Объем выборочной совокупности зависит от. Основные принципы определения объема выборки. Определение объёма выборки. Случайные процедуры формирования выборки

Понятие сезонных колебаний и сезонной составляющей

Методы распознавания типа тренда и оценки его параметров

Основные типы трендов

Виды и построение временных рядов

ТЕМА 6. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ТРЕНДОВ

План лекции:

Эконометрическую модель можно построить, используя 2 типа исходных данных:

1. данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (периоды времени). Модели, построенные по этим данным, называются пространственными.

2. данные, характеризующие один объект за ряд последовательных периодов времени. Модели, построенные по этим данным, называются моделями временных рядов

В литературе встречаются также понятия ряда динамики или динамические ряды. Данные термины несколько отличаются по сущности от понятия временной ряд , поскольку не каждый ряд уровней за последовательные периоды времени на самом деле содержат динамику какого - либо показателя.

Термин динамика правильнее относить к изменениям, направленному развитию, наличию тенденций рассматриваемых показателей. Следовательно, временной ряд – это более общее понятии, включающее, как динамические, так и статистические последовательности уровней какого-либо показателя.

Временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень состояния и изменения изучаемого явления.

Классификация временных рядов.

Каждый временной ряд включает 2 обязательных элемента:

2. конкретное значение показателей (уровень ряда)

Временной ряд различаю по следующим признакам:

1. повремени:

а) моментный ряд, характеризующий изучаемое явление в конкретный момент времени

б) интервальный, т.е., уровень ряда, характеризующий признак за определенный период времени

2. по форме представления:

а) абсолютных величин

б) относительных величин

в) средних величин

3. по расстоянию между датами или интервалами времени:

а) полные ряды, когда даты следуют друг за другом с равными интервалами-

б) неполные.

а) частных показателей, характеризующих явления односторонне, изолированных

б) ряды агрегированных показателей, т.е. характеризующих явления комплексно.

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов. Условно их можно подразделить на 3 группы:

1) факторы, формирующие тенденцию ряда

2) факторы, формирующие цикличность колебаний ряда

3) случайные факторы

При статистическом изучении динамики, необходимо четко разделять 2 основных ее элемента:

1) тенденцию

2) колеблемость,

чтобы с помощью специальных показателей дать каждому из них, количественную характеристику

Колеблемость – это отклонение уровней отдельных периодов времени от тенденции динамики.

Тренд – это устойчивая тенденция во временном ряду, более или менее свободная от случайных колебаний.

Тенденции изменения показателей сложных общественных явлений только приближенно можно выразить тем или иным уравнением, линией тренда.

Во временных рядах обычно различают тенденции трех видов.

Тенденция среднего уровня выражается обычно с помощью ма­тематического уравнения линии, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. Уравнение имеет следующий вид: ƒ.

Смысл этой функции заключается в том, что значения тренда в отдельные моменты времени выступают математически­ми ожиданиями ряда динамики.

Тенденция дисперсии характеризует тенденцию изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда.

Тенденция автокорреляции характеризует связь между отдельными уровнями ряда динамики.

Общие составляющие компоненты временного ряда y или :

: Регулярная (основная) ком­понента, характе­ризующая общую тенденцию ряда (тренд)

v:Сезонная компо­нента (внутригодичные колеба­ния) в общем ви­де - циклическая составляющая

e: Случайная ком­понента (случай­ные отклонения).

Как видим, все компоненты, которые формируют уровень временного ряда, подразделяются на три группы. Основной со­ставляющей является тренд. Значения сезонной и случайной компонент остаются после выделения из него трендовой состав­ляющей.

Если все составляющие компоненты найдены верно, то ма­тематическое ожидание случайной компоненты равно нулю и ее колебания около среднего значения постоянны.

При различных сочетаниях в изучаемом явлении этих элементов, временной ряд может иметь различные формы:

1) большинство временных рядов имеет тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Данные факторы, взятые в отдельности могут оказывать разнонаправленные воздействия, однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.

2) изучаемые показатели могут быть подвержены циклическим колебаниям, они могут носить сезонный характер.

3) Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклические компоненты, а каждый их следующий уровень образуется, как сумма среднего уровня ряда и некоторые случайные компоненты.

В реальных условиях временной ряд содержит чаще всего 3 компонента и каждый уровень ряда формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний, и случайной компоненты.

Уровни временного ряда можно представить как сумму или произведение всех его составляющих компонент (трендовой, сезонной и случайной). Модель, в которой все компоненты ряда представлены как сумма этих составляющих, называют ад­дитивной. Если факторы влияния представлены как произведе­ние составляющих, то модель называют мультипликативной.

Основной задачей эконометрики при исследовании временного рядя является количественное выражение каждой из вышеперечисленных компонент для дальнейшего использования полученной информации. (для прогнозирования будущих значений ряда или построения модели двух или более временных рядов).

100 р бонус за первый заказ

Выберите тип работы Дипломная работа Курсовая работа Реферат Магистерская диссертация Отчёт по практике Статья Доклад Рецензия Контрольная работа Монография Решение задач Бизнес-план Ответы на вопросы Творческая работа Эссе Чертёж Сочинения Перевод Презентации Набор текста Другое Повышение уникальности текста Кандидатская диссертация Лабораторная работа Помощь on-line

Узнать цену

Временной ряд – это набор наблюдений, упорядоченных во времени.

Классификация временных рядов

1. Моментные и интервальные временные ряды

Моментным рядом называется такой ряд, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные даты (моменты времени).Примерами моментных рядов могут быть последовательность показателей численности населения на начало года, поголовье скота в фермерских хозяйствах на 1 декабря или 1 июня за несколько лет, величина запаса какого-либо материала на начало периода и т.д.

Интервальный (периодический) временной ряд – последовательность, в которой уровень явления относят к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени. Таковы, например, ряды показателей объема продукции предприятия по месяцам года, количества отработанных человеко-дней по отдельным периодам (месяцам, кварталам, полугодиям, годам, пятилетиям и т.п.) и т.д. Также примером такого ряда могут служить данные о динамике добычи нефти в Российской Федерации.

Полные и неполные временные ряды

Ряды следующих друг за другом периодов или следующих через определенные промежутки дат называются равноотстоящими или полными.

Если же в рядах даются прерывающиеся периоды или неравномерные промежутки между датами, то ряды называются неравноотстоящими или неполными.

Временные ряды абсолютных, относительных, средних величин

Временные ряды абсолютных величин более полно характеризуют развитие процесса или явления, например: объема валового внутреннего продукта в целом, грузооборота транспорта, инвестиций в основной капитал, производства продукции животноводства и т.д.

Ряды относительных величин могут характеризовать во времени темпы роста (или снижения) определенного показателя; изменение удельного веса того или иного показателя в совокупности; изменение показателей интенсивности отдельных явлений, например, удельный вес приватизированных предприятий в той или иной отрасли; производство продукции надушу населения; структура инвестиций в основной капитал по отраслям экономики и др.

Временные ряды средних величин служат для характеристики изменения уровня явления, отнесенного к единице совокупности, например: данные о среднегодовой численности занятых в экономике, о средней урожайности отдельных сельскохозяйственных культур, о средней заработной плате в отдельных отраслях и т.д.

Временные ряды частных и агрегированных показателей .

Частные показатели характеризуют изучаемое явление односторонне, изолированно. Например, среднесуточный объем выпуска промышленной продукции дает возможность оценить динамику промышленного производства, численность граждан, состоящих на учете в службе занятости; показывает эффективность социальной политики государства; остатки наличных денег у населения и вклады населения в банках отражают платежеспособность населения и т.д.

Агрегированные показатели основаны на частных показателях и характеризуют изучаемый процесс комплексно. Так, чтобы иметь представление о состоянии экономики в России в целом, необходимо определять агрегированный показатель экономической конъюнктуры, включающий в себя и вышеперечисленные частные показатели.Их определяют также при исследовании эффективности производства, технического уровня предприятий, качества продукции, экологического состояния. Широкое применение последних, стало возможным с развитием факторного и компонентного анализа.

Временные ряды по предметной области:

Демографические

Политические

Экономические

Образовательные

Медицинские

Социальные

Правила формирования временных рядов:

А) единицы измерения для всех точек данных должны совпадать;

Б) методика вычисления и технология сбора данных временного ряда должна быть едина;

В) сбор данных и формирование временного ряда должно осуществляться для одного и того же объекта;

Г) фиксирование показателя должно совпадать с моментом времени.

Динамика – изменение, направленное развитие процесса во времени.

Тенденция – устойчивая закономерность изменения процесса во времени.

Тренд – кривая, описывающая закономерность изменения динамического процесса, уравнение кривой.

Прогнозирование по тренду – процесс получения прогнозных оценок динамического процесса на основе тренда

Абсолютный базисный прирост показывает прирост уровней ряда относительно базового периода времени y0 (на сколько), выражается в натуральных единицах измерения

В качестве базовых могут рассматриваться показатели различных периодов.

Например, момент начала вложения капитала, либо запуска проекта.

Абсолютный цепной прирост показывает прирост уровня ряда относительно предыдущего периода времени, выражается в натуральных единицах измерения.

Варианты значений цепного прироста:

1. Сyt = 0, t - уровни ряда постоянны, т.е. yt = const ,t и, соответственно, временная динамика отсутствует. Процесс стационарен.

2. Сyt = const , t - временная динамика имеет линейную тенденцию с равными темпами роста или падения уровней ряда. Процесс линейный.

3. Сyt >= t - возрастание уровней ряда на каждый период. Процесс возрастающий.

4. Сyt <= t - убывание уровней ряда на каждый период. Процесс убывающий .

Ускорение динамики показывает ускорение или замедление тенденции изучаемого процесса/

Рассчитывается по интервалам равной длительности и только для цепных показателей.

Варианты значений ускорения динамики:

1. Ayt>=0 - рост уровня ряда постепенно замедляется или ускоряется его падение. Процесс возрастающий с затуханием, либо скорый, убывающий

2. Ayt<=0 - рост уровня ряда постепенно ускоряется или замедляется его падение. Процесс убывающий с затуханием, либо скорый, возрастающий

3. Ayt=0 - цепной темп роста постоянен и, соответственно, временная динамика имеет линейную тенденцию с равными темпами роста или падения уровней ряда. Линейный процесс

4. Ayt = const . В этом случае временная динамика имеет параболическую тенденцию. Параболический процесс.

1. Линейная тенденция. 2. Стационарный процесс. Отсутствие динамики. 3. Параболическая тенденция. 4. Периодическая тенденция.

Базисный темп роста характеризует в относительных единицах прирост показателя в период времени t относительно базового уровня, выражается в процентах. Показывает во сколько раз увеличился уровень временного ряда относительно базового.

Цепной темп роста показывает увеличение уровня ряда относительно предыдущего значения, выражается в процентах.

Этапы построения модели временного ряда .

1. Сбор исходных данных и их предварительная обработка

2. Анализ данных

2.1. Расчет основных показателей динамики

2.2. Сглаживание рядов данных (фильтрация)

2.3. Оценка устойчивости уровней ряда

2.4. Оценка устойчивости динамики

2.5. Статистический анализ

3. Синтез модели

3.1. Идентификация модели

4. Использование модели

4.1. Точечный прогноз

4.2. Интервальный прогноз

Анализ данных временного ряда

Цель анализа – выявить особенности изучаемого процесса, определить наличие временной динамики и ее характер.

2.Выполнить сглаживание (фильтрацию) данных и определить точки “выброса”.

3. Проанализировать устойчивость уровней рядов данных и временной динамики.

4. Выполнить статистический анализ данных и определить характер временной динамики.

Методы анализа временных рядов

1. Анализ показателей, характеризующих тенденцию динамики

Абсолютный временной ряд

Относительный временной ряд

2. Прикладные методы (по предметной области)

Социальные

Финансовые

Медицинские

3. Статистический анализ

Корреляционный анализ

Кластерный анализ

Сглаживание «фильтрация»

4. Анализ устойчивости

Устойчивость уровней ряда

Устойчивость динамики

5. Вейвлет-анализ (дискретное вейвлет-преобразование)

6. R/S -анализ

Различают следующие типы трендов:

Детерминированный, если значения членов временного ряда могут быть точно определены какой- либо математической функцией

где a1 , a2 , a3 - параметры, постоянные коэффициенты модели; t - время.

Стохастический (случайный процесс), если уровни ряда носят случайный характер:

где - начальное значение; - случайная величина (прирост уровней ряда).

- смешанный, включает элементы детерминированного и стохастического тренда:

Где a1 , a2 , q , b , w - постоянные коэффициенты; ut - случайная величина.

Стохастический процесс называется стационарным, если его свойства не изменяются во времени, в частности он имеет постоянное математическое ожидание, дисперсию и автоковариацию с некоторым запаздыванием k .

Задача прогнозирования заключается в выявлении компонентов кси t, et, исходного временного ряда xt, а также принципов изменения во времени (тренда).

Прогнозная модель временного ряда – модель, аппроксимирующая, приближающая с достаточной степенью точности тренд.

Большинство эконометрических моделей строится как динамические эконометрические модели. Это означает, что моделирование причинно-следственных связей между переменными осуществляется во времени, а исходные данные представлены в форме временных рядов.

Временной ряд х t (t=1; n ) – ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени.

Каждый временной ряд х t складывается из следующих основных составляющих (компонентов):

1. Тенденции, характеризующей общее направление динамики изучаемого явления. Аналитически тенденция выражается некоторой функцией времени, называемой трендом (Т ).
2. Циклической или периодической составляющей, характеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Колебания представляют собой отклонения фактических уровней ряда от тренда. Объем продаж некоторых товаров подвержен сезонным колебаниям. Сезонные колебания (S ) – периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период равный годовому промежутку. Конъюнктурные колебания (К) связаны с большими экономическими циклами, период таких колебаний – несколько лет.
3. Случайной составляющей, которая является результатом воздействия множества случайных факторов (Е ).

В зависимости от взаимосвязи между составляющими может быть построена либо аддитивная модель : =T+K+S+E, либо мультипликативная модель : =T·K·S·E ряда динамики.

Для определения состава компонентов (структуры временного ряда) в модели временного ряда строят автокорреляционную функцию.
Автокорреляция – корреляционная связь между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L - лаг). То есть, автокорреляция - это связь между рядом: x 1 , x 2 , ... x n-l и рядом x 1+l , x 2+l , ...,x n , где L - положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции:
,
где ,
– средний уровень ряда (x 1+L , x 2+L ,...,x n ),
средний уровень ряда (x 1 , x 2 ,..., x n-L),
s t , s t-L – средние квадратические отклонения, для рядов (x 1+L , x 2+L ,..., x n ) и (x 1 , x 2 ,..., x n-L ) соответственно.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L =1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-ого порядка r t,t-1 , если L =2, то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка r t,t- 2 и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции равный n /4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (L), при котором автокорреляция (r t,t-L ) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда .

1. Если наиболее высоким оказывается значение коэффициента автокорреляции первого порядка r t,t- 1 , то исследуемый ряд содержит только тенденцию.
2. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции r t,t-L порядка L , то ряд содержит колебания периодом L .
3. Если ни один из r t,t-L не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:
   • либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
   • либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокорреляции.
Рассмотрим на примере как построить коррелограмму, чтобы определяется структуру временного ряда.
Пусть нам даны поквартальные данные об объеме выпуска некоторого товара некоторой фирмой –х (усл.ед.) за 3 года:

Результаты расчетов представлены в таблице 7.
Таблица 7

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция (т.к. r t,t-1 =0,537 →1) и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания (т.к. r t,t-4 =0,99 →1).

Построение модели временного ряда с сезонными колебаниями (аддитивная модель ).
Процесс построения модели временного ряда (х ), содержащего n уровней некоторого показателя за Z лет, с L сезонными колебаниями включает следующие шаги:
1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней (х c ). Произведем выравнивание исходного ряда взятого из примера, рассмотренного выше, методом скользящей средней с периодом усреднения равным 3. Результаты представлены в таблице 9 (столбец 4).
2) Расчет значений сезонной составляющейS i , i=1;L , где L – число сезонов в году. Для нашего примера L =4 (сезоны - кварталы).
Расчет значений сезонных составляющих осуществляется после устранения тенденции из исходных уровней ряда: x-x c (столбец 5, таблица 9). Для дальнейшего расчета S i построим отдельную таблицу. Строки данной таблицы соответствуют сезонам, столбцы - годам. В теле таблицы находятся значения: x -x c . По этим данным рассчитываются средние оценки сезонных составляющих каждой строке (S c i) . Если сумма всех средних оценок равна нулю (), то данные средние и будут окончательными значениями сезонных составляющих (S i =S c i ). Если их сумма не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных составляющих вычитанием из средней оценки величины равной отношению суммы средних оценок к их общему числу (). Для нашего примера расчет значений S i представлен в таблице 8.
Таблица 8

Прогнозирование по аддитивной модели .
Пусть требуется дать прогноз уровня временного ряда на период (n +1). Точечный прогноз значения уровня временного ряда х n+1 в аддитивной модели есть сумма трендовой компоненты и сезонной компоненты (соответствующей i –ому сезону прогноза): =T n+1 +S i .
Для построения доверительного интервала прогноза нужно рассчитать среднюю ошибку прогноза:
m р = ,
где h - число параметров в уравнении тренда;
t yp – значение условной переменной времени для периода прогнозирования.
Затем рассчитаем предельную ошибку прогноза: D р =t a · m р ,
где t a - коэффициент доверия, определяемый по таблицам Стьюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы равным (n-h ).
Окончательно получим: (-D р; +D р).

Тема 9. Статистическое изучение динамики

Понятие и классификация временных рядов

Процесс развития социально-экономических явлений во времени принято называть динамикой. Для отображения динамики строят временные ряды (ряды динамики). Временной ряд представляет собой совокупность значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке. Составными элементами ряда динамики являются:

1) отдельные значения показателя, которые называются уровнями ряда (y );

2) периоды или моменты (даты) времени (t )/

Существуют различные виды временных рядов. Их можно классифицировать по различным основаниям:

1)по способу выражения уровней ряда:

– ряды абсолютных величин;

– ряды относительных величин;

– ряды средних величин.

2) по способу представления хронологии:

– моментные ряды;

– интервальные ряды.

В моментных временных рядах уровни ряда выражают состояние явления на определенный момент времени (начало месяца, квартала, года и т.д.). Например, численность поголовья крупного рогатого скота в РФ на 1 января каждого года. В интервальных временных рядах уровни ряда выражают состояние явления за определенные интервалы (периоды) времени (за месяц, за квартал, за год). Например, ежегодный пассажирооборот железнодорожным транспортом.

Отдельные уровни интервального временного ряда можно суммировать. Отдельные уровни моментного временного ряда содержат элементы повторного счета, поэтому их суммирование бессмысленно.

3) по расстоянию между уровнями:

– временные ряды с равноотстоящими уровнями во времени;

– временные ряды с неравно отстоящими уровнями во времени;

4) по наличию основной тенденции в ряду:

– стационарные временные ряды;

– нестационарные временные ряды.

Стационарным называется временной ряд, если математическое ожидание значения признака и дисперсия постоянны, не зависят от времени. Нестационарные временные ряды имеют некоторую тенденцию развития.

5) по числу показателей:

– изолированные временные ряды;

– многомерные временные ряды (комплексные).

Если ведется анализ во времени одного показателя, то ряд динамики изолированный. В многомерном ряду представлена динамика нескольких показателей, характеризующих одно явление.

Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики

Важнейшим условием правильного построения временного ряда является сопоставимость всех входящих в него уровней. Проблема сопоставимости данных остро стоит в рядах динамики, потому что они охватывают значительные периоды времени, за которые могли произойти изменения и привести к несопоставимости статистических данных. Прежде чем анализировать динамический ряд необходимо убедиться в сопоставимости уровней ряда и при отсутствии последней добиваться ее, пользуясь дополнительными расчетами.

Основные условия сопоставимости уровней ряда динамки :

1) одинаковые единицы измерения показателей;

2) единая методика расчета показателей;

3) одинаковые территориальные границы;

4) одинаковая полнота охвата различных частей явления;

5) учет изменения цен.

Это условие необходимо соблюдать в процессе сбора и обработки данных, либо путем их перерасчета. Приведение уровней ряда к сопоставимому виду осуществляется методом смыкания рядов динамики . Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или разным территориальным границам. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах).

Имеются данные о производстве продукции предприятия, методика получения которых в течение рассматриваемого периода претерпела некоторые изменения (табл. 9.1).

Таблица 9.1 – Динамика объема производства продукции, млн. руб.

Для анализа динамики объемов производства продукции за 2006-2013 гг. необходимо сомкнуть (объединить) исследуемые два ряда в один. Для этого следует пересчитать данные 2006-2008 гг. по новой методике. На основе данных за 2009 г. найдем коэффициент перевода (k ) как соотношение между ними:

k = 22,8 / 21,2 = 1,1,

Умножая на полученный коэффициент данные за 2006-2008 гг., приводим их в сопоставимый вид с последующими уровнями, таким образом, получаем сомкнутый (сопоставимый) ряд.

Показатели изменения уровней временного ряда

Анализ временных рядов включает расчет различных показателей, характеризующих изменение уровней ряда. Показатели, используемые для анализа временных рядов, можно разделить на абсолютные, относительные и обобщающие (средние) (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Основные показатели изменения уровней временного ряда

Абсолютные и относительные показатели могут быть рассчитаны на цепной или базисной основе. При расчете цепных показателей каждый уровень ряда сравнивается с непосредственно ему предшествующим. При расчете базисных показателей каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения. Обычно в качестве базы сравнения принимается первый уровень временного ряда.

Рассмотрим формулы для расчета основных показателей изменения уровней временного ряда.

Абсолютный прирост (Δy ) определяется как разность двух сравниваемых уровней.

Абсолютный прирост цепной :

Δy ц = y i – y i – 1 ,

Абсолютный прирост базисный :

Δy б = y i – y 0 ;

где y i – i -й уровень ряда;

y 0 – базисный уровень ряда.

Темп роста (Т р) определяется как отношение двух сравниваемых уровней временного ряда и выражается в процентах.

Темп роста цепной :

Темп роста базисный:

Темп роста может быть выражен в виде коэффициента (К р). В этом случае он показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше (или меньше) предшествующего (или базисного) уровня.

Темп прироста (Т пр) показывает, на какую долю (или процент) данный уровень ряда больше (или меньше) предыдущего или базисного.

Темп прироста цепной :

.

Темп прироста базисный:

.

Темп прироста можно вычислить также путем вычитания из темпов роста 100%, то есть Т пр = Т р –100.

Абсолютное значение одного процента прироста () показывает, сколько абсолютных единиц приходится на 1% прироста:

.

Средние величины временного ряда – это обобщающие характеристики развития явления за изучаемый период.

Средний уровень временного ряда () рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны.

Средний уровень интервального ряда с равноотстоящими уровнями находится по формуле средней арифметической простой:

где n – число уровней ряда.

Средний уровень моментного ряда с равноотстоящими уровнями определяют по формуле средней хронологической простой:

,

Средний абсолютный прирост:

.

Средний темп роста:

Средний темп прироста:

.

Для комплексного анализа временного ряда необходимо использовать всю систему показателей.

Пример

Проанализировать динамику производства легковых автомобилей в городе N (табл. 9.2).

Таблица 9.2 - Динамика производства легковых автомобилей в городе N

Например, для 2009 г.

Это значит, что за период 2007-2013 гг. в среднем каждый год объем производства легковых автомобилей увеличивался на 2,3%.

Вопрос 1: «ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА»

Можно построить эконометрическую модель, используя два типа исходных данных:

· данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;

· данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называютсямоделями временных рядов.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

· факторы, формирующие тенденцию ряда;

· факторы, формирующие циклические колебания ряда;

· случайные факторы.

При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы.

Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 6.1 а) показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой-бизнес цикла, в которой находится экономика страны. На рис. 6.1 б) представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 6.1 в).

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой вре­менной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования от дельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогно­зирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов

Рис. 6.1. «Основные компоненты временного ряда: а – возрастающая тенденция; б – сезонная компонента, в – случайная компонента.

Вопрос 2: «АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА И ВЫЯВЛЕНИЕ ЕГО СТРУКТУРЫ»

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называютавтокорреляцией уровней рада.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Рассмотрим пример.

Пример 6.1 Расчет коэффициентов автокорреляции уровней для временного ряда расходов на конечное потребление.

Пусть имеются следующие условные данные о средних расходах на конечное потребление y t (д.е.) за 8 лет. Табл. 6.1

Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д.е.

Расходы на конечное потребление в текущем году зависят от расходов на конечное потребление предыдущих лет.

Определим коэффициент корреляции между рядами и и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление текущего и предыдущего годов. Добавим в таблицу 6.1 временно й ряд

Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид:

В качестве переменной х мы рассмотрим ряд ; в качестве переменной y – ряд . Тогда приведенная выше формула примет вид

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней первого порядка, т.к. он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1 , т.е. при лаге 1.

Для данных пример 6.1 соотноешния (6.2) составят:

Используя формулу (6.1), получаем коэффициент автокорреляции первого порядка:

Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов, и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейное тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорелляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

Для данных из примера 6.1 получим:

Построим таблицу 6.2 подставив полученные значения в формулу (6.3), имеем:

Таблица 6.2

Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д.е.

Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.

Необходимо отметить два важных свойства коэффициента корреляции.

Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых , по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называютавтокорреляционной функцией временного рада. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) на­зываетсякоррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t , ряд содержит циклические колебания с перио­дичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, изображенного на рис. 6.1 в), либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Временной ряд расходов на конечное потребление, рассмотренный нами в примере 6.1, содержит только тенденцию, так как коэффициенты автокорреляции его уровней высокие.

Пример 6.2. Автокорреляционная функция и выявление структуры ряда.

Пусть имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов. (табл. 6.3).

Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВт*ч

Нанесем эти значения на график 6.2

Рис. 6.2. «Потребление электроэнергии жителями региона»

Определим коэффициент автокорреляции первого порядка (добавим 6.3 и воспользуемся формулой расчета линейного коэффициента корреляции). Он составит: . Отметим, что расчет этого коэффициента производился по 15, а не по 16 парам наблюдений. Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней. Однако, как следует из графика, структура этого ряда такова, что каждый следующий уровень зависит от уровня и в гораздо большей степени, чем от уровня . Построим ряд (см. табл. 6.3). Рассчитав коэффициент автокорреляции второго порядка , получим количественную характеристику корреляционной связи рядов , ,: . Продолжив расчеты аналогичным образом, получим автокорреляционную функцию этого ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таблице 6.4. Аналогично рассчитываем и другие автокорреляции

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временно м ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 6.2).

Аналогично, если, например, при анализе временно го ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней второго порядка, ряд содержит циклические колебания в два периода времени, т.е. имеет пилообразную структуру.

Вопрос 3: «Моделирование тенденции временного ряда»

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называютаналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

Линейный тренд

Гипербола: ;

Экспоненциальный тренд:

Тренд в форме степенной функции:

Парабола второго и более высоких порядков:

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2, …, n, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда у t . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуаль­ный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R 2 и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.

Вопрос 4: «Моделирование сезонных и циклических колебаний»

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания.

Простейший подход - расчет значений сезонной компонен­ты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид адди­тивной модели следующий:

Y=T+S+E (6.5)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Общий вид мультипликативной модели выгладит так:

Y=T*S*E (6.6)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может бьггь представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоян­на, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрас­тает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты S.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+ Е) в аддитивной или (Т*Е) в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (Т + S) или (T * S).

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Подробнее методику построения каждой из моделей рассмотрим на примерах.

Пример 6.4. Построение аддитивной модели временного ряда.

Обратимся к данным об объеме потребления электроэнергии жителями района за последние четыре года, представленным в табл. 6.3.

В примере 6.2 было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4. Объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период времени (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II иIII кварталы). По графику, этого ряда (рис. 6.2) можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это свидетельствует о воз­можном существовании в ряде аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

а. просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 6.5);

б. разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 6.5). Отметим, что полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

в. приведем эта значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 6.5).

Расчет оценок сезонной компонентности в аддитивной модели

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями рада и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 6.5). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 6.6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Для данной модели имеем:

0,6-1,958-1,275+2,708=0,075

Определим корректирующий коэффициент:

К=0,075/4 = 0,01875

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

Где i =1:4

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

0,581-1,977-1,294+2,960=0

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: = 0.581

II квартал: = -1,979

III квартал: = -1,294

IV квартал: = 2,690

Занесем полученные значения в табл. 6.6 для соответствующих кварталов каждого года (стр.3)

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т+E=Y-S (гр.4 табл. 6.7). Эти значения рассчитываются за каждый период времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

t				T	T+S		E 2
1	6,0	0,581	5,419	5,902	6,483	-0,483	0,2333
2	4,4	-1,977	6,337	6,088	4,111	0,289	0,0835
3	5,0	-1,294	6,294	6,275	4,981	0,019	0,0004
4	9,0	2,690	6,310	6,461	9,151	-0,151	0,0228
5	7,2	0,581	6,619	6,648	7,229	-0,029	0,0008
6	4,8	-1,977	6,777	6,834	4,857	-0,057	0,0032
7	6,0	-1,294	7,294	7,020	5,727	0,273	0,0745
8	10,0	2,690	7,310	7,207	9,896	0,104	0,0108
9	8,0	0,581	7,419	7,393	7,974	0,026	0,0007
10	5,6	-1,977	7,577	7,580	5,603	-0,030	0,0009
11	6,4	-1,294	7,694	7,766	6,472	-0,072	0,0052
12	11,0	2,690	8,310	7,952	10,642	0,358	0,1282
13	9,0	0,581	8,419	8,139	8,720	0,258	0,0784
14	6,6	-1,977	8,577	8,325	6,348	0,252	0,0635
15	7,0	-1,294	8,294	8,519	7,218	-0,218	0,0475
16	10,8	2,690	8,110	8,698	11,388	-0,588	0,3457

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Константа 5,715416

Коэффициент регрессии 0,186421

Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,015188

R-квадрат 0,914971

Число наблюдений 16

Число степеней свободы 14

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

Т=5,715+0,186*t

Подставляя в это уравнение значения t=1, …, 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 табл. 6.7). График уравнения тренда приведен на рис. 6.3.

Рис. 6.3. «Потребление электроэнергии жителями района (фактическое, выравненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда)

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (Т+S) представлены на рис. 6.3.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле

E=Y-(T+S) (6.8)

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 табл. 6.7.

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59 , эта величина составляет чуть более 1,5%

(1-1,10/71,59)*100=1,536

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временно го ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.

Вопрос 5: «Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений».

От сезонных и циклических колебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденции временно го ряда, вызванные структурными изменениями в экономике или иными факторами. В этом случае, начиная с некоторого момента времени , происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику. Схематично такая ситуация изображена на рис. 6.4

Рис. 6.4. «Изменение характера тенденции временного ряда».

Момент (период) времени сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель . Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или факторами (событиями) глобального характера, приведшими к изменению структуры экономики (например, начало крупных экономических реформ, изменение экономического курса, нефтяные кризисы и прочие факторы). Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции.

Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии , т.е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени и после момента ) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии (на рис. 6.4 этим уравнением соответствуют прямые (1) и (2)). Если структурные изменении незначительно повлияли на характер тенденции ряда , то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис. 6.4 этому уравнению соответствует прямая (3)).

Каждый из описанных выше подходов имеет свои положительные и отрицательные стороны. При построении кусочно-линейной модели происходит снижение остаточной суммы квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений, и, следовательно, к снижению числа степеней свободы в кажодм уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет, сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.

№ уравнения	Вид уравнения	Число наблюдений в совокупности	Остаточная сумма квадратов	Число параметров в уравнении 1	Число степеней свободы остаточной дисперсии
Кусочно-линейная модель
(1)
(2)
Уравнение тренда по всей совокупности
(3)
1 В рассматриваемой нами формулировке число параметров всех уравнений k 1 =k 2 =k 3 =2. В общем случае число параметров в каждом уравнении может различаться.

Формальный статистический тест для оценки этого соотношения был предложен Грегори Чоу. Применение этого теста предполагает расчет параметров уравнений трендов, графики которых изображены на рис. 6.5 (1), (2), (3). Введем систему обозначений, приведенную в табл. 6.8

Выдвинем гипотезу Н 0 о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда.

Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели () можно найти как сумму и

Соответствующее ей число степеней свободы зависит:

Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

Число степеней свободы, соответствующее , с учетом соотношения 6.10 будет равно

Найденное значение сравнивают с табличным, полученным по таблицам распределения Фишера для уровня значимости и числа степеней свободы и

Пример 6.2. Расчет параметров тренда.

Имеются помесячные данные о темпах роста номинальной заработной платы в РФ за 10 месяцев 2010 года в процентах к уровню предыдущего месяца 2009 г. (Табл. 6.3). Требуется выбрать наилучший тип тренда и определить его параметры.

Построим график данного временного ряда

Рис. 6.2. Динамика темпов роста номинальной заработной платы за 10 мес. 2010г.

На графике рис. 6.2. заметно наличие возрастающего тренда (тенденции). Возможно существование линейной зависимости.

Http://homekid.ru/kidinspb2010/kid2010part2.htm