Если ранги матриц равны то. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований (алгоритм Гаусса). Нахождение ранга матрицы

Говорят, что имеется вероятностная (математическая) модель случайного опыта, если построены:

1) пространство элементарных событий Е

2) поле событий К

3) распределение вероятностей на поле событий К , т.е. для каждого события А из поля событий К задана вероятность Р (А )

Тройка объектов (Е , К , Р ) называется вероятностным пространством (моделью) данного случайного опыта.

Если Е – дискретное, то (Е , К , Р ) называется дискретным.

Если Е – непрерывное, то (Е , К , Р ) называется непрерывным.

§6. Классическая вероятностная модель.

Вероятностная модель называется классической, если выполнены следующие 2 условия:

1) пространство элементарных событий – дискретное конечное, состоит из n элементарных событий Е ={e 1 , e 2 , …, e n }

2) - вероятности всех элементарных событий равны

Вероятностное пространство определяется так:

для заданного пространства Е поле событий К - есть множество всех подмножеств из Е , а вероятности Р (А ) для любого события А из К выражаются через вероятности элементарных событий.

По аксиоме 3:

§7. Геометрические вероятности.

Классическая модель: дискретная вероятностная модель

Геометрическая модель: непрерывная вероятностная модель

(Е , К , Р )

Е – непрерывное пространство, множество точек области на плоскости

К ={A }

А из Е : А – длина; А – площадь; А – объём

Эти вероятностные пространства служат моделью задач такого типа:

Наудачу бросается точка, наблюдается событие: попадание точки в область А . «Наудачу» означает: вероятность события А зависит от площади А , не зависит от её формы и положения Е .

§8. Теорема о сложении вероятностей.

(Не путать с аксиомой о сложении вероятностей).

Теорема. Задано вероятностное пространство (Е ,К , Р ), есть события А , В Е.

По аксиоме 3:

Вычитая из 1-го равенства 2-е получим ч.т.д.

Замечание: из аксиомы 3 следует, что если события составляют полную группу,

И - полная группа

§9. Условные вероятности.

Пример.

Три раза бросается монета. Результат: цифра или герб.

A – герб выпал один раз;

Пусть в результате опыта произошло событие В . Число выпавших гербов – нечётно.

Тогда, если В произошло, .

Рассмотрим более общую ситуацию: пусть некоторому случайному опыту соответствует классическая вероятностная модель.

, n элементарных событий

r элементарных событий входит и в А и в В .

Найдём вероятность события А при условии, что произошло В . Если В произошло, то его вероятность равна 1, то .

Событие А происходит, если происходит элементарное событие, принадлежащее пересечению, их всего r .

Определение: пусть задано вероятностное пространство (Е , К , Р ); А , В – события. Если , то условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется отношение

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятностью другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место.

Вероятность произведения n событий.

Пример.

В урне 12 шаров: 5 белых, 7 чёрных. 2 лица один за другим вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара белые.

А – белый шар у Пети

В – белый шар у Маши

Пример.

Вероятность попадания в цель при стрельбе из 1-го и 2-го орудия равны:

Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним из орудий.

А – попадание из 1-го орудия

В – попадание из 2-го орудия

А +В – попадание хотя бы из одного

Зависимые и независимые события.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

Свойства независимых событий:

1 ̊. Если P (A )>0, то независимость А и В эквивалентна равенству P (A /B )=P (A ). Вероятность А не меняется, если В произошло.

2 ̊. Если А и В – независимые события, то и - независимые.

Из последнего равенства получаем:

Пример.

Опыт: 2 раза бросается монета.

А – герб при 1-м бросании

В – выпадение цифры при 2-м бросании

А и В – независимые?

§10. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Формула полной вероятности.

Пусть (Е , К , Р ) – модель некоторого случайного опыта.

Н 1 , Н 2 , …, Н n – полная группа.

H i – гипотеза

Доказательство:

т.к. H i – попарно несовместные, , по аксиоме 3 .

Пример.

Имеются 3 одинаковых урны. Состав: 1-я – 2 белых, 1 чёрный; 2-я – 3 белых, 1 чёрный; 3-я – 2 белых, 2 чёрных. Наудачу выбирается урна; из неё вынимается шар. Найти вероятность того, что шар – белый.

Гипотезы:

H i – выбрана i -я урна, i =1,2,3.

А – шар белый

Формулы Байеса.

Если вероятности гипотез до опыта известны, то их называют априорные вероятности гипотез. Пусть известно, что событие А произошло. Вероятность всех гипотез изменяется.

Вероятности гипотез после того, как событие А произошло – апостериорные вероятности.

Пусть в условиях предыдущего примера известно, что вытащен белый шар. Найти вероятность того, что шар вытащен из второй урны.

Как строгой математической дисциплины.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Вероятностное пространство - это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками : ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } ), где

  Замечания

  Конечные вероятностные пространства

  Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть - конечное множество, содержащее | Ω | = n {\displaystyle \vert \Omega \vert =n} элементов.

  В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств Ω {\displaystyle \Omega } . Его часто символически обозначают 2 Ω {\displaystyle 2^{\Omega }} . Легко показать, что общее число членов этого семейства, то есть число различных случайных событий, как раз равно 2 | Ω | {\displaystyle 2^{\vert \Omega \vert }} , что объясняет обозначение.

  Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно; однако, в дискретных моделях зачастую нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. В таком случае, естественным способом ввести вероятность является:

  P (A) = n A n {\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {n_{A}}{n}}} ,

  где A ⊂ Ω {\displaystyle A\subset \Omega } , и | A | = n A {\displaystyle \vert A\vert =n_{A}} - число элементарных исходов, принадлежащих A {\displaystyle A} . В частности, вероятность любого элементарного события:

  P ({ ω }) = 1 n , ∀ ω ∈ Ω . {\displaystyle \mathbb {P} (\{\omega \})={\frac {1}{n}},\;\forall \omega \in \Omega .}

  Пример

  Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба ( Γ {\displaystyle \Gamma } ) и выпадение решки ( P {\displaystyle \mathrm {P} } ), то есть Ω = { Γ , P } . {\displaystyle \Omega =\{\Gamma ,\mathrm {P} \}.} Тогда A = { { Γ } , { P } , { Γ , P } , ∅ } , {\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{\{\Gamma \},\{\mathrm {P} \},\{\Gamma ,\mathrm {P} \},\varnothing \},} и вероятность можно посчитать следующим образом:

  P ({ Γ }) = 1 2 , P ({ P }) = 1 2 , P ({ Γ , P }) = 1 , P (∅) = 0. {\displaystyle \mathbb {P} (\{\Gamma \})={\frac {1}{2}},\;\mathbb {P} (\{\mathrm {P} \})={\frac {1}{2}},\;\mathbb {P} (\{\Gamma ,\mathrm {P} \})=1,\;\mathbb {P} (\varnothing)=0.}

  Таким образом определена тройка (Ω , A , P) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P})} - вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.

  Элементы комбинаторного анализа

  Соединения. Пустъ А a 1 , a 2, a 3 …a n А m (m из n соединения из n элементов пo m

  Перестановки. Пустъ А – множество, состоящее из конечного числа элементов a 1 , a 2, a 3 …a n . Из различных элементов множества А можно образовывать группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n ), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пo m в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.

  Размещения. Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n ) взятых из n элементов множества A , отличающихся друг oт друга или составом элементов, или их порядком называются размещениями из n элементов по m в каждом. Число таких размещений обозначается символом

  Теорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно

  N(n-1)(n-2)(n-3)….3*2*1=1*2*3…(n-1)n=n!

  Tеорема 2. Число всех размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:

  Сочетания. Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n ) взятых из n элементов множества А , отличающихся друг от друга по крайней мере одним из элементом (только составом) называются сочетаниями из n элементов по m в каждом. Число таких сочетаний обозначается символом

  
  

  Теорема 3 . Число всех сочетаний из n элементов по m определяется формулой:

  Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу:

  Сущность и условия применения теории вероятностей.

  Теория вероятностей

  Случайное явление –

  только

  Т.в. служит для обоснования математической и прикладной статистики, которая используется при планировании организации производства и др.

  Основные понятия теории вероятностей.

  Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

  Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

  Методы теории вероятности по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможность предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

  В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.

  Результат или исход каждого испытания назовём событием. Событие являетсяосновным понятием теории вероятностей. Будем обозначать события буквами А, В, С.

  Виды событий:

  достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.

  невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.

  случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти. Равновозможность событий

  Вероятностью события A (обозначают P(A) A (обозначают m(A)), N т.е. P(A) = m(A)/ N.

  Вероятностное пространство.

  Вероятностное пространство – это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятности решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

  Вероятностное пространство определяется тройкой компонент (символов) (Ω,S,P), где Ω-пространство элементарных событий

  S-∂(сигма)-алгебра событий, Р - вероятность, Ω-достоверное событие, S-система подмножеств пространства элементарных исходов Ω.

  5. 5.Непосредственный подсчет вероятности .

  Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий .

  Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

  Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A . Каждый исход, при котором осуществляется событие A , называется благоприятным событию A.

  Вероятностью события A (обозначают P(A) ) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают m(A)), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A) = m(A)/ N.

  Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства :

  Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

  Доказательство . Так как, то поделив все части неравенства на N , получим

  
  

  Откуда по классическому определению вероятности следует, что

  Вероятность достоверного события равна единице.

  Вероятность невозможного события равна нулю

  6. 6.Теоремы сложения вероятностей.

  Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В)

  Если А и Â противоположные события, то

  Вероятностное пространство (Щ, S, Р). Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Описание конечного вероятностного пространства в аксиоматике Колмогорова

  Вероятностное пространство - это тройка, где:

  • · - это множество объектов, называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход, который произошел в данной реализации опыта.
  • · - это некоторая зафиксированная система подмножеств, которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие, то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
  • o Пустое множество должно быть событием, то есть принадлежать. Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
  • o Все множество также должно быть событием: . Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
  • o Совокупность событий должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если и, тогда должно быть, . Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
  • o В дополнение к указанным свойствам, система должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если, тогда должно быть и.
  • · - это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число, которое называется вероятностью события. Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
  • o для любого
  • o Если и - события, причем, тогда (свойство аддитивности ).
  • o Если, причем Если для любых Если, тогда должно быть (свойство сигма-аддитивности ).
  

  Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :

  · Если и, тогда.

  

  · Если и, тогда.

  

  · Если, и, тогда.

  Пусть - множество элементов, которые называются элементарными событиями, а - множество подмножеств, называемых случайными событиями (или просто - событиями), а - пространством элементарных событий.

  • · Аксиома I (алгебра событий) . является алгеброй событий.
  • · Аксиома II (существование вероятности событий) . Каждому событию x из поставлено в соответствие неотрицательное действительное число, которое называется вероятностью события x.
  • · Аксиома III (нормировка вероятности) . .
  • · Аксиома IV (аддитивность вероятности) . Если события x и y не пересекаются, то

  Совокупность объектов, удовлетворяющая аксиомам I-IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

  Система аксиом I -IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента, - из и множества невозможных событий (пустого множества) , при этом положено. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

  Вероятностные пространства (в расширенном смысле и бесконечные)

  Аксиома непрерывности - это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство, которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I-IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий конечна, аксиома V следуeт из аксиом I-IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I-V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I-IV.

  Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I-IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля - вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений . Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

  Алгебра событий пространства элементарных событий Щ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий x n из принадлежат. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют у-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра, содержащая. Более того, справедлива

  Теорема (о продолжении) . Определённую на неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из и при этом единственным образом.

  Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства , которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством .

  В настоящей главе в сжатом виде представлена эволюция теории вероятностей от классической схемы с конечным числом равновозможных исходов до аксиоматического построения. Вводятся важнейшие понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, случайные события и действия над ними, поле событий, вероятность, вероятностное пространство.

  КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

  Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при осуществлении определенного комплекса условий. Так, например, вода при нормальных атмосферных условиях и 0° С замерзает. Соответственно, невозможным является событие, которое при заданном комплексе условий никогда не произойдет. Случайным естественно назвать такое событие, которое при заданном комплексе условий может как произойти, так и не произойти. Мера возможности осуществления такого события и есть его вероятность. Достоверное и невозможное события могут рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий.

  Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами А, В, С, .......Достоверное событие обозначим буквой?2, невозможное - символом 0. Введем теперь некоторые отношения между событиями.

  Два события А и В несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого. Сумма событий А, В - это такое третье событие С = А + В, которое происходит тогда, когда наступает либо событие А, либо событие В, либо они оба одновременно. Произведение событий А, В - это такое событие С = АВ, которое наступает тогда, когда происходят и событие А, и событие В. Событие А противоположно событию А, если оно несовместно с событием А и вместе с ним образует достоверное событие А + А = Q..

  Покажем, как могут быть построены математические модели явлений с конечным числом исходов. Одной из таких моделей является модель, известная под названием «классическая вероятностная схема». В этой схеме определение вероятности основывается на равновозмож- ности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх.

  Так, в случае с игральной костью при однократном бросании равновозможно выпадение любой из шести граней, на которые нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Обозначим эти равновозможные исходы, или элементарные события, через С0|, (% (% а> 4 , СО5, (% Естественно, что шанс осуществиться не одному исходу, а одному из двух, например или С0[, или (рг, в два раза больше. Рассуждая таким образом, можно определить шансы осуществления любого составного события А, состоящего из нескольких элементарных, так называемого составного события.

  В общем случае, когда имеется п равновозможных элементарных событий (Oi, ..., сц, вероятность любого составного события А, состоящего из т элементарных событий,...,со, определяется как

  отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных событий, т.е.

  Например, в случае с игральной костью вероятность события А, состоящего в выпадении четного числа очков (т.е. А = {со^, (% оу}), равна Р(А) = 3 / б = V 2 , так как в событие А входят три элементарных события, а общее число элементарных событий равно 6.

  Из классического определения вероятности, в частности, вытекает, что вероятность полного события?2, включающего все п элементарных событий, равна единице:

  Но ведь тогда полное событие?2, состоящее в появлении любого из всего набора элементарных событий?2 = {со, ..., щ,}, и является достоверным событием, так как оно обязательно происходит. Поэтому вероятность достоверного события равна единице.

  Если события рассматривать как подмножества множества элементарных событий, то отношения между событиями, введенными выше, можно интерпретировать как соотношения между множествами. Несовместные события - это такие события, которые не содержат общих элементов. Сумма (А + В) и произведение событий А В - это соответственно их объединение A U В и пересечение А П В , противоположное событие А - дополнение А. Запись А с В означает, что в В содержатся все элементарные события из А и могут содержаться элементарные события, не входящие в А. Если AczBnBcz А, то А = В.

  В случае классического определения вероятности справедлива следующая теорема сложения вероятностей:

  Теорема 1.1. Если два составных события Л = {со,.со, } и В = {со у,..., соj } являются несовместными, то вероятность объединенного события С = A U В равна сумме вероятностей этих двух событий.

  Действительно, вероятности событий А и В равны соответственно т/п и к/п, а событие С = A U В = {со,.,..., со,- ,со,-,...,со, } содержат

  т + к элементарных событий, так как по условию теоремы среди элементарных событий {со,.,...,со, } нет ни одного, которое бы входило

  в набор {С0у,..., С0д}, поэтому, согласно классическому определению, его вероятность

  
  

  Из теоремы сложения вытекает, что поэтому

  Отсюда, в частности, следует, что вероятность невозможного события, являющегося противоположным по отношению к достоверному событию, равна нулю:

  Урновая схема

  Классическая схема, несмотря на всю свою ограниченность, пригодна для решения ряда сугубо практических задач.

  Рассмотрим, например, некоторую совокупность элементов объема N. Это могут быть изделия, каждое из которых является годным или бракованным; или семена, каждое из которых может быть всхожим или нет; или избиратели, которые могут проголосовать за или против кандидата, и т.д. Подобного рода ситуации описываются урновой схемой: в урне имеется N шаров, из них М белых и (N - М) черных.

  Представим себе, что имеются только разрушающие средства контроля каждого изделия на годность. Например, электролампа считается годной, если до перегорания нити накаливания пройдет не менее чем определенное число часов, а это можно определить только непосредственным испытанием. В таком случае можно обследовать только часть изделий, а не всю партию.

  Итак, из урны, содержащей N шаров, в которой находится неизвестное число М белых шаров, извлекается выборка объема п.

  Требуется определить вероятность того, что в выборке будет обнаружено т белых шаров. В частности, определить вероятность того, что т/п близко к M/N, т.е. достоверно ли представление о генеральной совокупности, полученное по выборке. Последняя из этих двух сформулированных задач, как будет показано далее, является задачей математической статистики.

  Первая же задача - на применение классического определения вероятности. В самом деле, в описанной ситуации каждая выборка не имеет предпочтения по отношению к любой другой, т.е. все они равновозможны. Подсчитаем число всех возможных выборок объема п из N элементов. Как известно из комбинаторики, число способов, с помощью которых можно выбрать п элементов из общего их числа

  N, равно числу сочетаний из N по л, т.е. с" = ^" где /V! =

  N n(N - и)!’

  1 2-N. Таким образом, общее число равновозможных исходов равно C " N . Выясним, сколько исходов из общего числа элементарных исходов благоприятствуют событию А, т.е. наличию в выборке объема п белых шаров в количестве т. Число способов, которыми можно из М белых шаров извлечь т штук, равно, а число способов выбрать из (N-М) черных шаров (« - т) штук равно С^~_ т м. Поэтому число исходов, благоприятных событию А, равно С^С^~_ т м, следовательно,

  вероятность события А, равная отношению числа благоприятных исходов к их общему числу, такова:

  Пример 1.1. Пусть имеется партия, состоящая из 500 изделий, среди которых два бракованных. Какова вероятность в выборке из 5 изделий нс обнаружить ни одного бракованного?

  Воспользуемся формулой (1.1.3):

  

  Какой вывод можно сделать о генеральной совокупности, не обнаружив в выборке ни одного бракованного изделия? Кажется естественным перенести этот вывод на всю генеральную совокупность. Таким образом, при выборке, составляющей 1% от генеральной совокупности, мы получили с вероятностью 0,98 абсолютно неправильный ответ: в генеральной совокупности нет бракованных изделий. Этот вывод из очень простой задачи должен не обескуражить, а, напротив, помочь правильно построить статистические выводы по выборочным данным. В рассматриваемом случае, очевидно, не следует пытаться оценивать долю бракованных изделий (N - M)/N по их доле в выборке (п - т)/п, а, по-видимому, целесообразно указывать интервал, который с определенной надежностью должен накрыть неизвестную долю бракованных изделий (N- M)/N. Этот интервал естественно задать в виде

  --- ± 8, где ширина интервала 8(п, q) является функцией от объема п

  выборки п и уровня надежности ц.

  Причем естественно ожидать (в чем мы и убедимся в дальнейшем), что ширина интервала при прочих равных условиях уменьшается с ростом объема выборки и увеличивается при возрастании уровня надежности.

  Как отмечалось выше, говорить о вероятности Р(Л) как о мере возможности осуществления случайного события А имеет смысл, только если выполняется определенный комплекс условий. При изменении условий изменится и вероятность. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность Р(А), добавить новое условие, состоящее в появлении события В, то получим другое значение вероятности Р(А/В) - условную вероятность события А при условии, что произошло событие В. Вероятность Р(А) в отличие от условной будем называть безусловной.

  Выведем теперь формулу условной вероятности. Пусть событиям А и В благоприятствуют тик элементарных исходов из «; тогда, согласно формуле (1.1.1), их безусловные вероятности равны т/п и к/п соответственно. Пусть событию А при условии, что событие В произошло, благоприятствуют г элементарных исходов, тогда, согласно формуле (1.1.1), условная вероятность события А

  

  Разделив числитель и знаменатель на п, получим формулу условной вероятности:

  поскольку событию А П В соответствует г исходов и, следовательно, г/п - его безусловная вероятность. Событие А называется независимым от В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. Р(А/В) = Р(А), при этом из формулы (1.1.4) получаем

  т.е. свойство независимости взаимно и для независимых событий, вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей. Формула (1.1.4), записанная в виде

  называется формулой умножения для зависимых событий, а формула (1.1.5) - теоремой умножения для независимых событий.

  Например, в опыте с игральной костыо: пусть событие А состоит в выпадении числа очков, делящегося на три, т.е. А = {со, с%}, а событие В - в выпадении четного числа очков, т.е. В = {со^, щ, ссц}; тогда А П В = со 6 и по формуле условной вероятности (1.1.4) получаем:

  

  но Р(А) = 2 / 6 = Уз, поэтому Р(А/В) = Р(А), т.е. события Aw В независимы.