Определение истинности высказывания. Определение значения истинности высказываний. Построение составных высказываний. Карточка для домашней работы

Свойства

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

1. Если A ,B - конечные множества, то A ×B - конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения - бесконечное множество.

2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): |A ×B |=|A |⋅|B | .

3. A np ≠(A n ) p - в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров 1×np , во втором же - как матрицу размеров n ×p .

4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: A ×B ≠B ×A .

5. Ассоциативный закон не выполняется: (A ×B )×C ≠A ×(B ×C ) .

6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: (A ∗B )×C =(A ×C )∗(B ×C ),∗∈{∩,∪,∖}

11. Понятие высказывания. Элементарные и составные высказывания.

Высказывание - это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно (И-1) или ложно (Л-0), но не то и другое одновременно.

Например, «Сегодня идет дождь», «Иванов выполнил лабораторную работу №2 по физике».

Если у нас имеется несколько исходных высказываний, то из них при помощи логических союзов или частиц мы можем образовывать новые высказывания, истинностное значение которых зависит только от истинностных значений исходных высказываний и от конкретных союзов и частиц, которые участвуют в построении нового высказывания. Слова и выражения «и», «или», «не», «если... , то», «поэтому», «тогда и только тогда» являются примерами таких союзов. Исходные высказывания называются простыми , а построенные из них с помощью тех или иных логических союзов новые высказывания - составными . Разумеется, слово «простые» никак не связано с сутью или структурой исходных высказываний, которые сами могут быть весьма сложными. В данном контексте слово «простой» является синонимом слова «исход-ный». Важно то, что значения истинности простых высказываний предполагаются известными или заданными; в любом случае они никак не обсуждаются.

Хотя высказывание типа «Сегодня не четверг» не составлено из двух различных простых высказываний, для единообразия конструкции оно также рассматривается как составное, по-скольку его истинностное значение определяется истинностным значением другого высказыва-ния «Сегодня четверг»

Пример 2. Cледующие высказывания рассматриваются как составные:

Я читаю «Московский комсомолец» и я читаю «Коммерсант».

Если он сказал это, значит, это верно.

Солнце не является звездой.

Если будет солнечно и температура превысит 25 0 , я приеду поездом или автомобилем

Простые высказывания, входящие в составные, сами по себе могут быть совершенно произвольными. В частности, они сами могут быть составными. Описываемые ниже базисные типы составных высказываний определяются независимо от образующих их простых высказываний.

12. Операции над высказываниями.

1. Операция отрицания.

Отрицанием высказывания А (читается «не А », «неверно, что А »), которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.

Отрицающие друг друга высказывания А и называются противоположными.

2. Операция конъюнкции .

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А В (читается «А и В »), истинные значения которого определяются в том и только том случае, когда оба высказывания А и В истинны.

Конъюнкцию высказываний называют логическим произведением и часто обозначают АВ.

Пусть дано высказывание А – «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С » и высказывание В – «в Витебске идет дождь». Тогда А В будет следующей: «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С и в Витебске идет дождь». Данная конъюнкция будет истинной, если будут высказывания А и В истинными. Если же окажется, что температура была меньше 0 С или в Витебске не было дождя, то А В будет ложной.

3 . Операция дизъюнкции .

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В (А или В ), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно и ложно – когда оба высказывания ложны.

Дизъюнкцию высказываний называют также логической суммой А+В.

Высказывание «4<5 или 4=5 » является истинным. Так как высказывание «4<5 » – истинное, а высказывание «4=5 » – ложное, то А В представляет собой истинное высказывание «4 5 ».

4 . Операция импликации .

Импликацией высказываний А и В называется высказывание А В («если А , то В », «из А следует В »), значение которого ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

В импликации А В высказывание А называют основанием, или посылкой, а высказывание В – следствием, или заключением.

13. Таблицы истинности высказываний.

Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.

Таблицы истинности применяются для:

Вычисления истинности сложных высказываний;

Установления эквивалентности высказываний;

Определения тавтологий.

Установление истинности сложных высказываний.

Пример 1. Установить истинность высказывания · С

Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.

14. Равносильные формулы.

Две формулы А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулу элементарных высказываний.

Равносильность обозначается знаком « ». Для преобразования формул в равносильные важную роль играют основные равносильности, выражающие одни логические операции через другие, равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

Для любых формул А , В , С справедливы равносильности.

I. Основные равносильности

закон идемпотентности

1-истина

0-ложь

Закон противоречия

Закон исключенного третьего

закон поглощения

формулы расщепления

закон склеивания

II. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

закон де Моргана

III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

коммутативный закон

ассоциативный закон

дистрибутивный закон

15. Формулы логики высказываний.

Виды формул классической логики высказываний – в логике высказываний различают следующие виды формул:

1. Законы (тождественно-истинные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «истинно» ;

2. Противоречия (тождественно-ложные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «ложно» ;

3. Выполнимые формулы – такие, которые принимают значение «истинно» хотя бы при одном наборе значений истинности входящих в их состав пропозициональных переменных.

Основные законы классической логики высказываний:

1. Закон тождества: ;

2. Закон противоречия: ;

3. Закон исключенного третьего: ;

4. Законы коммутативности и : , ;

5. Законы дистрибутивности относительно ,и наоборот: , ;

6. Закон удаления истинного члена конъюнкции: ;

7. Закон удаления ложного члена дизъюнкции: ;

8. Закон контрапозиции: ;

9. Законы взаимовыразимости пропозициональных связок: , , , , , .

Процедура разрешимости – метод, позволяющий для каждой формулы установить является она законом, противоречием или выполнимой формулой. Самой распространенной процедурой разрешимости является метод истинностных таблиц. Однако он не единственный. Эффективным методом разрешимости является метод нормальных форм для формул логики высказываний. Нормальной формой формулы логики высказываний является форма, не содержащая знака импликации « ». Различают конъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы. Конъюнктивная форма содержит только знаки конъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к конъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является противоречием . Дизъюнктивная форма содержит только знаки дизъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к дизъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является законом . Во всех остальных случаях формула является выполнимой формулой .

16. Предикаты и операции над ними. Кванторы.

Предложение, содержащее одну или несколько переменных и которое при конкретных значениях переменных является высказыванием, называется высказывательной формой или предикатом.

В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные, трехместные и т.д. предикаты, обозначаемые соответственно: А(х ), В(х , у ), С(х , у , z ).

Если задан некоторый предикат, то с ним связаны два множества:

1. Множество (область) определения Х , состоящее из всех значений переменных, при подстановке которых в предикат последний обращается в высказывание. При задании предиката обычно указывают его область определения.

2. Множество истинности Т, состоящее из всех тех значений переменных, при подстановке которых в предикат получается истинное высказывание.

Множество истинности предиката всегда является подмножеством его области определения, то есть .

Над предикатами можно совершать те же операции, что и над высказываниями.

1. Отрицанием предиката А(х ), заданного на множестве Х, называется предикат , истинный при тех значениях , при которых предикат А(х ) обращается в ложное высказывание, и наоборот.

Из данного определения следует, что предикаты А(х ) и В(х ) не являются отрицаниями друг друга, если найдется хотя бы одно значение , при котором предикаты А(х ) и В(х ) обращаются в высказывания с одинаковыми значениями истинности.

Множество истинности предиката является дополнением к множеству истинности предиката А(х ). Обозначим через Т А множество истинности предиката А(х ), а через Т - множество истинности предиката . Тогда .

2. Конъюнкцией предикатов А(х ) и В(х х ) В(х х Х, при которых оба предиката обращаются в истинные высказывания.

Множество истинности конъюнкции предикатов есть пересечение множеств истинности предиката А(х ) В(х ). Если обозначить множество истинности предиката А(х) через Т А, а множество истинности предиката В(х) через Т В и множество истинности предиката А(х) В(х) через , то

3. Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат А(х ) В(х ), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х Х, при которых хотя бы один из предикатов обратился в истинное высказывание.

Множество истинности дизъюнкции предикатов есть объединение множеств истинности образующих ее предикатов, т.е. .

4.Импликацией предикатов А(х ) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат А(х ) В(х ), который ложен при тех и только тех значениях переменной, при которых первый предикат обращается в истинное высказывание, а второй – в ложное.

Множество истинности импликации предикатов есть объединение множества истинности предиката В(х ) с дополнением к множеству истинности предиката А(х ), т.е.

5. Эквиваленцией предикатов А(х ) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат , который обращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях переменной, при которых оба предиката обращаются либо в истинные высказывания, либо в ложные высказывания.

Множество истинности эквиваленции предикатов есть пересечение множества истинности предиката с множеством истинности предиката .

Кванторные операции над предикатами

Предикат можно перевести в высказывание способом подстановки и способом «навешивание квантора».

Про числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 можно сказать: а) все данные числа простые; б) некоторые из данных чисел четные.

Так как относительно этих предложений можно сказать, что они истинны или ложны, то полученные предложения – высказывания.

Если из предложения «а» убрать слово «все», а из предложения «б» - слово «некоторые», то получим следующие предикаты: «данные числа простые», «данные числа нечетные».

Слова «все» и «некоторые» называются кванторами. Слово «квантор» латинского происхождения и означает «сколько», т. е. квантор показывает, о скольких (всех или некоторых) объектах говорится в том или ином предложении.

Различают два основных вида кванторов: квантор общности и квантор существования.

Термины «всякий», «любой», «каждый» носят название – квантор всеобщности. Обозначается .

Пусть А(х ) – определенный предикат, заданный на множестве Х. Под выражением А(х ) будем понимать высказывание истинное, когда А(х ) истинно для каждого элемента из множества Х, и ложное в противном случае.R .

В примере 1 для R 1 область определения: , множество значений - . Для R 2 область определения: , множество значений: .

Во многих случаях удобно использовать графическое изображение бинарного отношения. Оно осуществляется двумя способами: с помощью точек на плоскости и с помощью стрелок.

В первом случае выбирают две взаимно перпендикулярные линии в качестве горизонтальной и вертикальной осей. На горизонтальной оси откладывают элементы множества A и через каждую точку проводят вертикальную линию. На вертикальной оси откладывают элементы множества B , через каждую точку проводят горизонтальную линию. Точки пересечения горизонтальных и вертикальных линий изображают элементы прямого произведения

18. Способы задания бинарных отношений.

Всякое подмножество декартова произведения A×B называется бинарным отношением, определенным на паре множеств A и B (по латыни «бис» обозначает «дважды»). В общем случае по аналогии с бинарными можно рассматривать и n-арные отношения как упорядоченные последовательностиn элементов, взятых по одному из n множеств.

Для обозначения бинарного отношения применяют знак R. Поскольку R- это подмножество множества A×B, то можно записать R⊆A×. Если же требуется указать, что (a, b) ∈ R, т. е. между элементами a ∈ A и b ∈ B существует отношение R, то пишут aRb.

Способы задания бинарных отношений:

1. Это использование правила, согласно которому указываются все элементы, входящие в данное отношение. Вместо правила можно привести список элементов заданного отношения путем непосредственного их перечисления;

2. Табличный, в виде графов и с помощью сечений. Основу табличного способа составляет прямоугольная система координат, где по одной оси откладываются элементы одного множества, по второй - другого. Пересечения координат образуют точки, обозначающие элементы декартова произведения.

На (рисунке 1.16) изображена координатная сетка для множеств. Точкам пересечения трех вертикальных линий с шестью горизонтальными соответствуют элементы множества A×B. Кружочками на сетке отмечены элементы отношения aRb, где a ∈ A и b ∈ B, R обозначает отношение «делит».

Бинарные отношения задаются двухмерными системами координат. Очевидно, что все элементы декартова произведения трех множеств аналогично могут быть представлены в трехмерной системе координат, четырех множеств- в четырехмерной системе и т. д;

3. Способ задания отношений с помощью сечений используется реже, поэтому рассматривать его не будем.

19. Рефлексивность бинарного отношения. Пример.

В математике бинарное отношение на множестве называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении с самим собой.

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент имеет петлю - дугу (х, х).

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества, то отношение называется антирефлексивным.

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли - нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения определяется как: .

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества, говорят, что отношение нерефлексивно.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-12

Понятие «высказывание» первично. Под высказыванием в логике понимают повествовательное предложение, о котором можно говорить, что оно истинно или ложно. Любое высказывание либо истинно, либо ложно, и никакое высказывание не является одновременно истинным и ложным.

Примеры высказываний: есть четное число», «1 есть простое число». Истинностное значение первых двух высказываний - «истина», истинностное значение последних двух

Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями. Определения не являются высказываниями. Например, определение «целое число называется четным, если оно делится на 2» не является высказыванием. Однако повествовательное предложение «если целое число делится на 2, то оно четное» есть высказывание, и притом истинное. В логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания, ограничиваясь рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.

В дальнейшем будем понимать под значением высказывания его истинностное значение («истина» или «ложь»). Высказывания будем обозначать прописными латинскими буквами, а их значения, т. е. «истина» или «ложь» - соответственно буквами И и Л.

Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части, внутренняя структура которых нас не будет интересовать.

Логические операции над высказываниями.

Из элементарных высказываний с помощью логических операций можно получать новые, более сложные высказывания. Истинностное значение сложного высказывания зависит от истинностных значений высказываний, составляющих сложное высказывание. Эта зависимость устанавливается в данных ниже определениях и отражается в истинностных таблицах. В левых столбцах этих таблиц размещаются всевозможные распределения истинностных значений для высказываний, непосредственно составляющих рассматриваемое сложное высказывание. В правом столбце пишут истинностные значения сложного высказывания соответственно распределениям в каждой строке.

Пусть А и В - произвольные высказывания, относительно которых мы не предполагаем, что известны их истинностные значения. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А ложно. Отрицание А обозначается через и читается «не A» или «неверно, что А». Операция отрицания полностью определяется истинностной таблицей

Пример. Высказывание «неверно, что 5 - четное число», имеющее значение И, есть отрицание ложного высказывания «5 - четное число».

С помощью операции конъюнкции из двух высказываний получается одно сложное высказывание, обозначаемое А Д В. По определению, высказывание А Д В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Высказывания А и В называются соответственно первым и вторым членами конъюнкции А Д В. Запись «А Д В» читается как «Л и В». Истинностная таблица для конъюнкции имеет вид

Пример. Высказывание «7 - простое число и 6 - нечетное число» ложно, как конъюнкция двух высказываний, одно из которых ложно.

Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое , истинное в том и только в том случае, когда хотя бы одно из высказываний А и В истинно.

Соответственно этому высказывание А V В ложно в том и только том случае, когда и А и В оба ложны. Высказывания А и В называются соответственно первым и вторым членами дизъюнкции А V В. Читается запись А V В как «A или В». Союз «или» в данном случае носит неразделительный смысл, поскольку высказывание А V В истинно и при истинности обоих членов. Дизъюнкция имеет следующую истинностную таблицу:

Пример. Высказывание «3 Высказывание, обозначаемое , ложное в том и только в том случае, когда А истинно, а В ложно, называется импликацией с посылкой А и заключением В. Высказывание А-+ В читается как «если А, то 5», или «A влечет В», или «из A следует В». Истинностная таблица для импликации такова:

Отметим, что между посылкой и заключением могут отсутствовать причинно-следственные связи, но это не может повлиять на истинность или ложность импликации. Например, высказывание «если 5 - простое число, то биссектриса равностороннего треугольника является медианой» будет истинным, хотя в обычном понимании второе не следует из первого. Истинным также будет высказывание «если 2 + 2 = 5, то 6 + 3 = 9», поскольку истинно его заключение. При данном определении, если заключение истинно, импликация будет истинной независимо от истинностного значения посылки. В том случае, когда ложна посылка, импликация будет истинна независимо от истинностного значения заключения. Эти обстоятельства кратко формулируют так: «истина следует из чего угодно», «из ложного следует все, что угодно».

Среди суждений, устанавливающих различные отношения между математическими понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы.

Высказыванием называется предложение, относительно которого
имеет смысл вопрос, истинно оно или ложно. .

Например, предложение «Число 6 четное» есть истинное высказывание, а предложение «2 + 4 = З 2 » -ложное высказывание.

В математике различают элементарное и составное высказывание.
Предложение «Число 28 делится на 7» элементарное. Составными
высказываниями являются, например, следующие:

1. число 28 четное и делится на 7;

2.число х меньше или равно 8;

3. если треугольник равнобедренный, то углы в нем при основании равны. Составные высказывания образуются из элементарных с помощью слов «и» («А и В»), «или» («И или В»), частицы «не» (не А) и некоторых других. Эти слова в математике называют логическими связками.

Вообще каждому высказыванию приписывают одно из двух значений И (истина), если оно истинно, и Л (ложь), если оно ложно. Значения И и Л называют значениями истинности высказывания. Если высказывание элементарное, то его значение истинности определяют по содержанию, опираясь на известные знания. А как быть, если высказывание составное? Как определить значение истинности такого высказывания? Здесь на помощь приходит форма высказывания.

Конъюнкцией двух высказываний А и В называют высказывание вида А и В, истинное, если оба высказывания истинны, и ложное, если хотя бы одно из них ложное.

Пример. Установим, истинно или ложно высказывание: 1). число 102 четное и делится на 9.

В этом случае составное высказывание имеет форму «А и В», где А - «Число 102 четное», а В - «Число 102 делится на 9». Легко видеть, что высказывание А истинное, а высказывание В ложное (число 102 не делится на 9, так как на 9 не делится сумма цифр в записи этого числа). Следовательно, и все предложение ложное.

Дезъюнкцией двух высказываний А или В называют высказывание вида А или В, ложное, если оба высказывания ложные и истинное во всех остальных случаях.

Пример. Установим, истинны ли высказывания: число 102 четное или делится на 3.

В этом случае составное высказывание имеет форму «А или В», где А -«Число 102 четное», В - «Число 102 делится на 3»

Видим, что высказывания А или В истинны, следовательно, данное высказывание истинно.

Импликацией двух высказываний АиВгазывается высказывание вида А=>В (если А то В), ложное только в одном случае, если А истинное, а В -ложное, во всех остальных случаях оно истинное.

Отрицанием высказывания А называется высказывание вида А, которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.

В двух предыдущих лекциях мы определили логические операции — отрицание, конъюнкцию, два вида дизъюнкции, импликацию и эквиваленцию. Рассмотрим некоторые задачи на применение определений логических связок. Это задачи, где требуется выяснить значение истинности одного составного высказывания, если известно значение истинности другого составного высказывания, а также задачи, где требуется определить, существуют ли простые высказывания, если известны истинностные значения некоторых составных высказываний, образованных из этих высказываний.

Определить значение истинности высказывания, используя значения истинности других высказываний

Задача 6.1. Известно, что высказывание $ \displaystyle AB$ ложно, а высказывание $ \displaystyle A \to B $ истинно. Определить значение истинности высказывания $ \displaystyle B \to A’ $, если известно, что его можно однозначно определить, используя эти данные.

Решение. Предположим, что это высказывание ложно:

$ \displaystyle B \to A’=0 $.

Почему мы предположили ложность, а не истинность данной импликации? Причина очень проста: импликация ложна только в одном случае. Если это предположение не будет противоречить условию задачи, то оно верно, так как значение истинности всякого высказывания — это ложь или истина. Согласно определению импликации, она ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно:

$ \displaystyle B= 1$, $ \displaystyle A’=0 $.

В силу определения отрицания, оно ложно тогда и только тогда, когда само высказывание истинно:

$ \displaystyle A=1 $.

Но в этом случае, учитывая определения импликации и конъюнкции,

$ \displaystyle A \to B=1 $, $ \displaystyle A B=1 $.

Однако по условию задачи последнее высказывание имеет значение истинности «ложь». Получили противоречие. Значит, высказывание $ \displaystyle B \to A’ $ истинно.

Задачу можно решить и другим способом: используя условие, напрямую получить значение истинности импликации. Так как

$ \displaystyle AB=0 $,

то, согласно определению конъюнкции, возможны следующие варианты распределения истинностных значений высказываний $ \displaystyle A $ и $ \displaystyle B $:

1) $ \displaystyle A=B=0 $;

3) $ \displaystyle A=1 $, $ \displaystyle B=0 $.

Поскольку

$ \displaystyle A \to B=1 $,

то, согласно определению импликации, получаем, что значения истинности высказываний $ \displaystyle A $ и $ \displaystyle B $ могут быть такими:

1) $ \displaystyle A=B=0 $;

2) $ \displaystyle A=0 $, $ \displaystyle B=1 $;

3) $ \displaystyle A=B=1 $.

Условия $ \displaystyle A=1 $, $ \displaystyle B=0 $ и $ \displaystyle A=B=1 $ несовместимы, так как любое высказывание либо истинно, либо ложно. Остаются первые два варианта. Проверим их, используя определения импликации и отрицания:

1) $ \displaystyle B \to A’=0 \to 0’=0 \to 1=1 $;

2) $ \displaystyle B \to A’=1 \to 0’=1 \to 1 =1 $.

В обоих случаях высказывание $ \displaystyle B \to A’ $ имеет значение истинности «истина».

Очевидно, что первый способ решения настоящей задачи гораздо короче, чем второй.

Выяснить, достаточно ли данных, чтобы определить значение истинности высказывания

Задача 6.2. Пусть высказывание $ \displaystyle A \to B $ ложно. Достаточно ли этого, чтобы определить значение истинности высказывания $ \displaystyle (B \to (A \to C)) \vee (B’ \to C) $? Если достаточно, то указать это значение. Если не достаточно, то показать на примерах, что возможны оба истинностных значения.

Решение. Поскольку

$ \displaystyle A \to B=0 $,

то, согласно определению импликации,

$ \displaystyle A=1$, $ \displaystyle B=0 $.

Значит, импликация $ \displaystyle B \to (A \to C) $ истинна, так как её посылка ложна (какими бы ни были значения истинности высказываний $ \displaystyle A $ и $ \displaystyle C $). Следовательно, учитывая определение дизъюнкции, высказывание $ \displaystyle (B \to (A \to C)) \vee (B’ \to C) $ имеет значение истинности «истина».

Задача 6.3. Пусть известно, что высказывание $ \displaystyle AB $ истинно. Возможно ли, используя эти данные, определить значение истинности высказывания $ \displaystyle (AB) \to ((ABC’) \vee (A’BC))$ ? Если возможно, то указать это значение. В противном случае показать на примерах, что высказывание может быть как истинным, так и ложным.

Решение. Поскольку конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба этих высказывания истинны, то

$ \displaystyle A=B=1 $.

Значит, импликация $ \displaystyle (AB) \to ((ABC’) \vee (A’BC))$ истинна, если её заключение истинно, и ложна в противном случае (в силу определения данной логической связки). Рассмотрим дизъюнкцию $ \displaystyle (ABC’) \vee (A’BC) $. Известно, что

$ \displaystyle A=B=1 $.

Тогда, согласно определению отрицания $ \displaystyle A’=0 $. Если $ \displaystyle C=0 $, то $ \displaystyle C’=1 $. Следовательно, согласно определению, конъюнкция $ \displaystyle ABC’ $ истинна, а конъюнкция $ \displaystyle A’BC $ ложна. Значит, дизъюнкция $ \displaystyle (ABC’) \vee (A’BC) $ истинна. Если $ \displaystyle C=1 $, то $ \displaystyle C’=0 $. Следовательно, высказывания $ \displaystyle ABC’ $ и $ \displaystyle A’BC $ ложны. Тогда и дизъюнкция $ \displaystyle (ABC’) \vee (A’BC) $ ложна. Итак, высказывание $ \displaystyle (AB) \to ((ABC’) \vee (A’BC))$ имеет значение истинности «ложь» при

$ \displaystyle C=1 $

и «истина» при

$ \displaystyle C=0 $.

Получается, что нельзя однозначно определить значение истинности высказывания, используя условия задачи. Здесь нужно подчеркнуть, что это не означает, что значение истинности вообще нельзя определить. Просто здесь не хватает данных для этого.

Выяснить, существуют ли высказывания с данными значениями истинности

Задача 6.4. Пусть высказывание $ \displaystyle A \vee B’ $ и $ \displaystyle B \to (A \vee C) $ имеет значение истинности «ложь», а высказывание $ \displaystyle C’ \to B’ $ имеет значение истинности «истина». Существуют ли такие высказывания $ \displaystyle A $, $ \displaystyle B$ и $ \displaystyle C $?

Решение. Дизъюнкция двух высказываний, в силу определения, ложна только в одном случае: если ложны оба этих высказывания. Значит,

$ \displaystyle A=B’=0 $.

Следовательно, учитывая определения отрицания,

$ \displaystyle B=1 $.

Рассмотрим импликацию

$ \displaystyle B \to (A \vee C) $.

По условию задачи она ложна. Это возможно тогда и только тогда, когда

$ \displaystyle B=1 $, $ \displaystyle A \vee C =0 $.

Значит, в силу определения дизъюнкции,

$ \displaystyle A=C=0 $.

Следовательно,

$ \displaystyle C’ \to B’=0′ \to 1’=1 \to 0=0 $.

Но, согласно условию задачи, данная импликация истинна. Получили противоречие. Это означает, что не существует высказываний, удовлетворяющим таким условиям.

Тема программы: Высказывания и операции над ними.

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Высказывания и операции над ними».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Высказывания и операции над ними», решить задачи.

3) Формировать умение прогнозировать собственную деятельность, умение организовать свою деятельность и анализировать ее.

Время выполнения: 1 час.

Теоретические основы

Основным понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Примеры высказываний.
1) Москва стоит на Неве.
2) Лондон - столица Англии.
3) Сокол не рыба.
4) Число 6 делится на 2 и на 3.
Высказывания 2), 3), 4) истинны, а высказывание 1) ложно.
Очевидно, предложение «Да здравствует Россия!» не является высказыванием.
Различают два вида высказываний.
Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).
Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если.... то...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.
Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Сокол - рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на З», соединенных союзом «и».
Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».
В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, ..., а, b, с, ...; истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение - буквой цифрой 0.
Если высказывание а истинно, то будем писать а = 1 , а если а ложно, то а = 0 .

Логические операции над высказываниями

Отрицание.

Отрицанием высказывания х называется новое высказывание , которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.

Отрицание высказывания х обозначается и читается «не х» или «неверно, что х» .

Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы.

Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.
Пусть х высказывание. Так как также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое называется двойным отрицанием высказывания х . Ясно, что логические значения высказываний х и совпадают.

Например, для высказывания «Путин президент России» отрицанием будет высказывание «Путин не президент России», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что Путин не президент России».

Конъюнкция.

Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания х и у истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.
Конъюнкция высказываний х и у обозначается символом х&у ( , ху) , читается «х и у» . Высказывания х и у называются членами конъюнкции.
Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

Например, для высказываний «6 делится на 2», «6 делится на 3» их конъюнкцией будет высказывание «6 делится на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.

Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания далеких друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний.

Дизъюнкция

Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны. Дизъюнкция высказываний х, у обозначается символом «x V у» , читается «х или у» . Высказывания х, у называются членами дизъюнкции.
Логические значения дизъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.

Импликация.

Импликацией двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у - ложно, и истинным во всех остальных случаях.
Импликация высказываний х, у обозначается символом , читается«если х, то у» или «из х следует у». Высказывание х называют условием или посылкой, высказывание у - следствием или заключением, высказывание следованием или импликацией.

Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

Употребление слов «если.... то...» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что, если высказывание х ложно, то высказывание «Если х, то у» вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида «если х, то у» в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение у вытекает из предложения х . Употребление слов «если..., то...» в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается.
Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме «Если х, то у». Если при этом известно, что х истинно и доказана истинность импликации , то мы вправе сделать вывод об истинности заключения у .

Эквивалентность.

Эквивалентностью двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

Эквивалентность высказываний х, у обозначается символом , читается«для того, чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы у» или «х тогда и только тогда, когда у». Высказывания х, у называются членами эквивалентности.
Логические значения операции эквивалентности описываются следующей таблицей истинности:

Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы зак­лючаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.

Практические задания

1. Установить логическую структуру следующих предложений и записать их на языке логики высказываний:

• Если металл нагревается, он плавится.
• Неправда, что философские споры неразрешимы.
• Деньги - продукт стихийного развития товарных отношений, а не результат договоренности или какого-либо иного сознательного акта.

2. Записать логической формулой следующие высказывания:

а) если на улице дождь, то нужно взять с собой зонт или остаться дома;

Б) если - прямоугольный и стороны - равны, то

3. Проверить истинность высказывания:

а) , если, .

б) , если, .

в) , если, .

4. Проверить истинность высказывания:

а) Чтобы завтра пойти на занятия, я должен встать рано. Если я сегодня пойду в кино, то лягу спать поздно. Если я лягу спать поздно, то встану поздно. Следовательно, либо я не пойду в кино, либо не пойду на занятия.

б) Я пойду либо в кино, либо в бассейн. Если я пойду в кино, то получу эстетическое удовольствие. Если я пойду в бассейн, то получу физическое удовольствие. Следовательно, если я получу физическое удовольствие, то не получу эстетического удовольствия.

5 . На вопрос: «Кто из трех студентов изучал дискретную математику?» получен верный ответ: «Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал дискретную математику?

6. Определите, кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно:

если первый сдал, то и второй сдал;

если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал;

если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал;

если четвертый сдал, то и первый сдал.

Контрольные вопросы

1. Какие элементы входят язык логики?

2. Какие способы установления общезначимости формулы логики вы знаете?

Список литературы

Практические занятия № 10-11

Тема программы: Формулы алгебры высказываний.