Матричный анализ. Матричные методы стратегического анализа. Классификация и внедрение. Классификация матриц стратегического анализа и планирования

Курс лекций по дисциплине

«Матричный анализ»

для студентов II курса

математического факультета специальности

«Экономическая кибернетика»

(лектор Дмитрук Мария Александровна)

Глава 3. Функции от матриц.

Определение функции.

Df. Пусть функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.

Решение этой задачи известно, когда f(x) многочлен: , тогда.

Определение f(A) в общем случае.

Пусть m(x) минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение, собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.

Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Тогда, т.е. (3), .

Условимся m чисел для f(x) таких называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать.

Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) (3) (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены gi(x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения gi(A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A).

Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),

Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при.

Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).

Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.

Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. , то значение функции на спектре.

Пример:

Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

. Построим f(H 1 ). Найдем минимальный многочлен H 1 последний инвариантный множитель :

, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n 0 n кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H 1 .

, r(0)=f(0), r (0)=f (0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) .

Свойства функций от матриц.

Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а, то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x): .

Доказательство:

Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

Посчитаем. Перейдем от равенства к определителям:

Сделаем замену в равенстве:

Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на, получим:

Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что собственные значения матрицы f(A).

ЧТД.

Свойство № 2. Пусть матрица и собственные значения матрицы А, f(x) произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны.

Доказательство:

Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что, а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны.

ЧТД.

Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, т.е. , и f(x) произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда

Доказательство:

Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), .

ЧТД.

Свойство № 4. Если А блочно-диагональная матрица, то

Следствие: Если, то, где f(x) функция, определенная на спектре матрицы А.

Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Случай № 1.

Пусть дана. Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A простой. В этом случае построим базисные многочлены lk(x):

Пусть f(x) функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут. Надо построить.

Построим:

Обратим внимание, что.

Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .

Построим базисные многочлены:

Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:

Возьмем , тогда интерполяционный многочлен

Случай № 2.

Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.

Случай № 3.

Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:

где m1+m2+…+ms=m, deg r(x)

Составим дробно-рациональную функцию:

и разложим ее на простейшие дроби.

Обозначим: . Умножим (*) на и получим

где некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при.

Если в (**) положить, получим:

Для того, чтобы найти ak3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент aki определяется однозначно.

После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е.

Пример: Найти f(A), если , где t некоторый параметр,

Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А

Умножим (*) на (х-3)

при х=3

Умножим (*) на (х-5)

Таким образом, - интерполяционный многочлен.

Пример 2.

Если , то доказать, что

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

- характеристический многочлен.

d 2 (x)=1, тогда минимальный многочлен

Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:

функция является определенной на спектре.

Умножим (*) на

Умножим (*) на :

Вычислим, взяв производную (**):

. Полагая ,

, т.е. .

Итак, ,

Пример 3.

Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x).

Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А f(1), f (1), f(2), f (2), f (2) определены.

Используем метод неопределенных коэффициентов:

Если f(x)=ln x

f(1)=0 f (1)=1

f(2)=ln 2 f (2)=0.5 f (2)=-0.25

4. Простые матрицы.

Пусть матрица, так как С алгебраически замкнутое поле, то ха

Дает возможность определить оптимальную последовательность изучения учебных предметов, включенных в учебный план. Каждый предмет в учебном плане имеет собственный номер.

Пусть учебный план включает 19 предметов. Строим квадратную матрицу с основой, что равно числу предметов в учебном плане (19).

Методом экспертной оценки опытными преподавателями определяются наиболее существенные взаимосвязи между учебными предметами. Столбцы матрицы считаются потребителями, а строки - носителями информации. Например, для столбца 10 важными носителями информации являются строки 7, 9, 11, то есть знания по предметам с этими номерами. Эти строки в столбике отражены единицами (1), отсутствие наличного связи - нулями (0). В результате проведенного анализа была образована матрица девятнадцатого порядке.Анализ матрицы заключается в последовательном удалении столбцов и строк. До столбцов, заполненных нулями, не поступает информация из других предметов, т. е. изучение их не основывается на логической взаимосвязи с другими предметами, хотя они в свою очередь могут быть носителями первичной информации. Значит предметы, которые имеют номера этих столбцов, могут изучаться в первую очередь. Строки, заполненные нулями, не считаются носителями информации и не будут основой для изучения других предметов, а значит, могут изучаться последними.

Сначала вычеркиваются столбцы 7,8, 9,18 и соответствующие им строки. Получаем первую сокращенную матрицу пятнадцатого порядка, которая в свою очередь имеет нулевые столбцы 4, 16, 17. Избавившись от них, получаем вторую сокращенную матрицу. Проведя, таким образом, все последующие сокращения, получаем матрицу, в которой отсутствуют столбца без единиц, но имеются нулевые строки, которые также вычеркиваются вместе с соответствующими им столбцами. Последовательно выполнив подобные действия, приходим к матрице такого вида, как это показано на схеме.

Образована матрица соответствует графу, приведенному на рисунке 3.2. В этом графе три замкнутых двойных контуры(13-15), (5-6), (11-10). С некоторым приближением можно считать, что предметы, которые вошли в эти контуры, должны изучаться параллельно, причем сначала изучаются предметы с номерами 13 и 15, а уже потом предметы 5, 6, 10, 11.

в Результате проведенного матричного анализа становится возможным создать схематическую (блочную) модель изучение предметов в учебном плане:

Схема показывает комбинированную систему подключения учебных предметов. В ячейках содержатся номера предметов с параллельным изучением. Образованную систему подключения следует понимать не как обязательную последовательность подключения одной группы предметов только после окончания предыдущей, а лишь как необходимость опережения в их изучении. Она лишь указывает на общую тенденцию в подключении предметов.

Матричный анализ программы

Дает возможность оценить логическую последовательность расположения учебного материала внутри учебного предмета и соответствующим образом совершенствовать ее.

Пусть учебный предмет включает 6 тем. Матрица А! составлена по тематическому плану этого учебного предмета. Номера тем, что при составлении матрицы рассматриваются в плане их использования при изучении других тем, расположены по вертикали, номера, расположенные по горизонтали, соответствуют темам, рассмотренным в плане использования ими информации из других тем.

Для выявления замкнутых контуров, наличие которых свидетельствует о невозможности установления прохождения последовательности прохождения отдельных тем, проводим преобразования (укорачивания) матрицы Аи. Удаляем строку 5, состоящий из нулей, и столбец, соответствующий ему, а также нулевой столбец 3 с соответствующей строкой. Образуется матрица А2.

В матрице А2 недостающие строки и столбцы, состоящие из одних нулей. Для установления замкнутых контуров приводим соответствующий матрице А2 граф (см. рис. 3.3, а).

По изучению графа следует, что наличие замкнутых контуров вызвано взаимосвязью между содержанием учебного материала тем 1 и 6, а также тем 4 и 6. Причиной отмеченного взаимосвязи является неудачный перераспределение содержания учебного материала между указанными темами. Просмотрев содержание этих тем, становится возможным устранить имеющиеся замкнутые контуры графа. Таким образом образуется новый граф (рис. 3.3,б) и соответствующая ему матрица А3.

Сокращение этой матрицы дает новую матрицу А4.

После удаления дуг(6, 4), (6, 1) и (1, 6) получаем новую исходную матрицу В1, граф которой не имеет замкнутых контуров.

Теперь, когда замкнутые контуры разорваны, приступим к корректировке порядка расположения тем. Для этого последовательно будем удалять столбцы, состоящие из нулей, и одноименные с ними строки. При изучении тем, соответствующие таким столбцам, не используются сведения из других тем, и поэтому их можно изучать в первую очередь.

В матрице! нулевыми являются столбцы 1 и 3. Таким образом, тема 1 может занять свое место в тематическом плане. При изучении причин, требующих постановки темы 3 перед темой 2, выясняется, что некоторые сведения по теме 2 имеют место в теме 3. Однако их логичнее и полезнее оставить их в теме 3.

После перестановки учебного материала вместо дуги (3, 2) получаем дугу (2, 3); удалим столбец 1 - получаем матрицу В2.

Теме 2 присваиваем бывший номер 2. Удаляем столбец 2 строка 2. Получаем матрицу В3.

Темы 3 и 4 остаются с прежними номерами. Удаляем столбцы 3, 4 с соответствующими строками; получим матрицу В4

Теме 6 присваиваем номер 5, а теме 5 - номер 6.

Составляем матрицу С1 согласно нового распределения тем.

Проведем преобразования матрицы, последовательно удаляя нулевые строки и одноименные с ними столбцы. Соответствующие им темы перемещаем в конец ряда, потому что информацию этих тем не используют при изучении других тем. Теме 5 присваиваем номер 6.

Удаляем строку и столбец 6. Присваиваем теме 6 номер 5.

Удаляем строки 4 и 3 и темам, что им отвечают, присваиваем бывшие номера 4 и 3.

По темам 1 и 2 остаются прежние номера в тематическом плане. В результате проведенной матричной обработки получается следующее окончательное расположение тем в структуре учебного предмета:

Из приведенной последовательности видно, что после матричной обработки структуры тематического плана поменялись местами темы 5 и 6. Кроме того, возникла необходимость перемещения учебного материала по теме 5 в тему 1, а также из темы 2 в тему 3.

Как видно из приведенного примера, матричный анализ структуры учебного материала дает возможность в определенной степени упорядочить его и усовершенствовать взаимное расположение темам учебной программы.

Следует учитывать, что матричный анализ учебных планов и программ требует от исполнителей большого практического опыта и глубокого знания содержания обучения. В первую очередь это относится к составлению исходной матрицы, точнее, к определению связей между учебными предметами или учебными темами внутри предмета. Связей между такими крупными элементами, как темы программы, существует много, но исполнители матричного анализа должны уметь "читать между строк" (найти скрытые, но реально существующие связи), определить значимость различных связей в отношении целей матричного анализа, а иногда и критически относиться к содержанию темам учебных предметов.

Матричный анализ или матричный метод нашел широкое распространение при сравнительной оценке различных хозяйственных систем (предприятий, отдельных подразделений предприятий и т.п.). Матричный метод позволяет определить интегральную оценку каждого предприятия по нескольким показателям. Эта оценка называется рейтингом предприятия. Рассмотрим применение матричного метода поэтапно на конкретном примере.

1. Выбор оценочных показателей и формирование матрицы исходных данных a ij , то есть таблицы, где по строкам отражаются номера систем (предприятий), а по столбцам номера показателей (i=1,2….n) - системы; (j=1,2…..n) - показатели. Выбранные показатели должны иметь одинаковую направленность (чем больше, тем лучше).

2. Составление матрицы стандартизованных коэффициентов. В каждом столбце определяется максимальный элемент, а затем все элементы этого столбца делятся на максимальный элемент. По результатам расчета создается матрица стандартизованных коэффициентов.

Выделяем в каждом столбце максимальный элемент.

Исторически первой моделью корпоративного стратегического планирования принято считать так называемую модель «роста - доли», которая больше известна как модель Бостонской консалтинговой группы (BCG).

Эта модель представляет из себя своеобразное отображение позиций конкретного вида бизнеса в стратегическом пространстве, определяемым двумя осями (x, y), одна из которых используется для измерения темпов роста рынка соответствующего продукта, а другая - для измерения относительной доли продукции организации на рынке рассматриваемого продукта.

Появление модели BCG явилось логическим завершением одной исследовательской работы, проведенной в свое время специалистом консалтинговой компании Boston Consulting Group.

В процессе изучения различных организаций, производящих 24 основных видов продуктов в 7 отраслях промышленности (электроэнергетика, производство пластмасс, промышленность цветных металлов, производство электрооборудования, производство бензина и др.), были установлены эмпирические факты того, что при удвоении объемов производства переменные издержки на производство единицы продукции уменьшаются на 10-30%.

Также было установлено, что эта тенденция имеет место почти в любом рыночном секторе.

Эти факты и стали основанием для выводов, что переменные издержки производства являются одним из основных, если не главным, фактором делового успеха и определяет конкурентные преимущества одной организации перед другой.

Статистическими методами были выведены эмпирические зависимости, описывающие взаимосвязь издержек производства, единицы продукции и объем производства. И один из основных факторов конкурентного преимущества был поставлен в однозначное соответствие с объемом производства продукции, и следовательно, с тем, какую долю на рынке соответствующих продуктов занимает этот объем.

Основное внимание в модели BCG сосредотачивается на потоке денежной наличности предприятия, которая направляется, либо на проведение операции в отдельно взятой бизнес - области, либо возникает в результате таких операций. Считается, что уровень дохода или расхода денежной наличности находится в очень сильной функциональной зависимости от темпов роста рынка и относительной доли организации на этом рынке.

Темпы роста бизнеса организации определяют темп, в котором организация будет использовать денежную наличность.

Принято считать, что на стадии зрелости и на заключительной стадии жизненного цикла любого бизнеса успешный бизнес генерирует денежную наличность, тогда как на стадии развития и роста бизнеса происходит поглощение наличности.

Вывод: для поддержания непрерывности успешного бизнеса денежная масса, появляющаяся в результате осуществления «зрелого» бизнеса, частично должна быть инвестирована в новые области бизнеса, которые в будущем обещают стать генераторами доходов организации.

В модели BCG основными коммерческими целями организации предполагается рост массы и нормы прибыли. При этом, набор допустимых стратегических решений относительно того, как можно достичь этих целей - ограничивается 4 вариантами:

1) увеличение доли бизнеса организации на рынке;
2) борьба за сохранение доли бизнеса организации на ранке;
3) максимальное использование положения бизнеса на рынке;
4) освобождение от данного вида бизнеса.

Решения, которые предполагает модель BCG, зависят от положения конкретного вида бизнеса организации, стратегическом пространстве, образуемом двумя координатными осями. Использование этого параметра в модели BCG возможны по 3 причинам:

растущий рынок, как правило, обещает в скором будущем отдачу инвестиций в данный вид бизнеса.

повышенные темпы роста рынка воздействуют на объем денежной наличности со знаком «-» даже в случае довольно высокой нормы прибыли, так как требует повышенных инвестиций в развитие бизнеса.

Существует две модели BCG: классическая и адаптированная. Рассмотрим Классическую модель:

Структура Классической модели:

На оси абсцисс выставляется измерение некоторых конкурентных позиций организации в данном бизнесе в виде отношения объемов продаж организации в данном бизнесе к объему продаж крупнейшего в данной бизнес - области конкурента.

В оригинальной версии BCG шкала абсцисс является логарифмической. Таким образом, модель BCG представляет из себя матрицу 2*2, на которой области бизнеса отображаются окружностями с центрами на пересечении координат, образуемых соответствующими темпами роста рынка и величинами относительной доли организации на соответствующем рынке.

Каждая нанесенная окружность характеризует только 1 бизнес - область, характерную для данной организации.

Величина окружности пропорциональна общему размеру всего рынка. Чаще всего этот размер определяется простым сложением бизнеса организации и соответствующего бизнеса ее конкурентов.

Иногда на каждой окружности выделяется сегмент, характеризующий относительную долю в бизнес - области организации на данном рынке, хотя для получения стратегических выводов в данной модели - это не обязательно.

Деление осей на 2 части сделано не случайно. В верхней части матрицы оказываются бизнес области, относящиеся к темпам роста выше средних. В нижней соответственно более низким.

В оригинальной модели BCG принято, что границей высоких и низких темпов роста является 10% увеличения продаж в год.

Каждому из этих квадратов даются образные названия (например: матрицу BCG называют «Зоопарком»).

«Звезды»: это новые бизнес - области, занимающие относительно большую долю бурно развивающегося рынка, на котором приносят высокие прибыли. Это бизнес - области можно назвать лидерами своих отраслей, так как они приносят организации очень высокий доход. Однако главная проблема связана с определением правильного баланса между доходом и инвестициями в эту область с тем, чтобы в будущем гарантировать возврат последних.

«Дойные коровы»: это бизнес - области, которые в прошлом получили относительно большую долю рынка, однако со временем рост соответствующей отрасли заметно замедлился, поток денежной наличности в этой позиции хорошо сбалансирован, поскольку для инвестиций в такую бизнес - область требуется самый необходимый минимум. Такая бизнес - область может принести хороший доход организации (Это бывшие «Звезды»).

«Трудные дети»: эти бизнес - области конкурируют в растущих отраслях, но занимают относительно небольшую долю рынка. Это сочетание обстоятельств приводит к необходимости увеличения инвестиций, с целью защиты своей доли рынка. Высокие темпы роста требуют значительной денежной наличности, чтобы соответствовать этому росту.

«Собаки»: это бизнес - области с относительно небольшой долей на рынке в медленно развивающихся отраслях. Поток денежной наличности незначителен, порой даже отрицателен.

Но не многие используют Классическую модель, так как она непрактична из-за необходимости получения актуальных данных о состоянии рынка и доли, занимаемой компанией и ее конкурентом. Поэтому для расчетов используем

Адаптированную модель:

Адаптированная матрица BCG строится на основе внутренней информации компании. Необходимые данные - объемы продаж продукции за определенный период, который не может быть менее 12 месяцев, в дальнейшем, для отслеживания динамики, необходимо добавлять данные за следующие 3 месяца (т.е. данные за 12, 15, 18, 21, 24 месяца). Данные необязательно должны начинаться с января месяца, но должны быть по месяцам. Также важно учитывать сезонность продаж товаров или услуг для продукции вашей компании. В рассматриваемой компании товарный портфель состоит из 5 групп товаров, а также имеются данные об их продажах за период январь - декабрь 2013г.

Таблица 5. Данные по продажам предприятия ООО НордВест

– умножив вес на оценку и просуммировав полученные значения по всем факторам, получим взвешенную оценку / рейтинг привлекательности рынка

Таблица 7. Оценка привлекательности отрасли

Таблица 8. Оценка конкурентной позиции в отрасли

2 .Строим Матрицу Мак - Кинси для ООО Норд-Вест

По оси x откладываем 3,6 балла, по оси у откладываем 2,9 балла. На пересечении данных баллов мы попадаем в квадрат «Успех 3». Который присущ организациям, рыночная привлекательность которых держится на среднем уровне, но при этом их преимущества на данном рынке очевидны и сильны. Стратегические выводы из анализа на основе матрицы McKinsey очевидны: компания ООО Норд-Вест "попадает в квадрат «Успех 3»

Рис. 4. Матрица Мак-Кинси

Для позиции «успех 3» характерны наивысшая степень привлекательности рынка и относительно сильные преимущества на нем. Предприятие будет безусловным лидером или одним из лидеров на строительном рынке, а угрозой для него может быть только усиление некоторых позиций отдельных конкурентов. Поэтому стратегия предприятия, которое пребывает в такой позиции, должна быть нацелена на защиту своего состояния в большинстве своем с помощью дополнительных инвестиций. Организации необходимо, прежде всего, определить наиболее привлекательные рыночные сегменты и инвестировать именно в них, развивать свои преимущества и противостоять влиянию конкурентов.

Керамическая плитка

Ячеистый бетон

Крупно форматный кирпич

Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter

Курс лекций по дисциплине

«Матричный анализ»

для студентов II курса

математического факультета специальности

«Экономическая кибернетика»

(лектор Дмитрук Мария Александровна)

Глава 3. Функции от матриц.

1. Определение функции.

Df. Пусть – функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.

Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен: , тогда .

Определение f(A) в общем случае.

Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение , , – собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.

Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Тогда , т.е. (3), , , .

Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) Þ (3) Þ (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены g i (x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g i (A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),

Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .

Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).

Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. , то значение функции на спектре .

Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

. Построим f(H 1). Найдем минимальный многочлен H 1 – последний инвариантный множитель :

, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n Þ 0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H 1 .

R(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) Þ .

Тройка является решением игры <=>, когда является решением игры, где а – любое вещественное число, к>0 ГЛАВА 2. Игры с нулевой суммой в чистых стратегиях 2.1 Вычисление оптимальных стратегий на примере решения задач Используя теорему о минимаксе, можно утверждать, что каждая антагонистическая игра имеет оптимальные стратегии. Теорема: пусть А – матричная игра и строки данной...

Картину, не соответствующие ей, являются кандидатами на исключение из сферы деятельности корпорации. 5. Разработка корпоративной стратегии Предшествующий анализ подготовил почву для разработки стратегических шагов по улучшению деятельности диверсифицированной компании. Основное заключение о том, что делать, зависит от выводов, касающихся всего набора видов деятельности в хозяйственном...