Материальная точка движется по закону. Физический смысл производной. Задачи
Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:
Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.
Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.
Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:
Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).
Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):
Рассмотрим задачи:
x (t) = t 2 – 7t – 20
где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.
Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)
Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.
При t = 5 имеем:
Ответ: 3
Решить самостоятельно:
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?
Найдем закон изменения скорости:
Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:
Ответ: 3
Решите самостоятельно:
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.
Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
«Материальная ответственность сторон трудового договора» - Материальная ответственность работодателя. Если сумма взыскания не превышает среднего заработка за 1 месяц. Добровольный по заявлению или письменному обязательству. Для работника. Материальная ответственность работника Ограниченная Полная Индивидуальная Коллективная (бригадная). Путем удержания из заработной платы по распоряжению работодателя.
«Колебание точки» - 5. Линейные колебания. 7. Свободные колебания с вязким сопротивлением. 4. Примеры колебаний. Биение. 3. Примеры колебаний. Движение является затухающим и апериодичным. Показывает во сколько раз амплитуда колебаний превосходит статическое отклонение. Свободные колебания, вызванные вынуждающей силой. 4) Период затухающих колебаний больше чем у незатухающих.
«Прямолинейное движение» - Графики для ПРД. Прямолинейное равномерное движение (ПРД). Sx =X – X0= vx t - проекция перемещения на ось X. Прямолинейное равноускоренное движение (ПРУД). Пруд. X = X0 + sx - закон движения. Графики ПРУД. То есть изменяется скорость?. - Закон движения. Пример: X = X0 + Vx t - закон движения для ПРД.
«Точки небесной сферы» - Дни солнцестояния, как и дни равноденствия, могут меняться. В 1 радиане 57°17?45". градус – центральный угол, соответствующий 1/360 части окружности. В точке летнего солнцестояния 22 июня Солнце имеет максимальное склонение. Перемещение Солнца по эклиптике вызвано годовым движением Земли вокруг Солнца.
«Расстояние от точки до прямой» - В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до прямой CB1. Нахождение расстояний 2. В единичном кубе A…D1 точка E – середина ребра C1D1. В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до прямой CD. В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до прямой CD1. В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до прямой BD.
«Четыре замечательные точки треугольника» - Высотой треугольника. Медианой треугольника. Отрезок АН – перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую а, если. Медиана. Отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны, называется. Биссектрисой треугольника. Задача №2. Задача № 1. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называется.
Точка движется прямолинейно по закону S = t 4 +2t (S - в метрах, t - в секундах). Найти ее среднее ускорение в промежутке между моментами t 1 = 5 с, t 2 = 7 с , а также ее истинное ускорение в момент t 3 = 6 с.
Решение.
1. Находим скорость движения точки как производную от пути S по времени t, т.е.
2. Подставляя вместо t его значения t 1 = 5 с и t 2 = 7 с, находим скорости:
V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 м/с; V 2 = 4 7 3 + 2=1374 м/с.
3. Определяем приращение скорости ΔV за время Δt = 7 - 5 =2 с:
ΔV = V 2 - V 1 = 1374 - 502 = 872 м/с.
4. Таким образом, среднее ускорение точки будет равно
5. Для определения истинного значения ускорения точки берем производную скорости по времени:
6. Подставляя вместо t значение t 3 = 6 с, получим ускорение в этот момент времени
a ср =12-6 3 =432 м/с 2 .
Криволинейное движение. При криволинейном движении скорость точки изменяется по величине и направлению.
Представим себе точку М, которая за время Δt, двигаясь по какой-то криволинейной траектории, переместилась в положение М 1 (рис. 6).
Вектор приращения (изменения) скорости ΔV будет
Для нахождения вектора ΔV перенесем вектор V 1 , в точку М и построим треугольник скоростей. Определим вектор среднего ускорения:
Вектор а ср параллелен вектору ΔV , так как от деления вектора на скалярную величину направление вектора не изменяется. Вектор истинного ускорения есть предел, к которому стремится отношение вектора скорости к соответствующему промежутку времени Δt, стремящемуся к нулю, т.е.
Такой предел называют векторной производной.
Таким образом, истинное ускорение точки при криволинейном движении равно векторной производной по скорости.
Из рис. 6 видно, что вектор ускорения при криволинейном движении всегда направлен в сторону вогнутости траектории.
Для удобства расчетов ускорение раскладывают на две составляющие к траектории движения: по касательной, называемое касательным (тангенциальным) ускорением а , и по нормали, называемое нор-мальным ускорением а n (рис. 7).
В этом случае полное ускорение будет равно
Касательное ускорение совпадает по направлению со скоростью точки или противоположно ей. Оно характеризует изменение величины скорости и соответственно определяется по формуле
Нормальное ускорение перпендикулярно к направлению скорости точки, а численное значение его определяется по формуле
где r - радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.
Так как касательное и нормальные ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому величина полного ускорения определяется по формуле
а направление его
Если , то векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону и движение будет ускоренным.
Если , то вектор касательного ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости, и движение будет замедленным.
Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру кривизны, поэтому оно называется центростремительным.