Сумма углов правильного многоугольника вычисляется по формуле. Многоугольники. Визуальный гид (2019)
В 8 классе на уроках геометрии в школе ученики впервые знакомятся с понятием выпуклого многоугольника. Очень скоро они узнают, что эта фигура обладает очень интересным свойством. Какой бы сложной она ни была, сумма всех внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника принимает строго определенное значение. В данной статье репетитор по математике и физике рассказывает о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника.
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника
Как доказать эту формулу?
Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, вспомним, какой многоугольник называется выпуклым. Выпуклым называется такой многоугольник, который целиком находится по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Например такой, который изображен на этом рисунке:
Если же многоугольник не удовлетворяет указанному условию, то он называется невыпуклым. Например, такой:
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна , где — количество сторон многоугольника.
Доказательство этого факта основано на хорошо известной всем школьникам теореме о сумме углов в треугольнике. Уверен, что и вам эта теорема знакома. Сумма внутренних углов треугольника равна .
Идея состоит в том, чтобы разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников. Сделать это можно разными способами. В зависимости от того, какой способ мы выберем, доказательства будут немного отличаться.
1. Разобьём выпуклый многоугольник на треугольники всеми возможными диагоналями, проведёнными из какой-нибудь вершины. Легко понять, что тогда наш n-угольник разобьётся на треугольника:
Причём сумма всех углов всех получившихся треугольников равна сумме углов нашего n-угольника. Ведь каждый угол в получившихся треугольниках является частичной какого-то угла в нашем выпуклом многоугольнике. То есть искомая сумма равна .
2. Можно также выбрать точку внутри выпуклого многоугольника и соединить её со всеми вершинами. Тогда наш n-угольник разобьется на треугольников:
Причём сумма углов нашего многоугольника в этом случае будет равна сумме всех углов всех этих треугольников за вычетом центрального угла, который равен . То есть искомая сумма опять же равна .
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника
Зададимся теперь вопросом: «Чему равна сумма внешних углов выпуклого многоугольника?» Ответить на этот вопрос можно следующим образом. Каждый внешний угол является смежным с соответствующим внутренним. Поэтому он равен :
Тогда сумма всех внешних углов равна . То есть она равна .
То есть получается весьма забавный результат. Если отложить последовательно друг за другом все внешние углы любого выпуклого n-угольника, то в результате заполнится ровно вся плоскости.
Этот интересный факт можно проиллюстрировать следующим образом. Давайте пропорциональном уменьшать все стороны какого-нибудь выпуклого многоугольника до тех пор, пока он не сольётся в точку. После того, как это произойдёт, все внешние углы окажутся отложенными один от другого и заполнят таким образом всю плоскость.
Интересный факт, не правда ли? И таких фактов в геометрии очень много. Так что учите геометрию, дорогие школьники!
Материал о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника, подготовил , Сергей Валерьевич
Сумма углов n-угольника Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n-2). Доказательство. Из какой-нибудь вершины выпуклого n-угольника проведем все его диагонали. Тогда n-угольник разобьется на n-2 треугольника. В каждом треугольнике сумма углов равна 180 о, и эти углы составляют углы n-угольника. Следовательно, сумма углов n- угольника равна 180 о (n-2).
Второй способ доказательства Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n-2). Доказательство 2. Пусть O какая-нибудь внутренняя точка выпуклого n-угольника A 1 …A n. Соединим ее с вершинами этого многоугольника. Тогда n-угольник разобьется на n треугольников. В каждом треугольнике сумма углов равна 180 о. Эти углы составляют углы n-угольника и еще 360 о. Следовательно, сумма углов n- угольника равна 180 о (n-2).
Упражнение 3 Докажите, что сумма внешних углов выпуклого n- угольника равна 360 о. Доказательство. Внешний угол выпуклого многоугольника равен 180 о минус соответствующий внутренний угол. Следовательно, сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 180 о n минус сумма внутренних углов. Так как сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180 о (n-2), то сумма внешних углов будет равна 180 о n о (n-2) = 360 о.
Упражнение 4 Чему равны углы правильного: а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника; д) восьмиугольника; е) десятиугольника; ж) двенадцатиугольника? Ответ: а) 60 о;б) 90 о;в) 108 о;г) 120 о; д) 135 о;е) 144 о;ж) 150 о.
Упражнение 12* Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый n-угольник? Решение. Так как сумма внешних углов выпуклого многоугольника равны 360 о, то у выпуклого многоугольника не может быть более трех тупых углов, следовательно, у него не может быть более трех внутренних острых углов. Ответ. 3.
Ломаная
Определение
Ломаной линией , или короче, ломаной , называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.
Виды ломаной
Ломаная называется замкнутой , если начало первого отрезка совпадает с концом последнего.
Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется простой .
Многоугольники
Определение
Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником .
Замечание
В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого.
Свойство
У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^\circ$.
Доказательство
Пусть дан многоугольник $P$.
Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$).
На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой). А значит, при этой вершине угол меньше развернутого.
Определение
Многоугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым .
Замечание
Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.
Свойства выпуклого многоугольника
У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$.
Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике.
Доказательство
Докажем первое свойство
Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ – прямая, содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно, и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^\circ$.
Докажем второе свойство
Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$.
Определение
Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.
Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)
Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $\dfrac{n(n-3)}{2}$.
Доказательство
Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, то их будет $n\cdot(n-3)$, так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом, количество диагоналей n-угольника равно $\dfrac{n(n-3)}{2}$.
Теорема (о сумме углов n-угольника)
Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.
Доказательство
Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.
Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$.
Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_{n-1}OA_n$ равна $180^\circ\cdot n$.
C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.
Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Следствие
Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.
Доказательство
Рассмотрим многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$, у которого только угол $\angle A_2$ невыпуклый, то есть $\angle A_2>180^\circ$.
Обозначим сумму его улов $S$.
Соединим точки $A_1A_3$ и рассмотрим многоугольник $A_1A_3\ldots A_n$.
Сумма углов этого многоугольника равна:
$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-(\angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.
Следовательно, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Если у исходного многоугольника более одного невыпуклого угла, то описанную выше операцию можно проделать с каждым таким углом, что и приведет к доказываемому утверждению.
Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)
Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^\circ$.
Доказательство
Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^\circ-\angle A_1$.
Сумма всех внешних углов равна:
$\sum\limits_{n}(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_{n}A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n-2)=360^\circ$.
Тип урока: урок практикум, комбинированный урок.
Цели урока:
1. Вывести формулу, выражающую сумму углов выпуклого многоугольника
2. Развитие логического мышления и внимания
3. Воспитание культуры умственного труда
Оборудование: таблица «Сумма углов выпуклого многоугольника», рабочая тетрадь по геометрии, набор моделей выпуклых многоугольников.
Используемые технологии: элементы технологии критического мышления, здоровьесберегающие технологии, технология проблемного обучения.
Ход урока:
I . Эмоциональное начало урока:
Здравствуйте, ребята. Здравствуйте, гости. Ребята, поднимите на меня глаза. Я волнуюсь, а вы? Какое у вас настроение? Давайте поддержим друг друга, улыбнемся друг другу, и я уверена – мы вместе преодолеем все трудности, мы это сможем.
Как вы думаете, о чем сегодня пойдет речь на уроке? Затрудняетесь? Мы не будем пока формулировать тему нашего урока, вернемся к ней позже, в ходе работы.
II . Актуализация знаний:
Математический диктант (фронтально) с последующей проверкой на обороте доски. На обороте доски работает ученик.
Цель этого задания: повторить все необходимые сведения для дальнейшей работы.
Вид проверки: взаимо- или самопроверка, выбирают сами учащиеся.
Учитель по выбору учащихся проверяет 2-3 работы. Оценка ставится по количеству правильных ответов.
Диктант:
1 Многоугольник с n вершинами называется… (n -угольником).
2. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется… (диагональю многоугольника).
3. Если многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины, то он называется… (выпуклым).
4. Две вершины четырехугольника, не являющиеся соседними, называются… (противоположными).
5. Чему равна сумма градусных мер всех углов треуглоьника?.. (180°).
Итоги: понятие n -угольника, его диагоналей, выпуклого многоугольника, его противоположных вершин, суммы градусных мер всех углов треугольника мы применим на следующем этапе нашего урока, выполняя лабораторную работу.
III . Изучение нового материала:
Лабораторная работа (в парах).
Цель работы: вывести экспериментально формулу, выражающую сумму углов выпуклого многоугольника.
Указание к работе:
1. Постройте три выпуклых многоугольника.
2. Из одной вершины проведите диагонали.
3. Сравните число сторон многоугольника с числом получившихся треугольников.
4. Выразите сумму углов каждого многоугольника через сумму углов треугольника.
Результаты занесите в таблицу (несколько учащихся записывают на доске свои результаты)
Можно ли сейчас сформулировать тему урока?
- Тема: «Сумма углов выпуклого многоугольника»
5. Сформулируйте гипотезу: «Сумма углов выпуклого n -угольника равна (n -2) ٠ 180°»
Подтвердим эту гипотезу, прочитав вывод формулы на странице 99 учебника. Запишем формулу в тетрадь. Учащиеся оценивают результаты своей лабораторной работы по пятибалльной системе.
IV . Здоровьесберегающая пауза.
Цель: предупредить переутомляемость, сохранить здоровье учащихся, связав упражнения с элементами, входящими в тему урока (с углами различных видов).
Дети сидят за партой. Предложить им сесть под углом 90°.
Ребята, встаньте. Руками изобразите развернутый угол. Поднимая правую руку, покажите прямой угол. Сделайте то же самое, поднимая левую руку. Затем поочередно изобразите тупой, а затем и острый углы. Садитесь.
V . Закрепление изученного материала.
Цель: научить учащихся решать прямую и обратную задачи, применяя формулу суммы углов выпуклого многоугольника.
Решение задач
1. Работа в рабочих тетрадях. (Один из учащихся вслух читает задачу и ее решение, заполняя пропуски, остальные внимательно следят за его работой. Если ученик допускает при этом ошибку, то класс исправляет ее.)
Задача №4. Используя формулу (n -2)·180°, найдите сумму углов выпуклого:
а) одиннадцатиугольника
б) двадцатидвухугольника
Ответ: а) 1620°, б) 3600°
2. Решить письменно №365 (в). Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 120°.
Один из учащихся вызывается к доске для решения задачи, остальные работают в тетрадях.
Решение: сумму углов выпуклого n -угольника равна 180° ٠ ( n -2). Следовательно, 180° ٠ ( n -2)=120° ٠ n
Отсюда: 180° ٠ n -360°=120° ٠ n , 60° ٠ n =360°, n =6.
Ответ: 6 сторон.
Наводящие вопросы:
Чему равна сумма углов выпуклого n -угольника?
Как другим способом можно вычислить сумму углов выпуклого n -угольника, если каждый из его n углов равен 120°?
Как найти число сторон такого многоугольника?
VI . Самостоятельная работа
Цель: проверить уровень усвоения темы
Задание 1.
Используя формулу, найдите сумму углов выпуклого n угольника
1 вариант 2 вариант
n =12. Ответ: 1800° n =32. Ответ: 5400 °
Задание 2.
Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен:
1 вариант 2 вариант
90°. Ответ: Четыре 60° Ответ: Три
Несколько учащихся от каждого варианта записывают свои ответы на обороте доски, учитель проверяет, остальные учащиеся осуществляют само- или взаимопроверку по выбору.
Домашнее задание:
Цель: Закрепить умения и навыки учащихся решать задачи с применением формулы суммы углов выпуклого многоугольника.
1. Пункт 40 на стр. 99, вопрос 3 на стр. 114;
2. Решить задачи №364 (в), 365 (г).
VII . Итог урока:
1. Составление синквейна.
2. Выставление оценок (среднее арифметическое: диктант, л/р, с/р).
3. Комментирование домашнего задания.
4. Сдача тетрадей учениками.
Синквейн
Многоугльники
Выпуклые, n -угольные
Строим, разбиваем, вычисляем
Сумма углов выпуклого n -угольника равна (n -2)·180°
Формула
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Загрузка...
