Логические связки примеры. Высказывания. логические операции (связки). Основные логические связки

§ 4. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке

В мышлении мы оперируем не только простыми, но и слож­ными суждениями, образуемыми из простых посредством логи­ческих связок (или операций) - конъюнкции, дизъюнкции, имп­ликации, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Про­анализируем, каким образом перечисленные логические связки выражаются в естественном (русском) языке.

Конъюнкция (знак «л») выражается союзами «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато», «однако», «не только..., но и» и др. В логике высказываний знак « л » соединяет простые выска­зывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз «и» и другие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять существительные, глаголы, наречия, прилагательные и другие части речи. Например, «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята» (ab), «Интересная и красиво оформленная книга лежит на столе». Последнее высказывание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией: «Интересная книга лежит на толе» и «Красиво оформленная книга лежит на столе», - так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.

В логике высказываний действует закон коммутативности конъюнкции (ab)(ba). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитывается последовательность во времени, употребление союза «и» некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, такие два высказывания: 1) «Прицепили паровоз, и поезд тро­нулся» и 2) «Поезд тронулся, и прицепили паровоз».

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с запятой, тире. Например, «Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь».

О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в своей книге «Математическая логика». В раз­деле «Анализ рассуждений» он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены символами « Л » или «&». Формула А ^ В в естествен­ном языке может выражаться так:

«Не только А , но и В. Как А, так и В.

В, хотя и Л. А вместе с В.

В, несмотря на А. А , в то время как В» 7 .

Придумать примеры всех этих структур предоставляем чита­телю.

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначенная ab и ab) выражается союзами: «или», «либо», «то ли... то ли» и др. Например, «Вечером я пойду в кино или в библиотеку»; «Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспоз­воночным»; «Доклад будет то ли по произведениям Л. Н. Тол­стого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского».

Для обоих видов дизъюнкции действует закон коммутативно­сти: (ab(ba) и (ab)(ba). В естественном языке эта эквивалентность сохраняется. Например, суждение «Я куплю ма­сло или хлеб» эквивалентно суждению «Я куплю хлеб или масло». С. Клини показывает, какими разнообразными способами могут быть выражены в естественном языке импликация (AB) и эквиваленция (A ~B ).

(Буквами А и В обозначены переменные высказыва­ния.)

Приведем логические схемы и соответствующие им примеры, иллюстрирующие разнообразные способы выражения имплика­ции А -> В (где А - антецедент, В - ковсеквент).

1. Если А, то В.

Если поставщики вовремя доставят детали, то завод выпол­нит свой производственный план.

2. Коль скоро А, то В.

Коль скоро приложенные силы снимаются, то сжатая пружина возвращается к своей первоначальной форме.

3. Когда А, имеет место В.

Когда наступает плохая погода, имеет место повышение числа сердечно-сосудистых заболеваний у людей.

4. Для В достаточно А.

Для того чтобы газы расширились, достаточно их нагреть.

5. Для А необходимо В.

Для сохранения мира на Земле необходимо объединить усилия всех государств в борьбе за мир.

6. А, только если В.

Студенты этого курса не приходили на субботник, только если они были больны.

7. В. если А.

Я разрешу тебе пойти погулять, если ты выполнишь все домашние задания.

Приведем логические схемы и соответствующие им примеры разнообразных способов выражения эквиваленции.

1. А, если и только если В.

Иванов не закончит свои эксперименты к сроку, если и только если ему не помогут сотрудники.

2. Если А, то В, и наоборот.

Если студент сдал все экзамены и практику на «отлично», то он получает диплом с отличием, и наоборот.

3. А, если В, и В, если А.

Многоугольник является вписанным в круг, если его вершины лежат на окружности, и вершины многоугольника лежат на окру­жности, если этот многоугольник является вписанным в круг.

4. Для А необходимо и достаточно В.

Для того чтобы число без остатка делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась без остатка на 3.

5. А равносильно В (иногда).

То, что площадь правильного многоугольника равна произ­ведению полупериметра на апофему, равносильно тому, что пло­щадь правильного многоугольника равна произведению периме­тра на половину апофемы.

6. А тогда и только тогда, когда В.

Фирма будет согласна принять предложение о покупке товара тогда и только тогда, когда будет снижена цена этого товара на 15%.

Из приведенных выше схем и соответствующих им высказы­ваний с конкретным разнообразным содержанием становится ясно, насколько многогранны в естественном языке (в частности, в русском) средства выражения импликации, эквиваленции и дру­гих логических связок (логических терминов). Это можно сказать и о других естественных языках 9 .

Импликация (ab) не совсем соответствует по смыслу союзу «если... то» естественного языка, так как в ней может отсут­ствовать содержательная связь между суждениями а и b . В логике высказываний законом является формула:(ab)(ab).

Но в естественном языке дело обстоит иначе. Иногда союз «если, то» выражает не импликацию, а конъюнкцию. Например, «Если вче­ра было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце». Это сложное суждение выражается формулой ab. Кроме логических связок для выражения общих и частных суждений в логике используются квантор общности и квантор существования. Запись с квантором общности VP() обычно читается так: «Все х (из некоторой области объектов) обладают свойством Р », а запись с квантором существования ЗхР (х ) чита­ется так: «Существуют такие х (в данной области), которые обладают свойством Р». Например, 3x(x>100) читается как «Существуют такие х, которые больше 100», где под х подразумева­ются числа. Квантор общности выражается словами: «все», «вся­кий», «каждый», «ни один» и др. Квантор существования выража­ется словами: «некоторые», «существуют», «большинство», «ме­ньшинство», «только некоторые», «иногда», «тот, который», «не все», «многие», «немало», «немногие», «много», «почти все» и др.

С. Клини пишет о том, что, переводя выражения обычного языка с помощью табличных пропозициональных связок, мы лишаемся некоторых оттенков смысла, но зато выигрываем в то­чности 10 .

В практике математических и иных рассуждений имеются понятия «необходимое условие» и «достаточное условие». Условие называется необходимым, если оно вытекает из заключения (след­ствия). Условие называется достаточным, если из него вытекает заключение (следствие). В импликации а -> b переменная а является основанием. Она называется антецедентом. Переменная b - след­ствием (заключением). Она называется консеквентом.

Учащимся на уроках математики предлагаются задачи типа 1-4, требующие в каждом из следующих предложений вместо многоточия поставить слова: «необходимо» или «достаточно», либо «необходимо и достаточно»:

1. Для того чтобы сумма двух целых чисел была четным числом... чтобы каждое слагаемое было четным.

2. Для того чтобы число делилось на 15 ... чтобы оно дели­лось на 5.

3. Для того чтобы произведение (х - 3) (х +2) (х - 5) было рав­но 0, ... чтобы х = 3.

4. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником... чтобы все его углы были равны 11 .

С грамматической точки зрения, высказывание – это повествовательное предложение.

Сложные предложения строятся из выражений, обозначающих некоторые понятия, и логических связок. Слова и обороты НЕ, И, ИЛИ, ЕСЛИ … ТО, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, СУЩЕСТВУЕТ, ВСЕ и некоторые другие называются логическими связками (операторами) и обозначают логические операции, с помощью которых из одних предложений строятся другие.

Предложения без логических связок являются элементарными, их нельзя расчленить на части так, чтобы при этом каждая из частей была также предложением. Элементарные высказывания называются также высказываниями (суждениями). В высказываниях содержится информация о предметах, явлениях, процессах.

Элементарное высказывание состоит из субъекта (логического подлежащего) – того, о чем идет речь в высказывании, и предиката (логического сказуемого) – того, что утверждается или отрицается в высказывании о субъекте.

Таким образом, высказывание – это форма мышления, в которой утверждается или отрицается логическая связь между понятиями, выступающими в качестве субъекта и предиката данного высказывания. Соответствие или несоответствие этой связи реальности делает высказывание (суждение) истинным или ложным.

Логическая связь между субъектом и предикатом высказывания выражается обычно в виде связки ЕСТЬ или НЕ ЕСТЬ, хотя в самом предложении эта связка может отсутствовать, а лишь подразумеваться. При этом субъект высказывания может выражаться не обязательно только подлежащим в предложении, так же как и предикат – не только сказуемым (это могут быть и другие члены предложения). Что считать в предложении субъектом, а что предикатом высказывания определяется логическимударением. Логическое ударение связано со смыслом, содержащимся в предложении для говорящего или слушающего.

По форме высказывания делятся на простые (имеющие логическую форму «S есть P » или «S не есть P », где S – субъект, P – предикат) и сложные (грамматически выражающиеся сложными предложениями).

Пример простого высказывания: «Все медведи любят мед», сложного – «Некоторые медведи любят мед и молодые побеги бамбука».

Простые высказывания позволяют выразить следующие типы высказываний:

· атрибутивные высказывания – выражают принадлежность или не принадлежность свойства объекту или классу (например, Земля есть планета);

· высказывания об отношениях– говорят о наличии отношения между объектами (например, 3<5 );

· высказывания существования (экзистенциональные высказывания)– говорят о существовании или не существовании объекта или явления.

Операции на множестве высказываний.

Из элементарных высказываний можно составлять сложные высказывания с помощью логических операций. Элементарные высказывания, входящие в состав сложного высказывания, связываются логическими операторами не по смысловому описанию, а только по их истинностным значениям. Следовательно, сложные высказывания являются функциями от входящих в них элементарных высказываний. Все операции в логике высказываний описываются только таблицей истинности.

К операциям на множестве высказываний относятся:

· Отрицание. Для него таблица истинности:

В естественном языке она чаще всего интерпретируется союзом «и».

· Дизъюнкция двух элементарных высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из элементарных высказываний. Ее иногда называется логическим сложением или логическим максимумом. Таблица истинности дизъюнкции выглядит так:

· Операция «исключающего или» задается следующей таблицей истинности, она истинна, когда истинен только один из операндов. Эту операцию еще называют строгой дизъюнкцией или логическим неравенством.

В таком виде часто формулируются математические теоремы. Если теорема сформулирована как-нибудь иначе, то ее можно перефразировать в указанном виде, не теряя её сущности.

ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ – символы логических языков, используемые для образования сложных высказываний (формул) из элементарных. Логическими связками называют также соответствующие этим символам союзы естественного языка. Обычно используются такие логические связки, как конъюнкция (союз «и», символические обозначения: &, ∧ и точка в виде знака умножения, которые часто опускают, записывая конъюнкцию А и В как AB), дизъюнкция (нестрогий союз «или», обозначается как «∨»), импликация («если..., то», обозначается с помощью знака «⊃» и различного рода стрелок), отрицание («неверно, что...», обозначается: , ~ или чертой над отрицаемым выражением). Из перечисленных отрицание является одноместной (унарной) связкой. Другие являются двухместными (бинарными). В принципе логические связки могут быть сколь угодно местными, но на практике более, чем бинарные, используются очень редко. В классической логике (Логика, Логика высказываний) любые многоместные логические связки выразимы через перечисленные. Некоторый практический смысл дает использование тернарной логической связки, называемой условной дизъюнкцией, связывающей три высказывания А, В и С и означающей, что «А в случае В, и С в случае не-B» или формально: (B⊃A)&(B⊃C) (Сидоренко Е.А. Пропозициональное исчисление с условной дизъюнкцией. – В кн.: Методы логического анализа. М., 1977).

Классическая логика рассматривает логические связки экстенсионально (игнорируя содержательный смысл связываемых ими высказываний) как функции истинности, определяемые истинностными значениями связываемых ими высказываний. При двух имеющих место в этой логике истинностных значениях 1 (истинно) и 0 (ложно) высказывания А и В могут иметь четыре возможных набора упорядоченных истинностных значений: <1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Пропозициональная истинностная функция ставит в соответствие каждому перечисленному набору одно из значений истинности – 1 или 0. Всего таких функций 16. Конъюнкция приписывает выражению А&В значение 1 только в случае, когда как А, так и В истинны, т.е. оба имеют значение 1, в остальных случаях значение А&В равно 0. Дизъюнкция Α ∨ В, напротив, ложна только в одном случае, когда ложны как А, так и В. Импликация А ⊃ В является ложной только при истинном (антецеденте) А и ложном (консеквенте) В. В остальных случаях А ⊃ В принимает значение 1. Из четырех одноместных функций интерес представляет только отрицание, меняющее значение высказывания на противоположное: когда А – истинно, A – ложно, и наоборот. Все другие унарные и бинарные классические функции могут быть выражены через представленные. Когда принятая в соответствующей семантике система логических связок позволяет дать определение всех остальных, ее называют функционально полной. К полным системам в классической логике относятся, в частности, конъюнкция и отрицание; дизъюнкция и отрицание; импликация и отрицание. Конъюнкция и дизъюнкция определимы друг через друга за счет эквивалентностей (А&В)≡(А∨В) и (A∨B)≡(А&B), именуемых законами де Моргана, а также: (Α⊃Β)≡(Α∨В), (А&В)≡(А⊃B), (Α∨В)≡((А⊃В)⊃A). Любая эквивалентность вида A ≡ В имеет силу только тогда, когда общезначима (всегда истинна) конъюнкция (А⊃В)&(В⊃A).

Функции антидизъюнкция и антиконъюнкция, определимые соответственно как (А∨В) и (А&В), также представляют каждая в отдельности функционально полную систему связок. Это последнее обстоятельство было известно уже Ч.Пирсу (неопубликованная при его жизни работа 1880 г.) и было переоткрыто X.Шеффером (H.M.Sheffer). Используя антидизъюнкцию как единственную логическую связку, Шеффер в 1913 построил полное исчисление высказываний. Антидизъюнкцию обозначают А∣В и называют штрихом Шеффера, читая данное выражение, как «не-A и не-B». Ж.Нико (J. G.P.Nicod) употребил то же обозначение для антиконъюнкции («Неверно, что одновременно А и B») и с помощью только этой связки в 1917 сформулировал полное исчисление высказываний с одной (всего!) аксиомой и одним правилом вывода. Т.о., штрихом Шеффера называют по сути саму вертикальную черту, которая у разных авторов может обозначать как антидизъюнкцию, так и антиконъюнкцию.

Экстенсиональность логических связок придает им однозначность, упрощает проблему построения логических исчислений, дает возможность решать для последних метатеоретические проблемы непротиворечивости, разрешимости, полноты (см. Металогика). Однако в некоторых случаях истинностно-функциональная трактовка связок приводит к значительному несоответствию с тем, как они понимаются в естественном языке. Так, указанная истинностная интерпретация импликации вынуждает признавать верными предложения вида «Если А, то B» даже в том случае, когда между высказываниями А и В (и, соответственно, событиями, о которых в них идет речь) нет никакой реальной связи. Достаточно, чтобы А было ложным или В – истинным. Поэтому из двух предложений: «Если А, то В» и «Если В, то А», по крайней мере одно приходится признавать верным, что плохо сообразуется с обычным употреблением условной связки. Импликацию в данном случае специально называют «материальной», отличая ее тем самым от условного союза, предполагающего, что между антецедентом и консеквентом истинного условного высказывания имеется действительная связь. При этом материальная импликация может прекрасно использоваться во многих контекстах, напр., математических, когда при этом не забывают о ее специфических особенностях. В некоторых случаях, однако, именно контекст не позволяет трактовать условный союз как материальную импликацию, предполагая взаимосвязь высказываний. Для анализа таких контекстов приходится строить специальные неклассические логики, напр., релевантные (см. Релевантная логика), в язык которых вместо материальной импликации (или наряду с ней) вводятся другие импликации, которые понимаются интенсионально (содержательно) и верность которых не может быть обоснована истинностно-функционально. Интенсионально могут трактоваться также другие логические связки.

Е.А. Сидоренко

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. II, Е – М, с. 439-440.

Литература:

Чёрч А. Введение в математическую логику, т. 1. М., 1960;

Карри Х. Основания математической логики. М., 1969.

Отрицание (знак ­). Если А - высказывание, то (читается: не А) также высказывание; оно истинно или ложно в зависимости от того, ложно или истинно высказывание А. Видим, что опера­ция в теории высказываний вполне соответствует понятию от­рицания в обыденном смысле слова. Операция отрицания может быть описана таблицей

Конъюнкция. В качестве знака для конъюнкции употребляет­ся знак л, а также & (иными словами, союз and - и).

Если А и В - высказывания, то А ˄ В (читается: А и В ) - но­вое высказывание. Оно истинно тогда и только тогда, когда А ис­тинно и В истинно.

В отличие от операции отрицания, зависящей от одного эле­ментарного высказывания, конъюнкция, как и все последующие приводимые нами связки, зависит от двух элементарных выска­зываний, поэтому они называются двуместными связками, отри­цание же - связка одноместная.

Для задания двухместных связок удобно записывать матрицы истинности в виде таблиц с двумя входами: строки соответствуют значениям истинности одного элементарного высказывания, столб­цы - значениям другого элементарного высказывания, а в клетке пересечения столбца и строки помещается значение истинности соответствующего сложного высказывания.

Значение истинности сложного высказывания А ˄ В задается матрицей:

Как видно, определение операции конъюнкции вполне соот­ветствует обыденному значению союза «u». Например, проблема защищенности автоматизированных линий от возникновения ава­рии существенно зависит от надежности работы ЭА. Влияние виб­раций, возникающих при замыкании контактов, на коммутаци­онную износостойкость ЭА регулируется соотношением механи­ческой и тяговой характеристик электромагнитного привода.

Дизъюнкция. В качестве знака для дизъюнкции употребим знак ˅. Если Аи В - высказывания, то A v В (читается: А или В) - новое высказывание. Оно ложное, если А и В ложны; во всех ос­тальных случаях A v В истинно. Таким образом, матрица истин­ности для операции дизъюнкции выглядит так:

Операция дизъюнкции соответствует обычному значению сою­за «или». Например, контроль износа контактов осуществляется выбором провала или взвешиванием до и после работы контактов на весах.

Импликация. В качестве знака для импликации будем упот­реблять знак . Если А и В - два высказывания, то А В (чита­ется: А имплицирует В) - новое высказывание. Оно всегда истин­но, кроме того случая, когда А истинно, а В ложно.

Матрица истинности операции импликации следующая:

В импликации А В первый член А называется антецедентом, второй член В -консеквентном.

Импликация описывает в некоторой мере то, что в обыденной речи выражается словами «если А , то В », «из А следует В », «А - достаточное условие для В».

Если нарастание сопротивления в межконтактном промежут­ке после прохождения тока через нуль проходит интенсивнее, чем нарастание напряжения, то повторного зажигания дуги не про­изойдет. Если ток короткого замыкания значительно превы­шает ток плавления плавкой вставки, то плавкая вставка пе­регорает и предохранитель отключает электрическую цепь.

Эквиваленция. Для этой операции употребляется знак ⇔. Опе­рация определяется так: если А и В - высказывания, то А ⇔ В (чи­тается: А эквивалентно В ) - новое высказывание, которое истин­но, если либо оба высказывания истинны, либо оба ложны.

С помощью введенных связок можно строить сложные выска­зывания, зависящие не только от двух, но и от любого числа эле­ментарных высказываний.

В режимах номинальных токов 25...600 А пара контактов мо­жет выполнять двойную роль: длительное пропускание тока во включенном положении и отключение, сопровождающееся воз­никновением дуги. В первом случае контакты должны иметь ма­лое переходное сопротивление; во втором - накладываются тре­бования высокого переходного сопротивления. В обоих случаях применяют одну и ту же одноступенчатую контактную систему. Оба процесса влияют на износ контактов.

Примечание. Нестрогое неравенство представляет собой дизъюнкцию А<В ˅ (А = В).Оно истинно, если истинно по мень­шей мере одно из входящих в него простых высказываний. При­мерами сложных высказываний, встречающихся в практике, яв­ляются так называемые двойные неравенства А< В < С(А < В) ˄ (В < С), а, например, означает сложное высказывание (А< В) ˄ ((В

Располагая значением истинности простых высказываний, легко подсчитать на основании определения связок значение ис­тинности сложного высказывания. Пусть дано сложное высказы­вание ((В ˅ С) ⇔ (В ˄ А)) и пусть входящие в него элементарные высказывания имеют следующие значения истинности: А = Л, В = И, С = И. Тогда В ˅ С= И, В ˄ А = Л, так что рассматриваемое высказывание ((В ˅ С) ⇔ (В ˄ А)) ложно.

Конъюнктивное суждение.

Конъюнктивное суждение - суждение, которое является истинным тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него суждения.

Образуется посредством логического союза конъюнкции, выражающегося грамматическими союзами «и», «да», «но», «однако». Например, «Светит, да не греет».

Символически обозначается следующим образом: А?В, где А, В - переменные, обозначающие простые суждения, ?- символическое выражение логического союза конъюнкции.

Определению конъюнкции соответствует таблица истинности:

Дизъюнктивные суждения.

Имеется два вида дизъюнктивных суждений: строгая (исключающая) дизъюнкция и нестрогая (неисключающая) дизъюнкция.

Строгая (исключающая) дизъюнкция - сложное суждение, принимающее логическое значение истины тогда и только тогда, когда истинно только одно из входящих в него суждений или «которое ложно тогда, когда оба высказывания ложны». Например, «Данное число либо кратно, либо не кратно пяти».

Логический союз дизъюнкция выражается посредством грамматического союза «либо…либо».

Символически записывается А?В.

Логическое значение строгой дизъюнкции соответствует таблице истинности:

Нестрогая (неисключающая) дизъюнкция - сложное суждение, принимающее логическое значение истины тогда и только тогда, когда истинным является, по крайней мере, одно (но может быть и больше) из простых суждений, входящих в сложное. Например, «Писатели могут быть или поэтами, или прозаиками (или тем и другим одновременно)» .

Нестрогая дизъюнкция выражается посредством грамматического союза «или…или» в разделительно-соединительном значении.

Символически записывается А? В. Нестрогой дизъюнкции соответствует таблица истинности:

Импликативные (условные) суждения.

Импликация - сложное суждение, принимающее логическое значение ложности тогда и только тогда, когда предшествующее суждение (антецедент ) истинно, а последующее (консеквент ) ложно.

В естественном языке импликация выражается союзом «если..., то» в смысле «наверно, что А и не В». Например, «Если число делится на 9, то оно делится и на 3».

Символически импликация записывается А> В (если А, то В).

Логическое значение представлено в таблице истинности:

Анализ свойств импликации показывает, что истинность антецедента является достаточным условием истинности консеквента, но не наоборот. Достаточным для некоторого явления считается такое условие, наличие которого непременно вызывает это явление. Например, «быть березой» достаточное условие, чтобы включить ее в класс деревьев, так как все березы - деревья и ни одна не береза не является деревом.

В то же время истинность консеквента является необходимым условием истинности антецедента, но недостаточным. Необходимым для явления считается такое условие, без которого оно (явление) не имеет место. Например, класс берез включен в класс деревьев, но не равен ему. Есть деревья, которые не являются березами. Однако условие «быть деревом» для березы является обязательным, так как все березы - деревья.

Парадоксы материальной импликации.

Так обозначается смысловое расхождение операции материальной импликации с ее символической формулой: А>В. Согласно материальной импликации истинность А, для истинности формулы А>В, необходимо, чтобы и В было истинно. В этом случае речь идет о содержательном понимании ложности и истинности высказывания. Однако формула А>В истинна не только в указанном случае, но и тогда, когда А - ложно, а В - истинно и тогда, когда они оба ложны. Из данного факта вытекает парадокс материальной импликации: из ложного высказывания следует любое высказывание, все что угодно и истинное высказывание следует из любого высказывания.

Суждения эквивалентности.

Эквивалентность - сложное суждение, которое принимает логическое значение истины тогда и только тогда, когда входящие в него суждения обладают одинаковым логически значением, т. е. одновременно либо истинны, либо ложны.

Логический союз эквивалентности выражается грамматическими союзами «тогда и только тогда, когда», «если и только если». Например, «Если и только если треугольник равносторонний, то он и равноугольный».

Символически эквивалентность записывается АВ или АВ («если и только если А , то В»).

Логическое значение эквивалентности соответствует таблице истинности:

Эквивалентное суждение со связанными по содержанию членами выражает одновременно условие достаточное и необходимое: (А> В)?(В> А).

Равносильность выражений (АВ) и (А> В)?(В>А) может быть доказана с помощью таблицы истинности.

Отрицание.

Отрицание - это логическая операция, с помощью которой из одного высказывания получают новое, при этом простое суждение P превращается в сложное, и если исходное простое суждение истинно, то новое сложное суждение ложно - «неверно, что P» или «высказывание А ложно тогда, когда высказывание АЇ истинно».

Выражение одних логических связок посредством других.

Рассмотренные выше логические союзы взаимозаменяемы и выразимы через другие. Например:

А> В = А?В - импликация через дизъюнкцию;

А> В = В> А - импликация через импликацию;

А> B = А? В - импликация через конъюнкцию;

А?В = А? В - конъюнкция через дизъюнкцию;

А?В = А? В - дизъюнкция через конъюнкцию;

А?В = А? В - конъюнкция через дизъюнкцию.