Теорема об отношении площадей двух подобных треугольников. Площади подобных треугольников. Определение и свойства подобных треугольников
Пропорциональные отрезки
Для введения понятия подобия вначале нам необходимо вспомнить понятие пропорциональных отрезков. Вспомним также определение отношения двух отрезков.
Определение 1
Отношением двух отрезков называется отношение их длин.
Понятие пропорциональности отрезков имеет место и для большего числа отрезков. Пусть, к примеру, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тогда
То есть отрезки $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ пропорциональны отрезкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.
Подобные треугольники
Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.
Определение 3
Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.
Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.
Рисунок 1. Два треугольника
Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:
Определение 4
Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.
На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.
Определение 5
Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть
\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]
На рисунке 1 изображены подобные треугольники.
Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$
Для понятия подобия существует также понятие коэффициента подобия.
Определение 6
Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.
Площади подобных треугольников
Рассмотрим теперь теорему об отношении площадей подобных треугольников.
Теорема 1
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть
\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\]
Доказательство.
Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).
Рисунок 2.
Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:
Теорема 2
Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.
Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что
Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим
Теорема доказана.
Задачи, связанные с понятием подобия треугольника
Пример 1
Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Стороны первого треугольника $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Коэффициент подобия данных треугольников $k=2$. Найти стороны второго треугольника.
Решение.
Данная задача имеет два возможных решения.
Пусть $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{{B_1C}_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}$.
Тогда $A_1B_1=kAB,\ {B_1C}_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.
Следовательно, $A_1B_1=4,\ {B_1C}_1=10,\ A_1C_1=12$
Пусть $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$
Тогда $A_1B_1=\frac{AB}{k},\ {B_1C}_1=\frac{BC}{k},\ A_1C_1=\frac{AC}{k}$.
Следовательно, $A_1B_1=1,\ {B_1C}_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.
Пример 2
Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Сторона первого треугольника $AB=2$, соответствующая сторона второго треугольника $A_1B_1=6$. Высота первого треугольника $CH=4$. Найти площадь второго треугольника.
Решение.
Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{3}$.
Найдем площадь первого треугольника.
По теореме 1, имеем:
\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\] \[\frac{4}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{1}{9}\] \
Пропорциональные отрезки
Для введения понятия подобия вначале нам необходимо вспомнить понятие пропорциональных отрезков. Вспомним также определение отношения двух отрезков.
Определение 1
Отношением двух отрезков называется отношение их длин.
Понятие пропорциональности отрезков имеет место и для большего числа отрезков. Пусть, к примеру, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тогда
То есть отрезки $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ пропорциональны отрезкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.
Подобные треугольники
Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.
Определение 3
Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.
Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.
Рисунок 1. Два треугольника
Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:
Определение 4
Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.
На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.
Определение 5
Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть
\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]
На рисунке 1 изображены подобные треугольники.
Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$
Для понятия подобия существует также понятие коэффициента подобия.
Определение 6
Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.
Площади подобных треугольников
Рассмотрим теперь теорему об отношении площадей подобных треугольников.
Теорема 1
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть
\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\]
Доказательство.
Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).
Рисунок 2.
Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:
Теорема 2
Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.
Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что
Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим
Теорема доказана.
Задачи, связанные с понятием подобия треугольника
Пример 1
Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Стороны первого треугольника $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Коэффициент подобия данных треугольников $k=2$. Найти стороны второго треугольника.
Решение.
Данная задача имеет два возможных решения.
Пусть $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{{B_1C}_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}$.
Тогда $A_1B_1=kAB,\ {B_1C}_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.
Следовательно, $A_1B_1=4,\ {B_1C}_1=10,\ A_1C_1=12$
Пусть $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$
Тогда $A_1B_1=\frac{AB}{k},\ {B_1C}_1=\frac{BC}{k},\ A_1C_1=\frac{AC}{k}$.
Следовательно, $A_1B_1=1,\ {B_1C}_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.
Пример 2
Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Сторона первого треугольника $AB=2$, соответствующая сторона второго треугольника $A_1B_1=6$. Высота первого треугольника $CH=4$. Найти площадь второго треугольника.
Решение.
Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{3}$.
Найдем площадь первого треугольника.
По теореме 1, имеем:
\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\] \[\frac{4}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{1}{9}\] \
ГЛАВА VIII.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.
§ 92. ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ФИГУР.
1. Отношение площадей квадратов.
Рассмотрим отношение площадей двух квадратов. Если сторону одного квадрата обозначим через т
, а сторону другого - через п
, то площади будут соответственно равны
т
2 и п
2 (черт. 379).
Обозначив площадь первого квадрата через S, а площадь второго через S", получим: S / S" = m 2 / n 2 , т. е. площади квадратов относятся как квадраты их сторон.
Полученную формулу можно преобразовать так: S / S" = (m / n ) 2 .
Значит, можно сказать, что отношение площадей двух квадратов равно квадрату отношения их сторон.
На чертеже 379 отношение сторон квадратов равно 3, отношение их площадей равно
3 2 = 9.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников.
Пусть /\
AВС /\
A"В"С" (черт. 380). Из подобия треугольников следует, что
/
A = /
A" , /
B = /
B" и /
С = /
С" . Кроме того, AB / A"B" = BC / B"C" = AC / A"C" .
В этих треугольниках из вершин В и В" проведём высоты и обозначим их через h и h ". Площадь первого треугольника будет равна AC h / 2 , а площадь второго треугольника A"C" h" / 2 .
Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго - через S" получим: S / S" = AC h / A"C" h" или S / S" = AC / A"C" h / h"
Из подобия треугольников АВО и А"В"О" (они подобны, потому что прямоугольные, и, кроме того, имеют по равному острому углу, а именно /
A = /
A") следует:
h
/ h"
= AB / A"B" . Но AB / A"B" = AC / A"C" . Следовательно, h
/ h"
= AC / A"C" . Заменив в формуле S / S" = AC / A"C" h
/ h"
отношение h
/ h"
равным ему отношением AC / A"C" , получим:
S / S" = AC / A"C" AC / A"C" , или .
Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон .
Полученную формулу можно преобразовать так: S / S" = (AC / A"C") 2 .
Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.
3. Отношение площадей подобных многоугольников.
Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - подобные многоугольники (черт. 381).
Известно, что /\
AВС /\
A"В"С"; /\
ACD /\
A"C"D" и /\
ADE /\
A"D"E" (§90).
Кроме того,
;
Так как вторые отнoшения этих пропорций равны, что вытекает из подобия многоугольников, то
Используя свойство ряда равных отношений получим:
Или
где S и S" - площади данных подобных многоугольников.
Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Полученную формулу можно преобразовать к такому виду: S / S" = (AВ / A"В") 2
Упражнения.
1. Сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата в 2 раза (в 5 раз). Во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго квадрата?
2. Сторона первого квадрата составляет 1 / 3 (0,1) стороны второго квадрата. Какую часть площадь первого квадрата составляет от площади второго квадрата?
3. Коэффициент подобия в подобных многоугольниках равен 4 (1 / 5 ; 0,4; 2,5). Чему равно отношение их площадей?
4. Отношение площадей подобных многоугольников равно 36 (100; 0,09). Чему равно отношение сходственных сторон этих многоугольников?
учитель: .
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.
Цель урока: Доказать свойство площадей подобных треугольников и показать его практическую значимость при решении задач.
Задачи урока:
- обучающие – доказать свойство площадей подобных треугольников и показать его практическую значимость при решении задач; развивающие – развивать умение анализировать и подбирать аргументацию при решении задачи, способ решения которой неизвестен; воспитательные – воспитывать интерес к предмету через содержание учебного процесса и создание ситуации успеха, воспитывать умение работать в группе.
Учащийся владеет следующими знаниями:
1. Определение подобных треугольников;
2. Применение определения подобных треугольников при решении задач;
3. Теорема об отношении площадей треугольников имеющих по равному углу;
Единица деятельностного содержания, которое нужно усвоить учащимся:
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Работа с проблемной ситуацией.
4. Подведение итогов урока и запись домашнего задания, рефлексия.
Методы обучения: словесные, наглядные, проблемно-поисковые.
Формы обучения: фронтальная работа, работа в мини-группы, индивидуальная и самостоятельная работа.
Технологии: задачно-целевая, информационные технологии , компетентностный подход.
Оборудование:
- компьютер, проектор для демонстрации презентации, интерактивная доска, документ камера; компьютерная презентация в Microsoft PowerPoint; опорный конспект;
Ход урока
1. Организационный момент.
Здравствуйте ребята! Садитесь. Сегодня у нас необычный урок. У нас на уроке присутствуют гости. Повернитесь, пожалуйста, и поприветствуйте их кивком головы. Спасибо ребята. Садитесь.
Сегодня на уроке мы будем работать не в тетрадях, а в опорных конспектах, которые будете заполнять на продолжение всего урока. Подпишите его. Оценка за урок будет состоять из двух составляющих: за опорный конспект и за активную работу на уроке.
2. Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.
Мы продолжаем с вами изучать тему «подобие треугольников». Поэтому давайте вспомним то, что изучали на прошлом уроке.
Теоретическая разминка. Тест. В ваших опорных конспектах первое задание имеет тестовый характер. Ответьте на вопросы, выбирая один из предложенных вариантов ответа, где необходимо впишите свой ответ.
1) Учитель: Что называется отношением двух отрезков?
Ответ: Отношением двух отрезков двух отрезков называется отношение их длин.
2) Учитель: В каком случае отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1
Ответ: отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 , если
Ваши варианты. Хорошо. Не забудьте исправить у кого не так.
3) Учитель: Дайте определение подобных треугольников? Обратитесь к вашему опорному конспекту. У Вас три варианта ответа на этот вопрос. Выберите правильный. Обведите его.
Так, пожалуйста, какой вариант выбрал ты_______
Ответ: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.
Молодцы! Исправьте у кого не так.
4) Учитель: Чему равно отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу?
Ответ: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Решение задач по готовым чертежам. Далее наша разминка будет происходить в ходе решения задач по готовым чертежам. Эти задачи так же вы видите в ваших опорных конспектах.
https://pandia.ru/text/80/368/images/image005_101.gif" width="480" height="360">
Ответ: стороны бермудского треугольника 2000 км, 1840 км, 2220 км. Длина границы 6060 км.
Рефлексия.
Возможный ответ: у подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны.
2. Ситуация успеха.
С размерами Бермудского треугольника мы разобрались. Ну а теперь выясним измерения цветочной клумбы. Переворачиваем опорные конспекты. Вторая задача. Эту задачу решаем, работая в парах. Проверяем аналогичным способом, но только результат будет представлять уже пара первая справившаяся с заданием.
Ответ: стороны треугольной клумбы 10м и 11м 20 см.
Итак, сверяемся. Все ли согласны? Кто решал другим способом?
Рефлексия.
Каким способом действия вы пользовались при решении этой задачи? Запишите в свой опорный конспект.
Возможный ответ:
· у подобных треугольников соответственные углы равны;
· площади треугольников имеющих по равному углу относятся как произведения сторон заключающих равные углы.
3. Ситуация сбоя.
5. Изучение нового материала.
При решении третьей задачи учащиеся сталкиваются с проблемой. У них не получается решить задачу, так как по их мнению недостаточно полное условие задачи или получают необоснованный ответ.
С таким типом задач учащиеся не встречались ранее, поэтому произошел сбой при решении задачи.
Рефлексия.
Каким методом пытались решить?
Почему не получилось решить последнее уравнение?
Ученики: Мы не можем найти площадь треугольника, если известны только площадь подобного треугольника и коэффициент подобия.
Таким образом, цель нашего урока найти площадь треугольника, если известны только площадь подобного треугольника и коэффициент подобия.
Давайте переформулируем задачу на геометрический язык. Решим ее, а затем вернемся к этой задаче.
Вывод: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Ну а теперь давайте вернемся к задаче №3 и решим ее, опираясь на доказанный факт.
7. Итог урока
Что сегодня вы научились делать нового?
Решать задачи, в которых известны коэффициент подобия и площадь одного из подобных треугольников.
Какое геометрическое свойство нам в этом помогло?
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Домашнее задание.
П. 58 стр.139 № 000, 548
Творческое задание.
Найдите чему равно отношение периметров двух подобных треугольников (№ 000)