Является ли точка фигурой. Геометрические фигуры

Геометрические фигуры представляют собой комплекс точек, линий, тел или поверхностей. Эти элементы могут располагаться как на плоскости, так и в пространстве, формируя конечное количество прямых.

Термин «фигура» подразумевает под собой несколько множеств точек. Они должны располагаться на одной или нескольких плоскостях и одновременно ограничиваться конкретным числом оконченных линий.

Основными геометрическими фигурами считаются точка и прямая. Они располагаются на плоскости. Кроме них, среди простых фигур выделяют луч, ломаную линию и отрезок.

Точка

Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка - это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. В геометрии ее принято обозначать буквой латинской алфавита, к примеру, A, B, K, L.

С точки зрения математики точка - это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии. Этот нульмерный объект просто не имеет определения.

Прямая

Это фигура полностью размещается в одной плоскости. У прямой нет конкретного математического определения, так как она состоит из огромного количества точек, располагающихся на одной бесконечной линии, у которой нет предела и границ.

Существует еще и отрезок. Это тоже прямая, но она начинается и заканчивается с точки, а значит, имеет геометрические ограничения.

Также линия может превратиться в направленный луч. Такое происходит, когда прямая начинается с точки, но четкого окончания не имеет. Если же поставить точку посредине линии, то она разобьется на два луча (дополнительных), причем противоположно направленных друг к другу.

Несколько отрезков, которые последовательно соединяются друг с другом концами в общей точке и располагаются не на одной прямой, принято называть ломаной линией.

Угол

Геометрические фигуры, названия которых мы рассмотрели выше, считают ключевыми элементами, использующимися при построении более сложных моделей.

Угол - это конструкция, состоящая из вершины и двух лучей, которые выходят из нее. То есть стороны этой фигуры соединяются в одной точке.

Плоскость

Рассмотрим еще одно первичное понятие. Плоскость - это фигура, у которой нет ни конца, ни начала, равно как и прямой, и точки. Во время рассмотрения этого геометрического элемента во внимание берется лишь его часть, ограниченная контурами ломаной замкнутой линии.

Любую гладкую ограниченную поверхность можно считать плоскостью. Это может быть гладильная доска, лист бумаги или даже дверь.

Четырехугольники

Параллелограмм - это геометрическая фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу попарно. Среди частных видов этой конструкции выделяют ромб, прямоугольник и квадрат.

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все стороны соприкасаются под прямым углом.

Квадрат - это четырехугольник с равными сторонами и углами.

Ромб - это фигура, у которой все грани равны. При этом углы могут быть совершенно разными, но попарно. Каждый квадрат считается ромбом. Но в противоположном направлении это правило действует не всегда. Далеко не каждый ромб является квадратом.

Трапеция

Геометрические фигуры бывают совершенно разными и причудливыми. Каждая из них имеет своеобразную форму и свойства.

Трапеция - это фигура, которая чем-то схожа с четырехугольником. Она имеет две параллельные противоположные стороны и при этом считается криволинейной.

Круг

Эта геометрическая фигура подразумевает расположение на одной плоскости точек, равноудаленных от ее центра. При этом заданный ненулевой отрезок принято называть радиусом.

Треугольник

Это простая геометрическая фигура, которая очень часто встречается и изучается.

Треугольник считается подвидом многоугольника, расположенным на одной плоскости и ограниченным тремя гранями и тремя точками соприкосновения. Эти элементы попарно соединены между собой.

Многоугольник

Вершинами многоугольников называют точки, соединяющие отрезки. А последние, в свою очередь, принято считать сторонами.

Объемные геометрические фигуры

• призма;
• сфера;
• конус;
• цилиндр;
• пирамида;

Эти тела имеют нечто общее. Все они ограничиваются замкнутой поверхностью, внутри которой находится множество точек.

Объемные тела изучают не только в геометрии, но и в кристаллографии.

Любопытные факты

Наверняка вам будет интересно ознакомиться с информацией, предоставленной ниже.

• Геометрия сформировалась как наука еще в давние века. Это явление принято связывать с развитием искусства и разнообразных ремесел. А названия геометрических фигур свидетельствуют об использовании принципов определения подобия и схожести.
• В переводе с древнегреческого термин «трапеция» обозначает столик для трапезы.
• Если вы возьмете различные фигуры, периметр которых будет одинаковым, то наибольшая площадь гарантированно будет у круга.
• В переводе с греческого языка термин «конус» обозначает сосновую шишку.
• Существует известная картина Каземира Малевича, которая начиная с прошлого века притягивает к себе взгляды многих живописцев. Работа «Черный квадрат» всегда была мистической и загадочной. Геометрическая фигура на белом полотне восхищает и поражает одновременно.

Существует большое количество геометрических фигур. Все они отличаются параметрами, а порой даже удивляют формами.

Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множество, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.

Точка – неопределяемое понятие. С точкой обычно знакомят, рисуя ее или прокалывая стержнем ручки в листочке бумаги. Считается, что точка не имеет ни длины, ни ширины, ни площади.

Линия – неопределяемое понятие. С линией знакомят, моделируя ее из шнура или рисуя на доске, на листе бумаги. Основное свойство прямой линии: прямая линия бесконечна. Кривые линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми.

Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны.

Отрезок – часть прямой, заключенная между двумя точками – концами отрезка.

Ломаная – линия из отрезков, соединенных последовательно под углом друг к другу. Звено ломаной – отрезок. Точки соединения звеньев называют вершинами ломаной.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной. Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой. Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньше развернутого, называется тупым.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков. В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.

Остроугольным называется треугольник, все углы которого острые. Прямоугольным – треугольник, который имеет прямой угол. Треугольник, который имеет тупой угол, называется тупоугольным. Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами.

Диагональю называется отрезок, соединяющий противоположные вершины многоугольника.

Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые.

Квадрато м называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие не соседние, называются диагоналями.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром. Но поскольку в начальных классах не дается это классическое определение, знакомство с окружностью проводят методом показа, связывая его с непосредственной практической деятельностью по вычерчиванию окружности с помощью циркуля. Расстояние от точек до ее центра называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Круг -часть плоскости, ограниченная окружностью.

Параллелепипед – призма, у которой основание – параллелограмм.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.

Пирамида – многогранник, у которого одна грань (ее называют основанием) – какой-нибудь многоугольник, а остальные грани (их называют боковыми) – треугольники с общей вершиной.

Цилиндр – геометрическое тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей, и перпендикулярных плоскостям оснований. Конус – тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку – его вершину – с точками некоторого круга – основание конуса.

Шар – множество точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии не большем некоторого данного положительного расстояния. Данная точка – это центр шара, а данное расстояние – радиус.

Отрезок обозначается так же, как и прямая. Отрезок - это часть прямой вместе с ограничивающими эту часть точками. Понятно, что две точки не должны совпадать, то есть лежать в одном и том же месте на прямой. Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается па два луча, противоположно направленных. Точки обозначаются большими латинскими буквами, прямые обозначаются малыми латинскими буквами. Что через эти две точки проходит прямая, и притом только одна. Вроде бы это понятно.

У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией. Отрезок, луч, ломаная линия - самые простые геометрические фигуры на плоскости. Точка - мельчайшая геометрическая фигура, являющаяся основой других фигур во всяком изображении либо чертеже.

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} представляют собой один и тот же отрезок. Например, направленные отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} не совпадают. Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора - класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Луч с началом в точке O, содержащий точку A, обозначается «луч ОА». Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Задача: где прямая, луч, отрезок, кривая?

Звенья ломаной(похожи на звенья цепи) - это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья - это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой. Соседние вершины - это точки концов одной стороны многоугольника. Сын на подготовку в школу ходит. Дано в книге «Раз-ступенька, Два-ступенька…» (Петерсон и Холина) задание «Найди прямые, лучи и отрезки.».

Прямая — одно из фундаментальных понятий геометрии. Однако можно сказать, что это геометрическая фигура, которая получается из отрезка неограниченным продожением его в обе стороны. Кривая или линия - геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно, иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница фигуры».

Кандинский систематизировал свои взгляды на живопись в книге «Точка и линия на плоскости» (1926). Разнообразие линий зависит от числа этих сил и их комбинаций.В конце концов всех форм линий можно свести к двум случаям:1.

Итак, горизонталь – это холодная несущая основа, которая может быть продолжена на плоскости в различных направлениях. Холод и плоскостность – это основные звучания данной линии, она может быть определена как кратчайшая форма неограниченной холодной возможности движения.2. Полностью противоположна этой линии и внешне, и внутренне стоящая к ней под прямым углом вертикаль, в которой плоскостность заменяется высотой, то есть холод – теплом.

Даже среди простейших фигур выделяется самая простейшая - это точка. Все остальные фигуры состоят из множества точек. В геометрии принято обозначать точки прописными (большими) латинскими буквами. Прямая - это бесконечная линия, на которой если взять две любые точки, то кратчайшее расстояние между ними будет проходить как раз по этой прямой.

Например, прямая a, прямая b. Однако в некоторых случаях и двумя большими. Иначе отрезок будет иметь нулевую длину и по-сути будет точкой. Обозначают отрезки двумя большими буквами, которыми обозначаются концы отрезка.

Основные геометрические понятия

Таким образом, если отрезок ограничен с обоих концов, то луч только с одной, а другая сторона луча бесконечна, как у прямой. Обозначают лучи также как и прямые: либо одной маленькой буквой, либо двумя большими.

В геометрии есть такой раздел, который занимается изучением различных фигур на плоскости и называется планиметрия. Вам уже известно, что фигурой называют произвольное множество точек, находящиеся на плоскости. Из выше изученного материала вам уже известно, что точка относится к главным геометрическим фигурам. Ведь построение более сложноватых геометрических фигур складывается из множества точек, характерных для данной фигуры.

Фигура, которая имеет два луча и вершину, называется углом. Место соединения лучей, является вершиной этого угла, а его сторонами считаются лучи, которые этот угол образуют. Также к простым геометрическим фигурам принадлежит и уже изучаемый вами треугольник. Это один из видов многоугольников, у которого часть плоскости ограничена тремя точками и тремя отрезками, которые соединяют эти точки попарно.

В многоугольнике все точки, которые соединяют отрезки, являются его вершинами. А отрезки, из которых состоит многоугольник, являются его сторонами. А вот одна из известных картин, созданная еще в начале прошлого века Малевичем, прославляет такую геометрическую фигуру, как квадрат.

В дальнейшем будут определения для разных фигур кроме двух — точка и прямая. Значит иногда обозначить прямую можем и двумя большими латинскими буквами, например, прямая\(AB\), так как никакая другая прямая через эти две точки не может быть проведена. 2) Все прямые \(a\), \(b\) и \(c\) пересекаются! Это изучение фигур, их свойств и взаимного расположения. Первые геометрические факты найдены в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до нашей эры), а также в других источниках.

Точка - это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже. Часть прямой, ограниченную двумя точками и точки, называют отрезком. Плоскость, как и прямая, - это исходное понятие, у которого нет определения.

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Древнегреческий учёный Евклид говорил: «точка» – это то, что не имеет частей». Слово «точка» в переводе с латинского языка означает результат мгновенного касания, укол. Точка является основой для построения любой геометрической фигуры.

Прямая линия или просто прямая – это линия, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Прямая линия бесконечна, и изобразить всю прямую и измерить её невозможно.

Точки обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, Е и др., а прямые теми же буквами, но строчными а, b, c, d, e и др. Прямую можно обозначить и двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую a можно обозначить АВ.

Можно сказать, что точки АВ лежат на прямой а или принадлежат прямой а. А можно сказать, что прямая а проходит через точки А и В.

Простейшие геометрические фигуры на плоскости – это отрезок, луч, ломаная линия.

Отрезок – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, ограниченных двумя выбранными точками. Эти точки – концы отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов.

Луч или полупрямая – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой или началом луча. Луч имеет точку начала, но не имеет конца.

Полупрямые или лучи обозначаются двумя строчными латинскими буквами: начальной и любой другой буквой, соответствующей точке, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте.

Получается, что прямая бесконечна: у неё нет ни начала, ни конца; у луча есть только начало, но нет конца, а отрезок имеет начало и конец. Поэтому только отрезок мы можем измерить.

Несколько отрезков, которые последовательно соединены между собой так, что имеющие одну общуюточкуотрезки (соседние) располагаются не на одной прямой, представляют собой ломаную линию.

Ломаная линия может быть замкнутой и незамкнутой. Если конец последнего отрезка совпадает с началом первого, перед нами замкнутая ломаная линия, если же нет – незамкнутая.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На уроке вы узнаете, что такое геометрические фигуры. Речь пойдет о фигурах, изображаемых на плоскости, их свойствах. Вы узнаете о таких простейших формах геометрических фигур, как точка и линия. Рассмотрите, как образуются отрезок и луч. Познакомитесь с определением и различными видами углов. Следующая фигура, определение и свойства которой обсуждаются на уроке, - это окружность. Далее обсуждается определение треугольника и многоугольника и их разновидности.

Рис. 10. Круг и окружность

Подумайте, какие точки принадлежат кругу, а какие окружности (см. Рис. 11).

Рис. 11. Взаимное расположение точек и окружности, точек и круга

Правильный ответ: точки, принадлежат кругу, а окружности принадлежат только точки и.

Точка - это центр окружности или круга. Отрезки, - это радиусы окружности или круга, то есть отрезки, которые соединяют центр и любую точку, лежащую на окружности. Отрезок - это диаметр окружности или круга, то есть это отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности, и проходящий через центр. Радиус составляет половину диаметра (см. Рис. 12).

Рис. 12. Радиус и диаметр

Давайте теперь вспомним, какую фигуру называют треугольником. Треугольник - это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Треугольник имеет три угла.

Рассмотрим треугольник (см. Рис. 13).

Рис. 13. Треугольник

Он имеет три угла - угол , угол и угол . Точки , , называют вершинами треугольника. Три отрезка - отрезок , , - это стороны треугольника.

Повторим, какие виды треугольников различают (см. Рис. 14).

Рис. 14. Виды треугольников

По видам углов треугольники можно разделить на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. В треугольнике все углы острые, такой треугольник называют остроугольным. В треугольнике есть прямой угол, такой треугольник называют прямоугольный. В треугольнике есть тупой угол, такой прямоугольник называют тупоугольный треугольник.

По тому, равны ли длины сторон, различают треугольники:

Разносторонние - у таких треугольников длины всех сторон разные;

Равносторонние - у этих треугольников длины всех сторон равные;

Равнобедренные - у них длины двух сторон совпадают. Две равные по длине стороны называются боковыми сторонам треугольника, а третья сторона является основанием треугольника (см. Рис. 15).

Рис. 15. Виды треугольников

А какие фигуры называют многоугольниками? Если последовательно соединить несколько точек так, чтобы их соединение дало замкнутую ломаную линию, то создается образ многоугольника, четырехугольника, пяти- или шестиугольника и т. д.

Многоугольники называют по числу углов. В каждом многоугольнике столько вершин и сторон, сколько углов (см. Рис. 16).

Рис. 16. Многоугольники

Все изображенные фигуры (см. Рис. 17) называют четырехугольниками. Почему?

Рис. 17. Четырехугольники

Наверное, вы заметили, что все фигуры имеют по четыре угла, но их все можно разделить на две группы. Как бы вы это сделали?

Наверное, в отдельную группу вы выделили четырехугольники, у которых все углы прямые, и такие четырехугольники назвали прямоугольными четырехугольниками. Противоположные стороны прямоугольников равны (см. Рис. 18).

Рис. 18. Прямоугольные четырехугольники

В прямоугольнике и - противоположные стороны, и они равны, и - тоже противоположные стороны, и они равны (см. Рис. 19).