Общее уравнение переноса. диффузия. уравнение фика. Теплопроводность; уравнение диффузии

Уравнение диффузии описывает распространение (растекание) со временем по протяженному телу некоторой субстанции, например, тепла или концентрации. В одномерном случае тело представляется протяженным вдоль оси x .

На рис. 19.2 показан пример распределения вдоль оси x такого параметра как температура T . Из обычного опыта хорошо известно, что в каждый момент времени t температура T на разных участках тела x имеет разные значения, то есть меняется в зависимости от участка и времени. То есть должен существовать закон, по которому изменяется величина этого параметра T как функции от (x , t ). Для температуры этот закон чаще всего задается уравнением диффузии.

Если изменяемый параметр (в общем случае) обозначить как y , время, в течение которого отслеживаются изменения параметра, обозначить как t , а ось, вдоль которой происходят изменения параметра, как x , то уравнение диффузии имеет вид:

и обычно дополняется условиями - значениями переменной y на краях и границах: на левом краю x = 0, на правом краю x = L , на границе - начальные условия (t = 0):

y (x , 0) = f 1 (x ),
y (0, t ) = f 2 (t ),
y (L , t ) = f 3 (t ),
где f 1 (x ), f 2 (t ) и f 3 (t ) - заданные функции.

На рис. 19.3 представлен схематически вид области, для которой определены граничные и начальные условия. Функции f 1 (x ), f 2 (t ), f 3 (t ) и само уравнение диффузии предопределяют поведение функции y (x , t ) внутри этой области, чей полный вид обычно надо определить. Если на схеме дополнительно построить ось y (см. рис. 19.4 ), то визуально на рисунке можно отобразить и сам вид функций. На рисунке четко видно, что в углах схемы значения задаваемых функций должно совпадать.

Коэффициент α имеет смысл коэффициента теплопроводности; f (x , t ) имеет смысл функции, описывающей работу источников и стоков тепла.

Величина y , описывающая распределение температуры, является функцией двух переменных - протяженности тела x и времени t : y (x , t ). Графически функция представляется поверхностью (см. рис. 19.5 ) или набором изолиний (см. рис. 19.6 ), вид которых обычно требуется определить.

Если заменить выражения производных их дискретным аналогом, то в разностном виде уравнение будет выглядеть так:

или, выражая неизвестное через известные величины:

В результате получена расчетная формула, реализуемая на цифровой вычислительной машине. Благодаря этой формуле можно рассчитать значение параметра y в любой точке (x , t ).

Назовем значение y (x , t ) узлом расчета . Тогда схематично расчет выглядит как сетка узлов на поле, составленном из частей тела и отрезков времени (см. рис. 19.7 ). Сама формула расчета одного узла зависит от состояния трех узлов (левого y (x – Δx , t – Δt ), правого y (x + Δx , t – Δt ), собственного y (x , t – Δt )) в предыдущий (t – Δt ) момент времени и напоминает треугольный шаблон. До начала расчета известны состояния всех узлов для t = 0. Применяя формулу последовательно ко всем узлам для следующего момента времени, можно определить температуру во всех узлах следующего временного слоя (t + Δt ). Кроме самого левого и самого правого узлов - их состояние вычислено быть не может, но оно задано краевыми условиями.

Если процедуру повторять, переходя от одной точки тела x к другой, и далее от одного временного слоя к другому, то по данной формуле можно вычислить значение температуры в любой части тела в любой момент времени. Таким образом, расчетом покрывается все поле (L x T) (см. рис. 19.7 ). Последовательное определение неизвестных значений в данном случае возможно, потому что шаблон имеет вид явного выражения - единственное неизвестное в формуле выражено через ранее вычисленные значения.

Заметим, что при больших значениях производных и больших значениях шагов расчет может дать неверные решения. Решения могут оказаться неточными или даже неустойчивыми (качественно неверными) (см. лекцию 10. «Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений. Метод Эйлера»).

Условие устойчивости для треугольного шаблона при решении уравнения диффузии: Δx /Δt > α (см. подробнее рис. 19.12 ).

При моделировании возможно применение других разностных формул (шаблонов) (см. рис. 19.8 ). При выборе шаблона необходимо принимать во внимание: явный шаблон или нет, какую он обеспечивает точность и при каких значениях шагов он обеспечивает устойчивость расчета. Так, например, шаблон в виде прямоугольника - неявный: в одной расчетной формуле содержится сразу две неизвестные величины. Поэтому при использовании такого шаблона необходимо решать систему алгебраических уравнений размером (L · T) .

На практике устойчивости, а далее - точности добиваются получением решений с использованием разных шаблонов и разных значений шага. Если значения искомой переменной, вычисленные с шагом h и с шагом h /2, отличаются в узлах с одинаковыми индексами не более чем на 1-5%, то вычисленное значение принимают за приближенное решение задачи. Иначе уменьшают шаг еще в два раза, и процедуру оценки повторяют. (Дополнительно см. лекцию «Умеем ли мы вычислять на компьютере?».)

Свойства уравнения диффузии отражены на рис. 19.9 и заключаются в том, что при возникновении неоднородности в какой-то из частей тела со временем тепло за счет процессов теплообмена перетекает в соседние области. Температуры соседних областей выравниваются, усредняются. Темп процесса зависит от величины коэффициента теплопроводности.

Если принять условие, что задача стационарная, то есть процессы протекают так долго, что все переходные процессы успели закончиться (производная по времени равна 0), то уравнение диффузии приобретает следующий вид (для случая двухмерного пространства - оси x и z ) без источников и стоков:

∂ 2 y /∂x 2 + ∂ 2 y /∂z 2 = 0.

В разностном виде уравнение имеет вид:

(Y i + 1, j – 2 · Y i , j + Y i – 1, j )/Δx 2 + (Y i , j – 1 – 2 · Y i , j + Y i , j + 1)/Δz 2 = 0.

Если принять Δx = Δz , то уравнение примет вид:

4 · Y i , j – Y i + 1, j – Y i – 1, j – Y i , j – 1 – Y i , j + 1 = 0.

Легко понять, что шаблон расчета уравнения неявный и имеет вид креста (чтобы рассчитать значение температуры в узле сетки, надо знать температуры его соседей слева, справа, сверху и снизу). Если стена дома имеет размеры 2 метра на 2 метра, а шаг Δx = Δz = 20 мм, то всего для расчета температурного режима стены придется решать систему из 10 000 линейных уравнений c 10 000 неизвестных Y i , j :

4 · Y i , j – Y i + 1, j – Y i – 1, j – Y i , j – 1 – Y i , j + 1 = 0, для i = 1÷100 и j = 1÷100,

к которым следует присоединить 400 штук краевых условий:
Y 0, j = f 1 (j );
Y 101, j = f 2 (j );
Y i , 0 = f 3 (i );
Y i , 101 = f 4 (i ).

Вид решения уравнения показан на рис. 19.6 .

Для описания пассивного транспорта – диффузии ионов в биофизике используется электродиффузионная теория, в соответствии с которой суммарный поток ионов через мембрану при пассивном транспорте определяется 2-мя факторами: неравномерностью их распределения (градиентом концентрации) и воздействием электрического поля (электрическим градиентом). Плотность потока ионов для разбавленных растворов определяется по уравнению Нернста-Планка:

где: Ф - поток вещества, u - подвижность иона, молекулы, R - универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/моль*К), Т - температура по шкале К 0 , dC/dx - концентрационный градиент, С - концентрация в молях, Z - величина заряда иона, F - число Фарадея (96500 Кл/моль), dφ /dx - градиент потенциала.

Знаки минус перед градиентами показывают, что градиент концентрации вызывает перенос вещества от мест с большей концентрацией в места с меньшей; а градиент потенциала вызывает перенос положительных зарядов от мест с большим потенциалом к местам с меньшим.

Для описания диффузии незаряженных частиц используют уравнение Фика:

В этом виде уравнение Фика определяет поток незаряженных частиц через единичную площадь в случае, если не существует перегородки (мембраны), которая может затруднять перенос, где:

D D - коэффициент диффузии,- градиент концентрации

DK / L = Р - называют эффективным коэффициентом прони­цаемости, тогда Ф = - Р (С e - Сi)

6. Механизм активного транспорта ионов К+ и Na + через мембрану. Основные этапы работы K , Na - АТФ-азы. Энергозатраты противоградиентного переноса (формула).

Ионы Na и К определяют водно-электролитный обмен организма. В норме в живых клетках животных существует асимметрия концентраций этих ионов внутри (i) и снаружи (e) клетки. Концентрация К больше внутри клетки, концентрация Na больше снаружи. Клеточная мембрана одинаково проницаема для обоих ионов. Поэтому для поддержания асимметрии осуществляется противоградиентный перенос при помощи Na, К - АТФ-азы или Na-К насоса, за счёт энергии, освобождающейся при гидролизе АТФ.

АТФ +Н2О = АДФ + Ф н + ∆G, где Ф н – неорганический фосфат.

Основные этапы работы АТФ-азы:

1) Присоединение 3 ионов Na и фосфорилирование фермента внутри клетки.

2) Транслокация №1 –перенос центра связывания ионов Na наружу.

3) Отсоединение 3 ионов Na и замена их на 2 иона К.

4) Отщепление остатков фосфорной кислоты.

5) Транслокация №2 – перенос центра связывания ионов К внутрь клетки.

6) Отсоединение 2 ионов К и присоединение 3 ионов Na, затем фосфорилирование фермента.

Перенос 2 ионов К внутрь клетки и выброс 3 ионов Na наружу приводит в итоге к переносу одного дополнительного положительного заряда из цитоплазмы на поверхность мембраны. Поэтому внутриклеточное содержимое имеет знак (-), а внеклеточное (+). В целом, энергия, которая освобождается при гидролизе АТФ для осуществления активного транспорта Na + и К + , определяется формулой:

где первое слагаемое определяет энергию для противоградиентного переноса двух ионов К второе – энергию для противоградиентного переноса трёх ионов Na, третье – энергию на преодоление сил электрического поля, возникающего на мембране за счёт активного транспорта.

Изучение процессов диффузии велось также в направлении создания на основе экспериментальных результатов более точных моделей, которые давали бы возможность предсказывать протекание процесса диффузии путем теоретического анализа. Конечная цель исследования процесса диффузии – возможность расчетным путем определять электрические характеристики полупроводниковых приборов на основе технологических параметров процесса. Диффузионные модели развивались с позиции двух основных приближений: 1) теории сплошных сред с использованием уравнения диффузии Фика и 2) атомистической теории, которая принимает во внимание взаимодействие между точечными дефектами (вакансиями и межузельными атомами), с одной стороны, и примесными атомами – с другой. Теория сплошных сред описывает явление диффузии исходя из диффузионного уравнения Фика с учетом соответствующих коэффициентов диффузии. Коэффициенты диффузии легирующих элементов могут быть определены путем экспериментальных измерений поверхностной концентрации, глубины р –п -перехода или профиля концентрации и из решения уравнения диффузии Фика.

При низких значениях концентрации примеси измеренные диффузионные профили хорошо согласуются с решениями уравнения диффузии Фика с постоянными значениями коэффициентов диффузии. При высоких значениях концентрации примеси форма диффузионных профилей отклоняется от предсказанной простой диффузионной теорией, что обусловлено влиянием на процесс диффузии примесей других факторов.

В 1855 Фик предложил теорию диффузии. В основу этой Теории положена аналогия между процессами переноса в жидких растворах и тепла за счет теплопроводности. Фик предложил следующие уравнение, получившее название I закона Фика :

Для одномерного случая:

, (3.2)

Здесь: j – поток атомов диффундирующего вещества через единичную площадку (например, через см 2) за единицу времени (с), N – количество таких атомов в единице объема, t (с)– время диффузии, а D –коэффициент пропорциональности, связывающий j и grad N, имеющий размерность см 2 /с, D (см 2 /с)называют коэффициентом диффузии . Знак (-) отражает тот факт, что поток атомов идет в направлении уменьшения их концентрации. Диффузия идет всегда, но направленный поток имеет место только в случае неоднородного по пространству распределения диффундирующих частиц и исчезает, когда система становится однородной.

Выполнив дифференцирование по координате, в одномерном варианте получим:

(3.3)

Легко устанавливается факт, что

поскольку изменение потока по координате обусловлено изменением числа частиц в единичном объеме. Из комбинации этих выражений следует основная форма уравнения диффузии, называемая II законом Фика .

Рассмотрим полую трубку постоянного малого сечения, в каждом сечении которой концентрацию диффундирующего вещества можно считать постоянной. Направим ось Ох вдоль трубки, тогда концентрация вещества в трубке выражается функцией Q(x,t) и может быть описана уравнением:

где Q(x,t) – объёмная концентрация (или плотность) диффундирующего вещества, кг/м 3 ;

f(x,t) – объёмная плотность источника примеси, кг·м -3 ·с -1 .

При условии постоянства коэффициента диффузии D коэффициент а определяется из выражения:

, (2.58)

где D – коэффициент диффузии, м 2 /с;

C – коэффициент пористости.

, (2.59)

где V – объем пор, внутри которых может происходить диффузия, м 3 ;

V 0 – полный объем, м 3 .

Если среда не пористая, то коэффициент С=1, а коэффициент а 2 =D.

В качестве начальных условий задается распределение плотности диффундирующего вещества вдоль рассматриваемой полой трубки в начальный момент времени:

Граничные условия могут быть заданы в следующей форме :

1) На границах полой трубки концентрация диффундирующего вещества поддерживается постоянной (в частности равной нулю) (граничные условия 1 рода):

2) Граничные плоскости трубки непроницаемы (граничные условия 2 рода):

; (2.63)

. (2.64)

3) Граничные плоскости полунепроницаемы, причем диффузия через эти плоскости происходит по закону Ньютона для конвективного теплообмена (граничные условия 3 рода):

, (2.65)

, (2.66)

где φ 1 (t), φ 2 (t) – плотность диффундирующего вещества в окружающей среде по оба конца трубки;

α – коэффициент проницаемости на концах.

Поставить краевую задачу для процесса диффузии взвешенных частиц с учетом оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тяжести, постоянна, а плотность частиц зависит только от высоты z и от времени t. Записать граничное условие, соответствующее непроницаемой перегородке.

Функция Q(x,t), описывающая плотность взвешенных частиц в трубке определяется уравнением:

,

D – коэффициент диффузии, м 2 /с;

ν – скорость оседания частиц, м/с.

Граничное условие сформулированному условию записывается в виде:

.

2.7 Уравнения линий передач

Рассмотрим кабель длиной l , находящийся под током. Кабель имеет следующие параметры, отнесенные к единице длины провода:

– активное сопротивление R, Ом/м;

– индуктивность L, Гн/м;

– емкостное сопротивление C, Ф/м;

– проводимость изоляции G, (Ом·м) -1 .

Напряжение U и ток I в каждый момент времени t в любой точке х могут быть найдены из следующих уравнений:

1) Уравнение телефона:

где Q(x,t)=U(x,t) или Q(x,t)=I(x,t).

2) Уравнение телеграфа (телеграфное уравнение) при условии пренебрежимо малых значений индуктивности и проводимости L=G=0:

. (2.68)

3) Уравнение радио (при малых значениях активного сопротивления и проводимости R=G=0):

, (2.69)

где k 2 =1/(LC).

Во всех уравнениях в качестве выходной распределенной величины могут рассматриваться как напряжение U(x,t), так и ток I(x,t).

Для уравнений телефона и радио, которые содержат вторую производную по времени t, необходимо задание начальных условий в виде самой распределенной величины в начальный момент времени вдоль всей линии, так и ее производной по времени t. Рассмотрим их расчет.

Пусть вдоль линии задано распределение напряжения и тока:

Граничные условия могут задаваться в различных вариантах. Рассмотрим самые распространенные, для одного из конца кабеля (линии), например х=l .

1) На конце включена батарея с постоянной электродвижущей силой Е, В:

2) Конец линии находится под синусоидальным напряжением с частотой ω:

3) Конец линии заземлен:

. (2.76)

4) Конец провода изолирован:

. (2.77)

5) В начале и в конце линии включены приемники с омическим сопротивлением R 0 и R l и самоиндукцией L 0 и L l :

; (2.78)

, (2.79)

где Е – электродвижущая сила батареи, В;

I 0 , I l – сила тока в начале и в конце линии, А.

6) В начале и в конце линии включены разделительные конденсаторы емкостью С 0 и С l :

; (2.80)

, (2.81)

где U l – напряжение на конце линии.

Линия передачи длиной 1000 км находится изначально в установившемся режиме с потенциалом 1200 В на передающем конце (х=0) и 1100 В на приемном конце (х=l =1000). Приемный конец линии внезапно заземляется, а на источнике сохраняется потенциал 1200 В. Сформулировать краевую задачу для потенциала в линии передач, предполагая индуктивность и проводимость изоляции пренебрежимо малыми.

Так как L=G=0, используем телеграфное уравнение вида:

,

где 0≤х≤ 1000.

Начальные условия (начальное установившееся напряжение) описываются уравнением вида:

.

,
.

Найти силу тока I(x,t) в проводе длиной l , по которому течет переменный ток, если утечка тока отсутствует, а омическим сопротивлением и проводимостью можно пренебречь. Предполагается, что начальный ток в проводе (при t=0) равен нулю, а начальное напряжение задается формулой:

.

Левый конец провода (х=0) изолирован, а правый конец (х=l ) заземлен.

Так как R=G=0 выбираем уравнение радио:

,

где Q(x,t)=I(x,t) – распределенная токовая величина;

L – индуктивность, приведенная к единице длины, Гн/м;

C – емкость, приведенная к единице длины, Ф/м.

Начальные условия имеют вид:

,

.

Граничные условия задаются в виде:

,

.

Описанные примеры формулировок краевых задач могут быть использованы для постановки собственных задач.

Вопросы для самопроверки.

1) Как записывается краевая задача в общем виде?

2) Что называется начальной функцией?

3) Что описывают граничные условия?

4) Как по внешнему виду определить уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов?

5) Какие процессы описывают уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов?

6) Какие начальные условия записывают для уравнения гиперболического типа?

7) Как выглядят начальные условия для уравнений эллиптического типа?

8) Как записываются граничные условия для первой, второй и третьей краевых задач?

9) Что собой представляет функция Грина и стандартизирующая функция?

10) Какие выделяют типовые распределенные блоки?

11) Как рассчитывается передаточная функция паралелльно соединенных блоков?

12) Почему последовательное соединение называется некоммутативным?

В частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

• Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера , отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Общий вид

Уравнение обычно записывается так:

История происхождения

Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) $D$ уравнение имеет вид:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}c(x,\backslash ;t)=\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}D\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\{c(x,\backslash ;t)\}+f(x,\backslash ;t).$

При постоянном $D$ приобретает вид:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}c(x,\backslash ;t)=D\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\{c(x,\backslash ;t)\}+f(x,\backslash ;t),$

где $c(x,\backslash ;t)$ - концентрация диффундирующего вещества, a $f(x,\backslash ;t)$ - функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; c(\backslash vec\{r\},\backslash ;t)=(\backslash nabla,\backslash ;D\backslash nabla\; c(\backslash vec\{r\},\backslash ;t))+f(\backslash vec\{r\},\backslash ;t),$

где $\backslash nabla=(\backslash partial\_x,\backslash ;\backslash partial\_y,\backslash ;\backslash partial\_z)$ - оператор набла , а $(\backslash ;,\backslash ;)$ - скалярное произведение. Оно также может быть записано как

$\backslash partial\_t\; c=\backslash mathbf\{div\}\backslash ,(D\backslash ,\backslash mathbf\{grad\}\backslash ,c)+f,$

а при постоянном $D$ приобретает вид:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; c(\backslash vec\{r\},\backslash ;t)=D\backslash Delta\; c(\backslash vec\{r\},\backslash ;t)+f(\backslash vec\{r\},\backslash ;t),$

где $\backslash Delta=\backslash nabla^2=\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}+\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; y^2\}+\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^2\}$ - оператор Лапласа .

n -мерный случай

$n$-мерный случай - прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать $n$-мерные версии соответствующих операторов:

$\backslash nabla=(\backslash partial\_1,\backslash ;\backslash partial\_2,\backslash ;\backslash ldots,\backslash ;\backslash partial\_n),$ $\backslash Delta=\backslash nabla^2=\backslash partial\_1^2+\backslash partial\_2^2+\backslash ldots+\backslash partial\_n^2.$

Это касается и двумерного случая $n=2$.

Мотивация

A.

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

$\backslash Phi=-\backslash varkappa\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; x\}$ (одномерный случай), $\backslash mathbf\; j=-\backslash varkappa\backslash nabla\; c$ (для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

$\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; t\}+\backslash frac\{\backslash partial\backslash Phi\}\{\backslash partial\; x\}=0$ (одномерный случай), $\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; t\}+\backslash mathrm\{div\}\backslash ,\backslash mathbf\; j=0$ (для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).

• Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).

B.

Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или $n$-мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции $c$ в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае - с ограниченной по времени памятью).

Решение

Физические замечания

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше - и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнение

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности , относящееся к классу эллиптических уравнений . Его общий вид:

$-(\backslash nabla,\backslash ;D\backslash nabla\; c(\backslash vec\{r\}))=f(\backslash vec\{r\}).$

• При $D$, не зависящем от $\backslash vec\{r\}$, стационарное уравнение диффузии становится уравнением Пуассона (неоднородное), или уравнением Лапласа (однородное, то есть при $f=0$):

Постановка краевых задач

• Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

$$ и $t\backslash geqslant\; t\_0$, удовлетворяющее условию

• Первая краевая задача для полубесконечного стержня

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $-\backslash infty\backslash leqslant\; x\backslash leqslant\; +\backslash infty$ и $t\backslash geqslant\; t\_0$, удовлетворяющее условиям

$\backslash left\backslash \{\backslash begin\{array\}\{l\}$

u(x,\;t_0)=\varphi(x),\quad(0 где $\backslash varphi(x)$ и $\backslash mu(t)$ - заданные функции.

• Краевая задача без начальных условий

Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $0\backslash leqslant\; x\backslash leqslant\; l$ и

$\backslash left\backslash \{\backslash begin\{array\}\{l\}$

u(0,\;t)=\mu _1(t), \\ u(l,\;t)=\mu _2(t), \end{array}\right. где $\backslash mu\_1(t)$ и $\backslash mu\_2(t)$ - заданные функции.

• Краевые задачи для ограниченного стержня

Рассмотрим следующую краевую задачу:

Если $f(x,\backslash ;t)=0$, то такое уравнение называют однородным , в противном случае - неоднородным .

$u(x,\backslash ;0)=\backslash varphi(x),\backslash quad\; 0\backslash leqslant\; x\backslash leqslant\; l$ - начальное условие в момент времени $t=0$, температура в точке $x$ задается функцией $\backslash varphi(x)$. $\backslash left.\backslash begin\{array\}\{l\}$

u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ u(l,\;t)=\mu_2(t), \end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T - краевые условия. Функции $\backslash mu\_1(t)$ и $\backslash mu\_2(t)$ задают значение температуры в граничных точках 0 и $l$ в любой момент времени $t$.

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай ($\backslash alpha\_i^2+\backslash beta\_i^2\backslash ne\; 0,\backslash ;(i=1,\backslash ;2)$).

$\backslash begin\{array\}\{l\}$

\alpha_1 u_x(0,\;t)+\beta_1 u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ \alpha_2 u_x(l,\;t)+\beta_2 u(l,\;t)=\mu_2(t). \end{array}

Если $\backslash alpha\_i=0,\backslash ;(i=1,\backslash ;2)$, то такое условие называют условием первого рода , если $\backslash beta\_i=0,\backslash ;(i=1,\backslash ;2)$ - второго рода , а если $\backslash alpha\_i$ и $\backslash beta\_i$ отличны от нуля, то условием третьего рода . Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности - первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимума

Пусть функция $u(x,\backslash ;t)$ в пространстве $D\backslash times,\backslash ;D\backslash in\backslash R^n$, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности $\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}-a^2\backslash Delta\; u=0$, причем $D$ - ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция $u(x,\backslash ;t)$ может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области $D$.