Примеры уравнений с 3 неизвестными. Решение линейных уравнений с примерами. Решение с помощью алгебраического сложения

Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A ∙X=B .

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .

Примеры. Решить системы уравнений.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы .

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Для системы составляем главный определитель

и вычисляем его.

Затем составляем дополнительные определители

и вычисляем их.

По правилу Крамера решение системы находят по формулам

;
;
,если

1)

Вычислим:

По формулам Крамера находим:

Ответ: (1; 2; 3)

2)

Вычислим:

Так как главный определитель
, а хотя бы один дополнительный не равен нулю (в нашем случае
), то решения у системы нет.

3)

Вычислим:

Так как все определители равны нулю, то система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти так

Решите самостоятельно системы:

а)
б)

Ответ: а) (1; 2; 5) б) ;;

Практическое занятие № 3 на тему:

Скалярное произведение двух векторов и его приложение

1. Если дан
и
, то скалярное произведение находим по формуле:

∙

2.Если, то скалярное произведение этих двух векторов находим по формуле

1. Даны два вектора
и

Их скалярное произведение находим так:

.

2. Даны два вектора:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

скалярное произведение находят так:

3.
,

3.1 Нахождение работы постоянной силы на прямолинейном участке пути

1) Под действием силы в 15Н тело переместилось по прямой на 2 метра. Угол между силой и направлением перемещения =60 0 . Вычислить работу силы по перемещению тела.

Дано:

Решение:

2) Дано:

Решение:

3) Из точки М(1; 2; 3) в точку N(5; 4; 6) переместилось тело под действием силы 60Н. Угол между направлением силы и вектором перемещения =45 0 . Вычислить работу, совершаемую этой силой.

Решение: находим вектор перемещения

Находим модуль вектора перемещения:

По формуле
находим работу:

3.2 Определение ортогональности двух векторов

Два вектора ортогональны, если
, то есть

так как

1)

–не ортогональны

2)

–ортогональны

3) Определить, при каком  векторы
и
взаимно-ортогональны.

Так как
, то
, значит

Решите самостоятельно:

а)

. Найти их скалярное произведение.

б) Вычислить, какую работу производит сила
, если точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, переместилась из точки M (5; -6; 1) в точку N (1; -2; 3)

в) Определить, ортогональны ли вектора
и

Ответы: а) 1 б) 16 в) да

3.3.Нахождение угла между векторами

1)

. Найти .

Находим

подставляем в формулу:

.

1). Даны вершины треугольника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1), С(1; –2; 1). Найти угол при вершине А.

Подставим в формулу:

Решите самостоятельно:

Даны вершины треугольника А(3; 5; -2), В(5; 7; -1), С(4; 3; 0). Определить внутренний угол при вершине А.

Ответ: 90 о

Практическое занятие № 4 на тему:

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ.

Формула для нахождения векторного произведения двух векторов:

1) Найти модуль векторного произведения:

Составим определитель и вычислим его (по правилу Саррюса или по теореме о разложении определителя по элементам первой строки).

1-ый способ: по правилу Саррюса

2-й способ: разложим определитель по элементам первой строки.

2) Найти модуль векторного произведения:

4.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ПОСТРОЕННОГО НА ДВУХ ВЕКТОРАХ.

1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

2). Найти векторное произведение и его модуль

4.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Пример: даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(1; 2; 0), С(3; -1; 1). Вычислить площадь треугольника.

Сначала найдем координаты двух векторов, выходящих из одной вершины.

Найдем их векторное произведение

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Если вектора
и
коллинеарны, то

, т. е. координаты векторов должны быть пропорциональны.

а) Даны вектора::
,
.

Они коллинеарны потому, что
и

после сокращения каждой дроби получается соотношение

б) Даны вектора:

.

Они не коллинеарны, потому, что
или

Решите самостоятельно:

а) При каких значениях m и n вектора
коллинеарны?

Ответ:
;

б) Найти векторное произведение и его модуль
,
.

Ответ:
,
.

Практическое занятие № 5 на тему:

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Задача № 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-2; 3) параллельно прямой

1. Найдем угловой коэффициент прямой
.

- это уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой (
). Поэтому
.

2. Так как прямые MN и АС параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е.
.

3. Для нахождения уравнения прямой АС воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом:

. В эту формулу вместо и подставим координаты точки А(-2; 3), вместо подставим – 3. В результате подстановки получим:

Ответ:

Задача №2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(1; –2) параллельно прямой .

1. Найдем угловой коэффициент прямой .

Это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой . Сравнивая уравнения и находим, что А = 2, В = –3. Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , находится по формуле
. Подставив в эту формулу А = 2 и В = –3, получим угловой коэффициент прямой MN. Итак,
.

2. Так как прямые MN и КС параллельны, то их угловые коэффициенты равны:
.

3. Для нахождения уравнения прямой КС воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом
. В эту формулу вместо и подставим координаты точки К(–2; 3), вместо

Задача № 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–1; –3) перпендикулярно прямой .

1. – это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой .

и находим, что А = 3, В = 4.

Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , находится по формуле:
. Подставив в эту формулу А = 3 и В = 4, получим угловой коэффициент прямой MN:
.

2. Так как прямые MN и КD перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и противоположны по знаку:

.

3. Для нахождения уравнения прямой КD воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом

. В эту формулу вместо и подставим координаты точки К(–1; –3), вместо подставим . В результате подстановки получим:

Решите самостоятельно:

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–4; 1) параллельно прямой
.

Ответ:
.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(5; –2) параллельно прямой
.

3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–2; –6) перпендикулярно прямой
.

4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(7; –2) перпендикулярно прямой
.

Ответ:
.

5. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки К(–6; 7) на прямую
.

Системой линейных уравнений называется совокупность рассматриваемых совместно нескольких линейных уравнений.

В системе может быть любое число уравнений с любым числом неизвестных.

Решением системы уравнений называется совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, то есть обращающая их в тождества.

Система, имеющая решение, называется совместной, в противном случае – несовместной.

Для решения системы применяют различные методы.

Пусть
(число уравнений равно числу неизвестных).

Метод Крамера

Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

(7)

Для нахождения неизвестных
применим формулу Крамера:

(8)

где - определитель системы, элементы которого есть коэффициенты при неизвестных:

.

получается путём замены первого столбца определителя столбцом свободных членов:

.

Аналогично:

;
.

Пример 1. Решить систему по формуле Крамера:

.

Решение: Воспользуемся формулами (8):

;

;

;

;

Ответ:
.

Для любой системы линейных уравнений снеизвестными можно утверждать:

Матричный способ решения

Рассмотрим решение системы (7) трёх линейных уравнений с тремя неизвестными матричным способом.

Используя правила умножения матриц, данную систему уравнений можно записать в виде:
, где

.

Пусть матрица невырожденная, т.е.
. Умножая обе части матричного уравнения слева на матрицу
, обратную матрице, получим:
.

Учитывая, что
, имеем

(9)

Пример 2. Решить систему матричным способом:

.

Решение: Введём матрицы:

- из коэффициентов при неизвестных;

- столбец свободных членов.

Тогда систему можно записать матричным уравнением:
.

Воспользуемся формулой (9). Найдём обратную матрицу
по формуле (6):

;

.

Следовательно,

Получили:

.

Ответ:
.

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Основная идея применяемого метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Поясним смысл этого метода на системе трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Допустим, что
(если
, то изменим порядок уравнений, выбрав первым уравнением то, в котором коэффициент прине равен нулю).

Первый шаг: а) делим уравнение
на
; б) умножаем полученное уравнение на
и вычитаем из
; в) затем полученное умножаем на
и вычитаем из
. В результате первого шага будем иметь систему:

,

Второй шаг: поступаем с уравнением
и
точно так же, как с уравнениями
.

В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:

Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда.

Замечание. Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов, при неизвестных, и свободных членов.

Пример 3. Решить методом Гаусса систему:

.

Переход от одной матрицы к другой будем записывать при помощи знака эквивалентности ~.

~
~
~
~

~
.

По полученной матрице выписываем преобразованную систему:

.

Ответ:
.

Замечание: Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система приводится к треугольной, то есть к такой, в которой последнее уравнение будет содержать одно неизвестное. В случае неопределённой системы, то есть такой, в которой число неизвестных больше числа линейно независимых уравнений, треугольной системы не будет, так как последнее уравнение будет содержать более одного неизвестного (система имеет бесчисленное множество решений). Когда же система несовместна, то, после приведения её к ступенчатому виду, она будет содержать хотя бы одно значение вида
, то есть уравнение, в котором все неизвестные имеют нулевые коэффициенты, а правая часть отлична от нуля (система решений не имеет). Метод Гаусса применим к произвольной системе линейных уравнений (при любых
и).

Теорема существования решения системы линейных уравнений

При решении системы линейных уравнений методом гаусса ответ на вопрос, совместна или несовместна данная система может быть дан лишь в конце вычислений. Однако часто бывает важно решить вопрос о совместности или несовместности системы уравнений, не находя самих решений. Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема Кронекера-Капелли.

Пусть дана система
линейных уравнений снеизвестными:

(10)

Для того, чтобы система (10) была совместной, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы

.

был равен рангу её расширенной матрицы

.

Причём, если
, то система (10) имеет единственное решение; если же
, то система имеет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим однородную систему (все свободные члены равны нулю) линейных уравнений:

.

Эта система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение .

В следующей теореме даны условия, при которых система имеет также решения, отличные от нулевого.

Терема. Для того, чтобы однородная система линейчатых уравнений имела нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю:

.

Таким образом, если
, то решение- единственное. Если
, то существует бесконечноё множество других ненулевых решений. Укажем один из способов отыскания решений для однородной системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными в случае
.

Можно доказать, что если
, а первое и второе уравнения непропорциональны (линейно независимы), то третье уравнение есть следствие первых двух. Решение однородной системы трёх уравнений с тремя неизвестными сводится к решению двух уравнений с тремя неизвестными. Появляется так называемое свободное неизвестное, которому можно придавать произвольные значения.

Пример 4. Найти все решения системы:

.

Решение. Определитель этой системы

.

Поэтому система имеет нулевые решения. Можно заметить, что первые два уравнения, например, непропорциональны, следовательно, они линейно независимые. Третье является следствием первых двух (получается, если к первому уравнению прибавить удвоенное второе). Отбросив его, получим систему двух уравнений с тремя неизвестными:

.

Полагая, например,
, получим

.

Решая систему двух линейных уравнений, выразим ичерез:
. Следовательно, решение системы можно записать в виде:
, где- произвольное число.

Пример 5. Найти все решения системы:

.

Решение. Нетрудно видеть, что в данной системе только одно независимое уравнение (два других ему пропорциональны). Система из трёх уравнений с тремя неизвестными свелась к одному уравнению с тремя неизвестными. Появляются два свободных неизвестных. Найдя, например, из первого уравнения
при произвольныхи, получим решения данной системы. Общих вид решения можно записать, гдеи- произвольные числа.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте правило Крамера для решения системы линейных уравнений снеизвестными.

В чём сущность матричного способа решения систем?

В чём заключается метод Гаусса решения системы линейных уравнений?

Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

Сформулируйте необходимое и достаточноё условие существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений.

Примеры для самостоятельного решения

Найдите все решения систем:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Определите, при каких значениях исистема уравнений

а) имеет единственное решение;

б) не имеет решения;

в) имеет бесконечно много решений.

16.
; 17.
;

Найти все решения следующих однородных систем:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Ответы к примерам

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- произвольное число.

6.
, где- произвольное число.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, где- произвольное число.

12. , гдеи- произвольные числа.

13.
; 14.
гдеи- произвольные числа.

15. Ǿ; 16. а)
; б)
; в)
.

17. а)
; б)
; в)
;

18.
; 19.
; 20., где- произвольное число.

21. , где- произвольное число.

22. , где- произвольное число.

23. , гдеи- произвольные числа.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

а 11 , a 12 , …, a 33 – коэффициенты при неизвестных,

b 1 , b 2 , b 3 – свободные члены.

Решить систему (2.4) – значит найти такую упорядоченную тройку чисел x 1 =c 1 , x 2 =c 2 , x 3 =c 3 , при подстановке которых в уравнения системы последние обращаются в тождества.

Система уравнений, имеющая решения (единственное или бесчисленное множество), называется совместной , система уравнений, не имеющая решений, – несовместной .

Приведем три способа решений системы (2.4).

Правило Крамера

Составим определитель системы из коэффициентов при неизвестных

(2.5)

Если , то система (2.4) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

где , , получены из определителя заменой соответственно первого, второго, третьего столбца столбцом из свободных членов системы (2.4).

(2.7)

Пример 7. Решить систему

Вычисляем определитель системы (2.5) и определители , , (2.6).

следовательно, система имеет единственное решение.

По формулам Крамера (2.6) находим:

Можно сделать проверку, подставив значения неизвестных в уравнения системы.

Итак, x 1 =x 2 =x 3 =1 – решение системы.

Метод Гаусса

Рассмотрим систему (2.4):

Метод Гаусса, иначе метод последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. Пусть Исключим из 2-го и 3-го уравнений системы x 1 . Получим систему:

Получим систему треугольного вида. Из 3-го уравнения найдем x 3 , подставляя его во 2-ое уравнение, найдем x 2 , затем из 1-го уравнения найдем x 1 , подставляя в него x 2 и x 3 .

Пример 8. Решить систему

Переставим 3-е и 1-ое уравнения, чтобы в 1-ом уравнении коэффициент при x 1 был равен 1.

Исключим x 1 из 2-го и 3-его уравнений. Для этого умножим 1-ое уравнение на (-4) и сложим его со 2-м уравнением; затем умножим 1-ое уравнение на (-6) и сложим с 3-м уравнением. Получим систему:

Исключим x 2 из 3-его уравнения. Для этого умножим 2-ое уравнение на (-13/10) и сложим с 3-м уравнением. Получим систему:

Из последнего уравнения находим x 3 = -1, подставляем во 2-ое уравнение:

10x 2 - 13(-1) = -7, -10x 2 = - 20, x 2 = 2.

Подставляя x 2 и x 3 в 1-ое уравнение, получим

Итак, решение системы: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = -1.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Дана система: (2.8)

Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных, матрицу-столбец Х – из неизвестных, матрицу-столбец В – из свободных членов.

,

Систему (2.8) можно записать в матричной форме так:

Матрица-решение Х находится по формуле:

А -1 – обратная матрица для матрицы А , она составляется из алгебраических дополнений элементов матрицы А по формуле (2.3):

– детерминант или определитель матрицы А , .

Пример 9. Решить систему:

Введем матрицы: ,

Обратная матрица вычислена в примере 6. По формуле (2.9) находим решение системы

Итак, x 1 =1, x 2 =1, x 3 =1.

Элементы векторной алгебры

Вектор – направленный отрезок; обозначается или . А – начало вектора, В – конец.

Длина или модуль вектора обозначается .

Рис. 21.

В координатном пространстве 0xyz вектор может быть представлен в виде

(3.1)

Эта формула дает разложение вектора по базису векторов , , ; , , - прямоугольные декартовые координаты вектора (иначе проекции вектора на оси координат).

Формулу (3.1) можно записать так:

– вектор имеет координаты , , .

Длина (модуль) вектора находится по формуле:

. (3.2)

Если вектор задан задан координатами начала A(x 1 ,y 1 ,z 1) и конца B(x 2 ,y 2 ,z 2) , то координаты находятся по формулам:

Если известны разложения векторов и по осям координат , то при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число, т.е.

(3.4)

Скалярным произведением векторов и , обозначается , называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

. (3.5)

Если , , то

. (3.6)

Если векторы и коллинеарны (параллельны), то

. (3.7)

Если векторы и ортогональны (перпендикулярны), то

Или (3.8)

Пример 10. Даны точки А 1 (1,0,-1), A 2 (2,-1,1), A 3 (0,1,-2). Средствами векторной алгебры, учитывая, что найти:

1) координаты векторов и .

Используем формулу (3.3):

2) Координаты вектора

Используя формулы (3.4) и (3.5), получим

Или 1.2. По правилу треугольников: , и длину вектора . Отв.:

3. Даны точки А(0,-2,3), В(2,1,4), С(3,4,5). Найти:

а) координаты (проекции) векторов и

б) координаты вектора

с) длину вектора

4. Даны векторы Найти скалярное произведение векторов .

5. Доказать, что векторы и коллинеарны.

6. Доказать, что векторы ортогональны.