Объем через смешанное произведение. Смешанное произведение векторов. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

Способность управляемых реактивных двухполюсников при определенных условиях играть роль активных элементов цепи послужила основой для создания особого вида радиотехнических устройств, называемых параметрическими усилителями. Эти усилители нашли применение главным образом в СВЧ-диапазоне как входные ступени высокочувствительных радиоприемных устройств. Основное достоинство параметрических усилителей - низкий уровень собственных шумов, что связано с отсутствием в них дробовых флуктуаций тока.

Реализация параметрически управляемых реактивных элементов.

Возможность параметрического усиления сигналов была теоретически предсказана еще в начале века.

Однако пластическое осуществление этой идеи стало возможным лишь а 50-х годах после того, как были созданы первые удачные конструкции параметрических полупроводниковых днодов. Работа этих диодов, называемых также варакторами, основана на следующем эффекте. Если к -переходу диода приложено напряжение обратной полярности, то разделенный заряд q в запирающем слое является нелинейной функцией приложенного напряжения и. Зависимость называют вольт-кулонной характеристикой такого нелинейного конденсатора. При изменении напряжения в запертом переходе днода возникает ток смещения

Здесь - дифференциальная емкость варактора, которая приближенно описывается формулой

где к - размерный коэффициент; - контактная разность потенциалов.

Чем сильнее заперт переход, тем меньше его дифференциальная емкость.

Современные варакторы обладают весьма совершенными характеристиками и способны работать вплоть до частот в несколько десятков гигагерц, что соответствует миллиметровому диапазону длин волн.

Может быть создан также элемент с параметрически управляемой индуктивностью Он представляет собой индуктивную катушку, имеющую сердечник из ферромагнитного материала с резко выраженной зависимостью индукции В от подмагничивающего тока I. Такие элементы не нашли широкого применения на радиочастотах из-за большой инерционности процессов перемагничивания материала.

Одноконтурный параметрический усилитель.

Рассмотрим генератор сигнала, образованный параллельным соединением элемента с активной проводимостью и идеального источника гармонического тока с амплитудой и частотой . К генератору подключена резистивная нагрузка, имеющая проводимость . На зажимах генератора существует напряжение с амплитудой в нагрузке выделяется активная мощность

Как известно из теории цепей, в режиме согласования нагрузки с генератором, когда величина достигает максимального значения:

(12.37)

Очевидно, мощность в нагрузке можно повысить, уменьшив каким-либо образом проводимость генератора. Этого можно достичь, например, включив параллельно генератору параметрический конденсатор (варактор).

Рис. 12.4. Схемы одноконтурного параметрического усилителя: а - принципиальная; б - эквивалентная

Емкость варактора должна изменяться с частотой Начальную фазу генератора накачки следует выбрать так, чтобы сопротивление [см. формулу (12.34)] было отрицательным.

На рис. 12.4, а, б изображены схемы простейшего одноконтурного параметрического усилителя, реализующего данный принцип.

Индуктивный элемент L вместе с конденсатором [см. формулу (12.27)] образуют параллельный колебательный контур, настроенный на частоту сигнала. Входное сопротивление этого контура настолько велико, что практически не шунтирует отрицательную активную проводимость

вносимую варактором.

Обратившись к рис. 12.4, б, замечаем, что мощность, выделяемая в нагрузке, будет также максимальна в режиме согласования, т. е. при

Отношение этой величины к той, которая определяется формулой (12.37) в отсутствие параметрического элемента, принято называть номинальным коэффициентом усиления

Например, пусть . Тогда или в логарифмических единицах .

Устойчивость параметрического усилителя.

Если отрицательная проводимость варактора полностью компенсирует сумму проводимостей генератора и нагрузки, то параметрический усилитель становится неустойчивым и самовозбуждается.

Из эквивалентной схемы, приведенной на рис. 12.4, б, следует, что критическое значение вносимой отрицательной проводимости

Полагая, что фазовые соотношения колебаний сигнала и накачки оптимальны в том смысле, что из формул (12.34), (12.41) находим критическую глубину модуляции емкости:

Пример 12.3. Одноконтурный параметрический усилитель работает на частоте ), генератор сигнала и нагрузка имеют одинаковые проводимости , емкость варактора Определить предельные границы изменения емкости, при достижении которых усилитель самовозбуждается.

По формуле (12.42) определяем

Таким образом, параметрический усилитель самовозбуждается, если емкость варактора, изменяясь во времени по гармоническому закону, колеблется в пределах от до

Параметрическое усиление в режиме расстройки.

В реальных условиях трудно, а порой и невозможно точно выполнить условие синхронизма Если частота сигнала несколько расстроена относительно требуемого значения, т. е. то говорят, что параметрический усилитель работает в асинхронном режиме. При этом величина Ф, определяющая, согласно (12.34), активное вносимое сопротивление, зависит от времени: Вносимое сопротивление, изменяясь по закону

периодически приобретает разные знаки. Как следствие этого, наблюдаются глубокие изменения уровня выходного сигнала, аналогичные по характеру биениям. Этот недостаток одноконтурных усилителей в значительной степени препятствует их практическому использованию.

Двухконтурный параметрический усилитель.

Работы, направленные на улучшение эксплуатационных характеристик параметрических усилителей, привели к созданию принципиально иных устройств, свободных от указанного выше недостатка. Так называемый двухконтурный усилитель способен работать при произвольном соотношении частот сигнала и накачки, причем независимо от начальных фаз этих колебаний. Такой эффект достигается за счет использования вспомогательных колебаний, возникающих на одной из комбинационных частот.

Схема двухконтурного параметрического усилителя приведена на рис. 12.5.

Усилитель состоит из двух колебательных контуров, один из которых, называемый сигнальным контуром, настроен на частоту а другой, так называемый холостой контур, на холостую частоту Связь между контурами осуществляется при помощи параметрической емкости варактора, которая изменяется во времени по гармоническому закону с частотой накачки :

Рис. 12.5. Схема двухконтурного параметрического усилителя

Обычно добротности сигнального и холостого контуров велики. Поэтому в стационарном режиме напряжения на этих контурах достаточно точно описываются гармоническими функциями времени:

с некоторыми амплитудами и начальными фазами.

Приняв во внимание знаки напряжений, указанные на рис. 12.5, находим, что напряжение на варакторе , откуда ток через варактор

(12.44)

Проанализируем спектральный состав этого тока. Воспользовавшись уже встречавшейся формулой убеждаемся, что ток содержит составляющие на частоте сигнала , на холостой частоте а также на комбинационных частотах

Для того чтобы найти проводимость, вносимую в сигнальный контур последовательным соединением варактора и холостого контура, следует прежде всего выделить в формуле (12.44) составляющую тока на частоте сигнала:

(12.45)

Здесь первое слагаемое находится во временной квадратуре с напряжением и поэтому не связано с внесением в контур активной проводимости. Второе слагаемое пропорционально амплитуде напряжения на холостом контуре. Чтобы найти эту величину, выделим в (12,44) полезную составляющую тока на холостой частоте, пропорциональную амплитуде

Если - резонансное сопротивление холостого контура, то напряжение на нем, вызванное колебаниями на частоте сигнала,

откуда следует, что

(12.47)

Подставив величины во второе слагаемое формулы (12.45), получим выражение полезной составляющей тока на частоте сигнала, которая обусловлена влиянием варактора и холостого контура:

Таким образом, проводимость, вносимая в сигнальный контур последовательным соединением варактора и холостого контура, оказывается активной и отрицательной:

Номинальный коэффициент усиления рассчитывают по формуле (12.40). Анализ устойчивости проводят так же, как и в случае одноконтурного усилителя.

Сопоставляя формулы (12.38) и (12.49), можно отметить, что в двухконтурном усилителе вносимая отрицательная проводимость не связана с начальными фазами сигнала и накачки. Кроме того, двухконтурный параметрический усилитель некритичен к выбору частот сос и Вносимая проводимость будет отрицательна всегда, если

Баланс мощностей в многоконтурных параметрических системах.

Нечувствительность параметрических усилителей, использующих комбинационные колебания, к соотношению фаз полезного сигнала и накачки дает возможность изучать такие системы на основе простых энергетических соотношений. Обратимся к общей схеме, представленной на рис. 12.6.

Здесь параллельно конденсатору с нелинейной емкостью включены три цепи. Две из них содержат источники сигнала и накачки, третья является пассивной и служит холостым контуром, настроенным на комбинационную частоту ( - целые числа). Каждая цепь снабжена узкополосным фильтром, пропускающим лишь колебания с частотами, близкими к соответственно. Для простоты считается, что цепи сигнала и накачки не имеют омических потерь.

Пусть один из источников (сигнала или накачки) отсутствует. Тогда в токе, протекающем через нелинейный конденсатор, не будет составляющих с комбинационными частотами. Ток холостого контура равен нулю и система в целом ведет себя как реактивная цепь, не потребляя в среднем мощности от источника.

Если имеются оба источника, то появляется составляющая тока на комбинационной частоте; этот ток может замыкаться только через цепь холостого контура.

Рис. 12.6. К выводу энергетических соотношений в двухконтуриой параметрической системе

Имеющаяся здесь нагрузка в среднем потребляет мощность, а в цепи сигнала и накачки вносятся положительные или отрицательные сопротивления, значение и знак которых определяют перераспределение мощностей между источниками.

Рассматриваемая система замкнута (автономна), и на основании закона сохранения энергии средние мощности сигнала, накачки и комбинационных колебаний связаны соотношением

Мощность, усредненную за период колебаний Т, можно выразить через энергию Е, выделяемую в этот интервал времени:

( - частота в герцах). Таким образом,

или, учитывая, что

Как это принято, будем считать положительной мощность, выделяемую в нагрузке, и отрицательной мощность, отдаваемую генератором. Из соотношений (12.54) видно, что так как то Итак, если холостой контур усилителя настроен на частоту то оба источника (сигнала и накачки) отдают мощность холостому контуру, где она потребляется в нагрузке. Так как то коэффициент усиления мощности

Достоинство такого способа параметрического усиления заключается в устойчивости системы, неспособной самовозбудиться ни при каких мощностях сигнала и накачки. Недостаток же связан с тем, что частота выходного сигнала оказывается выше частоты сигнала на входе. В диапазоне СВЧ это вызывает известные трудности при дальнейшей обработке колебаний.

Регенеративное параметрическое усиление.

Пусть т. е. частота настройки холостого контура Уравнения Мэнли - Роу принимают вид

Как следует из первого уравнения, в данном режиме положительными являются обе мощности Таким образом, некоторая часть мощности, отбираемая от генератора накачки, поступает в сигнальный контур, т. е. в системе наблюдается регенерация на частоте сигнала. Выходную мощность можно извлечь как из сигнального, так и из холостого контура.

Уравнения (12.56) не дают возможности определить коэффициент усиления системы, поскольку мощность содержит в себе как часть, потребляемую от устройств, подключенных ко входу усилителя, так и часть, возникающую за счет эффекта регенерации. Можно отметить способность таких усилителей к самовозбуждению, поскольку при определенных условиях в сигнальном контуре будет развиваться отличная от нуля мощность даже в отсутствие полезного сигнала на входе.

Рассмотрим конденсатор с переменной ёмкостью

,

меняющейся под действием напряжения накачки u н (t ) = U н cos(w н t ). Пусть к этому конденсатору приложено переменное напряжение u С (t ) = U 1 cos(w 1 t + j ), тогда емкостной ток составит

Таким образом, в спектре тока имеются компоненты с частотами w 1 , w н + w 1 и w н - w 1 . Эти частоты можно выделить с помощью достаточно высокодобротных контуров, настроенных на частоты w 1 и w 2 = w н ± w 1 и связанных общей нелинейной ёмкостью (рис. 65).

Полное сопротивление потерь в первом контуре будет R 1 = R " 1 ||R i (где R i - внутреннее сопротивление источника сигнала). Пусть этот контур настроен на частоту близкую к частоте усиливаемого сигнала, т. е. n 1 » w 1 . Соответственно, второй контур L 2 C 2 R 2 настроен на частоту w 2 = w н ± w 1 (n 2 » w 2). Рассмотрим случай, когда парциальные частоты n 1 и n 2 контуров далеки друг от друга так, что связанность мала. В этом случае нормальные частоты близки к парциальным (сдвиг между парциальной и соответствующей нормальной частотами небольшой и мы можем считать, что он лежит в полосе пропускания контуров, т. е. каждый контур резонирует на своей собственной частоте). Таким образом, свою частоту контур резко усилит, остальные ослабит.

При достаточно высокой добротности контуров сопротивления каждого контура для частот, далёких от его парциальной частоты, практически равны нулю. Таким образом, контур является активной нагрузкой лишь в небольшой области частот вблизи своей парциальной частоты. В рассматриваемой нами схеме в основном контуре активная мощность может выделяться только на частоте w 1 , а в дополнительном - на одной из частот w 2 = w н ± w 1 . Таким образом, раз мы в каждом контуре можем следить только за одной частотой, то для этих частот запишем уравнения гармонического баланса

(7.20)

Пусть в качестве нелинейной ёмкости взят варикап. Тогда, как известно,

.

Поскольку u C = u 1 + u н - u 2 , тогда в рамках гармонического баланса мы должны положить u н = A н cos(w н t ), u 1 = A 1 cos(w 1 t + y 1), u 2 = A 2 cos(w 2 t + y 2) (фазы y 1 и y 2 отсчитаны от напряжения накачки). Подставляя эти выражения в выражение для заряда, получим соотношения для составляющих заряда на ёмкости C на частотах w 1 и w 2:

В этом случае уравнение гармонического баланса (7.20) при воздействии гармонического сигнала i 1 = I 1 cos(w 1 t + j ) принимает вид:

Немного упростим эти выражения, введя парциальные частоты n 1 и n 2 , расстройки x 1 и x 2 , добротности Q 1 и Q 2 контуров усилителя:

,  ;  ,  ;

,  .

Тогда в этих обозначениях уравнение (7.21) примет вид

Полученное соотношение должно выполняться в любой момент времени, поэтому в нём следует приравнять в правой и левой частях коэффициенты при cos(w 1 t + y 1) и sin(w 1 t + y 1). Положим в правой части j = y 1 + (j - y 1); ±y 2 = y 1 + (±y 2 - y 1), тогда после простых тригонометрических преобразований правой части, получим

Возведём в квадрат (7.25) и (7.26) и сложим, тогда можно получить

Напомним, что верхний знак соответствует случаю w 2 = w н + w 1 , а нижний - w 2 = w н - w 1 . Полученное выражение показывает, что амплитуда параметрического усилителя с низкочастотной накачкой (w н = w 2 - w 1) существенно отличается от амплитуды усилителя с высокочастотной накачкой (w н = w 2 + w 1). Рассмотрим теперь отдельно каждый из этих случаев.

В первом случае (при преобразовании вверх) точный максимальный сигнал будет достигнут в результате точной настройки контуров, т. е. x 1 = x 2 = 0. В этом случае амплитуды колебаний в первом и втором контурах:

,  .	(7.29)
Рис. 66. Зависимость амплитуд A 1 и A 2 от амплитуды накачки A н при точной настройке контуров усилителя.	На рис. 66 изображена зависимость A 1 и А 2 от А н при точной настройке контуров усилителя. Из рисунка видно, что амплитуда колебаний в первом контуре монотонно уменьшается по мере увеличения амплитуды накачки. Таким образом, в этом случае усиления сигнала в первом контуре не происходит. Однако, амплитуда колебаний во втором контуре, пропорциональная амплитуде входного сигнала при А н < A 0 растёт с ростом А н . Поэтому в системе возможно усиление с преобразованием частоты вверх, если в качестве

выходного сигнала использовать колебания во втором контуре усилителя. Такой усилитель является нерегенеративным параметрическим усилителем с преобразованием частоты вверх. Определим коэффициент его усиления по мощности. Под коэффициентом усиления по мощности будем понимать отношение мощности на выходе усилителя к мощности входного сигнала, выделяемой на согласованной нагрузке. Если потери первого контура достаточно малы и R i << R " 1 , то R 1 » R i и источник входного сигнала i 1 отдаёт в согласованную нагрузку мощностьn 1 = n 2 . Таким образом, увеличение по мощности связано только с увеличением частоты квантов, а не их числа, поэтому шумы такого усилителя минимальны и он довольно устойчив.

Усилитель же с преобразованием частоты вниз (w 2 = w н - w 1) является обычным регенеративным усилителем и не даёт никаких преимуществ по сравнению с регенеративным режимом одноконтурного усилителя.