Теорема минелая и теорема чевы и их применение. Теорема Чевы. Простое доказательство и широкая применимость
Помню, в школе мы доказывали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. И что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Более того, высоты и серединные перпендикуляры треугольника тоже обладают тем же свойством.
Вот только доказывались эти теоремы.... как? Да в том-то и дело, что каждая из них доказывалась как-то по-своему, у каждой из них был свой способ.
Я хочу показать вам, дорогие читатели, единый способ доказательства этих теорем. Доказательства, использующего теорему Чевы.
Вот её формулировка:
Пусть точки A",B",C" лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA",BB",CC" пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
Прежде чем перейти к доказательству, замечу, что равенство в формулировке не такое уж заумное и трудно запоминающееся, как может показаться на первый взгляд. Действительно, чтобы получить это равенство, нам достаточно выбрать произвольную вершину треугольника, например, B, и начать обходить треугольник по часовой стрелке. Обойдя треугольник, мы пройдём по каждому из отрезков как раз в той последовательности, в которой они встречаются в равенстве.Доказательство .
Прямая теорема.
С одной стороны,
S
AOB"/S
COB" =AB"/B"C
С другой стороны, это же отношение площадей равно отношению высот треугольников AOB" и COB", проведенных к основанию OB", равно как и отношение площадей треугольников AOB и COB.
Таким образом, AB"/B"C = S AOB/S COB.
Записав аналогичные равенства для отношений CA"/A"B и AC"/C"B и затем перемножив их всех, получим требуемое утверждение.
Обратная теорема.
Итак, допустим, у нас выбраны точки A", B", C" на сторонах треугольника и выполняется равенство из условия.
Пусть AA" и BB" пересекаются в точке О. Проведем прямую СО и пусть она пересекает сторону AB в некоторой точке C"". Тогда, согласно прямой теореме, у нас будет выполняться то самое огромное равенство, в котором вместо точки C" будет точка C"". Исходя из выполнения этих двух равенств - с точкой C"", как мы показали, и с точкой C" из условия обратной теоремы, делаем вывод, что точки C"" и C" совпадают.
Можно записать условие Чевы в форме синусов
:
Это условие легко получить, применив теорему синусов к треугольникам ABA" и ACA". Для них получаем A"B/AA"= sinBAA" /sinABA" и A"C/AA"=sinA"AC/sinA"CA. Разделив одно равенство на другое, получаем A"B/A"C=sinBAA" /sinA"AC * (sinBCA/sinABC)
Записав аналогичные равенство для остальных отрезков и перемножив их, получаем условие Чевы в форме синусов.
Согласно теореме Чевы, то, пересечение медиан треугольника в одной точке - доказывается в одну строчку.
Согласно теореме Чевы в форме синусов, пересечение биссектрис в одной точке доказывается в одну строчку.
А вот доказательство того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке - это, согласно теореме Чевы в форме синусов, доказывается в две строчки. В первой строчке доказательства нам следует написать известное тригонометрическое тождество -
sin(90 - a
) = cos a
А.В. Шевкин
ФМШ № 2007
Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ
Подробная статья "Вокруг теорем Чевы и Менелая" опубликована на нашем сайте в разделе СТАТЬИ. Она адресована учителям математики и учащимся старших классов, мотивированным на хорошее знание математики. К ней можно вернуться, если появится желание подробнее разобраться в вопросе. В этой заметке мы приведем краткие сведения из упомянутой статьи и разберём решения задач из сборника для подготовки к ЕГЭ-2016.
Теорема Чевы
Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AB , BC и AC отмечены точки C 1 , A 1 и B 1 соответственно (рис. 1).
а) Если отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке, то
б) Если верно равенство (1), то отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке.
На рисунке 1 изображен случай, когда отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке внутри треугольника. Это так называемый случай внутренней точки. Теорема Чевы справедлива и в случае внешней точки, когда одна из точек А 1 , B 1 или С 1 принадлежит стороне треугольника, а две другие - продолжениям сторон треугольника. В этом случае точка пересечения отрезков AА 1 , BB 1 и CС 1 лежит вне треугольника (рис. 2).
Как запомнить равенство Чевы?
Обратим внимание на прием запоминания
равенства (1). Вершины треугольника в
каждом отношении и сами отношения
записываются в направлении обхода
вершин треугольника ABC
, начиная с
точки A
. От точки A
идем к точке
B
, встречаем точку С
1 ,
записываем дробь
.
Далее от точки В
идем к точке С
,
встречаем точку А
1 , записываем
дробь
.
Наконец, от точки С
идем к точке А
,
встречаем точку В
1 , записываем
дробь
.
В случае внешней точки порядок записи
дробей сохраняется, хотя две «точки
деления» отрезка оказываются вне своих
отрезков. В таких случаях говорят, что
точка делит отрезок внешним образом.
Отметим, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону треугольника, называют чевианой .
Рассмотрим несколько способов доказательства утверждения а) теоремы Чевы для случая внутренней точки. Чтобы доказать теорему Чевы, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а). Доказательства теоремы Чевы для случая внешней точки проводятся аналогично.
Доказательство утверждения а) теоремы Чевы с помощью теоремы о пропорциональных отрезках
Пусть три чевианы A A 1 , B B 1 и C C 1 пересекаются в точке Z внутри треугольника ABC .
Идея доказательства заключается в том, чтобы отношения отрезков из равенства (1) заменить отношениями отрезков, лежащих на одной прямой.
Через точку В проведем прямую, параллельную чевиане СС 1 . Прямая АА 1 пересекает построенную прямую в точке М , а прямая, проходящая через точку C и параллельная АА 1 , - в точке Т . Через точки А и С проведем прямые, параллельные чевиане ВВ 1 . Они пересекут прямую ВМ в точках N и R соответственно (рис. 3).
По теореме о пропорциональных отрезках имеем:
,
и
.
Тогда справедливы равенства
.
В параллелограммах ZСTM
и ZСRВ
отрезки TM
, СZ
и ВR
равны как
противоположные стороны параллелограмма.
Следовательно,
и верно равенство
.
При доказательстве утверждения б) используем следующее утверждение. Рис. 3
Лемма 1. Если точки С 1 и С 2 делят отрезок AB внутренним (или внешним) образом в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки, то эти точки совпадают.
Докажем лемму для случая, когда точки
С
1 и С
2 делят отрезок
AB
внутренним образом в одном и том
же отношении:
.
Доказательство.
Из равенства
следуют равенства
и
.
Последнее из них выполняется лишь при
условии, что С
1 B
и С
2 B
равны,
т. е. при условии, что точки С
1
и С
2 совпадают.
Доказательство леммы для случая, когда точки С 1 и С 2 делят отрезок AB внешним образом проводится аналогично.
Доказательство утверждения б) теоремы Чевы
Пусть теперь верно равенство (1). Докажем, что отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке.
Пусть чевианы АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке Z , проведем через эту точку отрезок CС 2 (С 2 лежит на отрезке AB ). Тогда на основании утверждения а) получаем верное равенство
. (2)
Из
сравнения равенств (1) и (2) заключаем,
что
,
т. е. точки С
1 и С
2
делят отрезок AB
в одном и том же
отношении, считая от одной и той же
точки. Из леммы 1 следует, что точки С
1
и С
2 совпадают. Это означает,
что отрезки AА
1 , BB
1 и
CС
1 пересекаются в одной точке,
что и требовалось доказать.
Можно доказать, что процедура записи равенства (1) не зависит, от того, от какой точки и в каком направлении совершается обход вершин треугольника.
Задание 1. Найдите длину отрезка А N на рисунке 4, на котором указаны длины других отрезков.
Ответ. 8.
Задание 2.
Чевианы AM
,
BN
, CK
пересекаются в одной точке внутри
треугольника ABC
. Найдите отношение
,
если
,
. Рис.
4
Ответ.
.
Приведем доказательство теоремы Чевы из статьи . Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) отношениями отрезков, лежащих на параллельных прямых.
Пусть прямые A A 1 , B B 1 , C C 1 пересекаются в точке O внутри треугольника АВС (рис. 5). Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную AB , и ее точки пересечения с прямыми A A 1 , B B 1 обозначим соответственно A 2 , B 2 .
Из подобия двух пар треугольников CB 2 B 1 и ABB 1 , BAA 1 и CA 2 A 1 , Рис. 5
имеем равенства
,
.
(3)
Из подобия треугольников BС
1 O
и B
2 CO
, A
С
1 O
и A
2 CO
имеем равенства
,
из которых следует, что
. (4)
Перемножив равенства (3) и (4), получим равенство (1).
Утверждение а) теоремы Чевы доказано.
Рассмотрим доказательства утверждения а) теоремы Чевы с помощью площадей для внутренней точки. Оно изложено в книге А.Г. Мякишева и опирается на утверждения, которые мы сформулируем в виде заданий 3 и 4 .
Задание 3. Отношение площадей двух треугольников с общей вершиной и основаниями, лежащими на одной прямой, равно отношению длин этих оснований. Докажите это утверждение.
Задание 4.
Докажите, что если
,
то
и
.
Рис. 6
Пусть отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в точке Z (рис. 6), тогда
,
.
(5)
Из
равенств (5) и второго утверждения задания
4
следует, что
или
.
Аналогично получим, что
и
.
Перемножив три последние равенства,
получим:
,
т. е. верно равенство (1), что и требовалось доказать.
Утверждение а) теоремы Чевы доказано.
Задание 15. Пусть чевианы пересекаются в одной точке внутри треугольника и разбивают его на 6 треугольников, площади которых равны S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (рис. 7). Докажите, что . Рис. 7
Задание 6. Найдите площадь S треугольника CNZ (площади других треугольников указаны на рисунке 8).
Ответ. 15.
Задание 7.
Найдите площадь S
треугольника CNO
, если
площадь треугольника А
NO
равна 10 и
,
(рис. 9).
Ответ. 30.
Задание 8.
Найдите площадь S
треугольника CNO
, если
площадь треугольника А
BC
равна 88 и
,
(рис. 9).
Решение.
Так как
,
то обозначим
,
.
Так как
,
то обозначим
,
.
Из теоремы Чевы следует, что
,
и тогда
.
Если
,
то
(рис. 10). У нас три неизвестные величины
(x
, y
и S
), поэтому для нахождения S
составим три уравнения.
Так как
,
то
= 88. Так как
,
то
,
откуда
.
Так как
,
то
.
Итак,
,
откуда
.
Рис. 10
Задание 9
.
В треугольнике
ABC
точки K
и L
принадлежат
соответственно сторонам AB
и B
C
.
,
.
P
AL
и CK
.
Площадь треугольника PBC
равна 1.
Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 1,75.
Теорема Менелая
Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AC и CВ отмечены точки B 1 и A 1 соответственно, а на продолжении стороны AB отмечена точка C 1 (рис. 11).
а) Если точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой, то
. (6)
б) Если верно равенство (7), то точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Рис. 11
Как запомнить равенство Менелая?
Прием запоминания равенства (6) тот же, что и для равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC - от вершины к вершине, проходя через точки деления (внутренние или внешние).
Задание 10. Докажите, что при записи равенства (6) от любой вершины треугольника в любом направлении получается один и тот же результат.
Чтобы доказать теорему Менелая, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а).
Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональных отрезках
I способ. а) Идея доказательства заключается в замене отношений длин отрезков в равенстве (6) отношениями длин отрезков, лежащих на одной прямой.
Пусть точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую l , параллельную прямой А 1 B 1 , она пересекает прямую АB в точке M (рис. 12).
Р
ис.
12
По теореме о пропорциональных отрезках
имеем:
и
.
Тогда верны равенства
.
Доказательство утверждения б) теоремы Менелая
Пусть теперь верно равенство (6), докажем, что точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Пусть прямые АB и А 1 B 1 пересекаются в точке С 2 (рис. 13).
Так как точки А 1 B 1 и С 2 лежат на одной прямой, то по утверждению а) теоремы Менелая
. (7)
Из сравнения равенств (6) и (7) имеем
,
откуда следует, что верны равенства
,
,
.
Последнее равенство верно лишь при
условии
,
т. е. если точки С
1 и С
2
совпадают.
Утверждение б) теоремы Менелая доказано. Рис. 13
Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников
Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения длин отрезков из равенства (6) отношениями длин отрезков, лежащих на параллельных прямых.
Пусть точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Из точек A , B и C проведем перпендикуляры АА 0 , B B 0 и СС 0 к этой прямой (рис. 14).
Р
ис.
14
Из подобия трех пар треугольников AA 0 B 1 и CC 0 B 1 , CC 0 A 1 и BB 0 A 1 , C 1 B 0 B и C 1 A 0 A (по двум углам) имеем верные равенства
,
,
,
перемножив их, получим:
.
Утверждение а) теоремы Менелая доказано.
Доказательство утверждения а) с помощью площадей
Идея доказательства заключается в замене отношения длин отрезков из равенства (7) отношениями площадей треугольников.
Пусть точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Соединим точки C и C 1 . Обозначим площади треугольников S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (рис. 15).
Тогда справедливы равенства
,
,
. (8)
Перемножив равенства (8), получим:
Утверждение а) теоремы Менелая доказано.
Р
ис.
15
Подобно тому, как теорема Чевы остается справедливой и в том случае, если точка пересечения чевиан находится вне треугольника, теорема Менелая остается справедливой и в том случае, если секущая пересекает только продолжения сторон треугольника. В этом случае можно говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках.
Доказательство утверждения а) для случая внешних точек
Пусть секущая пересекает стороны треугольника ABC во внешних точках, т. е. пересекает продолжения сторон AB , BC и AC в точках C 1 , A 1 и B 1 соответственно и эти точки лежат на одной прямой (рис. 16).
По теореме о пропорциональных отрезках имеем:
и .
Тогда верны равенства
Утверждение а) теоремы Менелая доказано. Рис. 16
Заметим, что приведенное доказательство совпадает с доказательством теоремы Менелая для случая, когда секущая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках и одну во внешней.
Доказательство утверждения б) теоремы Менелая для случая внешних точек аналогично доказательству, приведенному выше.
Задание
11.
В треугольнике АВС
точки
А
1 , В
1 лежат соответственно
на сторонах ВС
и A
С
.
P
- точка пересечения
отрезков АА
1
и ВВ
1 .
,
.
Найдите отношение
.
Решение.
Обозначим
,
,
,
(рис. 17). По теореме Менелая для треугольника
BC
В
1 и секущей
PA
1 запишем верное
равенство:
,
откуда следует, что
. Рис. 17
Ответ. .
Задание
12
(МГУ, заочные подготовительные
курсы).
В треугольнике АВС
,
площадь которого равна 6, на стороне
АВ
взята точка К
,
делящая
эту сторону в отношении
,
а на стороне АС
- точка L
,
делящая АС
в отношении
.
Точка P
пересечения
прямых СК
и В
L
удалена от прямой АВ
на расстояние
1,5. Найдите длину стороны АВ.
Решение.
Из точек Р
и С
опустим
перпендикуляры PR
и
СМ
на прямую АВ
. Обозначим
,
,
,
(рис. 18). По теореме Менелая для
треугольника AKC
и
секущей PL
запишем
верное равенство:
,
откуда получим, что
,
.
Рис. 18
Из подобия треугольников К
MC
и К
RP
(по двум углам)
получим, что
,
откуда следует, что
.
Теперь, зная длину высоты, проведенной
к стороне AB
треугольника ABС
, и
площадь этого треугольника, вычислим
длину стороны:
.
Ответ. 4.
Задание
13.
Три окружности с центрами А
,
В
, С
,
радиусы которых относятся
как
,
касаются друг друга внешним образом в
точках X
, Y
, Z
как показано на
рисунке 19. Отрезки AX
и BY
пересекаются
в точке O
.
В каком
отношении, считая от точки B
, отрезок
CZ
делит отрезок BY
?
Решение.
Обозначим
,
,
(рис. 19). Так как
,
то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки
А
X
, BY
и С
Z
пересекаются
в одной точке - точке O
. Тогда отрезок
CZ
делит отрезок BY
в отношении
.
Найдем это отношение. Рис. 19
По теореме Менелая для треугольника
BCY
и секущей OX
имеем:
,
откуда следует, что
.
Ответ. .
Задание 14 (ЕГЭ-2016).
Точки В
1 и С
АС
и АВ
треугольника ABC
, причём
АВ
1:B
1 С
=
= АС
1:С
1 B
.
Прямые ВВ
1
и СС
1
пересекаются в точке О.
а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
AB 1 OC 1 к площади треугольника ABC , если известно, что АВ 1:B 1 С = 1:4.
Решение. а) Пусть прямая AO пересекает сторону BC в точке A 1 (рис. 20). По теореме Чевы имеем:
. (9)
Так как АВ
1:B
1 С
= АС
1:С
1 B
,
то из равенства (9) следует, что
,
то есть CA
1 = А
1 B
,
что и требовалось доказать. Рис. 20
б) Пусть площадь треугольника AB 1 O равна S . Так как АВ 1:B 1 С CB 1 O равна 4S , а площадь треугольника AOC равна 5S . Тогда площадь треугольника AOB тоже равна 5S , так как треугольники AOB и AOC имеют общее основание AO , а их вершины B и C равноудалены от прямой AO . Причём площадь треугольника AOC 1 равна S , так как АС 1:С 1 B = 1:4. Тогда площадь треугольника ABB 1 равна 6S . Так как АВ 1:B 1 С = 1:4, то площадь треугольника CB 1 O равна 24S , а площадь треугольника ABC равна 30S . Теперь найдём отношение площади четырёхугольника AB 1 OC 1 (2S ) к площади треугольника ABC (30S ), оно равно 1:15.
Ответ. 1:15.
Задание 15 (ЕГЭ-2016).
Точки В
1 и С
1 лежат
на сторонах соответственно АС
и АВ
треугольника ABC
, причём
АВ
1:B
1 С
=
= АС
1:С
1 B
.
Прямые ВВ
1
и СС
1
пересекаются в точке О.
а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB 1 OC 1 к площади треугольника ABC , если известно, что АВ 1:B 1 С = 1:3.
Ответ. 1:10.
Задание 1 6 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С . Биссектриса BL ABC с основанием ВС BLD с основанием BD .
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что cos
ABC
DL
,
то есть треугольник BD
взята точка С
. Биссектриса BL
равнобедренного треугольника ABC
с основанием ВС
является боковой
стороной равнобедренного треугольника
BLD
с основанием BD
.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что cosABC = . В каком отношении прямая DL делит сторону АВ ?
Ответ. 4:21.
Литература
1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Замечательные точки и линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 17.
2. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. (Серия «Библиотека "Математическое просвещение"»). М.: МЦНМО, 2002. - 32 с.
3. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М.: Вита-Пресс, 2005. - 208 с.
4. Эрдниев П., Манцаев Н. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1990, № 3, С. 56–59.
5. Шарыгин И.Ф. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1976, № 11, С. 22–30.
6. Вавилов В.В. Медианы и средние линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 1.
7. Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. - 334 с.
8. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И.В. Ященко, М.А. Волкевич, И.Р. Высоцкий и др.; под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство "Экзамен", 2016. - 247 с.
ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ
Теорема Чевы
Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A 1 , на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B 1 , C 1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке).
Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.
Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева .
Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке.
Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка
пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи).
Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А 1 , В 1 , С 1 , такие, что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекаются в некоторой общей точке, тогда
.
Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB 1 и секущей CC 1 (точку пересечения чевиан обозначим Z ):
,
а второй раз для треугольника B 1 BC и секущей AA 1 :
.
Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы.
Теорема 4. (Обратная теорема Чевы) . Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A 1 , В 1 и C 1 выполняется условие Чевы:
,
то прямые AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке .
Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая.
Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы.
Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение. Рассмотрим соотношение
для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы, поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке.
Теорема (теорема Чевы) . Пусть точки лежат на сторонах и треугольника соответственно. Пусть отрезки и пересекаются в одной точке. Тогда
(обходим треугольник по часовой стрелке).
Доказательство. Обозначим через точку пересечения отрезков и . Опустим из точек и перпендикуляры на прямую до пересечения с ней в точках и соответственно (см. рисунок).
Поскольку треугольники и имеют общую сторону , то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. и :
Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и подобны по острому углу.
Аналогично получаем
и
Перемножим эти три равенства:
что и требовалось доказать.
Про медианы:
1. Разместим в вершинах треугольника ABC единичные массы.
2. Центр масс точек A и B находится посередине AB. Центр масс всей системы должен находиться на медиане к стороне AB, так как центр масс треугольника ABC - это центр масса центра масс точек A и B, и точки C.
(запутанно получилось)
3. Аналогично - ЦМ должен лежать на медиане к сторонам AC и BC
4. Так как ЦМ - единственная точка, то, следовательно все эти три медианы должны пересекаться в ней.
Кстати, сразу же следует, что пересечением они делятся в отношении 2:1. Так как масса центра масс точек A и B равна 2, а масса точки C равна 1, следовательно, общий центр масс согласно теореме о пропорции будет делить медиану в отношении 2/1.
Спасибо большое, доступно изложено, думаю, будет не лишним представить док-во и при помощи методов геометрии масс, например:
Прямые AA1 и CC1 пересекаются в точке O; AC1: C1B = p и BA1: A1C = q. Нужно доказать, что прямая BB1 проходит через точку O тогда и только тогда, когда CB1: B1A = 1: pq.
Поместим в точки A, B и C массы 1, p и pq соответственно. Тогда точка C1 является центром масс точек A и B, а точка A1 - центром масс точек B и C. Поэтому центр масс точек A, B и C с данными массами является точкой O пересечения прямых CC1 и AA1. С другой стороны, точка O лежит на отрезке, соединяющем точку B с центром масс точек A и C. Если B1 - центр масс точек A и C с массами 1 и pq, то AB1: B1C = pq: 1. Остается заметить, что на отрезке AC существует единственная точка, делящая его в данном отношении AB1: B1C.
2. Теорема Чевы
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой . Таким образом, если в треугольнике ABC X , Y и Z - точки, лежащие на сторонах BC , CA , AB соответственно, то отрезки AX , BY , CZ являются чевианами. Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы, который в 1678 году опубликовал следующую очень полезную теорему:
Теорема 1.21. Если три чевианы AX, BY, CZ (по одной из каждой вершины) треугольника ABC конкурентны, то
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| =1 .
Рис. 3. |
Когда мы говорим, что три прямые (или отрезка) конкурентны , то мы имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через P . Для доказательства теоремы Чевы вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников. Ссылаясь на рисунок 3, мы имеем:
|BX| |XC| = SABX SAXC = SPBX SPXC = SABX− SPBX SAXC− SPXC = SABP SCAP .
Аналогично,
|CY| |YA| = SBCP SABP , |AZ| |ZB| = SCAP SBCP .
Теперь, если мы перемножим их, то получим
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| = SABP SCAP · SBCP SABP · SCAP SBCP =1 .
Теорема, обратная к этой теореме, также верна:
Теорема 1.22. Если три чевианы AX, BY, CZ удовлетворяют соотношению
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| =1 ,
то они конкурентны .
Чтобы это показать, предположим, что две первые чевианы пересекаются в точке P , как и прежде, а третья чевиана, проходящая через точку P , будет CZ′ . Тогда, по теореме 1.21,
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ′| |Z′B| =1 .
Но по предположению
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| =1 .
Следовательно,
|AZ| |ZB| = |AZ′| |Z′B| ,
точка Z′ совпадает с точкой Z , и мы доказали, что отрезки AX , BY и CZ конкурентны (, стр. 54 и , стр, 48, 317).
Теорема Чевы. Дан треугольник и точки
на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
Лемма. Если числа таковы, что
то
лишь бы знаменатель в ноль не обращался.
Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.
Обозначим общее значение дробей и
буквой
Тогда
что и требовалось доказать.
Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но помогающее приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае - это отношение масштабов карт. Ясно, что если мы сложим a и c, то получим длину маршрута от первого пункта через второй к третьему на первой карте, а сложив b и d - длину маршрута на второй карте. Понятно, что их отношение снова равно отношению масштабов карт.
Доказательство теоремы.
1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке , тогда треугольник оказывается разбит на 6 треугольников, занумерованных так, как указано на чертеже. Рассмотрим первую дробь
Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников и с общей высотой, дробь не изменится, если заменить числитель и знаменатель на площади указанных треугольников. А заметив, что на тех же основаниях стоят треугольники
и , можно заменить числитель и знаменатель и на их площади.
Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:
Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:
что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.
2. Пусть не пересекаются в одной точке.Проведем через точку пересечения и
отрезок (точка расположена на стороне ).
По доказанному,
Если бы было выполнено
,
то
что невозможно при
(скажем, если точки на стороне
расположены в порядке
то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).
На этом доказательство завершается.
Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы.
Воспользуемся для этого теоремой синусов:
Аналогично получаем
Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы.
Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
Примеры.
1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.
2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.
3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.