Схема ромберга для приближенного вычисления определенного интеграла. Решение дифференциальных уравнений. Смотреть что такое "ромберга метод" в других словарях

Литература: [Л.1], с 40

В качестве примера приведем разложение в ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой , длительностью и периодом следования , симметричной относительно нуля, т.е.

, (2.10)

Здесь

Разложение такого сигнала в ряд Фурье дает

, (2.11)

где – скважность.

Для упрощения записи можно ввести обозначение

, (2.12)

Тогда (2.11) запишется следующим образом

, (2.13)

На рис. 2.3 изображена последовательность прямоугольных импульсов. Спектр последовательности, как впрочем, и любого другого периодического сигнала, носит дискретный (линейчатый) характер.

Огибающая спектра (рис. 2.3, б) пропорциональна . Расстояние по оси частот между двумя соседними составляющими спектра равно , а между двумя нулевыми значениями (ширина лепестка спектра) – . Число гармонических составляющих в пределах одного лепестка, включая правое по рисунку нулевое значение, составляет , где знак означает округление до ближайшего целого числа, меньшего (если скважность – дробное число), или (при целочисленном значении скважности). При увеличении периода основная частота уменьшается, спектральные составляющие на диаграмме сближаются, амплитуды гармоник также уменьшаются. При этом форма огибающей сохраняется.

При решении практических задач спектрального анализа вместо угловых частот используют циклические частоты , измеряемые в Герцах. Очевидно, расстояние между соседними гармониками на диаграмме составит , а ширина одного лепестка спектра – . Эти значения представлены на диаграмме в круглых скобках.

В практической радиотехнике в большинстве случаев вместо спектрального представления (рис. 2.3, б) используют спектральные диаграммы амплитудного и фазового спектров. Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов представлен на рис. 2.3, в.

Очевидно, огибающая амплитудного спектра пропорциональна .

Что же касается фазового спектра (рис. 2.3, г), то полагают, что начальные фазы гармонических составляющих изменяются скачком на величину -π при изменение знака огибающей sinc kπ/q . Начальные фазы гармоник первого лепестка, полагаются равными нулю. Тогда начальные фазы гармоник второго лепестка составят φ = -π , третьего лепестка φ = -2π и т.д.

Рассмотрим еще одно представление сигнала рядом Фурье. Для этого воспользуемся формулой Эйлера

.

В соответствии с этой формулой k-ю составляющую (2.9) разложения сигнала в ряд Фурье можно представить следующим образом

; . (2.15)

Здесь величины и являются комплексными и представляют собой комплексные амплитуды составляющих спектра. Тогда ряд

Фурье (2.8) с учетом (2.14) примет следующую форму

, (2.16)

, (2.17)

Нетрудно убедиться в том, что разложение (2.16) проводится по базисным функциям , которые также являются ортогональными на интервале , т.е.

Выражение (2.16) представляет собой комплексную форму ряда Фурье, которая распространяется на отрицательные частоты. Величины и , где означает комплексную сопряженную с величину, называются комплексными амплитудами спектра. Т.к. является комплексной величиной, из (2.15) следует, что

и .

Тогда совокупность составляет амплитудный, а совокупность – фазовый спектр сигнала .

На рис. 2.4 представлена спектральная диаграмма спектра рассмотренной выше последовательности прямоугольных импульсов, представленного комплексным рядом Фурье

Спектр также носит линейчатый характер, но в отличие от ранее рассмотренных спектров определяется как в области положительных, так и в области отрицательных частот. Поскольку является чётной функцией аргумента , спектральная диаграмма симметрична относительно нуля.

Исходя из (2.15) можно установить соответствие между и коэффициентами и разложения (2.3). Так как

и ,

то в результате получим

. (2.18)

Выражения (2.5) и (2.18) позволяют найти значения при практических расчетах.

Дадим геометрическую интерпретацию комплексной формы ряда Фурье. Выделим k-тую составляющую спектра сигнала. В комплексной форме k-я составляющая описывается формулой

где и определятся выражениями (2.15).

В комплексной плоскости каждое из слагаемых в (2.19) изображается в виде векторов длиной , повернутых на угол и относительно вещественной оси и вращающихся в противоположных направлениях с частотой (рис. 2.5).

Очевидно, сумма этих векторов дает вектор, расположенный на вещественной оси, длина которого составляет . Но этот вектор соответствует гармонической составляющей

Что касается проекций векторов на мнимую ось, то эти проекции имеют равную длину, но противоположные направления и в сумме дают ноль. А это значит, что сигналы, представленные в комплексной форме (2.16) в действительности являются вещественными сигналами. Иными словами, комплексная форма ряда Фурье является математической абстракцией, весьма удобной при решении целого ряда задач спектрального анализа. Поэтому, иногда спектр, определяемый тригонометрическим рядом Фурье, называют физическим спектром , а комплексной формой ряда Фурье – математическим спектром .

И в заключение рассмотрим вопрос распределения энергии и мощности в спектре периодического сигнала. Для этого воспользуемся равенством Парсеваля (1.42). При разложении сигнала в тригонометрический ряд Фурье выражение (1.42) принимает вид

.

Энергия постоянной составляющей

,

а энергия k-той гармоники

.

Тогда энергия сигнала

. (2.20)

Т.к. средняя мощность сигнала

,

то с учетом (2.18)

. (2.21)

При разложение сигнала в комплексный ряд Фурье выражение (1.42) имеет вид

,

где
- энергия k-той гармоники.

Энергия сигнала в этом случае

,

а его средняя мощность

.

Из приведенных выражений следует, что энергия или средняя мощность k-той спектральной составляющей математического спектра вдвое меньше энергии или мощности соответствующей спектральной составляющей физического спектра. Это обусловлено тем, что физического спектра распределяется поровну между и математического спектра.

Периодическая последовательность прямоугольных видеоимпульсов является модулирующей функцией для формирования периодической последовательности прямоугольных радиоимпульсов (ПППВИ), которые являются зондирующими сигналами для обнаружения и измерения координат движущихся целей. Поэтому, по спектру модулирующей функции (ПППВИ), можно относительно просто и быстро и определить спектр зондирующего сигнала (ПППРИ). При отражении зондирующего сигнала от движущейся цели изменяются частоты спектра гармоник несущего колебания (эффект Доплера). Вследствие чего, можно выделить полезный сигнал, отраженный от движущейся цели, на фоне мешающих (помеховых) колебаний, отраженных от неподвижных объектов (местные предметы) или малоподвижных объектов (метеообразования, стаи птиц и др.).

ПППВИ (рис. 1.42) представляет собой совокупность одиночных прямоугольных видеоимпульсов, следующих друг за другом через равные промежутки времени. Аналитическое выражение сигнала.

где – амплитуда импульсов; – длительность импульсов; – период следования импульсов; – частота следования импульсов, ; – скважность.

Для вычисления спектрального состава периодической последовательности импульсов применяют ряд Фурье. При известных спектрах одиночных импульсов, образующих периодическую последовательность, можно воспользоваться связью между спектральной плотностью импульсов и комплексными амплитудами ряда:

Для одиночного прямоугольного видеоимпульса спектральная плотность описывается формулой

Воспользовавшись связью между спектральной плотностью одиночного импульса и комплексными амплитудами ряда, находим

где = 0; ± 1; ± 2; ...

Амплитудно-частотный спектр (рис. 1.43) будет представлен совокупностью составляющих:

при этом положительным значениям соответствуют нулевые начальные фазы, а отрицательным – начальные фазы, равные .

Таким образом, аналитическое выражение ПППВИ будет равно

Из анализа графиков, приведенных на рисунке 1.43 следует:

· Спектр ПППВИ дискретный состоящий из отдельных гармоник с частотой .

· Огибающая АЧС изменяется по закону .

· Максимальное значение огибающей при равно , значение постоянной составляющей .

· Начальные фазы гармоник в пределах нечетных лепестков равны 0, в пределах четных .

· Количество гармоник в пределах каждого лепестка равно .

· Ширина спектра сигнала на уровне 90% энергии сигнала

· База сигнала , поэтому сигнал является простым.

Если изменять длительность импульсов , либо частоту их повторения F (период ), то параметры спектра и его АЧС будет изменяться.

На рисунке 1.43 представлен пример изменения сигнала и его АЧС при увеличении длительности импульса в два раза.

Периодические последовательности прямоугольных видеоимпульсов и их АЧС параметрами , T ,. и , T , изображены на рисунке 1.44.

Из анализа приведенных графиков следует:

1. Для ПППВИ с длительностью импульса :

· Скважность q =4, следовательно, в пределах каждого лепестка сосредоточено 3 гармоники;

· Частота k-ой гармоники ;

· Ширина спектра сигнала на уровне 90% энергии ;

· Постоянная составляющая равна

2. Для ПППВИ с длительностью импульса :

· Скважность q= 2, следовательно, в пределах каждого лепестка находится 1 гармоника;

· Частота k-ой гармоники осталось неизменной ;

· Ширина спектра сигнала на уровне 90% его энергии уменьшилась в 2 раза ;

· Постоянная составляющая увеличилась в 2 раза .

Таким образом, можно сделать вывод, что при увеличении длительности импульса, происходит “сжатие” АЧС вдоль оси ординат (уменьшается ширина спектра сигнала), при этом увеличиваются амплитуды спектральных составляющих. Частоты гармоник не изменяются.

На рисунке 1.44. представлен пример изменения сигнала и его АЧС при увеличении периода следования в 4 раза (уменьшение частоты повторения в 4 раза).

c) ширина спектра сигнала на уровне 90% его энергии не изменилась;

d) постоянная составляющая уменьшилась в 4 раза.

Таким образом, можно сделать вывод, что при увеличении периода следования (уменьшении частоты повторения происходит “сжатие ”) АЧС вдоль оси частот (уменьшаются амплитуды гармоник с увеличением их количества в пределах каждого лепестка). Ширина спектра сигнала при этом не изменяется. Дальнейшее уменьшение частоты повторения (увеличения периода следования) приведет (при ) к уменьшению амплитуд гармоник до бесконечно малых величин. При этом сигнал превратиться в одиночный, соответственно спектр станет сплошным.

2. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов, изображенную на рис. 5. Данный сигнал характеризуется длительностью импульса, его амплитудой и периодом. По вертикальной оси откладывается напряжение.

Рис.5. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Начало отсчета выберем в середине импульса. Тогда сигнал разлагается только по косинусам. Частоты гармоник равныn/T , где n - любое целое число. Амплитуды гармоник согласно (1.2.) будут равны :

так как V(t) =Е при , где - длительности импульса и V(t) =0 при , то

Эту формулу удобно записать в виде:

(2.1.)

Формула (1.5.) дает зависимость амплитуды n-ой гармоники от периода и длительности в виде непрерывной функции (функция ). Эту функцию называют огибающей спектра. Следует иметь ввиду, что физический смысл она имеет только на частотах, где существуют соответствующие гармоники. На рис. 6 приведен спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Рис.6. Спектр периодической последовательности

прямоугольных импульсов.

При построении огибающей имеем ввиду, что - является

Осцилирующей функцией частоты, а знаменатель монотонно возрастает с ростом частоты. Поэтому получается квазиосцилирующая функция с постепенным убыванием. При частоте стремящейся к нулю, к нулю стремятся одновременно и числитель и знаменатель, их отношение стремится к единице (первый классический предел). Нулевые значения огибающей возникают в точках где т. е.

Где m – целое число (кроме m

Для определения спектров для различных видов импульсной модуляции найдем спектр самого носителя. Возьмем импульсный носитель с импульсами прямоугольной формы (рис. 3.10).

Рис. 3.10 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Последовательность таких импульсов можно представить рядами Фурье.

, (3.32)

где - комплексная амплитуда k-ой гармоники;

- постоянная составляющая.

Найдем комплексные амплитуды для указанных пределов (рис. 3.10).

(3.33)

Постоянная составляющая

(3.34)

Подставим (3.33) и (3.34) в (3.32) и после преобразования получим:

(3.35)

Из выражения видно, что спектр линейчатый с огибающей, повторяющей спектр одиночного импульса (рис. 3.11). Другими словами, для импульсов одинаковой формы решетчатая функция вписывается в непрерывную S(jω).

Рис. 3.11 Спектр периодической последовательности импульсов

Постоянная составляющая А 0 /2 имеет при этом вдвое меньшее значение. Расстояние между составляющими гармоник равно основной частоте носителя ω 0 =2π/Т. Отсюда следует, что изменение периода Т следования импульсов приводит к изменению плотности дискретных составляющих, а изменение скважности Т/τ при неизменном периоде (т.е. изменение τ) вызывает сужение или расширение огибающей с сохранением ее формы, оставляя неизменным расстояние между линиями дискретного спектра. При достаточно большой плотности этих линий, когда между узлами размещается по крайней мере несколько линий спектра (Т>>τ), ширину спектра ω импульсного носителя можно считать практически такой же, как и для одиночного импульса. С приближением τ к Т эти спектры могут оказаться различными по ширине. На Рис. 3.12 изображены деформации спектра импульсного носителя при изменении Т, а на Рис. 3.13 при изменении τ для импульсов прямоугольной формы.

Рис. 3.12 Изменение характера спектра носителя при изменении

периода Т следования импульсов прямоугольной формы.

При неизменной амплитуде импульсов согласно выражению (3.25) огибающая дискретного спектра увеличивается пропорционально увеличению площади импульсов (рис. 3.13).

Следует отметить, что периодической последовательности в чистом виде не бывает поскольку любая последовательность имеет начало и конец. Степень приближения зависит от числа импульсов в последовательности. Поэтому для строгого описания импульсного носителя последний должен рассматриваться как одиночный импульс, представляющий собой пакет элементарных импульсов определенной формы. Такой сигнал имеет непрерывный спектр.

Однако по мере накопления числа импульсов в последовательности ее спектр дробится и деформируется таким образом, что все более приближается к решетчатому.

Рис. 3.13 Изменение характера спектра носителя при изменении

длительности импульса τ для импульсов прямоугольной формы.

3.7 Спектры сигналов с импульсной модуляцией

Спектры всех видов импульсных модуляций имеют сложное строение, а выводы зачастую получаются слишком громоздкими. По этой причине вопрос о спектральном составе сигналов импульсной модуляции рассмотрим, опуская в ряде случаев слишком сложные промежуточные преобразования. Такое рассмотрение позволяет показать подход к задаче, наметить путь решения и проанализировать окончательные выводы.

Найдем спектр при амплитудно–импульсной модуляции (АИМ). Для упрощения модулирующую функцию f(t) выберем, содержащую одну гармонику sint

Раскрывая это выражение и заменяя произведение синуса на косинус

. (3.36)

Из (3.36) видно, что в спектре сигнала содержится частота модулирующей функции и наивысшие гармонические составляющие kω 0 ±  с двумя боковыми спутниками. При этом наивысшие гармонические составляющие вписываются в огибающую спектра одиночного импульса носителя. На Рис. 3.14 показан спектр при амплитудно-импульсной модуляции.

Рис. 3.14 Спектр при амплитудно-импульсной модуляции.

Ширина спектра при АИМ не изменяется, так как величина амплитуд, которые нужно принимать во внимание при определении ширины, зависит только от соотношения τ /Т, а эта величина при АИМ постоянна. Если последовательность импульсов модулируется сложной функцией от  min до  max , то в спектре после модуляции появляются не спектральные линии, а полосы частот  min …  max и кω 1 ±( min … max)

Рассмотрим особенности спектра при фазо-импульсной модуляции (ФИМ), которая относится к разновидности время-импульсной модуляции (ВИМ).

При ФИМ – модуляции (Рис. 3.15) пунктирной линией показано изменение модулирующей функции во времени. Вертикальные пунктирные линии соответствуют положению переходных фронтов немодулированнойпоследовательности импульсов. Из рисунка видно, что положение импульсов (фаза) меняется относительно так называемых тактовых точек t k , соответствующих положению на оси времени передних фронтов немодулированной последовательности импульсов. Смещение одного из импульсов на время ∆t k показано на рисунке.

Рис. 3.15 Иллюстрация ФИМ – модуляции.

Рис. 3.16 Положение импульса без модуляции

и при наличии модуляции.

На рис. 3.16 пунктиром показан немодулированный импульс, расположенный симметрично относительно тактовой точки, соответствующей началу отсчета. При модуляции импульс сместится на величину
, где t 1 соответствует новому положению переднего фронта, а t 2 – новому положению заднего фронта. Будем считать, что максимальное смещение импульса ∆t K соответствует значению U(t) = 1.

Если модулирующая функция изменяется синусоидально, то для модулированного импульса моменты времени, соответствующие положению переднего и заднего фронтов будет:

(3.37)

(3.38)

В последнем выражении (3.38) значение времени равно (t-τ) поскольку задний фронт смещен относительно переднего на величину длительности импульса.

Для получения спектра при ФИМ необходимо подставить вместо τ значение t 2 -t 1 , поскольку t 1 и t 2 являются текущими координатами. Отразить смещение осевой линии можно, заменяя время t временем
. В результате подстановки этих значений в (3.35) получим:

(3.39)

Подставляя в выражение (3.39) значения t 1 и t 2 и после преобразования получим выражение, совпадающее со спектром при АИМ, только около составляющей основной частоты и каждой высшей гармоники появились не одна нижняя и одна верхняя боковые спектральные линии, а полосы боковых гармоник с частотами (kω 0 ±n).

Примерный вид спектра показан на рис. 3.17. Однако боковые спутники быстро убывают, так как в них входят Бесселевы функции.

Рис. 3.17 Спектр при фазо-импульсной модуляции.

Спектры при ШИМ и ЧИМ по своему составу оказываются такими же, как и спектр при ФИМ – модуляции.

Несмотря на то, что характер спектра при модуляции носителя изменяется и зависит от вида модуляции, его ширина остается такой же, как и для одиночного импульса и определяется в основном длительностью импульсов τ.

Передача измерительной информации в телеметрических устройствах с временным разделением каналов часто оказывается более предпочтительной, чем передача при помощи частотного разделения каналов, так как при временном разделении не требуется фильтров и, кроме того, ширина полосы пропускания не зависит от числа каналов.

В зависимости от вида модуляции в каналах (первичной) и вида модуляции несущей частоты (вторичной) существуют основные типы телеизмерительных устройств с временным разделением каналов: АИМ-ЧМ, ШИМ-ЧМ, ФИМ-АМ, ФИМ-ЧМ, КИМ-АМ, КИМ-ЧМ.

Системы с временным разделением каналов применяются для передачи измерительной информации с искусственных спутников и космических кораблей.