Критические точки на графике функции. Как вычислить точку пересечения двух прямых

Привет всем Хабра людям. Хочу представить уважаемым читателям пример, когда сухая и далекая от жизни в нашем понимании высшая математика дала не плохой практический результат.

Сначала немного воспоминаний

Задача для алгоритма

Дано:

Определить:

Вывод формул для последующего написания алгоритма ни в коем случае не претендует на математическую полноту и точность, а лишь демонстрирует инженерный (потребительский подход) к Царице полей наук.

Пояснение с рабоче-крестьянской инженерной точки зрения:
- граница Г наш заданный контур,
- z0 -тестируемая точка
- f(z) - комплексная функция от комплексного аргумента нигде в контуре не обращается в бесконечность.

Те есть, чтобы установить принадлежность точки контуру, нам необходимо вычислить интеграл и сравнить его со значением функции в данной точки. Если они совпадают, то точка лежит в контуре. Замечание: интегральная теорема коши гласит, что если точка не лежит в контуре, те подынтегральное выражение нигде не обращается в бесконечность, то интеграл равен нулю. Это упрощает дело – нужно лишь вычислить интеграл и проверить его на равенство нулю: равен нулю точка не контура, отличен - лежит в контуре.
Займемся вычислением интеграла. За f(z) примем простую функцию 1. Не нарушая общности можно за z0 принять точку 0 (всегда можно сдвинуть координаты).

Избавляемся от мнимой единицы в знаменателе подынтегральной части и расщепим интеграл на действительную и мнимую части:

Получилось два криволинейных интеграла II рода.
Вычислим первый

Выполнятся условие не зависимости интеграла от пути, следовательно, первый интеграл равен нулю и его вычислять не нужно.

С мнимой частью такой фокус не проходит. Вспоминаем, что наша граница состоит из отрезков прямых, получаем:

Где Гi- это отрезок (xi,yi)- (xi+1,y i+1)
Вычислим i-ый интеграл. Для этого запишем уравнение i-го отрезка в параметрическом виде

Подставим в интеграл

И после громоздких и нудных преобразований получим следующую прельстивую формулу:

Окончательно получаем

Алгоритм на C++:

template <class T>
bool pt_in_polygon(const T &test,const std::vector &polygon)
{
if (polygon.size()<3) return false;

Std::vector::const_iterator end=polygon.end();

T last_pt=polygon.back();

Last_pt.x-=test.x;
last_pt.y-=test.y;

double sum=0.0;

for (
std::vector::const_iterator iter=polygon.begin();
iter!=end;
++iter
{
T cur_pt=*iter;
cur_pt.x-=test.x;
cur_pt.y-=test.y;

double del= last_pt.x*cur_pt.y-cur_pt.x*last_pt.y;
double xy= cur_pt.x*last_pt.x+cur_pt.y*last_pt.y;

Sum+=
atan((last_pt.x*last_pt.x+last_pt.y*last_pt.y - xy)/del)+
atan((cur_pt.x*cur_pt.x+cur_pt.y*cur_pt.y- xy)/del)
);

Last_pt=cur_pt;

return fabs(sum)>eps;

T – тип точки, например:
struct PointD
{
double x,y;
};

Управление:
клик левой кнопкой – добавление новой точки контура
правой кнопкой - замыкание контура
левой с зажатым Shift-ом – перенос тестовой точки

Господа, кому интересно, привожу более быстрый алгоритм. Уже не мой.
Отдельное и огромное спасибо за статейку.
template bool pt_in_polygon2(const T &test,const std::vector &polygon)
{

Static const int q_patt= { {0,1}, {3,2} };

If (polygon.size()<3) return false;

Std::vector::const_iterator end=polygon.end();
T pred_pt=polygon.back();
pred_pt.x-=test.x;
pred_pt.y-=test.y;

Int pred_q=q_patt;

For(std::vector::const_iterator iter=polygon.begin();iter!=end;++iter)
{
T cur_pt = *iter;

Cur_pt.x-=test.x;
cur_pt.y-=test.y;

Int q=q_patt;

Switch (q-pred_q)
{
case -3:++w;break;
case 3:--w;break;
case -2:if(pred_pt.x*cur_pt.y>=pred_pt.y*cur_pt.x) ++w;break;
case 2:if(!(pred_pt.x*cur_pt.y>=pred_pt.y*cur_pt.x)) --w;break;
}

Pred_pt = cur_pt;
pred_q = q;

Показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.

Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной

Если дан график производной , то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!

Задача 1.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение:

На рисунке выделены цветом области убывания функции :

В эти области убывания функции попадает 4 целые значения .

Задача 2.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой (или, что тоже самое, ), имеющей угловой коэффициент , равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси , так как угловой коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к оси .

Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции будут параллельны оси .

Таких точек – 4.

Задача 3.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой , имеющей угловой коэффициент , то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что в точках касания.

Поэтому смотрим, сколько точек на графике имеют ординату , равную .

Как видим, таких точек – четыре.

Задача 4.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Решение:

Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:

Задача 5.

На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение:

На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках. Таких точек 4.

Задача 6.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

Решение:

Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).

Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.

Задача 7.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции неотрицательная.

На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания четыре целых значения : , , и .

Их сумма:

Задача 8.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение:

На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.

Длина наибольшего из них – 6.

Задача 9.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Решение:

Смотрим как ведет себя график на отрезке , а именно нас интересует только знак производной .

Знак производной на – минус, так как график на этом отрезке ниже оси .

Критические точки – это точки в которых производная функции равна нулю или не существует. Если производная равна 0 то функция в этой точке принимает локальный минимум или максимум . На графике в таких точках функция имеет горизонтальную асимптоту, то есть касательная параллельна оси Ох .

Такие точки называют стационарными . Если видите на графике непрерывной функции «горб» или «яму» помните, что максимум или минимум достигается в критической точке. Рассмотрим для примера следующее задание.

Пример 1. Найти критические точки функции y=2x^3-3x^2+5 .
Решение. Алгоритм нахождения критических точек следующий:

Итак функция имеет две критические точки.

Далее, если нужно провести исследование функции то определяем знак производной слева и справа от критической точки. Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «-» на «+» , то функция принимает локальный минимум . Если с «+» на «-» должны локальный максимум .

Второй тип критических точек это нули знаменателя дробных и иррациональных функций

Функции с логарифмами и тригонометрические, которые не определены в этих точках


Третий тип критических точек имеют кусочно-непрерывные функции и модули.
Например любая модуль-функция имеет минимум или максимум в точке излома.

Например модуль y = | x -5 | в точке x = 5 имеет минимум (критическую точку).
Производная в ней не существует, а справа и слева принимает значение 1 и -1 соответственно.

Попробуйте определить критические точки функций

1)
2)
3)
4)
5)

Если в ответе у Вы получите значение
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
то Вы уже знаете как найти критические точки и сможете справиться с простой контрольной или тестами.

Область определения функции, вычислить ее производную, найти область определения производной функции, найти точки обращения производной в ноль, доказать принадлежность найденных точек области определения исходной функции.

Пример 1Определите критические точки функции y = (x - 3)²·(x-2).

РешениеНайдите область определения функции, в данном случае ограничений нет: x ∈ (-∞; +∞);Вычислите производную y’. По правилам дифференцирования произведения двух имеется: y’ = ((x - 3)²)’·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)’ = 2·(x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. После получается квадратное уравнение: y’ = 3·x² – 16·x + 21.

Найдите область определения производной функции: x ∈ (-∞; +∞).Решите уравнение 3·x² – 16·x + 21 = 0 для того, чтобы найти, при каких обращается в ноль: 3·x² – 16·x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3.Итак, производная обращается в ноль при значениях x, равных 3 и 7/3.

Определите, принадлежат ли найденные точки области определения исходной функции. Поскольку x (-∞; +∞), то обе эти точки являются критическими.

Пример 2Определите критические точки функции y = x² – 2/x.

РешениеОбласть определения функции: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), поскольку x стоит в знаменателе.Вычислите производную y’ = 2·x + 2/x².

Область определения производной функции та же, что у исходной: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).Решите уравнение 2·x + 2/x² = 0:2·x = -2/x² → x = -1.

Итак, производная обращается в ноль при x = -1. Выполнено необходимое, но недостаточное условие критичности. Поскольку x=-1 попадает в интервал (-∞; 0) ∪ (0; +∞), то эта точка являются критической.

Источники:

• Критический объем реализации, штПорог

Многие женщины страдают от предменструального синдрома, который проявляется не только болезненными ощущениями, но и повышенным аппетитом. В результате критические дни могут значительно замедлить процесс похудения.

Причины повышения аппетита во время критических дней

Причиной повышения аппетита в период критических дней является изменение общего гормонального фона в женском организме. За несколько дней до наступления менструации уровень гормона прогестерона повышается, организм настраивается на возможную и старается сделать дополнительные запасы энергии в виде жировых отложений, даже если женщина сидит . Таким образом, изменение веса в критические дни – это нормальное явление.

Как питаться во время месячных

Постарайтесь не есть в эти дни сладости, кондитерские изделия и другие высококалорийные продукты, содержащие «быстрые» . Их избыток немедленно отложится в жир. Многим женщинам в этот период очень хочется съесть шоколадку, в этом случае можно купить горький шоколад и побаловать себя несколькими дольками, но не больше. В период месячных не стоит употреблять алкогольные напитки, маринады, соленья, копчености, семечки и орехи. Соленья и копчености вообще стоит ограничить в рационе за 6-8 дней до начала менструации, поскольку такие продукты увеличивают запасы воды в организме, а этот период характеризуется повышением накопления жидкости. Чтобы сократить количество соли в рационе, добавляйте ее в минимальном количестве в готовые блюда.

Рекомендуется употреблять нежирные молочные продукты, растительную пищу, каши. Будут полезны бобовые, отварной картофель, рис - продукты, в состав которых входят «медленные» углеводы. Восполнить потери железа помогут морепродукты, печень, рыба, говядина, птица, яйца, бобовые, сухофрукты. Будут полезны пшеничные отруби. Естественной реакцией в период месячных являются отеки. Скорректировать состояние помогут легкие мочегонные травы: базилик, укроп, петрушка, сельдерей. Их можно использовать в качестве приправы. Во второй половине цикла рекомендуется употреблять белковые продуктов (нежирные сорта мяса и рыбы, молочные продукты), а количество углеводов в рационе следует максимально снизить.

Экономическое понятие критического объема продаж соответствует положению предприятия на рынке, при котором выручка от реализации товара является минимальной. Такая ситуация называется точкой безубыточности, когда спрос на продукцию падает и прибыль едва покрывает себестоимость. Чтобы определить критический объем продаж , используют несколько методов.

Инструкция

Рабочий цикл не ограничивается его деятельностью – производством или услуг. Это сложная труда определенной структуры, включающей работу основного персонала, управленческого аппарата, менеджерского состава и др., а также экономистов, задача которых – финансовый анализ предприятия.

Целью этого анализа является расчет некоторых величин, которые в той или иной степени влияют на размер конечной прибыли. Это различные виды объемов производства и реализации, полной и средней , показатели спроса и и т.д. Основная задача – выявить такой объем производства, при котором устанавливается стойкая взаимосвязь между затратами и прибылью.

Минимальный объем продаж , при котором доход полностью покрывает затраты, но не увеличивает собственный капитал компании, называется критическим объемом продаж . Есть три метода расчета способа этого показателя: метод уравнений, маржинального дохода и графический.

Чтобы определить критический объем продаж по первому методу, составьте уравнение вида:Вп – Зпер – Зпос = Пп = 0, где:Вп – выручка от продаж и ;Зпер и Зпос – затраты переменные и постоянные;Пп – прибыль от продаж и.

По другому методу первое слагаемое, выручка от продаж , представьте в виде произведения маржинального дохода от единицы товара на объем продаж , то же касается переменных затрат. Постоянные затраты распространяются на всю партию товара, поэтому эту составляющая оставьте общей:МД N – Зпер1 N – Зпос = 0.

Выразите из этого уравнения величину N, и вы получите критический объем продаж :N = Зпос/(МД – Зпер1), где Зпер1 – переменные затраты на единицу товара.

Графический метод предполагает построение . Нанесите на координатную плоскость две линии: функцию выручки от продаж за вычетом обоих затрат и функцию прибыли. На оси абсцисс откладывайте объем продукции, а по оси ординат – доход от соответствующего количества товара, выраженный в денежных единицах. Точка пересечения этих линий соответствует критическому объему продаж , положению безубыточности.

Источники:

• как определить критическую работу

Критическое мышление представляет собой совокупность суждений, на основе которых формируются определенные выводы, и делается оценка объектов критики. Оно особенно свойственно исследователям и ученым всех отраслей науки. Критическое мышление занимает более высокую ступень по сравнению с обыденным.

Ценность опыта в формировании критического мышления

Сложно анализировать и делать выводы относительно того, в чем плохо разбираешься. Следовательно, чтобы научиться мыслить критически, необходимо изучать объекты во всевозможных связях и взаимоотношениях с другими явлениями. А также большое значение в данном деле имеет владение информацией о подобных объектах, умение выстраивать логические цепочки суждений и делать обоснованные выводы.

К примеру, судить о ценности художественного произведения можно только зная достаточно много других плодов литературной деятельности. При этом неплохо быть знатоком истории развития человечества, становления литературы и литературной критики. В отрыве от исторического контекста произведение может потерять заложенный в него смысл. Чтобы оценка художественного произведения была достаточно полной и обоснованной, необходимо также использовать свои литературоведческие знания, которые включают в себя правила построения художественного текста в рамках отдельных жанров, систему различных литературных приемов, классификацию и анализ существующих стилей и направлений в литературе и т.д. При этом важным является и изучение внутренней логики сюжета, последовательности действий, расстановки и взаимодействия персонажей художественного произведения.

Особенности критического мышления

Среди прочих особенностей критического мышления можно выделить следующие:
- знания об исследуемом объекте являются лишь отправной точкой для дальнейшей мозговой деятельности, связанной с построением логических цепочек;
- последовательно выстроенные и основанные на здравом смысле рассуждения приводят к выявлению истинной и ошибочной информации об изучаемом объекте;
- критическое мышление всегда связано с оценкой имеющейся информации о данном объекте и соответствующими выводами, оценка же, в свою очередь, связана с уже имеющимися навыками.

В отличие от обыденного мышления, критическое не подчинено слепой вере. Критическое мышление позволяет с помощью целой системы суждений об объекте критики постичь ее суть, выявить истинные знания о ней и опровергнуть ложные. Оно основано на логике, глубине и полноте изучения, правдивости, адекватности и последовательности суждений. При этом очевидные и давно доказанные утверждения принимаются как постулаты и не требуют повторного доказательства и оценки.

В двумерном пространстве две прямые пересекаются только в одной точке, задаваемой координатами (х,y). Так как обе прямые проходят через точку их пересечения, то координаты (х,y) должны удовлетворять обоим уравнениям, которые описывают эти прямые. Воспользовавшись некоторыми дополнительными навыками вы сможете находить точки пересечения парабол и других квадратичных кривых.

Шаги

Точка пересечения двух прямых

Запишите уравнение каждой прямой, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения. Возможно, данное вам уравнение вместо «у» будет содержать переменную f(x) или g(x); в этом случае обособьте такую переменную. Для обособления переменной выполните соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения.

• Если уравнения прямых вам не даны, на основе известной вам информации.
• Пример . Даны прямые, описываемые уравнениями и y − 12 = − 2 x {\displaystyle y-12=-2x} . Чтобы во втором уравнении обособить «у», прибавьте к обеим сторонам уравнения число 12:

1. Вы ищете точку пересечения обеих прямых, то есть точку, координаты (х,у) которой удовлетворяют обоим уравнениям. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять. Запишите новое уравнение.

   • Пример . Так как y = x + 3 {\displaystyle y=x+3} и y = 12 − 2 x {\displaystyle y=12-2x} , то можно записать такое равенство: .

2. Найдите значение переменной «х». Новое уравнение содержит только одну переменную «х». Для нахождения «х» обособьте эту переменную на левой стороне уравнения, выполнив соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения. Вы должны получить уравнение вида х = __ (если вы не можете это сделать, этого раздела).

   • Пример . x + 3 = 12 − 2 x {\displaystyle x+3=12-2x}
   • Прибавьте 2 x {\displaystyle 2x} к каждой стороне уравнения:
   • 3 x + 3 = 12 {\displaystyle 3x+3=12}
   • Вычтите 3 из каждой стороны уравнения:
   • 3 x = 9 {\displaystyle 3x=9}
   • Разделите каждую сторону уравнения на 3:
   • x = 3 {\displaystyle x=3} .

3. Используйте найденное значение переменной «х» для вычисления значения переменной «у». Для этого подставьте найденное значение «х» в уравнение (любое) прямой.

   • Пример . x = 3 {\displaystyle x=3} и y = x + 3 {\displaystyle y=x+3}
   • y = 3 + 3 {\displaystyle y=3+3}
   • y = 6 {\displaystyle y=6}

4. Проверьте ответ. Для этого подставьте значение «х» в другое уравнение прямой и найдите значение «у». Если вы получите разные значение «у», проверьте правильность ваших вычислений.

   • Пример: x = 3 {\displaystyle x=3} и y = 12 − 2 x {\displaystyle y=12-2x}
   • y = 12 − 2 (3) {\displaystyle y=12-2(3)}
   • y = 12 − 6 {\displaystyle y=12-6}
   • y = 6 {\displaystyle y=6}
   • Вы получили такое же значение «у», поэтому в ваших вычислениях ошибок нет.

5. Запишите координаты (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух прямых. Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у).

   • Пример . x = 3 {\displaystyle x=3} и y = 6 {\displaystyle y=6}
   • Таким образом, две прямые пересекаются в точке с координатами (3,6).

6. Вычисления в особых случаях. В некоторых случаях значение переменной «х» найти нельзя. Но это не значит, что вы допустили ошибку. Особый случай имеет место при выполнении одного из следующих условий:

   • Если две прямые параллельны, они не пересекаются. При этом переменная «х» просто сократится, а ваше уравнение превратится в бессмысленное равенство (например, 0 = 1 {\displaystyle 0=1} ). В этом случае в ответе запишите, что прямые не пересекаются или решения нет.
   • Если оба уравнения описывают одну прямую, то точек пересечения будет бесконечное множество. При этом переменная «х» просто сократится, а ваше уравнение превратится в строгое равенство (например, 3 = 3 {\displaystyle 3=3} ). В этом случае в ответе запишите, что две прямые совпадают.

   Задачи с квадратичными функциями

   1. Определение квадратичной функции. В квадратичной функции одна или несколько переменных имеют вторую степень (но не выше), например, x 2 {\displaystyle x^{2}} или y 2 {\displaystyle y^{2}} . Графиками квадратичных функций являются кривые, которые могут не пересекаться или пересекаться в одной или двух точках. В этом разделе мы расскажем вам, как найти точку или точки пересечения квадратичных кривых.

   2. Перепишите каждое уравнение, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения.

      • Пример . Найдите точку (точки) пересечения графиков x 2 + 2 x − y = − 1 {\displaystyle x^{2}+2x-y=-1} и
      • Обособьте переменную «у» на левой стороне уравнения:
      • и y = x + 7 {\displaystyle y=x+7} .
      • В этом примере вам дана одна квадратичная функция и одна линейная функция. Помните, что если вам даны две квадратичные функции, вычисления аналогичны шагам, изложенным далее.

   3. Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять.

      • Пример . y = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle y=x^{2}+2x+1} и y = x + 7 {\displaystyle y=x+7}

   4. Перенесите все члены полученного уравнения на его левую сторону, а на правой стороне запишите 0. Для этого выполните базовые математические операции. Это позволит вам решить полученное уравнение.

      • Пример . x 2 + 2 x + 1 = x + 7 {\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}
      • Вычтите «x» из обеих сторон уравнения:
      • x 2 + x + 1 = 7 {\displaystyle x^{2}+x+1=7}
      • Вычтите 7 из обеих сторон уравнения:

   5. Решите квадратное уравнение. Перенеся все члены уравнения на его левую сторону, вы получили квадратное уравнение. Его можно решить тремя способами: при помощи специальной формулы, и .

      • Пример . x 2 + x − 6 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-6=0}
      • При разложении уравнения на множители вы получите два двучлена, при перемножении которых получается исходное уравнение. В нашем примере первый член x 2 {\displaystyle x^{2}} можно разложить на х*х. Сделайте следующую запись: (x)(x) = 0
      • В нашем примере свободный член -6 можно разложить на следующие множители: − 6 ∗ 1 {\displaystyle -6*1} , − 3 ∗ 2 {\displaystyle -3*2} , − 2 ∗ 3 {\displaystyle -2*3} , − 1 ∗ 6 {\displaystyle -1*6} .
      • В нашем примере второй член – это х (или 1x). Сложите каждую пару множителей свободного члена (в нашем примере -6), пока не получите 1. В нашем примере подходящей парой множителей свободного члена являются числа -2 и 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 {\displaystyle -2*3=-6} ), так как − 2 + 3 = 1 {\displaystyle -2+3=1} .
      • Заполните пробелы найденной парой чисел: .

   6. Не забудьте про вторую точку пересечения двух графиков. Если вы решаете задачу быстро и не очень внимательно, вы можете забыть про вторую точку пересечения. Вот как найти координаты «х» двух точек пересечения:

      • Пример (разложение на множители) . Если в уравнении (x − 2) (x + 3) = 0 {\displaystyle (x-2)(x+3)=0} одно из выражений в скобках будет равно 0, то все уравнение будет равно 0. Поэтому можно записать так: x − 2 = 0 {\displaystyle x-2=0} → x = 2 {\displaystyle x=2} и x + 3 = 0 {\displaystyle x+3=0} → x = − 3 {\displaystyle x=-3} (то есть вы нашли два корня уравнения).
      • Пример (использование формулы или дополнение до полного квадрата) . При использовании одного из этих методов в процессе решения появится квадратный корень. Например, уравнение из нашего примера примет вид x = (− 1 + 25) / 2 {\displaystyle x=(-1+{\sqrt {25}})/2} . Помните, что при извлечении квадратного корня вы получите два решения. В нашем случае: 25 = 5 ∗ 5 {\displaystyle {\sqrt {25}}=5*5} , и 25 = (− 5) ∗ (− 5) {\displaystyle {\sqrt {25}}=(-5)*(-5)} . Поэтому запишите два уравнения и найдите два значения «х».

   7. Графики пересекаются в одной точке или вообще не пересекаются. Такие ситуации имеют место при соблюдении следующих условий:

      • Если графики пересекаются в одной точке, то квадратное уравнение раскладывается на одинаковые множители, например, (х-1) (х-1) = 0, а в формуле появляется квадратный корень из 0 ( 0 {\displaystyle {\sqrt {0}}} ). В этом случае уравнение имеет только одно решение.
      • Если графики вообще не пересекаются, то уравнение на множители не раскладывается, а в формуле появляется квадратный корень из отрицательного числа (например, − 2 {\displaystyle {\sqrt {-2}}} ). В этом случае в ответе напишите, что решения нет.