Прямоугольная система координат. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве

Для определения положения точки в пространстве мы будем использовать декартовы прямоугольные координаты (рис.2).

Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY, OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. Ось OX называется осью абсцисс (или просто абсциссой), ось OY - осью ординат (ординатой), ось OZ - осью аппликат (апп ликатой).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно.

Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A.

Символически это записывают так:

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

x A , y A , z A ,

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче, приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B лежала не как на рисунке — на луче OX, а на его продолжении в обратную сторону от точки O (на отрицательной части оси OX), то абсцисса x точки A была бы отрицательной (минус расстоянию OB). Аналогично и для двух других осей.

Координатные оси OX, OY, OZ, изображенные на рис. 2, образуют правую систему координат. Это означает, что если смотреть на плоскость YOZ вдоль положительного направления оси OX, то движение оси OY в сторону оси OZ будет проходить по часовой стрелке. Эту ситуацию можно описать при помощи правила буравчика : если буравчик (винт с правой резьбой) вращать по направлению от оси OY к оси OZ, то он будет двигаться вдоль положительного направления оси OX.

Векторы единичной длины, направленные вдоль координатных осей, называются координатными ортами. Их обозначают обычно как (рис. 3). Встречается так же обозначение Орты составляют базис координатной системы.

В случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

Прямоугольная (другие названия — плоская, двухмерная) система координат, названная по имени французского ученого Декарта (1596—1650) «декартовой системой координат на плоскости», образуется пересечением на плоскости под прямым углом (перпендикулярно) двух числовых осей так, что положительная полуось одной направлена вправо (ось x, или ось абсцисс), а второй — вверх (ось y, или ось ординат).

Точка пересечения осей совпадает с точкой 0 каждой из них и называется началом координат.

Для каждой из осей выбирается произвольный масштаб (единичный отрезок длины). Каждой точке плоскости соответствует одна пара чисел, названная координатами этой точки на плоскости. И наоборот, любой упорядоченной паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Первая координата точки называется абсциссой этой точки, а вторая координата — ординатой.

Вся плоскость координат делится на 4 квадранта (четверти). Квадранты расположены от первого до четвертого против часовой стрелки (см. рис.).

Чтобы определить координаты точки, нужно найти ее расстояние до оси абсцисс и оси ординат. Так как расстояние (кратчайшее) определяется по перпендикуляру, то из точки опускаются два перпендикуляра (вспомогательные линии на плоскости координат) на оси так, что точка их пересечения — это и есть место заданной точки в плоскости координат. Точки пересечения перпендикуляров с осями называются проекциями точки на оси координат.

Первый квадрант ограничен положительными полуосями абсцисс и ординат. Следовательно, координаты точек в этой четверти плоскости будут положительными
(знаки « + » и

Например, точка M (2; 4) на рисунке вверху.

Второй квадрант ограничен отрицательной полуосью абсцисс и положительной полуосью ординат. Следовательно, координаты точек по оси абсцисс будут отрицательными (знак «-»), а по оси ординат — положительными (знак « + »).

Например, точка C (-4; 1) на рисунке выше.

Третий квадрант ограничен отрицательной полуосью абсцисс и отрицательной полуосью ординат. Следовательно, координаты точек по оси абсцисс и оси ординат будут отрицательными (знаки «-» и «-»).

Например, точка D (-6; -2) на рисунке выше.

Четвертый квадрант ограничен положительной полуосью абсцисс и отрицательной полуосью ординат. Следовательно, координаты точек по оси абсцисс будут положительными (знак «+»). а по оси ординат - отрицательными (знак «-»).

Например, точка R (3; -3) на рисунке выше.

Построение точки по ее заданным координатам

первую координату точки найдем на оси абсцисс и проведем через нее вспомогательную линию — перпендикуляр;

вторую координату точки найдем на оси ординат и проведем через нее вспомогательную линию - перпендикуляр;

точка пересечения двух перпендикуляров (вспомогательных линий) и будет соответствовать точке с заданными координатами.

При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление , обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O . Она считается началом отсчета . Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O , имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью .

Прямоугольная система координат обозначается O x y . Координатными осями называют О х и О у, называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат .

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление О х слева направо, а O y – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех О х, О у, О z осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где О z имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке O , называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях. Если при повороте О х против часовой стрелки на 90 ° ее положительное направление совпадает с положительным О у, тогда это применимо для положительного направления О z . Такую систему считают правой. Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y , а средний за Z .

Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.

Для начала отложим точку М на координатной оси О х. Любое действительное число x M равняется единственной точке М, расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если - 3 , то соответственное расстояние 3 . Ноль – это начало отсчета координатных прямых.

Иначе говоря, каждая точка М, расположенная на O x , равна действительному числу x M . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении O x и О у. Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.

Имеющееся число x M называют координатой точки М на заданной координатной прямой.

Возьмем точку как проекцию точки M x на О х, а как проекцию точки M y на О у. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям О x и О у прямые, где послучим соответственные точки пересечения M x и M y .

Тогда точка M x на оси О х имеет соответствующее число x M , а M y на О у - y M . На координатных осях это выглядит так:

Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел (x M , y M) , называемую ее координатами . Абсцисса M – это x M , ордината M – это y M .

Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара (x M , y M) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.

Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются M x , M y , M z , являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси О х, О у, О z . Тогда значения этих точек на осях О х, О у, О z примут значения x M , y M , z M . Изобразим это на координатных прямых.

Чтобы получить проекции точки M , необходимо добавить перпендикулярные прямые О х, О у, О z продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M . Таким образом, плоскости пересекутся в M x , M y , M z

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные (x M , y M , z M) , которые имеют название координаты точки M , x M , y M , z M - это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M . Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (x M , y M , z M) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

1. Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X "X и Y "Y O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y "Y вверх, ось X "X смотрела направо.

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X "X и Y "Y , называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y . Координата x равна длине отрезка OB , координата y - длине отрезка OC в выбранных единицах измерения . Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y "Y и X "X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A , координата y - ординатой точки A . Записывают так: А (x , y )

Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

2. Полярные координаты.

Полярная сетка, на которой отложено несколько углов с пометками в градусах.

Полярная система координат - двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - углом и расстоянием. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде расстояний и углов; в более распространенной, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путем применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задается лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается φ, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

Определенная таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

3. Деление отрезков в данном отношении.

Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки A(x1;y1) и В(х2;y2) в заданном отношении λ > 0, т. е..jpg" align="left" width="84 height=84" height="84">

Решение : Введем в рассмотрение векторы https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" height="15 src=">, т. е. и т. е..

Уравнение (9.1) принимает вид

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) и

https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)

Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в данном отношении . В частности, при λ = 1, т. е..gif" width="54" height="29 src=">. В этом случае точка М(х;у) является серединой отрезка АВ.

Замечание:

Если λ = 0, то это означает, что точки A и Μ совпадают, если λ < 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ внешним образом , т. к. в противном случае , т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

4. Расстояние между точками.

Требуется найти расстояние d между точками A(x1;y1) и В(х2;y2) плоскости .

Решение : Искомое расстояние d равно длине вектора , т. е.

5. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) иM2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

.

Кроме того, для точки М1 можно записать:

.

Решая совместно эти уравнения, получим:

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

6. Определители 2-го порядка.

Значение определителя 2-го порядка легко вычисляется по определению используя формулу.

7. Определители 3-го порядка.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> схема вычисления определителя методом треугольника, т. о.:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">

9. Решение СЛУ методом Крамера.

Теорема Крамера: Система N уравнения с N неизвестными, Определитель которых отличен от нуля, всегда имеет решение, при том единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы с заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестных на столбец искомых членов.

Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при X1 - n не будет равен нулю. Обозначим этот определитель знаком - Δ. Если этот определитель не равен нулю, то решаем дальше. Тогда каждый Xi = Δi / Δ, где Δi - это определитель составленный из коэффициентов при X1 - n, только значения коэффициентов в i - ом стольбце заменены на значения за знаком равенства в сисетеме уравнений, а Δ - это главный определитель

Система N-го порядкаhttps://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" width="112" height="46">.gif" width="79" height="46">.gif" width="264" height="48">.gif" width="120" height="29">DIV_ADBLOCK252">

10. Решение СЛУ матричным методом.

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> или короче A ∙X=B .

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т. к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1 , обратную матрице A : https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59">

Решить матричным способом следующую систему уравнений:

Внимание: Нули появляются, если нет одной переменной, т. е., например, если Х3 не дан в условии, то он автоматически равен нулю. Так же и с Х1 и Х2

https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" width="56 height=54" height="54">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" width="160 height=51" height="51">

Ответ:

# а) Дано:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" width="59 height=16" height="16"> Ответ:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">

Найдем обратную матрицу.

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1. Квадратная матрица, получившаяся правее единичной и есть обратная к главной.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">

11. Векторы. Сложение векторов.

http://www. bigpi. *****/encicl/articles/15/1001553/1001553A. htm

Вектором называют величину, характеризуемую числовым значением, направлением в пространстве и складывающейся с другой, себе подобной величиной геометрически .

Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины, как https://pandia.ru/text/78/214/images/image089_5.gif" width="17" height="17 src="> или DIV_ADBLOCK254">

Сложение векторов: Суммой векторов a(a1; a2) и b(b1; b2) называется вектор c(a1+b1; a2+b2). Для любых векторов a(a1; a2), b(b1; b2), c(с1; с2) справедливы равенства:

Теорема : Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство https://pandia.ru/text/78/214/images/image094_4.gif" width="126" height="49">

При сложении двух векторов часто используют так называемое «правило параллелограмма ». При этом строят параллелограмм, используя слагаемые векторы в качестве его смежных сторон. Диагональ параллелограмма, проведённая из точки, где соединяются начала векторов, и является искомой суммой (рис. 4, слева).

Легко видеть (рис. 4, справа), что это правило приводит к тому же результату, что и указанный выше способ. При сложении более двух векторов «правило параллелограмма » практически не используется из-за громоздкости построений. Сложение векторов коммутативно, то есть,
а + b = b + а .

И еще, сумма определенного числа векторов не зависит от порядка, в котором они складываются, то есть, (а + b ) + d = a + (b + d ). В этом случае говорят, что сложение векторов ассоциативно, то есть для него выполняется сочетательный закон.

12. Скалярное произведение векторов.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/ScalarVectorsMultiplication/

Скалярное произведение векторов - это операция над двумя векторами, результатом которой является число (не вектор).

https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" width="86" height="23">

Иными словами, скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Необходимо заметить, что угол между двумя векторами - это угол, который они образуют, если отложить их от одной точки, то есть начала векторов должны совпадать.

Непосредственно из определения следуют следующие простейшие свойства:

1. Скалярное произведение произвольного вектора а на себя же (скалярный квадрат вектора а) всегда неотрицательно, и равно квадрату длины этого вектора. Причем скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда данный вектор - нулевой.

2. Скалярное произведение любых перпендикулярных векторов a и b равно нулю.

3. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перепендикулярны или хотя бы один из них - нулевой.

4. Скалярное произведение двух векторов a и b положительно тогда и только тогда, когда между ними острый угол.

5. Скалярное произведение двух векторов a и b отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой угол.

Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

(Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто :

Пусть есть вектор AB, А - начало вектора, В - конец, и координаты этих точек

А=(a1,a2,a3), В=(b1,b2,b3)

Тогда координаты вектора АВ:

АВ={b1-a1, b2-a2, b3-a3}.

Аналогично в двухмерном пространстве - просто отсутствуют третьи координаты)

Итак, пусть даны два вектора, заданные набором своих координат:

а) В двухмерном пространстве(на плоскости) ..gif" width="49" height="19 src=">

Тогда их скалярное произведение можно вычислить по формуле:

б) В трехмерном пространстве: ;

Аналогично двухмерному случаю, их скалярное произведение вычисляется по формуле:

DIV_ADBLOCK257">

Итак, пусть у нас есть два вектора: https://pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif" width="73" height="23 src=">

И нам нужно найти угол между ними. С помощью их координат найдем их длины, а затем просто приравняем две формулы для скалярного произведения. Таким образом мы получим косинус искомого угла.

Длина вектора а вычисляется как корень из скалярного квадрата вектора а , который мы вычислим по формуле для скалярного произведения векторов, заданных координатами:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" width="365" height="23">

Значит, ,

Искомый угол найден.

13. Векторное произведение.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/vectorVectorsMultiplication/

Векторное произведение двух векторов а и b - это операция над ними, определенная лишь в трехмерном пространстве, результатом которой является вектор со следующими свойствами:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27">, где a и b .

3) Вектор направлен таким образом, что если привести вектора https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src=">.gif" width="13" height="24"> до вектора будет ПРОТИВ часовой стрелки.

Для большей ясности приведем пример - на рисунке справа вектор - векторное произведение векторов а и b. Как сказано в определении, мы привели все три вектора к общему началу, и тогда, если смотреть на вектора a и b с конца вектора , кратчайший поворот от вектора а до вектора b будет против часовой стрелки.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" width="76" height="25">

Так же, непосредственно из определения следует, что для любого скалярного множителя k (числа) верно следующее:

det A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32">

7.2 Нахождение Определителя Матрицы 3-го порядка по правилу треугольника

DIV_ADBLOCK261">

Каждому элементу квадратной Матрицы (порядок которых больше, или равен трем), можно поставить в соответствие два числа, называемые МИНОРОМ или АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ. Минором элемента Aij квадратной Матрицы А (любого порядка) называется ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ, получаемый из Матрицы А методом вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij. Знак M - обозначение Минора.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">.gif" width="35" height="19">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" width="96 height=82" height="82">

Пусть А = некоторая Матрица III-го порядка, тогда определитель матрицы А равен:

Замечание: Определитель можно вычислить по элементам любой строки или любого столбца данной Матрицы.

# Найти определитель Матрицы по элементам первой строки и первого столбца:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">

7.3 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ n-го порядка

Пусть А - квадратная Матрица n-го порядка. Тогда, Определитель Матрицы n-го порядка будет выглядеть так:

Разложив по элементам 1 строки найти элементы Матрицы А

DIV_ADBLOCK262">

2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0

3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0

4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=-1

6. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (транспонировать)

2. При перестановке двух строк или столбцов, Определение изменит свой знак на противоположный.

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя

4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами всегда равен нулю.

5. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны то определитель равен нулю.

6. Если в какой-то строке или столбце определителя прибавить соответственно элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12"> и т. д.

Треугольный определитель - это тот определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали - нули, равен произведению элементов главной диагонали.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">

Если обратная Матрица А существует, то Матрицу называют ОБРАТИМОЙ. Нахождение квадратной Матрицы имеет большое значение при решении системных линейных уравнений.

17. Обратная матрица.

http://www. mathelp. *****/book1/omatrix. htm

1. Найти Определитель Матирицы А

2. Найти алгибраическое дополнение всех элементов Матрицы А (Aij) и записать новую Матрицу

3. Транспонировать новую Матрицу

4. Умножить транспонированную Матрицу на число, обратное определителю. (Например: к числу 6 обратным определителем будет число )

Обозначим ∆ =det A. Для того, чтобы квадратная Матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы Матрица была не вырожденной (отличной от нуля). Матрица, обратная матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1..gif" width="12" height="19 src=">.gif" width="82" height="34 src="> - нормирующий множитель плоскости, знак которого выбирается противоположным знаку D , если произвольно, если D = 0 .

21. Кривые 2-го (уравнение окружности).

Определение 11.1. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс , при пересечении образующих обеих полостей – гипербола , а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола .

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

Классификация кривых второго порядка

Невырожденные кривые

невырожденной , если Могут возникать следующие варианты:

Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если

· эллипс - при условии D > 0 и ΔI < 0;

частный случай эллипса - окружность - при условии I 2 = 4D или a 11 = a 22,a 12 = 0;

мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) - при условии ΔI > 0;

· гипербола - при условии D < 0;

Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если ΔI = 0

· парабола - при условии D = 0.

Вырожденные кривые: Кривая второго порядка называется вырожденной , если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

· вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) - при условии D > 0;

· пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) - при условии D < 0;

· вырожденная парабола - при условии D = 0:

· пара вещественных параллельных прямых - при условии B < 0;

· одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) - при условии B = 0;

· пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) - при условии B > 0.

22. Эллипс и его уравнение.

Определение 11.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная.

Замечание. При совпадении точек F 1 и F 2 эллипс превращается в окружность.

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a >2b ), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

Тогда https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r 1 - r 2 | = 2a , откуда. Если обозначить b ² = c ² - a ², отсюда можно получить https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" height="30 src=">.gif" width="87" height="44 src="> , (11.3`)

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

23. Парабола.

Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой .

Для вывода уравнения параболы выберем декартову систему координат так, чтобы ее началом была середина перпендикуляра FD , опущенного из фокуса на директрису, а координатные оси располагались параллельно и перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

D O F x равна р . Тогда из равенства r = d следует, что https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101 height=38" height="38">,

Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду:

y ² = 2px , (11.4) называемому каноническим уравнением параболы .

Величина р называется параметром параболы.

Свойства параболы :

1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e <1), гиперболу (при e >1) или параболу (при е =1).

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> можно задать матрицу

https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (в предположении, что λ .

В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду: , (11.8) являющимся каноническим уравнением параболы.

24. Прямоугольные координаты в пространстве.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX , OY и OZ . Оси координат пересекаются в точке O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX - ось абсцисс, OY - ось ординат, OZ - ось аппликат.

Если большой палец правой руки принять за направление X , указательный за направление Y , а средний за направление Z , то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ . Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. рис. 2).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x , y и z . Координата x равна длине отрезка OB , координата y - длине отрезка OC , координата z - длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB , OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ , XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A , координата y - ординатой точки A , координата z - аппликатой точки A . Записывают так: .

Прямоугольная система координат на плоскости задаётся двумя взаимно перпендикулярными прямыми. Прямые называют осями координат (или координатными осями). Точку пересечения этих прямых называют началом отсчёта и обозначают буквой O.

Обычно одна из прямых горизонтальна, другая — вертикальна. Горизонтальную прямую обозначают как ось x (или Ox) и называют осью абсцисс, вертикальную — ось y (Oy), называют осью ординат. Всю систему координат обозначают xOy.

Точка O разбивает каждую из осей на две полуоси, одну из из которых считают положительной (её обозначают стрелкой), другую — отрицательной.

Каждой точке F плоскости ставится в соответствие пара чисел (x;y) — её координаты.

Координата x называется абсциссой. Она равна Ox, взятому с соответствующим знаком.

Координата y называется ординатой и равна расстоянию от точки F до оси Oy (с соответствующим знаком).

Расстояния до осей обычно (но не всегда) измеряют одной и той же единицей длины.

Точки, расположенные справа от оси y, имеют положительные абсциссы. У точек, которые лежат левее оси ординат, абсциссы отрицательны. Для любой точки, лежащей на оси Oy, её координата x равна нулю.

Точки с положительной ординатой лежат выше оси x, с отрицательной — ниже. Если точка лежит на оси Ox, её координата y равна нулю.

Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями (или координатными углами или квадрантами).

1 координатная четверть расположена в правом верхнем углу координатной плоскости xOy. Обе координаты точек, расположенных в I четверти, положительны.

Переход от одной четверти к другой ведётся против часовой стрелки.

2 координатная четверть находится в левом верхнем углу. Точки, лежащие во II четверти, имеют отрицательную абсциссу и положительную ординату.

3 координатная четверть лежит в левом нижнем квадранте плоскости xOy. Обе координаты точек, принадлежащей III координатному углу, отрицательны.

4 координатная четверть — это правый нижний угол координатной плоскости. Любая точка из IV четверти имеет положительную первую координату и отрицательную вторую.

Пример расположения точек в прямоугольной системе координат: