Сглаженный ряд. Механическое сглаживание по скользящим средним. Методы механического сглаживания временного ряда
Пример 6.8.3-1. Найти минимум функции Q(x,y) методом ГДШ.
Пусть Q(x,y) = x 2 +2y 2 ; x 0 = 2;y 0 = 1.
Проверим достаточные условия существования минимума:
Проделаем одну итерацию согласно алгоритму.
1. Q(x 0 ,y 0) = 6.
2.
При х = x 0 и y = y 0 , 
3. Шаг l k = l 0 = 0,5
Таким образом, 4 < 8, следовательно, условие сходимости не выполняется и требуется, уменьшив шаг (l=l /2), повторять п.п.3-4 до выполнения условия сходимости. То есть, полученный шаг используется для нахождения следующей точки траектории спуска.
Суть метода состоит в следующем. Из выбранной точки (x 0 ,y 0) спуск осуществляют в направлении антиградиента до тех пор, пока не будет достигнуто минимальное значение целевой функции Q(x, y) вдоль луча (рис. 6.8.4-1). В найденной точке луч касается линии уровня. Затем из этой точки спуск проводится в направлении антиградиента (перпендикулярном линии уровня) до тех пор, пока соответствующий луч не коснется в новой точке проходящей через нее линии уровня, и т.д.
Выразим целевую функцию Q(x, y) через шаг l. При этом представим целевую функцию на определенном шаге как функцию одной переменной, т.е. величины шага
Величина шага на каждой итерации определяется из условия минимума :
Min( (l)) l k = l*(x k , y k), l >0.
Таким образом, на каждой итерации выбор шага l k предполагает решение задачи одномерной оптимизации. По способу решения этой задачи различают:
· аналитический метод (НСА);
· численный метод (НСЧ).
В методе НСА значение шага получают из условия , а в методе НСЧ величину l k находят на отрезке c заданной точностью, используя один из методов одномерной оптимизации.
Пример 6.8.4-1. Найти минимум функции Q(x,y)=x 2 + 2y 2 с точностью e=0.1, при начальных условиях: x 0 =2; y 0 =1.
Проделаем одну итерацию методом НСА .
=(x-2lx) 2 +2(y-4ly) 2 = x 2 -4lx 2 +4l 2 x 2 +2y 2 -16ly 2 +32l 2 y 2 .
Из условия ¢(l)=0 найдем значение l*: 
Полученная функция l=l(x,y) позволяет найти значение l. При x=2 и y=1 имеем l=0.3333.
Вычислим значения координат следующей точки:
Проверим выполнение критерия окончания итераций при k=1:
Поскольку |2*0.6666|>0.1 и |-0.3333*4|>0.1 , то условия окончания процесса итераций не выполнены, т.е. минимум не найден. Поэтому следует вычислить новое значение l при x=x 1 и y=y 1 и получить координаты следующей точки спуска. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не выполнятся условия окончания спуска.
Отличие численного метода НС от аналитического состоит в том, что поиск значения l на каждой итерации происходит одним из численных методов одномерной оптимизации (например, методом дихотомии или методом золотого сечения). При этом в качестве интервала неопределенности служит диапазон допустимых значений l - .
В этом варианте градиентного метода минимизирующая последовательность {X k } также строится по правилу (2.22). Однако величина шага a k находится в результате решения вспомогательной задачи одномерной минимизации
min{j k (a) | a>0 }, (2.27)
где j k (a)=f(X k - a· (X k)). Таким образом, на каждой итерации в направлении антиградиента 
выполняется исчерпывающий спуск. Для решения задачи (2.27) можно воспользоваться одним из методов одномерного поиска, изложенных в разделе 1, например, методом поразрядного поиска или методом золотого сечения.
Опишем алгоритм метода наискорейшего спуска.
Шаг 0. Задать параметр точности e>0, выбрать X 0 ÎE n , положить k=0.
Шаг 1. Найти (X k) и проверить условие достижения заданной точности || (x k) ||£ e. Если оно выполняется, то перейти к шагу 3, иначе - к шагу 2.
Шаг 2. Решить задачу (2.27), т.е. найти a k . Найти очередную точку , положить k=k+1 и перейти к шагу 1.
Шаг 3 Завершить вычисления, положив X * = X k , f * = f(X k).
Минимизировать функцию
f(x)=x 1 2 +4x 2 2 -6x 1 -8x 2 +13; (2.28)
Вначале решим задачу классическим методом. Запишем систему уравнений, представляющих собой необходимые условия безусловного экстремума
Решив ее, получим стационарную точку X*=(3;1). Далее проверим выполнение достаточного условия, для чего найдем матрицу вторых производных
Так как, согласно критерию Сильвестра, эта матрица положительно определена при " , то найденная точка X* является точкой минимума функции f(X). Минимальное значение f *=f(X*)=0. Таково точное решение задачи (11).
Выполним одну итерацию метода градиентого спуска для (2.28). Выберем начальную точку X 0 =(1;0), зададим начальный шаг a=1 и параметр l=0,5. Вычислим f(X 0)=8.
Найдем градиент функции f(X) в точке X 0
(X 0)= = (2.29)
Определим новую точку X=X 0 -a· (X 0), вычислив ее координаты
x 1 = 
x 2 = 
(2.30)
Вычислим f(X)= f(X 0 -a· (X 0))=200. Так как f(X)>f(X 0), то выполняем дробление шага, полагая a=a·l=1·0,5=0,5. Снова вычисляем по формулам (2.30) x 1 =1+4a=3; x 2 =8a=4 и находим значение f(X)=39. Так как опять f(X)>f(X 0), то еще уменьшаем величину шага, полагая a=a·l=0,5·0,5=0,25. Вычисляем новую точку с координатами x 1 =1+4·0,25=2; x 2 =8·0,25=2 и значение функции в этой точке f(X)=5. Поскольку условие убывания f(X) Выполним одну итерацию по методу наискорейшего спуска
для (2.28) с той же начальной точкой X 0 =(1;0). Используя уже найденный градиент (2.29), находим X= X 0 -a· (X 0) и строим функцию j 0 (a)=f(X 0 -a· (X 0))=(4a-2) 2 +4(8a-1) 2 . Минимизируя ее с помощью необходимого условия j 0 ¢(a)=8·(4a - 2)+64·(8a - 1)=0 находим оптимальное значение величины шага a 0 =5/34. Определяем точку минимизирующей последовательности X 1 = X 0 -a 0 · (X 0) 
.
Загрузка...
