Эдс будет иметь поля. Электромагнитная индукция

Причиной электродвижущей силы может стать изменение магнитного поля в окружающем пространстве. Это явление называетсяэлектромагнитной индукцией. Величина ЭДС индукции в контуре определяется выражением

где - поток магнитного поля через замкнутую поверхность , ограниченную контуром. Знак «−» перед выражением показывает, что индукционный ток, созданный ЭДС индукции, препятствует изменению магнитного потока в контуре (см. правило Ленца).

41. Индуктивность, ее единица СИ. Индуктивность длинного соленоида.

Индукти́вность (или коэффициент самоиндукции ) - коэффициент пропорциональности между электрическим током , текущим в каком-либо замкнутом контуре, и магнитным потоком , создаваемым этим током через поверхность , краем которой является этот контур. .

В формуле

Магнитный поток, - ток в контуре, - индуктивность.

Нередко говорят об индуктивности прямого длинного провода(см. ). В этом случае и других (особенно - в не отвечающих квазистационарному приближению) случаях, когда замкнутый контур непросто адекватно и однозначно указать, приведенное выше определение требует особых уточнений; отчасти полезным для этого оказывается подход (упоминаемый ниже), связывающий индуктивность с энергией магнитного поля.

Через индуктивность выражается ЭДС самоиндукции в контуре, возникающая при изменении в нём тока :

.

Из этой формулы следует, что индуктивность численно равна ЭДС самоиндукции , возникающей в контуре при изменении силы тока на 1 А за 1 с.

При заданной силе тока индуктивность определяет энергию магнитного поля, создаваемого этим током :

Обозначение и единицы измерения

В системе единиц СИ индуктивность измеряется в генри , сокращенно Гн, в системе СГС - в сантиметрах (1 Гн = 10 9 см) . Контур обладает индуктивностью в один генри, если при изменении тока на один ампер в секунду на выводах контура будет возникать напряжение в один вольт. Реальный, не сверхпроводящий, контур обладает омическим сопротивлением R, поэтому на нём будет дополнительно возникать напряжение U=I*R, где I - сила тока, протекающего по контуру в данное мгновение времени.

Символ , используемый для обозначения индуктивности, был взят в честь Ленца Эмилия Христиановича (Heinrich Friedrich Emil Lenz) [ источник не указан 1017 дней ] . Единица измерения индуктивности названа в честь Джозефа Генри (Joseph Henry) . Сам термин индуктивность был предложен Оливером Хевисайдом (Oliver Heaviside) в феврале 1886 года [ источник не указан 1017 дней ] .

Электрический ток, который течет в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, согласно закону Био-Савара-Лапласа, пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому прямо пропорционален току I в контуре: (1) где коэффициент пропорциональности L называетсяиндуктивностью контура . При изменении в контуре силы тока будет также изменяться и сцепленный с ним магнитный поток; значит, в контуре будет индуцироваться э.д.с. Возникновение э.д.с. индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называетсясамоиндукцией . Из выражения (1) задается единица индуктивности генри (Гн): 1 Гн - индуктивность контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб: 1 Гн = 1 Вб/с = 1 В

Вычислим индуктивность бесконечно длинного соленоида. Полный магнитный поток сквозь соленоид (потокосцепление) равен μ 0 μ(N 2 I/l )S . Подставив в (1), найдем (2) т. е. индуктивность соленоида зависит от длиныl солениода, числа его витков N, его, площади S и магнитной проницаемости μ вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида. Доказано, что индуктивность контура зависит в общем случае только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости среды, в которой он расположен, и можно провести аналог индуктивности контура с электрической емкостью уединенного проводника, которая также зависит только от формы проводника, его размеров и диэлектрической проницаемости среды. Найдем, применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея, что э.д.с. самоиндукции равна Если контур не претерпевает деформаций и магнитная проницаемость среды остается неизменной (в дальнейшем будет показано, что последнее условие выполняется не всегда), то L = const и(3) где знак минус, определяемый правилом Ленца, говорит о том, чтоналичие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем . Если ток со временем увеличивается, то (dI/dt<0) и ξ s >0 т. е. ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и замедляет его увеличение. Если ток со временем уменьшается, то (dI/dt>0) и ξ s <0 т. е. индукционный ток имеет такое же направление, как и уменьшающийся ток в контуре, и замедляет его уменьшение. Значит, контур, обладая определенной индуктивностью, имеет электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока уменьшается тем сильнее, чем больше индуктивность контура.

42. Ток при размыкании и замыкании цепи.

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э. д. с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции . Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. , резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L . Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t =0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент време­ни ток в цепи определяется закономОмаI = s / R , или

Разделив в выражении (127.1) переменные, получим Интегрируя это уравнение по I (от I 0 до I ) и t (от 0 до t ), находим ln (I /I 0) = – Rt / L , или

где =L / R - постоянная, называемаявременем релаксации. Из (127.2) следует, что  есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше  и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. возникает э. д. с. самоиндукции препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, или

Введя новую переменную преобразуем это уравнение к виду

где  - время релаксации.

В момент замыкания (t =0) сила тока I = 0 и u = –. Следовательно, интегрируя по и (от – до IR – ) и t (от 0 до t ), находим ln[(IR – )]/–= - t /  , или

где - установившийся ток (при t ).

Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению . Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации  = L / R , что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индук­тивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 до R . Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение дляI 0 и  , получим

Э.д.с. самоиндукции

т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R / R 0 >>1), обладающей боль­шой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникнове­ние значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.

43. Явление взаимной индукции. Трансформатор.

Рассмотрим два неподвижных контура (1 и 2), которые расположены достаточно близко друг от друга (рис. 1). Если в контуре 1 протекает ток I 1 , то магнитный поток, который создавается этим током (поле, создающее этот поток, на рисунке изображено сплошными линиями), прямо пропорционален I 1 . Обозначим через Ф 21 часть потока,пронизывающая контур 2. Тогда (1) где L 21 - коэффициент пропорциональности.

Рис.1

Если ток I 1 меняет свое значение, то в контуре 2 индуцируется э.д.с. ξ i2 , которая по закону Фарадея будет равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 21 , который создается током в первом контуре и пронизыващет второй: Аналогичным образом, при протекании в контуре 2 тока I 2 магнитный поток (его поле изображено на рис. 1 штрихами) пронизывает первый контур. Если Ф 12 - часть этого потока, который пронизывает контур 1, то Если ток I 2 меняет свое значение, то в контуре 1 индуцируется э.д.с. ξ i1 , которая равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 12 , который создается током во втором контуре и пронизывает первый: Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией . Коэффициенты пропорциональности L 21 и L 12 называются взаимной индуктивностью контуров . Расчеты, которые подтверждены опытом, показывают, что L 21 и L 12 равны друг другу, т. е. (2) Коэффициенты пропорциональности L 12 и L 21 зависят от размеров, геометрической формы, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости среды, окружающей контуры. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности, - генри (Гн). Найдем взаимную индуктивность двух катушек, которые намотаны на общий тороидальный сердечник. Этот случай имеет большое практическое значение (рис. 2). Магнитная индукция поля, которое создавается первой катушкой с числом витков N 1 , током I 1 и магнитной проницаемостью μ сердечника, B = μμ 0 (N 1 I 1 /l ) где l - длина сердечника по средней линии. Магнитный поток сквозь один виток второй катушки Ф 2 = BS = μμ 0 (N 1 I 1 /l )S

Значит, полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмотку, которая содержит N 2 витков, Поток Ψ создается током I 1 , поэтому, используя (1), найдем (3) Если рассчитать магнитный поток, который создавается катушкой 2 сквозь катушку 1, то для L 12 получим выражение в соответствии с формулой (3). Значит, взаимная индуктивность двух катушек, которые намотаны на общий тороидальный сердечник,

Трансформа́тор (от лат. transformo - преобразовывать) - это статическое электромагнитное устройство, имеющее две или более индуктивно связанных обмоток на каком-либо магнитопроводе и предназначенное для преобразования посредствомэлектромагнитной индукции одной или нескольких систем (напряжений) переменного тока в одну или несколько других систем (напряжений) переменного тока без изменения частоты системы (напряжения) переменного тока

Для создания тока в цепи необходимо наличие электродвижущей силы. Поэтому явление электромагнитной индукции свидетельствует о том, что при изменении магнитного потока в контуре возникает электродвижущая сила индукции . Наша задача , используя законы сохранения энергии, найти величину и выяснить ее природу.

Рассмотрим перемещение подвижного участка 1–2 контура с током в магнитном поле (рис. 3.4).

Пусть сначала магнитное поле отсутствует. Батарея с ЭДС равной создает ток . З а время dt , батарея совершает работу:

Эта работа будет переходить в тепло, которое можно найти по закону Джоуля–Ленца:

здесь , R – полное сопротивление всего контура.

Поместим контур в однородное магнитное поле с индукцией . Линии || и связаны с направлением тока «правилом буравчика». Поток Ф , сцепленный с контуром – положителен.

Каждый элемент контура испытывает механическую силу . Подвижная сторона рамки будет испытывать силу . Под действием этой силы участок 1–2 будет перемещаться со скоростью . При этом изменится и поток магнитной индукции. Тогда в результате электромагнитной индукции, ток в контуре изменится и станет равным:

Изменится и сила , которая теперь станет равной результирующей силе . Эта сила за время dt произведет работу dA :

Как и в случае, когда все элементы рамки неподвижны, источником работы является .

При неподвижном контуре эта работа сводилась только лишь к выделению тепла. В нашем случае тепло тоже будет выделяться, но уже в другом количестве, так как ток изменился. Кроме того, совершается механическая работа. Общая работа за время dt равна:

Полученное выражение (3.2.3) мы вправе рассматривать как закон Ома для контура , в котором, кроме источника , действует , равная:

ЭДС индукции контура ( ) равна скорости изменения потока магнитной индукции, пронизывающей этот контур.

Это выражение (3.2.4) для ЭДС индукции контура является совершенно универсальным, не зависящим от способа изменения потока магнитной индукции и носит название закон Фарадея .

ЭДС - это аббревиатура трех слов: электродвижущая сила. ЭДС индукции () появляется в проводящем теле, которое находится в переменном магнитном поле. Если проводящим телом является, например, замкнутый контур, то в нем течет электрический ток, который называют током индукции.

Закон Фарадея для электромагнитной индукции

Основным законом, который используют при расчетах, связанных с электромагнитной индукцией является закон Фарадея. Он говорит о том, что электродвижущая сила электромагнитной индукции в контуре равна по величине и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока () сквозь поверхность, которую ограничивает рассматриваемый контур:

Закон Фарадея (1) записан для системы СИ. Надо учитывать, что из конца вектора нормали к контуру обход контура должен проходить против часовой стрелки. Если изменение потока происходит равномерно, то ЭДС индукции находят как:

Магнитный поток, который охватывает проводящий контур, может изменяться в связи с разными причинами. Это может быть и изменяющееся во времени магнитное поле и деформация самого контура, и перемещение контура в поле. Полная производная от магнитного потока по времени учитывает действие всех причин.

ЭДС индукции в движущемся проводнике

Допустим, что проводящий контур перемещается в постоянном магнитном поле. ЭДС индукции возникает во всех частях контура, которые пересекают силовые линии магнитного поля. При этом, результирующая ЭДС, появляющаяся в контуре будет равна алгебраической сумме ЭДС каждого участка. Возникновение ЭДС в рассматриваемом случае объясняют тем, что на любой свободный заряд, который движется вместе с проводником в магнитном поле, будет действовать сила Лоренца. При воздействии сил Лоренца заряды движутся и образуют в замкнутом проводнике ток индукции.

Рассмотри случай, когда в однородном магнитном поле находится прямоугольная проводящая рамка (рис.1). Одна сторона рамки может двигаться. Длина этой стороны равна l. Это и будет наш движущийся проводник. Определим, как можно вычислить ЭДС индукции, в нашем проводнике, если он перемещается со скоростью v. Величина индукции магнитного поля равна B. Плоскость рамки перпендикулярна вектору магнитной индукции. Выполняется условие .

ЭДС индукции в рассматриваемом нами контуре будет равна ЭДС, которая возникает только в подвижной его части. В стационарных частях контура в постоянном магнитном поле индукции нет.

Для нахождения ЭДС индукции в рамке воспользуемся основным законом (1). Но для начала определимся с магнитным потоком. По определению поток магнитной индукции равен:

где , так как по условию плоскость рамки перпендикулярна направлению вектора индукции поля, следовательно, нормаль к рамке и вектор индукции параллельны. Площадь, которую ограничивает рамка, выразим следующим образом:

где - расстояние, на которое перемещается движущийся проводник. Подставим выражение (2), с учетом (3) в закон Фарадея, получим:

где v - скорость движения подвижной стороны рамки по оси X.

Если угол между направлением вектора магнитной индукции () и вектором скорости движения проводника () составляет угол , то модуль ЭДС в проводнике можно вычислить при помощи формулы:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Магнитный поток через контур может изменяться по следующим причинам:

• При помещении неподвижного проводящего контура в переменное магнитное поле .
• При движении проводника в магнитном поле , которое может и не меняться со временем.

В обоих этих случаях будет выполняться закон электромагнитной индукции. При этом происхождение электродвижущей силы в этих случаях различное. Рассмотрим подробнее второй из этих случаев

В данном случае проводник движется в магнитном поле. Вместе с проводником совершают движение и все заряды, которые находятся внутри проводника. На каждый из таких зарядов со стороны магнитного поля будет действовать сила Лоренца. Она и будет способствовать перемещению зарядов внутри проводника.

• ЭДС индукции в данном случае будет иметь магнитное происхождение.

Рассмотрим следующий опыт: магнитный контур, у которого одна сторона подвижная, помещают в однородное магнитное поле. Подвижная сторона длиной l начинает скользить вдоль сторон MD и NC с постоянной скоростью V. При этом она постоянно остаётся параллельной стороне СD. Вектор магнитной индукции поля будет перпендикулярен проводнику и составлять угол а с направлением его скорости. На следующем рисунке представлена лабораторная установка для этого опыта:

Сила Лоренца, действующая на движущуюся частицу, вычисляется по следующей формуле:

Fл = |q|*V*B*sin(a).

Сила Лоренца будет направлена вдоль отрезка MN. Рассчитаем работу силы Лоренца:

A = Fл*l = |q|*V*B*l*sin(a).

ЭДС индукции - это отношение работы, совершаемой силой при перемещении единичного положительного заряда, к величине этого заряда. Следовательно, имеем:

Ei = A/|q| = V*B*l*sin(a).

Эта формула будет справедлива для любого проводника, движущегося в с постоянной скоростью в магнитном поле. ЭДС индукции будет только в этом проводнике, так как остальные проводники контура остаются неподвижными. Очевидно, что ЭДС индукции во всем контуре будет равняться ЭДС индукции в подвижном проводнике.

ЭДС из закона электромагнитной индукции

Магнитный поток через тот же контур, что и в примере выше, будет равняться:

Ф = B*S*cos(90-a) = B*S*sin(a).

Здесь угол (90-а) = угол между вектором магнитной индукции и нормалью к поверхности контура. За некоторое время ∆t площадь контура будет изменяться на ∆S = -l*V*∆t. Знак «минус» показывает, что площадь уменьшается. При этом за это время магнитный поток изменится:

∆Ф = -B*l*V*sin(a).

Тогда ЭДС индукции равна:

Ei = -∆Ф/∆t = B*l*V*sin(a).

Если весь контур будет двигаться внутри однородного магнитного поля с постоянной скоростью, то ЭДС индукции будет равняться нулю, так как будет отсутствовать изменение магнитного потока.

Рассмотрим, также как и при выводе выражения для работы перемещения контура, плоский контур, содержащий источник ЭДС, одна сторона у которого подвижна (см. рис. 2).

Источник с ЭДС равной создает в контуре ток , развивая при этом мощность, равную . Эта мощность переходит в тепло, согласно закону Джоуля-Ленца ‑ . На основании закона сохранения энергии запишем:

Возбудим теперь однородное магнитное поле, направленное от нас за чертеж. Вектор совпадает с положительной нормалью к контуру , поэтому магнитный поток положителен. Согласно закону Ампера, каждый элемент контура будет испытывать силу со стороны магнитного поля. Подвижная сторона контура будет испытывать результирующую силу . Позволим теперь подвижной стороне перемещаться под действием этой силы вправо с постоянной скоростью .

При этом, поскольку существует явление электромагнитной индукции (ведь у нас меняется магнитный поток через замкнутый контур), ток в контуре изменится, и станет . Соответственно изменится и результирующая сила, действующая на подвижную сторону. Она станет .

Эта сила за время совершит работу , равную:

Но согласно закону Ампера, эта сила равна:

Следовательно, выражение для работы примет вид:

т.е. ранее полученный результат.

Как и в случае неподвижных элементов контура, источником работы является источник тока, источник ЭДС.

В случае неподвижных элементов контура, вся работа, совершаемая источником ЭДС, превращается в тепло.

В случае движущейся стороны, ленц-джоулево тепло будет также выделяться, но другое, поскольку . И, кроме того, будет совершена еще и механическая работа , выражение для которой мы определили выше.

Согласно закону сохранения энергии, теперь мы должны записать:

Отсюда получим:

Сравнивая получившееся выражение с законом Ома для полной цепи ‑ , приходим к выводу, что результирующая ЭДС, действующая в контуре, равна:

Таким образом, мы получаем, что ЭДС индукции равна:

где знак «‑» отражает правило Ленца.

Электронный механизм возникновения ЭДС индукции

Опять рассмотрим вышеприведенный контур, изображенный на рис. 3. Но теперь будем полагать, что источника нет. Т.е. существует контур с подвижной стороной в магнитном поле (см. рис. 3).

В отличие от предыдущего случая, будем перемещать подвижную сторону с некоторой скоростью . При этом на заряды внутри подвижной стороны (ведь это проводник и в нем существуют подвижные заряды), будет действовать сила Лоренца, направленная вдоль проводника:

Сравнивая это выражение с выражением для силы, действующей на заряд, помещенный в электрическое поле напряженностью ‑ , приходим к выводу, что действие этой силы Лоренца эквивалентно действию электрического поля с напряженностью

Это поле не электростатического происхождения, поэтому его циркуляция по замкнутому контуру отлична от нуля и даст величину ЭДС индукции:

Т.е., с точностью до знака получили тот же самый результат.

Остановимся на некоторых моментах.

1. Выше мы говорили, что действие силы Лоренца эквивалентно действию электрического поля.

Это не просто поверхностная аналогия. Это заключение имеет глубокий физический смысл.

В самом деле, перейдем в систему отсчета, связанную с движущимся проводником. Тогда мы скажем, что силы Лоренца нет, поскольку заряды в этой системе отсчета покоятся. Но в то же время существует электрическое поле, под действием которого заряды движутся.

При этом мы должны будем признать, что это электрическое поле обусловлено движущимся магнитным полем (ведь в этой системе отсчета магнитное поле движется).

Таким образом, уже сейчас мы приходим к выводу, что изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Т.е приходим к представлению о взаимосвязи полей и и о их неразрывном единстве.

2. Ранее мы подчеркивали и говорили о том, что сила Лоренца работы не производит.

В то же время здесь мы считаем ЭДС индукции, которая является мерой работы, исходя из выражения для силы Лоренца. В чем же дело?

Дело в том, что в расчетах мы брали не всю силу Лоренца, а только продольную (вдоль движущейся стороны) составляющую силы: . В действительности, поскольку заряды движутся вдоль проводника со скоростью упорядоченного движения (электрический ток), существует еще поперечная составляющая силы Лоренца (которая не сказывается на ЭДС, см. рис. 4). Следовательно, полная сила Лоренца будет равна:

Выражение для работы этой силы можно представить как:

Второе слагаемое взято со знаком минус, поскольку сила направлена против скорости, против перемещения. Подставив выражения для сил и в выражение для работы , получим.