Поверхности вращения. К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения
8.ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения (рис.2.3.45).
Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой. Каждая точка, например В(В 1 , В 2), образующей линии l(l 1 , l 2)при вращении вокруг оси i(i 1 , i 2) описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 2.3.45). Эти окружности называются параллелями. Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям. Линия, например, m(m 1 , m 2) пересечения поверхности вращения плоскостью ( 1), проходящей через ось, называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения конгруэнтны. Меридиан l(l 1 , l 2), который является результатом пересечения поверхности вращения с плоскостью уровня ( 1), называется главным. Проекция главного меридиана на плоскость, которой параллельна плоскость уровня, является очерковой линией соответствующей проекции поверхности вращения. Множество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывный каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана. Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку. Геометрическая часть определителя поверхности вращения состоит из оси вращения i и образующей линии l. Чертеж поверхности вращения будет простейшим, если ось вращения расположить перпендикулярно одной из плоскостей проекций, а в качестве образующей линии взять главный меридиан (рис. 2.3.45, б). Алгоритмическая часть определителя поверхности вращения состоит из операции вращения образующей l вокруг оси i и построения каркаса параллелей необходимой плотности. При проектировании различных инженерных сооружений, машин и механизмов наибольшее распространение получили поверхности, образующиеся вращением прямой линии и кривых второго порядка.
а. Поверхности, образуемые вращением прямой (линейчатые поверхности вращения)
Вращением прямой линии образуются: 1) цилиндр вращения, если прямая l параллельна оси i (рис. 2.3.46); 2)конус вращения, если прямая l пересекает ос i (рис. 2.3.47); 3)однополостный гиперболоид вращения, если прямая l(ВС) скрещивается с осью i (рис. 2.3.48).
Р
ис.
2.3.46
Поверхность (рис. 2.3.48) имеет две образующие линии l(ВС) и l"(В"С"), наклоненные в разные стороны и пересекающиеся в точке (А), принадлежащей наименьшей параллели. Отрезок ОА является кратчайшим расстоянием между образующей и осью. Таким образом, на поверхности однополостного гиперболоида располагаются два семейства прямолинейных образующих. Все образующие одного семейства - скрещивающиеся прямые.
Р
ис.
2.3.47
Каждая образующая одного семейства пересекает все образующие другого. Через каждую точку поверхности проходят две образующие разных семейств. Меридианом поверхности является гипербола. Все рассмотренные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка. Построение проекций точки, принадлежащей каждой из них, можно выполнить при помощи параллели или прямолинейной образующей, проходящих через нее.
Р
ис.
2.3.48
б. Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей
1. Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 2.3.49). 2. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси. 3. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси.
Р
ис.
2.3.49
4. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой (рис. 2.3.48 справа). 5. Двуполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси. При вращении асимптот гиперболы образуется конус вращения, который называется асимптотическим по отношению к поверхности гиперболоида. Все рассмотренные поверхности вращения являются поверхностями второго порядка. Построение проекции точки, принадлежащей каждой из них, можно выполнить при помощи параллели, проходящей через эту точку. в. Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг оси, не являющейся осью кривой, но расположенной в ее плоскости Существует теорема: "При вращении плоской или пространственной алгебраической кривой n-го порядка вокруг произвольной оси образуется алгебраическая поверхность вращения, имеющая в общем случае порядок 2n". Из этой теоремы следует, что при вращении кривой второго порядка вокруг оси, не являющейся осью кривой, но расположенной в ее плоскости, образуется поверхность четвертого порядка. Наиболее распространенной поверхностью четвертого порядка является тор.
Р
ис.
2.3.50
Тором называется поверхность, образованная вращением окружности вокруг оси, принадлежащей плоскости окружности, но не проходящей через ее центр. При этом ось вращения может пересекать окружность, касаться ее и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем - открытым, или кольцом. На рис. 2.3.50 изображены проекции тора-кольца. Являясь поверхностью четвертого порядка, тор пересекается произвольной прямой в четырех точках, произвольной плоскостью по кривой четвертого порядка.
Рис. 2.3.50,1(анимационный) Эта кривая распадается на две окружности (параллели), если плоскость перпендикулярна оси тора (плоскость на рис. 2.3.50), на две окружности (меридиан), если плоскость проходит через ось тора(плоскости Г и Г" на рис. 2.3.50), на две окружности, если плоскость проходит через центр тора и касается его меридиана (плоскость). Проекции точки, например М, принадлежащей поверхности тора, можно построить при помощи параллели (рис. 2.3.50). На рис. 2.3.51 показана динамическая сцена формообразования поверхности тора.
Линия пересечения двух поверхностей второго порядка в общем случае представляет собой алгебраическую кривую четвертого порядка. В частных случаях она может распадаться на линии низших порядков, сумма порядков которых равна четырем: а) на четыре прямые - 1 + 1 + 1 + 1 (рис. 4.56, a). Общие образующие m, m", n, n", по которым пересекаются два цилиндра с параллельными осями, являются частями распавшейся кривой;
б) на две прямые и кривую второго порядка - 1 + 1 +2 (рис. 4.56, б); в) на прямую и кривую третьего порядка - 1 + 3; г) на две кривые второго порядка - 2+2 (рис. 4.57, 4.58, 4.59). Признаки распадения кривой четвертого порядка на две кривые второго порядка сформулированы в следующих теоремах: Теорема 1 . Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой (1 - 5 - 2 - 6 на рис. 4.57), то они пересекаются еще по одной кривой, которая тоже будет плоской (3 - 5 - 4 - 6 на рис. 4.57).
Примечание. Плоская кривая, принадлежащая поверхности второго порядка, является кривой второго порядка. Теорема 2. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках (1 и 2 на рис. 4.58), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания. Сфера, имеющая двойное касание с поверхностью второго порядка (рис. 4.59), может быть использована для нахождения круговых сечений тех поверхностей второго порядка, которые их имеют. Пусть требуется найти круговые сечения эллиптического цилиндра (рис. 4.59). Проведем сферу с центром на оси цилиндра и диаметром, равным длине отрезка /1 - 2/ - большой оси эллипса. Эта сфера будет касаться двух образующих цилиндра в точках 1 и 2. Линия пересечения со сферой распадается на две окружности, расположенные в профильно проецирующих плоскостях и". Полученные окружности определяют два семейства круговых сечений эллиптического цилиндра.Теорема 3 (теорема Монжа ). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в не<(рис. 4.60), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания (прямая 5 - 6). Теорема Монжа является частным случаем теоремы 2. Построение проекций указанных выше кривых второго порядка (рис. 4.58, 4.58, 4.59, 4.60) ясно из чертежей.
Заканчивая рассмотрение второй позиционной задачи на пересечение поверхностей, приведем несколько динамических сцен, демонстрирующих процесс взаимного пересечения поверхностей. На рис.4.61 показано пересечение поверхностей сферы и эллиптическогo цилиндра. На рис. 4.62 сфера пересекается с пирамидой, а на рис. 4.63 показано пересечение двух кривых поверхностей.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Прямая АВ
называется образующей, линия MN
- направляющей, а точка S - вершиной конической поверхности.
1. Конус.
Конусом называют тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие. Часть конической поверхности, ограниченная этой плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью, - основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса (фиг.295,а).
Конус называется прямым круговым, если его основание - круг, а высота проходит через центр основания. Такой конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника SAO
вокруг катета SO
, как оси. При этом гипотенуза SA
описывает боковую поверхность, а катет АО
- основание конуса (фиг.295,б).
Если ось вращения прямого кругового конуса параллельна плоскости проекций, то проекция конуса на эту плоскость является треугольником (равнобедренным или равносторонним), основание которого будет равно диаметру основания конуса, а стороны - образующей конуса.
Если ось вращения конуса перпендикулярна плоскости проекций, то проекция конуса на эту плоскость будет кругом, равным натуральной величине основания конуса. В этом случае образующие на проекции не изображаются.
2. Изображение прямого кругового конуса (фиг.296).
Дано: основание конуса, расположенного на плоскости П 1
I. Комплексный чертеж
I, а.
Проектируем основание конуса - круг, расположенный в плоскости П 1 , и вершину конуса - точку S
, расположенную в пространстве на вертикальной прямой, проходящей через центр основания. Высота точки S
равна высоте конуса. Горизонтальная проекция этой точки находится в центре окружности - горизонтальной проекции основания.
I, б.
Проектируем боковую поверхность конуса. Для этого достаточно спроектировать на плоскость П 2
контурные образующие, для чего соединяем прямыми фронтальные проекции вершины S 2
с проекциями крайних точек основания и получаем проекции контурных образующих, а в целом - фронтальную проекцию данного конуса - равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса, а высота треугольника - высоте конуса.
На горизонтальной проекции боковой поверхности конуса дана горизонтальная проекция А 1
точки А
, требуется найти ее фронтальную проекцию. Для этого на горизонтальной проекции конуса через точку А 1
проводим окружность - горизонтальную проекцию параллели, затем находим ее фронтальную проекцию и при помощи вертикальной линии связи (направление которой на чертеже показано стрелкой) находим фронтальную проекцию A 2
точки A
.
I. в.
Эту задачу можно решить и при помощи образующей. На фронтальной проекции боковой поверхности конуса дана фронтальная проекция В 2
точки В
. Из точки S 2
через точку В 2 проводим прямую S 2 М 2
- проекцию образующей конуса, затем находим ее горизонтальную проекцию S 1 М 1
и на ней при помощи вертикальной линии связи определяем место горизонтальной проекции точки В
.
II. Развертка поверхности прямого кругового конуса
- плоская фигура, составленная из сектора и окружности, диаметр которой равен диаметру окружности основания. Радиусом сек-гора является образующая конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса. Угол сектора можно определить по формуле (a =360°R ÷ L)
где R
- радиус окружности основания конуса; L
- образующая конуса. При построении развертки следует придерживаться следующего порядка:
а)
определить угол а сектора;
б)
построить развертку боковой поверхности конуса - сектор
;
в)
пристроить к любой точке, дуги сектора основание конуса - круг
.
Перенос точки В
на развертку боковой поверхности конуса осуществляется при помощи размеров С 1 М 1
и R 2
, взятых с (фиг.296, I
, в).
III. Наглядное изображение конуса в аксонометрии (изометрия и диметрия).
III, а.
Изображаем основание конуса - овал по данному условию. Через центр основания проводим ось z"
и на ней от точки О"
откладываем высоту конуса О"S"
, получаем его вершину S"
.
III, б.
Изображаем контурные образующие. Из точки S"
проводим прямые, касательные к овалу, получаем изображение конуса. Невидимую часть основания (половину овала) изображаем штриховыми линиями.
Определение точки А
на боковой поверхности осуществляем при помощи нанесения на поверхность конуса параллели, диаметр параллели берем с горизонтальной проекции (фиг.296, I, б), а ее центр О 2
определяем размером H 1
, с фронтальной проекции (фиг.296, I, б). Место точки А
на параллели определяется пересечением вспомогательной прямой, проведенной на расстоянии k
параллельно оси у"
с параллелью.
Определение точки В
на боковой поверхности конуса осуществляется:
а)
нанесением на коническую поверхность образующей S"M"
при помощи размеров h
и f
;
б)
нахождением вторичной проекции В 1
точки В
при помощи размера i/2
;
в)
проведением вспомогательной прямой из точки В" 1
параллельно оси вращения S"O"
. Пересечение вспомогательной прямой с образующей конуса определяют место точки В"
.
Определить места точек А
и В
на боковой поверхности конуса можно и при помощи координат.
ТОР
Тело, полученное от вращения окружности (эта окружность называется образующей) вокруг оси, расположенной в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, называется ТОРОМ
. Если ось вращения. не пересекает окружность, то тор называют кольцом (фиг.297). Изображение кольца (фиг.298).
1. Комплексный чертеж
I, а.
Дано: ось кольца перпендикулярна плоскости П 1
(диаметр D
образующей окружности кольца и диаметр D ц
окружности центров образующих окружностей (фиг.298,а).
I, б.
Горизонтальная проекция кольца выявится двумя концентрическими окружностями (фиг.298,б) диаметр большей равен D ц
+ D
; диаметр меньшей Dц
- D
. Фронтальная проекция выявится двумя образующими окружностями, сопряженными прямыми.
Заметим, что внутренние половины окружностей необходимо изобразить штриховыми линиями, как невидимые.
I, в.
Дано: горизонтальные проекции параллелей и на них проекции двух точек: точки А
(A 1
) на малой параллели; точки В
(B 2
) на большой (фиг.298,в). Требуется найти их фронтальные проекции. Для этого сначала надо найти фронтальные проекции параллелей, а затем при помощи вертикальных линий связи определить на них места фронтальных проекций А 2
и В 2
.
II. Наглядное изображение кольца в изометрии и диметрии.
II, а.
Изооражаем место центров сфер - окружность (D" ц
), расположенную в горизонтальной плоскости.
II, б.
Изображаем контур поверхности кольца при помощи вспомогательных сфер, для чего проводим ряд окружностей диаметром D
- контуров сфер, центры которых расположены на окружности центров. Затем к окружностям проводим плавную касательную, выявляя очерк кольца.
ШАР
Тело, полученное от вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром, а поверхность, образуемая при этом окружностью, называется шаровой или сферой. Можно также сказать, что эта поверхность есть геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной и той же точки, называемой центром. Отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь точкой поверхности, называется радиусом, а отрезок, соединяющий две точки поверхности и проходящий через центр, называется диаметром шара (фиг.299).
Всякая проекция шара является кругом, очерками проекций на плоскость П 1
является проекция экватора, на плоскость П 2
и П 3
являются проекции меридианов.
Изображение шара
(фиг.300). Дано: одной точкой поверхности шар касается плоскости П 1
.
I. Комплексный чертеж
I, а. Проектируем экватор шара - окружность, лежащую в горизонтальной плоскости, горизонтальная проекция - это окружность, диаметр которой равен диаметру шара. Фронтальная проекция - прямая (обычно на чертеже не изображается).
Проектируем главный меридиан - окружность, лежащую в фронтальной плоскости; фронтальной проекцией является окружность, по условию касательная оси х 12
; диаметр окружности равен диаметру шара, горизонтальная проекция прямая (обычно на чертеже не изображаемая).
В результате получим проекции шара.
I, б.
На поверхности шара дана фронтальная проекция А 2
точки А
, требуется найти ее горизонтальную проекцию.
Для этого через точку А 2
проведем прямую параллельно оси - фронтальную проекцию параллели, затем находим ее горизонтальную проекцию и при помощи вертикальной линии связи (направление которой на чертеже показано стрелкой) определяем место горизонтальной проекции А 1
точки А
. Развертка поверхности шара. Развертка может быть построена только приближенно, так как шаровая поверхность (сфера) принадлежит к поверхностям неразвертывающимся.
Построение развертки будем выполнять методом долей (существуют и другие методы).
I, в.
Для этого фронтальную проекцию главного меридиана - окружность - делим на 12
равных чаетей, каждая часть деления будет равна 1 / 12 п D
(т.е. 1 / 12
меридиана). Через точки деления 1
, 2
и 3
проводим прямые, параллельные оси x 12
- проекции параллелей, и находим их горизонтальные проекции - окружности. D П1
- первая параллель; D П2
- вторая параллель и D Э
- экватор. Затем горизонтальную проекцию экватора - окружность D Э
- делим на 12
равных частей, каждая часть деления будет равна (1 / 12 П D Э)
(т.е. 1 / 12
экватора); через каждое деление экватора проводим меридиональные плоскости, которые разделяют поверхность шара, а следовательно, и каждую параллель на 12
долей; получим части параллелей 1 / 12 П D П1
и 1 / 12 П D П2
II. Построение одной доли.
Проводим прямую O 1 O 2
, равную ( П D M ÷ 2
) и от точки О 1
откладываем три раза части, равные ( П D M ÷ 12
), и через каждую часть проводим прямые, перпендикулярные к O 1 O 2
, на которых откладываем отрезки: (3 - 3 = П D Э ÷ 12);
(2 - 2 = П D П2 ÷ 12)
; (2 - 2 = П D П1 ÷ 12)
, как показано на чертеже. Соединив плавной кривой последовательно точки 3 - 2 - 1 - 0 1 - 1 - 2 - 3
, получим половину очертания доли. Построив вторую половину, получим одну долю, т.е. 1/12
часть приближенной развертки поверхности шара. Для получения полной развертки поверхности шара следует построить 12
долей.
III. Наглядное изображение шара в изометрии
.
III, а.
Изображаем экватор шдра как аксонометрическую проекцию окружности, лежащую в горизонтальной плоскости.
III, б.
Точку О"
принимаем за центр, проводим окружность (касательную к овалу), получаем изометрическую проекцию шара. Диаметр окружности равен длине овала.
Определение места точки А
на шаровой поверхности можно осуществить при помощи параллели. Изображаем на поверхности шара параллель, пользуясь размерами h
и D П
место точки на параллели определяем с помощью прямой, проведенной параллельно оси у"
на расстоянии k
.
Определить точку А
на шаровой поверхности можно при помощи координат.
Упражнение
Пример 1.
а) Выполнить комплексные чертежи геометрических тел согласно примерам А, Б и В по данным размерам (
Теорема.
Расстояние от точки до прямой , заданной точкой и направляющим вектором может быть найдено по формуле
.
А расстояние между двумя скрещивающимися прямыми находится по формуле
.
Поверхностью вращения называется поверхность, которая вместе с каждой своей точкой содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой . Прямая , вокруг которой производится вращение, называется осью вращения . Вращение точки вокруг оси происходит в плоскости, перпендикулярной оси. В сечении поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси вращения, получаются окружности, которые называются параллелями . Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность вращения по линиям, называемым меридианами .
Теорема. В прямоугольной системе координат уравнение
есть уравнение поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси линии, заданной уравнениями
Цилиндрической поверхностью или цилиндром называется поверхность, которая вместе с каждой точкой содержит всю прямую, проходящую через точку , параллельно данному ненулевому вектору . Прямые, параллельные вектору и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности.
Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом. Пусть - некоторая линия, а - ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линии параллельно вектору , будет цилиндрической. В этом случае линия называется направляющей это поверхности.
Если прямоугольная система координат выбрана так, что образующие цилиндрической поверхности второго порядка были параллельны оси , а направляющая в системе имела каноническое уравнение, то цилиндрические поверхности определяются следующим образом.
- эллиптический цилиндр;
- гиперболический цилиндр;
- параболический цилиндр;
-цилиндр, распавшийся на пару пересекающихся по оси плоскостей;
- цилиндр, распавшийся на пару параллельных плоскостей;
- цилиндр, представляющий собой пару слившихся плоскостей.
Эти уравнения называются каноническими уравнениями соответствующих цилиндрических поверхностей второго порядка.
Если в каноническом уравнении эллиптического цилиндра , то направляющей цилиндра служит окружность , лежащая в плоскости . В этом случае поверхность является цилиндром вращения .
Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке называется поверхность, которая обладает тем свойством, что вместе с каждой своей точкой , отличной от точки , эта поверхность содержит прямую .
Прямые проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими этого конуса.
Рассмотрим в пространстве линию и точку , не лежащую на линии . Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку и через некоторую точку линии , является конической поверхностью с вершиной .
В этом случае линия называется направляющей .
Рассмотрим коническую поверхность с вершиной в начале прямоугольной системы координат , направляющая которой служит эллипс :
.
Найдем уравнение этой поверхности. Пусть точка , отличная от точки , принадлежит конусу . Тогда прямая пересечет направляющую в некоторой точке . Так как и векторы и коллинеарны, то найдется такое вещественное число , что , или в координатах:
Отсюда находим
.
Подставив полученные выражения в первое из равенств, после несложных преобразований найдем:
.
Итак, координаты любой точки конуса удовлетворяют этому уравнению. Нетрудно убедиться также, что если точка не принадлежит конусу, то ее координаты не удовлетворяют этому уравнению.
Таким образом, мы получили уравнение второй степени, поэтому конус называется конусом второго порядка. А само уравнение называется каноническим уравнением конической поверхности второго порядка .
В случае, когда направляющая конической поверхности второго порядка является окружностью, то есть когда , уравнение принимает вид
.
Поверхность, определяемая этим уравнением в прямоугольной системе координат, называется круговой конической поверхностью или круговым конусом.
Практические занятия:
Тема 1:
Тема 2:
Тема 3:
Тема 4:
Тема 5:
Тема 6:
Тема 7:
Тема 8:
Тема 9:
Тема 10:
Тема 11.
Тема 12.
Тема 13.
Тема 14.
Тема 15.
Самостоятельная работа студентов:
Тема 1: Бинарные операции на множестве. Понятие группы, кольца и поля. Примеры. Поле комплексных чисел. № 101 – 113, 17 – 18 б. ; № 2.8, 2.10, 2.13, 2.15-2.21, 18-20 б.
Тема 2: Операции над комплексными числами. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. № 118 – 119, 136 – 140, 19 -20 б., № 2.22 – 2.23, 2.26 – 2.28, 2.46-2.50 , 20 – 23 б.
Тема 3: Перестановки и подстановки. Группа подстановок. Циклические подстановки. № 219 -221, 223, № 410 / 28 – 29, 55 -56 б. № 3.2 – 3.6, 3.38 / 26 – 27, 33 б
Тема 4: Матрицы и действия над ними. Определители второго и третьего порядка. № 235 – 240, 243 – 245, 231-232 /31-32 б., № 3.24-3.27, 3.30(1,2)/29-30б.
Тема 5: Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка № 231–232, 266–267, 273–280, № 374, 31, 35–37, 48 б., № 442 / 61 б. , № 3.30–3.31 / 30–31 б., № 4.24–4.28 / 44-45 б.
Тема 6: Обратная матрица и методы ее вычисления. Матричные уравнения. № 400, 410–411 / 55–56 б. , № 3.38–3.40 / 33–34 б.
Тема 7: Системы линейных уравнений. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Метод Гаусса. Правило Крамера. № 443– 447 / 62 – 64 б. , № 4.18–4.19, 4.64 / 41 – 43, 51 б.
Тема 8: Многочлены от одной переменной НОД многочленов. Корни многочленов. Формулы Виета. Основная теорема алгебры и ее следствие. № 400– 402 / 53 – 54 б. , № 443–447, 449 / 62 – 64 б. № 3.55-3.59, 4.18 - 4.19, 4.64 /36-37, 41-43, 51 б.
Тема 9: Векторы. Базис векторного пространства. № 650, 167, 173 /89, 22 – 23 б. , № 11.59, 11.60, 11.65, 11.74 – 11.77, 11.81 – 11.86 / 123 – 125 б.
Тема 10: Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. 104, 114, 117, 118, 124, 424, 428, 445(1,3,6), 446(1,3), 454, 462, 468(1,3), 473, 487(1), 489(1,3) .
Тема 11. Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений на плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух прямых. 279(а, в), 282(а, в), 289(а, в), 294(а), 552, 553.
Тема 12. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Вывод канонических уравнений. 376, 379, 392, 403, 477(а, в), 479, 486, 507(а), 515, 558(1,3), 559(1,3), 564(1, 3), 567, 584(1), 585(1), 598, 600(1).
Тема 13. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. 756, 758(а, в), 764(а, в), 765(а, в), 767(а, в), 794(а, в), 796(а, в), 798, 713, 715, 718(1), 719(1), 728(1, 3), 730(1), 733(1, 3).
Тема 14. Прямая линия в пространстве. Различные виды уравнения. Взаимное расположение двух прямых. 1058(а), 1059(а, в), 1060(а), 1066(а), 1068(а), 1113(а), 1116(а), 1122(а) , 624(1, 3), 625(1,3), 630(1), 632, 645(1).
Тема 15. Поверхности 2-го порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. 1252, 1254(а, в), 1256 , 769, 770(1), 771, 775(1).
Поверхности вращения и ограничиваемые ими тела имеют широкое применение во многих областях техники: баллон электронно-лучевой трубки (рис. 8.11, а), центр токарного станка (рис. 8.11, б), объемный сверхвысокочастотный резонатор электромагнитных колебаний (рис. 8.11, в), сосуд Дьюара для хранения жидкого воздуха (рис. 8.11, г), коллектор электронов мощного электронно-лучевого прибора (рис. 8.11, д) и т.д.
В зависимости от вида образующей поверхности вращения могут быть линейчатыми, нелинейчатыми или состоять из частей таких поверхностей.
Поверхностью вращения называют поверхность, получающуюся от вращения некоторой образующей линии вокруг неподвижной прямой- оси поверхности.
На чертежах ось изображают штрихпунктирной линией. Образующая линия может в общем случае иметь как криволинейные, так и прямолинейные участки. Поверхность вращения на чертеже можно задать образующей и положением оси. На рисунке 8.12 изображена поверхность вращения, которая образована вращением образующей AьCD (ее фронтальная проекция a"b"c"d") вокруг оси OO 1 (фронтальная проекция о"o 1 " , перпендикулярной плоскости Н. При вращении каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси. Соответственно линия пересечения поверхности вращения любой плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью. Такие окружности называют параллелями. На виде сверху (рис. 8.12) показаны проекции окружностей, описываемых точками А, В, С и D, проходящие через проекции а, b, с, d. Наибольшую параллель из двух соседних с нею параллелей по обе стороны от нее называют экватором, аналогично наименьшую - горлом.
Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной, линию ее пересечения с поверхностью вращения - меридианом. Если ось поверхности параллельна плоскости проекций, то меридиан, лежащий в плоскости, параллельной этой плоскости проекций, называют главным меридианом. На эту плоскость проекций главный меридиан проецируется без искажений. Так, если ось поверхности вращения параллельна плоскости V, то главный меридиан проецируется на плоскость V без искажений, например проекция a"f"b"c"d". Если ось поверхности вращения перпендикулярна к плоскости Н, то горизонтальная проекция поверхности имеет очерк в виде окружности.
Наиболее удобными для выполнения изображений поверхностей вращения являются случаи, когда их оси перпендикулярны к плоскости Н, к плоскости V или к плоскости W.
Некоторые поверхности вращения являются частными случаями поверхностей, рассмотренных в 8.1, например цилиндр вращения, конус вращения. Для цилиндра и конуса вращения меридианами являются прямые линии. Они параллельны оси и равноудалены от нее для цилиндра или пересекают ось в одной и той же ее точке под одним и тем же углом к оси для конуса. Цилиндр и конус вращения - поверхности, бесконечные в направлении их образующих; поэтому на изображениях их ограничивают какими-либо линиями, например линиями пересечения этих поверхностей с плоскостями проекций или какими-либо из параллелей. Из стереометрии известно, что прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус ограничены поверхностью вращения и плоскостями, перпендикулярными к оси поверхности. Меридиан такого цилиндра - прямоугольник, конуса - треугольник.
Такая поверхность вращения, как сфера, является ограниченной и может быть изображена на чертеже полностью. Экватор и меридианы сферы - равные между собой окружности. При ортогональном проецировании на все три плоскости проекций очертания сферы проецируются в окружность.
Тор. При вращении окружности (или ее дуги) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, получается поверхность с названием тор. На рисунке 8.13 приведены: открытый тор, или круговое кольцо, - рисунок 8.13, а, закрытый тор - рисунок 8.13, б, самопересекающийся тор - рисунок 8.13, в, г. Тор (рис. 8.13, г) называют также лимоновидным. На рисунке 8.13 они изображены в положении, когда ось тора перпендикулярна к плоскости проекций Н. В открытый и закрытый торы могут быть вписаны сферы. Тор можно рассматривать как поверхность, огибающую одинаковые сферы, центры которых находятся на окружности.
В построениях на чертежах широко используют две системы круговых сечений тора: в плоскостях, перпендикулярных к его оси, и в плоскостях, проходящих через ось тора. При этом в плоско-
стях, перпендикулярных к оси тора, в свою очередь имеются два семейства окружностей - линий пересечения плоскостей с наружной поверхностью тора и линий пересечения плоскостей с внутренней поверхностью тора. У лимоновидного тора (рис. 8.13, г) имеется только первое семейство окружностей.
Кроме того, тор имеет еще и третью систему круговых сечений, которые лежат в плоскостях, проходящих через центр тора и касательных к его внутренней поверхности. На рисунке 8.14 показаны круговые сечения с центрами о 1р и о 2р на дополнительной плоскости проекций Р, образованные фронтально-проецирующей плоскостью Q (Q v), проходящей через центр тора с проекциями о" о и касательной к внутренней поверхности тора в точках с проекциями 1" , 1, 2" 2. Проекции точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 облегчают чтение чертежа. Диаметр d этих круговых сечений равен длине больших осей эллипсов, в которые проецируются круговые сечения на горизонтальной плоскости проекций: d = 2R.
Точки на поверхности вращения. Положение точки на поверхности вращения определяют по принадлежности точки линии каркаса поверхности, т. е. с помощью окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения. В случае линейчатых поверхностей для этой цели возможно применение и прямолинейных образующих.
Применение параллели и прямолинейной образующей для построения проекций точек, принадлежащих данной поверхности вращения, показано на рисунке 8.12. Если
дана проекция т", то проводят фронтальную проекцию f"f1" параллели, а затем радиусом R проводят окружность - горизонтальную проекцию параллели - и на ней находят проекцию т. Если бы была задана горизонтальная проекция т, то следовало бы провести радиусом R=om окружность, по точке f построить f" и провести f"f1" - фронтальную проекцию параллели - и на ней в проекционной связи отметить точку т". Если дана проекция п" на линейчатом (коническом) участке поверхности вращения, то проводят фронтальную проекцию d"s" очерковой образующей и через проекцию n" - фронтальную проекцию s"к" образующей на поверхности конуса. Затем на горизонтальной проекции sk этой образующей строят проекцию n. Если бы была задана горизонтальная проекция n, то следовало бы провести через нее горизонтальную проекцию sk образующей, по проекции к" и s" (построение ее было рассмотрено выше) построить фронтальную проекцию s "к" и на ней в проекционной связи отметить проекцию n"
На рисунке 8.15 показано построение проекций точки К, принадлежащей поверхности тора. Следует отметить, что построение выполнено для видимых горизонтальной проекции к и фронтальной проекции к".
На рисунке 8.16 показано построение по заданной фронтальной проекции т" точки на поверхности сферы ее горизонтальной т и профильной т" проекций. Проекция т построена с помощью окружности - параллели, проходящей через проекцию т". Ее радиус - о-1. Проекция т "" построена с помощью окружности, плоскость которой параллельна профильной плоскости проекций, проходящей через проекцию т". Ее радиус о "2".
Построение проекций линий на поверхности вращения может быть выполнено также при помощи окружностей - параллелей, проходящих через точки, принадлежащие этой линии.
На рисунке 8.17 показано построение горизонтальной проекции aь линии, заданной фронтальной проекцией a"b" на поверхности вращения, состоящей из частей поверхностей сферы, тора, конической. Для более точного вычерчивания горизонтальной проекции линии продолжим ее фронтальную проекцию вверх и вниз и отметим проекции 6" и 5" крайних точек. Горизонтальные проекции 6, 1, 3, 4, 5 построены с помощью линий связи. Проекции b , 2, 7, 8, а построены с помощью параллелей, фронтальные проекции которых проходят через проекции b " 2", 7", 8", а" этих точек. Количество и расположение промежуточных точек выбирают исходя из формы линии и требуемой точности построения. Горизонтальная проекция линии состоит из участков: b -1 - части эллипса,
Загрузка...
