Стохастическая математическая модель. Стохастическая модель в экономике. Детерминированные и стохастические модели. стохастический моделирование банк алгоритм

Существенной особенностью социально-экономических процессов является невозможность однозначно предсказать их ход на основе имеющейся априори информации. Несмотря на то, что социально-экономические процессы подчиняются определенным объективным законам, в каждом конкретном процессе эти законы проявляются через множество неопределенностей .

Математическая же модель процесса может содержать либо детерминированные параметры и связи, либо стохастические, но не может (по крайней мере, при нынешнем состоянии науки) содержать неопределенности.

Выбор детерминированного либо стохастического подхода к моделированию того или иного социально-экономического процесса зависит от целей моделирования, возможной точности определения исходных данных, требуемой точности результатов и отражает информацию исследователя о природе причинно-следственных связей реального процесса. При этом неопределенные факторы, которые могут иметь место в реальных процессах, должны быть приближенно представлены как детерминированные или стохастические. Характер параметров, входящих в модель, относится к тем исходным допущениям, которые могут быть обоснованы только эмпирическим путем. Соответствующая гипотеза о детерминированном или стохастическом характере параметров и связей модели принимается в том случае, если она в пределах требуемой или возможной точности определения этих параметров не противоречит опытным данным.

Большинство современных моделей социально-экономических процессов основано на теоретико-вероятностных конструкциях . В связи с этим целесообразно рассмотреть вопрос об исходных посылках применимости таких конструкций к моделированию.

Теория вероятностей изучает математические модели экспериментов (реальных явлений), исход которых не вполне однозначно определяется условиями опыта. Поэтому неоднозначность социально-экономических процессов часто является решающей в выборе стохастического (вероятностного) подхода к их моделированию. Вместе с тем не всегда учитывается, что аппарат теории вероятностей применим для описания и изучения не любых экспериментов с неопределенными исходами, а лишь экспериментов, исходы которых обладают статистической устойчивостью . Тем самым важнейший вопрос об эмпирическом обосновании применимости теоретико-вероятностных методов к рассматриваемым конкретным характеристикам социально-экономических процессов иногда полностью выпадает из поля зрения.

Применимость методов теории вероятностей для исследования тех или иных процессов может быть обоснована только эмпирически на основе анализа статистической устойчивости характеристик этих процессов.

Статистическая устойчивость представляет собой устойчивость эмпирического среднего, частоты события или каких-либо других характеристик протокола измерений исследуемого параметра того или иного процесса.

Следует, однако, отметить, что вопрос о статистической устойчивости реального социально-экономического процесса в целом, а, следовательно, и о применимости теоретико-вероятностных понятий к его моделированию, в настоящее время может быть решен только на интуитивном уровне. Это объективно обусловлено отсутствием достаточного числа опытов, касающихся процесса в целом. Вместе с тем большинство «элементарных» процессов, составляющих тот или иной социально-экономический процесс, носят случайный характер (т.е. гипотеза об их статистической устойчивости не противоречит имеющемуся опыту). Так, например, факт покупки того или иного количества конкретного товара за установленный период времени достаточно часто является случайным событием. Случайным является количество родившихся детей. Случайный характер носят процессы потребления. Случайными являются отказы техники, моральное состояние людей, участвующих в производстве товаров и услуг и т.д. Случайность этих явлений эмпирически подтверждена достаточно большим числом экспериментов.

Все указанные «элементарные» случайные процессы взаимодействуют между собой, объединяясь в едином социально-экономическом процессе. Несмотря на то, что управление в социально-экономической сфере направлено на снижение элемента случайности и придание этому процессу детерминированного целенаправленного характера, реальные процессы столь сложны, что как бы ни была высока степень централизации управления, случайные факторы в них всегда присутствуют. Поэтому природа социально-экономических процессов остается случайной в широком смысле. Это служит основанием для применения стохастических моделей при их исследовании, хотя полную стохастическую устойчивость того или иного процесса в целом вряд ли можно вполне гарантировать.

В настоящее время сложились два основных подхода к стохастическому моделированию социально-экономических процессов (рис. 4.8). Первое направление связано с построением стохастических моделей на основе метода статистических испытаний (Монте-Карло). Второе направление заключается в построении аналитических моделей. Оба эти направления развиваются параллельно и взаимно дополняют друг друга.

Главной особенностью моделей, основанных на методе статистических испытаний, является то, что они приближенно воспроизводят социально-экономический процесс на основе имитации его элементарных составляющих и их взаимосвязей. Это позволяет моделировать процессы очень сложной структуры, зависящие от большого числа разнообразных факторов. Вместе с тем модели статистических испытаний, как правило, громоздки. Их применение требует большого объема памяти ЭВМ и связано с большими затратами машинного времени. Существенным недостатком этих моделей также является отсутствие конструктивных способов оптимизации.

Некоторые из недостатков имитационных статистических моделей социально-экономических процессов преодолеваются применением аналитических моделей.

Рис. 4.8. Стохастическое моделирование социально-экономических процессов

В настоящее время для построения аналитических моделей стохастических процессов применяются два основных подхода – микроскопический и макроскопический.

Микроскопический подход состоит в детальном изучении поведения каждого элемента социально-экономической системы.

Макроскопические модели изучают только макросвойства системы и учитывают только средние характеристики состояния системы, например, среднее количество элементов системы, находящихся в некотором определенном состоянии. Это приводит к потере информации о состоянии каждого элемента социально-экономической системы, так как одни и те же макросостояния могут быть результатом различных сочетаний микросостояний. В то же время макроскопический подход позволяет сократить размерность математической модели, сделать ее более обозримой, сократить затраты ресурсов ЭВМ при производстве расчетов. Микроскопический подход предпочтителен в случае, когда требуется более детальная информация о поведении системы. Макроскопический подход применяется для достаточно быстрых оценочных расчетов.

Отличительная черта детерминированной модели состоит в том, что при заданных параметрах и начальных условиях процесс полностью определен для любого момента времени t > 0.

При стохастической трактовке модель описывает динамику вероятностных характеристик (например, математических ожиданий) процесса и, следовательно, характеризует процесс в среднем, представляя лишь оценки для каждой конкретной реализации. Стохастические модели социально-экономических процессов позволяют предсказать только средние результаты (моменты распределения результатов процесса) или вероятности наступления тех или иных результатов.

Стохастический вариант даже простой эпидемии достаточно сложен. Не удивительно, что в общем случае для анализа стохастической модели эпидемии требуется еще более сложный математический аппарат. По-настоящему удовлетворительное описание основных характеристик такого процесса еще не достигнуто, но ряд отдельных полезных результатов уже получен.

Рассмотрим вначале исходную модель и вывод основных уравнений движения. В данном случае имеются две существенно различные случайные величины. Пусть, как и ранее, обозначает число восприимчивых индивидуумов в момент времени t, a - число источников инфекции. Таким образом, мы имеем дело с двумерным процессом, аналогичным тому, который был рассмотрен в разд. 8.3. Здесь возможны переходы двух видов. Снова примем частоту контактов равной тогда вероятность появления в интервале нового источника инфекции будет равна . Если частота удаления из коллектива зараженных индивидуумов равна у, то вероятность того, что в интервале будет удален один индивидуум, составит . В данном случае возможны два значения функции отличные от нуля; в обозначениях, принятых в разд. 8.2 и 8.3, они имеют вид . Если изменить временной масштаб, перейдя к и обозначить через относительную частоту удаления, то, используя уравнение (8.48), получим следующее дифференциальное уравнение в частных производных для производящей функции вероятностей:

при начальном условии

(в предположении, что процесс начинается при наличии восприимчивых индивидуумов и а источников инфекции).

До сих пор непосредственно решить уравнение (9.24) в простом замкнутом виде еще не удалось. Попытки использовать обыкновенные дифференциальные уравнения для моментов или семиинвариантов, выведенные обычным способом, также не увенчались успехом по тем же причинам, что и в случае модели конкуренции между двумя видами, рассмотренной в разд. 8.4. (Такая же трудность возникает даже в случае простой стохастической эпидемии.) Однако не исключено, что уравнение (9.24) можно будет использовать как основу для дальнейших исследований.

Если вероятность того, что в момент имеется j восприимчивых индивидуумов и к источников инфекции, равна , то подстановка производящей функции вероятностей

в уравнение (9.24) дает систему дифференциальных уравнений

В принципе эти уравнения можно решить непосредственно с помощью преобразований Лапласа. Однако получающиеся алгебраические выражения столь громоздки, что практически этот метод совершенно непригоден.

Некоторого успеха можно добиться в предельном случае при когда . Здесь можно получить довольно простую треугольную систему линейных уравнений, решение которой дает вероятность того, что дополнительно к первоначальным случаям эпидемия охватит еще w индивидуумов. Для получения конкретных результатов необходимо провести численные расчеты; были рассчитаны распределения общего числа зараженных индивидуумов для и 40 при и различных значениях . Как и ожидалось, при все распределения имеют -образную форму с максимальным значением в точке Если же , то распределения имеют -образную форму, т. е. возможна очень малая или очень большая вспышка, тогда как промежуточные состояния наблюдаются редко.

Таким образом, хотя при столь малых значениях (не более 40) резкие переходы отсутствуют, имеются две различные схемы распространения эпидемии.

При больших справедлива теорема о стохастическом пороговом значении, принадлежащая Уиттлу. Не входя во все детали анализа, проведенного Уиттлом, с помощью следующих приближенных рассуждений легко показать, чего именно можно ожидать в этом случае. Если достаточно велико, то (во всяком случае, в начальный период) численность группы источников инфекции изменяется примерно по тому же закону, которому подчиняется процесс размножения и гибели со скоростями размножения и гибели, равными соответственно и у. Теперь используем формулу (8.35), выражающую вероятность вымирания популяции, заменив , на на у. Из нее следует, что вероятность прекращения эпидемического процесса равна 1 при и при . В первом случае исходная группа источников инфекции, безусловно, элиминирует и можно ожидать, что общее число заболеваний будет мало. Во втором случае с вероятностью можно ожидать малой вспышки и с вероятностью - большой вспышки эпидемии.

Стохастические модели с такими общими свойствами весьма полезны, хотя и до известного предела. Несмотря на присущие им ограничения, эти модели, соответствующим образом обобщенные и измененные, смогут, по-видимому, сыграть важную роль при исследовании широкого круга эпидемических явлений, наблюдаемых в больших популяциях. Однако очевидно, что для изучения более тонких деталей эти модели не подойдут. Так, в рассмотренной выше стохастической модели предполагалось, что не только латентный период равен нулю, но и длительность заразного периода имеет экспоненциальное распределение; для большинства болезней ни одно из этих допущений не справедливо. Для более реалистичного описания биологических и клинических деталей можно было бы построить модели для многофазовых процессов аналогично тому, что было сделано в конце разд. 8.3. Затем для различных интервалов можно выбрать распределения сохраняя при этом марковский характер всего процесса. В определенных случаях оказываются применимыми модели, рассмотренные в разд. 9.5 и 9.6.

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) - дифференциальное уравнение , в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический процесс (другое название - случайный процесс). Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ - уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако, существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс .

История

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения , сделанными независимо Марианом Смолуховским ( г.) и Альбертом Эйнштейном ( г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее ( г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

Терминология

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена , хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум . Вторая распространенная форма - уравнение Фоккера-Планка , которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчисление

Пусть T > 0 {\displaystyle T>0} , и пусть

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и t {\displaystyle t} -непрерывное решение (t , ω) ∣ → X t (ω) {\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_{t}(\omega)} , такое что X {\displaystyle X} - адаптированный процесс к фильтрации F t Z {\displaystyle F_{t}^{Z}} , генерируемое Z {\displaystyle Z} и B s {\displaystyle B_{s}} , s ≤ t {\displaystyle s\leq t} , и

Применение стохастических уравнений

Физика

В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:

где x = { x i | 1 ≤ i ≤ k } {\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{i}|1\leq i\leq k\}} - набор неизвестных, f i {\displaystyle f_{i}} и - произвольные функции, а η m {\displaystyle \eta _{m}} - случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если g i {\displaystyle g_{i}} - константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда g (x) ∝ x {\displaystyle g(x)\propto x} . Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум - проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа . В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.

В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразованием первоначального уравнения в уравнение Фоккера-Планка . Уравнение Фоккера-Планка - дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло . Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям , эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.

Ссылки

• Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Литература

• Adomian, George. Stochastic systems (неопр.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Mathematics in Science and Engineering (169)).
• Adomian, George. Nonlinear stochastic operator equations (неопр.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
• Adomian, George. Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics (англ.) . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1989. - (Mathematics and its Applications (46)). (англ.)

Классическое определение вероятности

Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов. Определение вероятностного пространства, алгебры, событий. Классические вероятностные задачи на подсчет случайных шансов. Число элементарных исходов, когда происходит выбор с возвращением/без возвращения, выборки упорядоченные/неупорядоченные. Связь с задачей подсчета числа размещений дробинок по ячейкам. Классические вероятностные задачи на подсчет случайных шансов (задача о совпадениях, выигрыш в лотерею). Биномиальное распределение. Мультиномиальное распределение. Многомерное гипергеометрическое распределение.

Условные вероятности. Независимость. Условное математическое ожидание.

Определение условной вероятности, свойства. Формула полной вероятности. Формула Байеса, теорема Байеса. Определение независимости событий. Пример, что из попарное независимости событий вообще говоря не следует их независимости. Схема Бернулли.

Дискретные случайные величины и их характеристики

Распределение случайной величины. Свойства функции распределения случайной величины. Определение математического ожидания, дисперсии, ковариации и корреляции, свойства. Наилучший в среднеквадратичном линейный прогноз значений одной случайной величины по значений другой случайной величины.

Предельные теоремы

Схема Бернулли. Неравенство Чебышева, следствия. Закон больших чисел Бернулли. Предельные теоремы (локальная, Муавра-Лапласа, Пуассона).

Случайное блуждание

Вероятности разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты. Принцип отражения. Закон арксинуса.

Мартингалы

Определение. Примеры мартингалов. Определение момента остановки. Тождества Вальда.

Дискретные марковские цепи. Эргодическая теорема.

Общее определение марковского процесса. Определение дискретной марковской цепи. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Однородная марковская цепь. Классификация состояний марковской цепи (несущественные, возвратные, сообщающиеся, нулевые, периодические, эргодические состояния), теорема о "солидарности" их свойств. Неразложимая дискретная марковская цепь. Необходимое и достаточное условие возвратности состояния однородной дискретной марковской цепи. Определение эргодичной дискретной марковской цепи. Стационарное распределение. Эргодическая теорема в случае однородной дискретной марковской цепи.

Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом событий. Аксиоматика Колмогорова. Разные виды сходимости случайных величин.

Аксиоматика Колмогорова. Алгебры и сигма-алгебры. Измеримые пространства (R, B(R)), (Rd, B(Rd)), (R∞, B(R∞)) и (RT, B(RT)), где T - произвольное множество. Примеры дискретных мер, примеры абсолютно непрерывных мер. Многомерное нормальное распределение. Теорема Колмогорова о продолжении мер в (R∞, B(R∞)) (без доказательства). Определение случайной величины и ее свойства. Функция распределения и ее свойства. Построение интеграла Лебега. Математическое ожидание, свойства. Теорема о монотонной сходимости, лемма Фату, теорема Лебега о мажорируемой сходимости (без доказательства). Семейство равномерное интегрируемых случайных величин, достаточное условие равномерной интегрируемости. Неравенство Чебышева, Коши-Буняковского, Иенсена, Ляпунова, Гёльдера, Минковского. Теорема Радона-Никодима (без доказательства). Определение условного математического ожидания и условной вероятности, свойства. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин, определения, соотношения разных видов сходимости друг с другом, контрпримеры. Лемма Бореля-Кантелли. Определение характеристической функции, свойства, примеры.

Особенности стохастического моделирования.

Особенности стохастического мод-ия: стохастическое моделирование – моделирование случайных воздействий.

Стохастическое моделирования (СМ) - м оделирование случайных процессов и случайных событий.

Суть СМ – многократное повторение модельных экспериментов с целью получения статистики о свойствах системы, получения данных о свойствах случайных событий и величин.

Цель – в результате СМ для параметров объектов должна быть получена оценка мат ожидания, дисперсии и закона распределения случайной величины.

Понятие случайного события и случайной величины.

Случайным событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Случайные события могут быть: Достоверными (событие, которое происходит в каждом опыте). Невозможными (событие, которое в результате опыта произойти не может).

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации опыта случайным образом, называется случайной величиной .

Характеристики случайных величин и случайных событий.

Характеристики случайного события:

Частота появления события - вероятность появления того или иного события при неограниченном количестве опытов.

Характеристики случайной величины:

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины.

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Плотности распределения вероятности - вид функции, которой определяет закон распределения случайных величин.

Моделирование случайных событий.

Исходные данные:

Вероятность события Pa;

Требуется построить модель события A, которое происходит с вероятностью Pa.

Алгоритм моделирования:

Используется датчик случайных чисел с равномерным законом распределения от 0 до 1:

Randomize(RND)  x i . 0<=x i <=1

Если выполняется Xi<=Pa то событие A произошло. В противном случае произошло событие не A.

Моделирование полной группы случайных событий.

Группа несовместимых событий называется полной, если при испытаниях только одно событие произойдет обязательно (алгоритм).

Примеры стохастических моделей.

Модели для прогнозирования изменений состояния автотр. предприятия .

Литература: , .

3. Имитационное моделирование

Понятие имитационного моделирования.

Суть ИМ – компьютерный эксперимент – исследования свойств объекта путем экспериментирования с его компьютерной моделью.

Актуальность имитационного моделирования.

1)моделирование сложных систем (когда аналитически использовать объект невозможно)

2)моделирование действия случайных факторов (необходимо многократное повторение)

3)отсутствие математической модели (при исследовании неизвестных явлений).

4)необходимость получения результатов к определенному сроку (скорее всего самая главная причина)

Примеры задач имитационного моделирования: модели систем массового обслуживания, модели случайных событий, клеточные автоматы, модели сложных систем и т.д.

1. Модели систем массового обслуживания

Схема СМО

Цель СМО : определение оптимальных параметров системы

Пример: очередь в супермаркете

На обслуживание могут поступать заявки с более высоким приоритетом. Пример: бензоколонка (скорая, полиция).

2. Модели случайных событий

Случайным называют событие, которое в результате испытания может наступить, а может и не наступить. Исчерпывающей характеристикой случайного события является вероятность его наступления. Примеры: объемы выпускаемой продукции предприятием каждый день; котировки валют в обменных пунктах; интервал времени до появления очередного клиента, длительность проведения технического обслуживания автомобиля.

3. Клеточные автоматы

Клеточный автомат – система, представляющая собой совокупность одинаковых клеток. Все клетки образуют, так называемую, решетку клеточного автомата. Каждая клетка является конечным автоматом, состояния которого определяются состояниями соседних клеток и ее собственным состоянием. Впервые, идея таких автоматов отмечена в работах Неймана в 1940-х годах.

Пример: игра «Жизнь». Была в 1970 году Джоном Конвэем.