством
Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости».
Если b > a > 0, то эллипс задается уравнением (9.7), для которого вместо условия (9.8) выполняется условие
Тогда 2а
– малая ось, 2b
– большая ось, – фокусы (рис. 9.3). При этом r
1 + r
2 = 2b
,
ε
= c
/b
, директрисы определяются уравнениями:
При условии имеем (в виде частного случая эллипса) окружность радиуса R = a . При этом с = 0, а значит, ε = 0.
Точки эллипса обладают характеристическим свойством : сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2а (рис. 9.2).
Для параметрического задания эллипса (формула (9.7)) в случаях выполнения условий (9.8) и (9.9) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox :
Если центр эллипса с полуосями находится в точке то его уравнение имеет вид:
Пример 1. Привести уравнение эллипса x 2 + 4y 2 = 16 к каноническому виду и определить его параметры. Изобразить эллипс.
Решение . Разделим уравнение x 2 + 4y 2 = 16 на 16, после чего получим:
По виду полученного уравнения заключаем, что это каноническое уравнение эллипса (формула (9.7)), где а = 4 – большая полуось, b = 2 – малая полуось. Значит, вершинами эллипса являются точки A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2 (0, 2). Так как – половина междуфокусного расстояния, то точки являются фокусами эллипса. Вычислим эксцентриситет:
Директрисы D 1 , D 2 описываются уравнениями:
Изображаем эллипс (рис. 9.4).
Пример 2. Определить параметры эллипса
Решение. Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса со смещенным центром. Находим центр эллипса С : Большая полуось малая полуось прямые – главные оси. Половина междуфокусного расстояния а значит, фокусы Эксцентриситет Директрисы D 1 и D 2 могут быть описаны с помощью уравнений: (рис. 9.5).
Пример 3. Определить, какая кривая задается уравнением, изобразить ее:
1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;
3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;
Решение. 1) Приведем уравнение к каноническому виду методом выделения полного квадрата двучлена:
x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;
(x 2 + 4x ) + (y 2 – 2y ) + 4 = 0;
(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;
(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.
Таким образом, уравнение может быть приведено к виду
(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.
Это уравнение окружности с центром в точке (–2, 1) и радиусом R = 1 (рис. 9.6).
2) Выделяем полные квадраты двучленов в левой части уравнения и получаем:
(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.
Это уравнение не имеет смысла на множестве действительных чисел, так как левая часть неотрицательна при любых действительных значениях переменных x и y , а правая – отрицательна. Поэтому говорят, что это уравнение «мнимой окружности» или оно задает пустое множество точек плоскости.
3) Выделяем полные квадраты:
x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;
(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;
(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;
(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.
Значит, уравнение имеет вид:
Полученное уравнение, а следовательно, и исходное задают эллипс. Центр эллипса находится в точке О 1 (1, –2), главные оси задаются уравнениями y = –2, x = 1, причем большая полуось а = 4, малая полуось b = 2 (рис. 9.7).
4) После выделения полных квадратов имеем:
(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 17 + 17 = 0 или (x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.
Полученное уравнение задает единственную точку плоскости с координатами (1, –2).
5) Приведем уравнение к каноническому виду:
Очевидно, оно задает эллипс, центр которого находится в точке главные оси задаются уравнениями причем большая полуось малая полуось (рис. 9.8).
Пример 4. Записать уравнение касательной к окружности радиуса 2 с центром в правом фокусе эллипса x 2 + 4y 2 = 4 в точке пересечения с осью ординат.
Решение. Уравнение эллипса приведем к каноническому виду (9.7):
Значит, и правый фокус – Поэтому, искомое уравнение окружности радиуса 2 имеет вид (рис. 9.9):
Окружность пересекает ось ординат в точках, координаты которых определяются из системы уравнений:
Получаем:
Пусть это точки N (0; –1) и М (0; 1). Значит, можно построить две касательные, обозначим их Т 1 и Т 2 . По известному свойству касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Пусть Тогда уравнение касательной Т 1 примет вид:
Значит, или Т 1: Оно равносильно уравнению
Можно показать (мы этого не делаем), что уравнение (2) равносильно уравнению (1), хотя оно и получено из (1) путем неэквивалентных преобразований. Это и означает, что уравнение (2)-уравнение данного эллипса. Оно называется каноническим (т.е. наиболее простым).
Видно, что уравнение эллипса есть уравнение 2-ого порядка, т.е. эллипс-линия 2-го порядка.
Для эллипса введем понятие эксцентриситет. Это величина . Для эллипса эксцентриситет . Так как с и а известны, то тоже известен. Выражение фокальных радиусов точки М(х, у) эллипса легко получаем из предыдущих рассуждений: . r 2 найдем из равенства (3)
Замечание Если в стол вбить два гвоздя (F1 и F2), привязать к ним обоими концами шнурок, длина которого больше расстояния между гвоздями (2а ), натянуть шнур и куском мела вести по столу, то он вычертит замкнутую кривую-эллипс, которая симметрична относительно обеих осей и начала координат.
4. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению.
В замечании мы из соображений наглядности сделали вывод о форме эллипса. Проведем теперь исследование формы эллипса, анализируя его каноническое уравнение:
Найдем точки пересечения с осями координат. Если ,у=0, то , , т.е. имеем две точки А1(-а,0) и А2(а,0). Если х=0, то , . Т.е. имеем две точки В1(0,-b) и B2(0,b) (т.к. , то ). Точки А1,А2,В1,В2 называют вершинами эллипса.
2) Область расположения эллипса можно определить из следующих соображений:
а) из уравнения эллипса следует, что , т.е. , т.е. или .
б) аналогично , т.е. или . Это показывает, что весь эллипс расположен в прямоугольнике, образованном прямыми и .
3) Далее, в уравнение эллипса переменные х и у входят только в четных степенях, а это означает, что кривая симметрична относительно каждой из осей и относительно начала координат. Д-но, если радиусу принадлежит точка (х, у), то ему принадлежат и точки (х, -у), (-х, у) и (-х, -у). Поэтому достаточно рассмотреть лишь ту часть эллипса, которая лежит в первой четверти, где и .
4) Из уравнения эллипса имеем , а в первой четверти . Если х=0, то у=b. Это есть точка B2(0,b). Пусть х увеличивается от 0 до а, тогда y уменьшается от b до 0. Тем самым точка М(х, у), начиная из точки В2(0, b) описывая дугу приходит в точку А(а,0). Можно строго доказать, что дуга выпуклостью направлена вверх. Отражая зеркально эту дугу в осях координат и начале, мы и получим весь эллипс. Оси симметрии эллипса называются его осями, точка О пересечения их-центром эллипса. Длину отрезков ОА1=ОА2=а называют большой полуосью эллипса, отрезков ОВ1,ОВ2=b-малой полуосью эллипса, (а>b), c-полуфокусным расстоянием. Величину просто пояснить геометрически.
При а=b получаем из канонического уравнения эллипса --уравнение окружности. Для окружности , т.е. F1=F2=0. .
Таким образом, окружность-это частный случай эллипса, когда фокусы его совпадают с центром и эксцентриситет=0. Чем больше эксцентриситет, тем больше вытянут эллипс.
Замечание. Из канонического уравнения эллипса легко заключить, что эллипс можно задать в параметрической форме. x=a cos t
y=b sin t, где a, b –большая и малая полуоси, t-угол.
5. Определение и вывод канонического уравнения гиперболы.
Гиперболой называется ГМТ плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек F1F2 плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина (не равная 0 и меньшая, чем фокусное расстояние F1F2).
Будем обозначать, по-прежнему, F1F2=2с, а разность расстояний-2а (а<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.
Пусть М (х,у)-текущая точка гиперболы. По определению МF1-MF2= или r 1 -r 2 = = или --(1). –это и есть уравнение гиперболы.
Избавляемся от иррациональности в (1): уединим один корень, возведем обе части в квадрат, получим: или , снова возведем в квадрат:
Откуда .
Разделим на . Введем обозначение . Тогда --(2). Уравнение (2), как можно показать, равносильно уравнению (1), а потому есть уравнение данной гиперболы. Его называют каноническим уравнением гиперболы. Видим, что уравнение гиперболы тоже второй степени, значит, гипербола-линия второго порядка .
Эксцентриситет гиперболы . Выражение фокальных радиусов через легко получить из предыдущего , тогда находим из .
6. Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению.
Рассуждаем аналогично тому, как при исследовании эллипса.
1. Находим точки пересечения с осями гиперболы. Если х=0, то . Точек пересечения с осью ОУ нет. Если у=0, то . Точки пересечения , . Они называются вершинами гиперболы.
2. Область расположения гиперболы: , т.е. или . Значит, гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x=-a и х=а .
3. Гипербола обладает всеми видами симметрии, т.к. х и у входят в четных степенях. Поэтому достаточно рассмотреть ту часть гиперболы, которая расположена в первой четверти.
4. Из уравнения гиперболы (2) в первой четверти имеем . При х=а, у=0 имеем точку ; при , т.е. кривая уходит вправо вверх. Чтобы ход представить яснее, рассмотрим две вспомогательные прямые, проходящие через начало координат и являющиеся диагоналями прямоугольника со сторонами 2а и 2b: BCB’C’. Они имеют уравнения и . Докажем, что текущая точка гиперболы М(х,у) уходя в бесконечность неограниченно приближается к прямой . Возьмем произвольную точку х и сравним соответствующие ординаты точки гиперболы и --прямой. Очевидно, что У>у . MN=Y-y= .
Видим, что при , т.е. кривая неограниченно приближается к прямой по мере удаления от начала координат. Это доказывает, что прямая является асимптотой гиперболы. Причем гипербола не пересекает асимптоту. Этого достаточно, чтобы построить часть гиперболы. Она обращена выпуклостью вверх. Остальные части достраиваются по симметрии. Заметим, что оси симметрии гиперболы (оси координат) называются ее осями , точка пересечения осей-центром гиперболы. Одна ось пересекает гиперболу (действительная ось), другая-нет (мнимая). Отрезок а называют действительной полуосью, отрезок b -мнимой полуосью. Прямоугольник BCB’C’-называется основным прямоугольником гиперболы.
Если а=b , то асимптоты образуют с осями координат углы по . Тогда гиперболу или называют равносторонней или равнобочной. Основной прямоугольник превращается в квадрат. Асимптоты ее перпендикулярны друг другу.
Замечание.
Иногда рассматривают гиперболу, каноническое уравнение которой --(3). Ее называют сопряженной по отношению к гиперболе (2). Гипербола (3) имеет действительную ось вертикальную, мнимую-горизонтальную. Ее вид сразу устанавливается, если переставить х и у , а и b (она превращается в прежнюю). Но тогда гипербола (3) имеет вид:
Вершины ее .
5.Как уже указывалось, уравнение равносторонней гиперболы (а=b) , когда оси координат совпадают с осями гиперболы, имеет вид . (4)
Т.к. асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны, то их тоже можно взять за оси координат ОХ 1 и ОУ 1 . Это равносильно повороту прежней системы ОХУ на угол . Формулы поворота на угол следующие:
Тогда в новой системе координат ОХ 1 У 1 уравнение (4) перепишется:
Или или . Обозначая , получим или (5)-это уравнение равносторонней гиперболы , отнесенной к асимптотам (именно этот вид гиперболы рассматривался в школе).
Замечание : Из уравнения следует, что площадь любого прямоугольника, построенного на координатах любой точки гиперболы М(х,у) одна и та же: S=k 2 .
7. Определение и вывод канонического уравнение параболы.
Параболой называется ГМТ плоскости, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки Fплоскости, называемой фокусом , равно расстоянию от фиксированной прямой, называемой директрисой (фокус вне директрисы).
Будем обозначать расстояние от Fдо директрисы через р и называть параметром параболы. Выберем следующим образом систему координат: ось ОХ проведем через точку Fперпендикулярно директрисе NP. Начало координат выберем в середине отрезкаFP.
В этой системе: .
Возьмем произвольную точку М(х,у) с текущими координатами (х,у). Поэтому
Отсюда (1)-это и есть уравнение параболы. Упростим:
Или (2)-это и есть каноническое уравнение параболы. Можно показать, что (1) и (2) равносильны.
Уравнение (2) есть уравнение 2-го порядка, т.е. парабола-линия 2-го порядка.
8. Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению.
(р>0).
1) х=0, у=0 парабола проходит через начало координат точку О. Ее называют вершиной параболы.
2) , т.е. парабола располагается правее оси ОУ, в правой полуплоскости.
3) у входит в четной степени, потому парабола симметрична относительно оси ОХ, следовательно, достаточно построить в первой четверти.
4) в 1 четверти при , т.е. парабола идет вверх вправо. Можно показать, что выпуклостью-вверх. По симметрии строим внизу. Ось ОУ-касательная к параболе.
Очевидно, фокальный радиус-- . Отношение называется эксцентриситетом : . Ось симметрии параболы (у нас ОХ) называется осью параболы.
Заметим, что уравнение тоже есть парабола, но направленная в противоположную сторону. Уравнения тоже задают параболы, осью которых является ось ОУ.
или в более привычном виде , где .
Уравнение определяет обычную параболу со смещенной вершиной .
Замечания. 1) Между всеми четырьмя линиями 2-го порядка существует близкое родство-все они являются коническими сечениями . Если взять конус из двух полостей, то при сечении плоскостью перпендикулярной оси конуса получим окружность, если чуть наклонить плоскость сечения получим эллипс; если плоскость параллельна образующей, то в сечении-парабола, если плоскость пересекает обе
полости-гипербола.
2) Можно доказать, что если луч света исходя из фокуса параболы, отражается от нее, то отраженный луч идет параллельно оси параболы-это используется при действии прожекторов-параболический отражатель, а в фокусе-источник света. Получается направленный поток света.
3) Если представить запуск спутника Земли из точки Т, лежащей за пределами атмосферы в горизонтальном направлении, то если начальная скорость v 0 недостаточна, то спутник вращаться вокруг Земли не будет. При достижении 1-ой космической скорости спутник будет вращаться вокруг Земли по круговой орбите с центром в центре Земли. Если начальную скорость увеличить, то вращение будет происходить по эллипсу, центр Земли будет в одном из фокусов. При достижении 2-ой космической скорости траектория станет параболической и спутник не вернется в точку Т, но будет находиться в пределах Солнечной системы. Т.е. парабола есть эллипс с одним бесконечно удаленным фокусом. При дальнейшем увеличении начальной скорости траектория станет гиперболической и второй фокус появиться с другой стороны. Центр Земли будет все время находиться в фокусе орбиты. Спутник уйдет за пределы Солнечной системы.
Окружностью
называется замкнутая плоская кривая, все точки которой
равноудалены от заданной точки (центра окружности). Расстояние от любой точки окружности \(P\left({x,y} \right)\) до ее центра называется
радиусом
. Центр окружности и сама окружность лежат в одной и той же плоскости.
Уравнение окружности радиуса \(R\) с центром в начале координат (каноническое уравнение окружности
)
имеет вид
\({x^2} + {y^2} = {R^2}\).
Уравнение окружности
радиуса \(R\)
с центром в произвольной точке
\(A\left({a,b} \right)\) записывается как
\({\left({x - a} \right)^2} + {\left({y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Уравнение окружности, проходящей через три точки
, записывается в виде:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} + {y^2}} & x & y & 1\\
{x_1^2 + y_1^2} & {{x_1}} & {{y_1}} & 1\\
{x_2^2 + y_2^2} & {{x_2}} & {{y_2}} & 1\\
{x_3^2 + y_3^2} & {{x_3}} & {{y_3}} & 1
\end{array}} \right| = 0.\\\)
Здесь \(A\left({{x_1},{y_1}} \right)\), \(B\left({{x_2},{y_2}} \right)\), \(C\left({{x_3},{y_3}} \right)\)
− три точки, лежащие на окружности.
Уравнение окружности в параметрической форме
\(\left\{
\begin{aligned}
x &= R \cos t \\
y &= R\sin t
\end{aligned}
\right.,
\;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(x\), \(y\) − координаты точек окружности, \(R\) − радиус окружности, \(t\) − параметр.
Общее уравнение окружности
\(A{x^2} + A{y^2} + Dx + Ey + F = 0\)
при условии \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Центр окружности расположен в точке с координатами \(\left({a,b} \right)\), где
\(a = - \large\frac{D}{{2A}}\normalsize,\;\;b = - \large\frac{E}{{2A}}\normalsize.\)
Радиус окружности равен
\(R = \sqrt {\large\frac{{{D^2} + {E^2} - 4AF}}{{2\left| A \right|}}\normalsize} \)
Эллипсом
называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма
расстояний до двух заданных точек (фокусов эллипса
) постоянна.
Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием
и обозначается через \(2c\). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса
.
У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения
этих осей с эллипсом называются вершинами
. Отрезок, соединяющий
центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса
. Большая
полуось обозначается через \(a\), малая полуось − через \(b\). Эллипс, центр которого находится в начале координат,
а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением
:
\(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1.\)
Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов
постоянна:
\({r_1} + {r_2} = 2a\),
где \({r_1}\), \({r_2}\) − расстояния от произвольной точки \(P\left({x,y} \right)\) до
фокусов \({F_1}\) и \({F_2}\), \(a\) − большая полуось эллипса.
Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием
\({a^2} = {b^2} + {c^2}\),
где \(a\) − большая полуось эллипса, \(b\) − малая полуось, \(c\) − половина
фокусного расстояния.
Эксцентриситет эллипса
\(e = \large\frac{c}{a}\normalsize
Уравнения директрис эллипса
Директрисой эллипса называется прямая, перпендикулярная его фокальной оси и пересекающая ее
на расстоянии \(\large\frac{a}{e}\normalsize\) от центра. Эллипс имеет две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра.
Уравнения директрис записываются в виде
\(x = \pm \large\frac{a}{e}\normalsize = \pm \large\frac{{{a^2}}}{c}\normalsize.\)
Уравнение эллипса в параметрической форме
\(\left\{
\begin{aligned}
x &= a\cos t \\
y &= b\sin t
\end{aligned}
\right.,
\;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(a\), \(b\) − полуоси эллипса, \(t\) − параметр.
Общее уравнение эллипса
\(A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
где \({B^2} - 4AC
Общее уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат
\(A{x^2} + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
где \(AC > 0\).
Периметр эллипса
\(L = 4aE\left(e \right)\),
где \(a\) − большая полуось эллипса, \(e\) − эксцентриситет, \(E\) −
полный эллиптический интеграл второго рода.
Приближенные формулы для периметра эллипса
\(L \approx \pi \left[ {\large\frac{3}{2}\normalsize\left({a + b} \right) - \sqrt {ab} } \right],\;\;L \approx \pi \sqrt {2\left({{a^2} + {b^2}} \right)},\)
где \(a\), \(b\) − полуоси эллипса.
Площадь эллипса
\(S = \pi ab\)
Загрузка...
