Умножение многочлена на многочлен: правило, примеры. Калькулятор онлайн.Упрощение многочлена.Умножение многочленов

Урок по теме "Умножение многочлена на многочлен"

7 класс

Предмет: Алгебра

Тип урока:

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Используемые учебники и учебные пособия:

Учебник «Алгебра 7». Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского. Москва «Просвещение».2011г.

Используемое оборудование:

Компьютер, мультимедийный проектор, экран, школьная доска

Цель урока: Вывести алгоритм умножения многочлена на многочлен.

Задачи: Деятельностная: формировать способность к построению правила умножения многочлена на многочлен.

Образовательные: - научить умножать многочлен на многочлен;
- повторить умножение степеней, умножение одночленов, умножение одночлена на многочлен.

Воспитательная: - развивать коммуникативные способности учащихся при работе в группе.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель
– Добрый день ребята, у нас сегодня необычный урок, посмотрите, пожалуйста, друг на друга, улыбнитесь, посмотрите на меня, улыбнулись, пожелаем успеха друг другу, и начнём работать.
Сегодня на уроке вы будете работать в группах. Для совместной работы нужна взаимовыручка, взаимоподдержка, умение слушать друг друга, умение принять точку зрения другого. Надеюсь, ваша совместная работа, сегодня на уроке, будет именно такой.

II. Открытие новых знаний. (презентация)

На слайде записаны следующие выражения:

1)Х(2х+у) ,2) (х+у)(х-у), 3) 8( y +6); 4) (2х+5у)-(3х-2у)

5) (4а-5в)+(3в -8а), 6)(2х +1)(х – 3); 7)(2у+3)(4-х).

Учитель: Посмотрите на выражения, записанные на слайде.

Назовите номера примеров на умножение одночлена на многочлен, как умножить одночлен на многочлен? ( Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и результаты сложить.)

Назовите номера примеров на сложение и вычитание многочленов

Какие задания вы не сможете выполнить? (Умножить многочлен на многочлен.)

ИТАК, какую учебную задачу поставим на урок? (Научиться умножать многочлен на многочлен.)

А что значит научиться? (Вывести правило или алгоритм умножения многочлена на многочлен).

Т.е. мы должны разработать алгоритм умножения многочлена на многочлен.

(Записываем тему урока «Умножение многочлена на многочлен).

Какую учебную задачу мы поставим на урок? (Разработать алгоритм умножения многочлена на многочлен. )

- Попробуем решить задачу: Найти площадь поверхности стены, занятой шкафом, размеры которого указаны на рисунке.

a b

Итак, как вы нашли площадь поверхности стены, занятый шкафом?

Площадь шкафа можно найти двумя способами:

1)найти площадь каждой полки и результаты сложить;

2)найти длину и ширину шкафа и результаты сложить

Итак, вы получили такую формулу: (а+ b ) (c + d ) = ac + ad + bc + bd

Именно так великий греческий математик Евклид доказывал справедливость этого равенства с помощью чертежа, изображенного на рисунке 68 вашего учебника.

Какие знания нам понадобятся для этого? (Распределительный закон умножения, правило умножения одночлена на многочлен. )

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

Учитель разбирает один из примеров.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

А теперь вернемся к тем примерам, которые вызвали у вас затруднения

Пример1. (х+у)(х-у)=х =

Пример2. (2х +1)(х – 3)=

Пример 3. (2у+3)(4-х)=8у-2 xy +12-3 x

Кто пойдет к доске? Кто готов выбрать одно из предложенных выражений и попробовать умножить многочлен на многочлен?

Остальные могут выбрать другое выражение и разобрать его самостоятельно.

Какой первый шаг нашего алгоритма?(умножение каждого члена одного многочлена,на каждый член другого.)

Какой второй шаг нашего алгоритма?

И наконец?

Попробуем дать полный алгоритм умножения многочленов:

1 шаг: каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго многочлена;

2 шаг: найти произведения полученных одночленов;

3 шаг: привести подобные слагаемые;

4 шаг: полученный многочлен записать в стандартном виде.

Мы справились с учебной задачей? (Справились) Откроем учебники на стр.136 и прочитаем правило умножения многочлена на многочлен. (расскажите это правило друг другу) (ТАЙМД ПЭА ШЭА)(30 сек)

Несколько учеников проговаривают правило.

Что же еще нам осталось сделать? (Потренироваться. )

III. Закрепление

1.Выполнение задания у доски и в тетрадях
№ 677 (с комментариями у доски по одному учащемуся)

№ 678 (3 человека у доски одновременно решают по два номера, без комментариев. С последующей классной проверкой)

Этап IV . Применение в жизни.

Ребята на ГИА встречаются задачи такого типа:

Сторона участка квадратной формы на 3 м меньше участка прямоугольной формы и на 2 м больше другой. Найти сторону участка квадратной формы, если ее площадь на 14 кв. метров меньше площади прямоугольного участка.

x +3 x

x -2

НариНарисуем эти участки в виде прямоугольника и квадрата, пусть сторона квадратного листа участка x м, тогда его площадь х 2 м 2 . Стороны прямоугольного участка (х - 2) м и (х + 3) м, площа площадь (х - 2) (х + 3) м 2 . Составим и решим уравнение: (х - 2) (х + 3) - х 2 =14

Стор x =20

Ответ: 20м

Найдите площадь участка квадратной формы и ответ запишите в арах.

S =20м x 20м=400

Этап V. Проверка усвоенных знаний.

Самостоятельна работа (в парах)

1. Закончите запись:

А) (а+4)(в-8)=ав-8а…

Б) (х-4) (у+8)=

2. Узнайте, какие три планеты были открыты за последние 200 лет. Для этого, выполните умножение многочлена на многочлен и, используя найденные ответы и данные таблицы:

4 задания –“4”,

3 задания – “3”,

в остальных случаях – “2”

Этап V. Подведение итога урока.

Проверяется правильность выполнения заданий по готовому решению по презентации, разбираются ошибки.

Этап VI . Рефлексия деятельности .
– Что нового вы узнали на уроке? (Как умножать многочлены).
– Достигнута цель нашего урока?
- Наш урок подходит к концу. Проведём минутку хвастовства.

Я узнал….
- у меня получилось…
- я смог…
- я научился…
- теперь я могу…

В своих тетрадях поставьте звездочку, если вы считаете, что материал усвоен; квадратик – если остались вопросы; треугольник- недовольны результатами своей работы.

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд К успеху приведут!

Ребята, сегодня на уроке вы работали в паре. И, надеюсь, убедились, вместе работать легче, вместе – интереснее. И как бы ни был труден путь к знаниям, вместе его преодолеть легче!!!

Мне было приятно с вами работать. Спасибо за урок.

Цели урока: повторить и закрепить правила выполнения действий между одночленами и многочленами. В течение урока развивать у учеников умение упрощать выражения с одночленами и многочленами, использовать свои знания для выполнения разных видов заданий; так же развивается чувство сотрудничества и сопереживания.
Ход урока:
1. Организационный момент. (2 мин.)
Рассадить детей на 5 групп. Рассказать тему урока и задачи урока.

2. Анализ самостоятельной работы. (5 мин.)
Выставить оценки и разобрать задания из работы, которые при решении вызвали затруднения. Так же проводится фронтальный опрос всего класса по определения и правилам.

• Что называется одночленом?
• Что называется многочленом?
• Какие слагаемые являются подобными?
• Что такое стандартный вид одночлена? многочлена?
• Влияет ли коэффициент на подобия слагаемых?
• Что значит сложить подобные слагаемые?
• Расскажите правило раскрытия скобок, если перед скобкой знак плюс.
• Если перед скобкой знак минус.
• Если перед скобкой множитель.
• Расскажите правило умножения многочленов.

3. Актуализация знаний. (13 мин.)
На столе преподавателя лежат три стопки карточек. В первой карточки с выражениями одночленов:

Во второй и третьей карточки с выражениями многочленов:



В каждой стопке по шесть карточек. Из каждой группы выходит по очереди по одному ученику и для своей группы берет по карточке из каждой стопки. И с данными выражениями группа должна выполнить следующие упражнения:

• Умножить одночлен на многочлен.
• Сложить многочлены.
• Из первого многочлена вычесть второй.
• Умножить многочлен на многочлен.

Примеры записываются и решаются. Примеры должны быть записаны у каждого в группе и решение должен уметь объяснить каждый из группы.
После выполнения задания, учитель из каждой группы вызывает по одному ученику. Этот ученик должен записать примеры на доске и затем объяснить решение. Пока задания записываются, остальные устно выполняют и разбирают задание № 796.

4. Решение задач. (13 + 7 мин.)
1) После каждой группе выдается карточка с выражениями для упрощения. Карточки у всех одинаковые. Учащиеся должны обсудить в группе, каким образом выполнять действия и внимательно решить.

После выполнения устно проверяются ответы. Каждая группа читает по одному ответу. Если в каком-нибудь примере возникли трудности, то пример обсуждается на доске. (Обратить внимание на пятый пример.)
2) Затем каждой группе раздается по карточке с заданием на доказательство. Если ученики не могут справиться, преподаватель чуть-чуть должен подсказать.

Продолжаем изучать действия с многочленами . В этой статье мы разберем умножение многочлена на многочлен . Здесь мы получим правило умножения, после чего рассмотрим его применение при решении примеров на умножение многочленов различного вида.

Навигация по странице.

Правило

Чтобы подойти к правилу умножения многочлена на многочлен, рассмотрим пример. Возьмем два многочлена a+b и c+d и выполним их умножение.

Сначала составим их произведение, для этого заключим каждый из многочленов в скобки, и поставим между ними знак умножения, имеем (a+b)·(c+d) . Теперь обозначим (c+d) как x , после этой замены записанное произведение примет вид (a+b)·x . Выполним умножение так, как проводится умножение многочлена на одночлен : (a+b)·x=a·x+b·x . На этом этапе проведем обратную замену x на c+d , что нас приведет к выражению a·(c+d)+b·(c+d) , которое с помощью правила умножения одночлена на многочлен преобразуется к виду a·c+a·d+b·c+b·d . Таким образом, умножению исходных многочленов a+b и c+d соответствует равенство (a+b)·(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d .

Из проведенных рассуждений можно сделать два важных вывода. Во-первых, результатом умножения многочлена на многочлен является многочлен. Это утверждение справедливо для любых умножаемых многочленов, а не только для тех, которые мы взяли в примере. Во-вторых, произведение многочленов равно сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого. Отсюда следует, что при умножении многочленов, содержащих m и n членов соответственно, указанная сумма произведений членов будет состоять из m·n слагаемых.

Теперь сделанные выводы нам позволяют сформулировать правило умножения многочленов:
чтобы провести умножение многочлена на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и сложить полученные произведения.

Примеры умножения многочлена на многочлен

На практике при решении примеров правило умножения многочлена на многочлен, полученное в предыдущем пункте, разбивается на последовательные шаги:

• Так сначала записывается произведение умножаемых многочленов. При этом умножаемые многочлены заключаются в скобки и между ними ставится знак «· ».
• Дальше строится сумма произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго. Для этого берется первый член первого многочлена и умножается на каждый член второго многочлена. После этого берется второй член первого многочлена и тоже умножается на каждый член второго многочлена. И так далее.
• Наконец, при возможности остается полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида .

Разберемся с этим на конкретном примере.

Пример.

Выполните умножение многочленов 2−3·x и x 2 −7·x+1 .

Решение.

Записываем произведение: (2−3·x)·(x 2 −7·x+1) .

Теперь составляем сумму произведений каждого члена многочлена 2−3·x на каждый член многочлена x 2 −7·x+1 . Для этого берем первый член первого многочлена, то есть, 2 , и умножаем его на каждый член второго многочлена, имеем 2·x 2 , 2·(−7·x) и 2·1 . Теперь берем второй член первого многочлена −3·x и умножаем его на каждый член второго многочлена, имеем −3·x·x 2 , −3·x·(−7·x) и −3·x·1 . Из всех полученных выражений составляем сумму: 2·x 2 +2·(−7·x)+2·1− 3·x·x 2 −3·x·(−7·x)−3·x·1 .

Чтобы убедиться, что мы все сделали правильно и не забыли про произведение каких-нибудь членов, посчитаем количество членов в полученной сумме. Там их 6 . Так и должно быть, так как исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов, а 2·3=6 .

Осталось полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида:
2·x 2 +2·(−7·x)+2·1− 3·x·x 2 −3·x·(−7·x)−3·x·1= 23·x 2 −17·x+2−3·x 3 .

Таким образом, умножение исходных многочленов дает многочлен 23·x 2 −17·x+2−3·x 3 .

Удобно решение записывать в виде цепочки равенств, которая отражает все выполняемые действия. Для нашего примера краткое решение выглядит так:
(2−3·x)·(x 2 −7·x+1)= 2·x 2 +2·(−7·x)+2·1− 3·x·x 2 −3·x·(−7·x)−3·x·1= 2·x 2 −14·x+2−3·x 3 +21·x 2 −3·x= (2·x 2 +21·x 2)+(−14·x−3·x)+2−3·x 3 = 23·x 2 −17·x+2−3·x 3 .

Ответ:

(2−3·x)·(x 2 −7·x+1)=23·x 2 −17·x+2−3·x 3 .

Стоит заметить, что если умножаемые многочлены заданы в виде, отличном от стандартного, то перед умножением их целесообразно привести к стандартному виду. В результате получится тот же результат, что и при умножении многочленов в исходном не стандартном виде, но решение получится намного короче.

Пример.

Выполните умножение многочленов и x·y−1 .

Решение.

Многочлен дан не в стандартном виде. Прежде чем выполнять умножение, приведем многочлен его к стандартному виду:

Теперь можно выполнять умножение многочленов:

Ответ:

В заключение скажем, что иногда приходится выполнять умножение трех, четырех и большего количества многочленов. Оно сводится к последовательному умножению двух многочленов. То есть, сначала умножаются первые два многочлена, полученный результат умножается на третий многочлен, этот результат умножается на четвертый многочлен и так далее.

Пример.

Найдите произведение трех многочленов x 2 +x·y−1 , x+y и 2·y−3 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Умножение многочленов Урок алгебры в 7 классе

Задачи: Систематизировать материал по теме «Сложение, вычитание, умножение многочленов» Провести диагностику усвоения знаний стандартного уровня с переходом на более высокий уровень Развить познавательный интерес, память, мышление, внимание, сообразительность Научиться вырабатывать критерии оценки своей работы, умение анализировать проделанную работу и адекватно ее оценивать. Цель: Отработать навыки работы с многочленами

«Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий»

Устно: c 4 ∙c 2 ; (c 3) 4 ; c 7 ∙c 3 ∙c ; (c 2) 6 c ; 4x 2 ∙(-2 y) ; -5a∙(- 4a 2) ; (5x 4) 2 ; 7x 4 ∙(- 3x) 2 ; (- 2x 2) 3 ; 2 x∙(7 x-3) ; (5p-2q) - 10 ; (b+7)(-4b) ; (9y-3)6y ; 8x 5 - 10x 5 ; -4a 2 - 3a 2 ; 5y 4 +2y 3 ; 2x+6 ; 8x-12y ; 6ab+a ; x 2 -x ; a 3 -2a 4 +3a 5 ;

C лово алгебра произошло от слова ал- джабра, взятого из названия книги узбекского математика, астронома и географа Мухаммеда Ал-Хорезми. Арабское слово аль-джебр переводчик не стал переводить, а записал его латинскими буквами algebr . Так возникло название науки, которую мы изучаем. « Ал-джабра »-операция переноса отрицательных членов из одной части уравнения в другую, но уже с положительным знаком. По-русски это слово называется «восполнение».

Что называется многочленом? Сумма одночленов. Что называют одночленом? Произведение чисел, переменных и их степеней. Какие слагаемые называют подобными? Слагаемые с одинаковой буквенной частью. Как привести подобные слагаемые? Сложить их числовые коэффициенты, а результат умножить на общую буквенную часть. Как умножить одночлен на многочлен? Одночлен умножить на каждый член многочлена, а результаты сложить. Как умножить одночлены? Умножить числовые коэффициенты, а затем умножить степени с одинаковыми основаниями и результаты перемножить.

Как умножить степени с одинаковыми основаниями? Основание оставить тем же, а показатели степеней сложить. Как возвести степень в степень? Основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить. Что называется степенью многочлена стандартного вида? Наибольшая из степеней входящего в него одночлена. Что называют степенью одночлена? Сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Как умножить многочлен на многочлен? Каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить

Вариант 1 - x(4x-1) 0,2x(5x+5) (2x+4) ∙8x 2 -1/8x 2 ∙(16- 8 x 2) 2x(x 2 +5x+3) x 2 y 2 (x + y) x(x+2) x 2 (x 2 +2x+3) 3x 2 (x-2) (x + y)(-3x) -3xy∙(x 4 -3xy) 2x (x+7) -4x (-x+2) Вариант 2 0,4y(5y 2 +5) -y(3y 2 -1) 1/4y 2 (4y 2 +8) -1/9x 3 (18-9x 3) 3y(y 2 +3x+2) x 2 y 2 (y + x) y(y+4) y 2 (у +2y 2 +3) 2y 2 (y-3) -3y(x + y) -2y(-y+4) 8x 2 y(x 2 -4yx) x(5+8x) 2y 3 +2y -3y 3 +y y 4 +2y 2 -2x 3 +x 6 3y 3 +9xy+6y x 2 y 3 +x 3 y y 2 +4y y 3 +2y 4 +3y 4 2y 3 -6y 2 -3yx-3y 2 2y 2 -8y 8x 4 y-32x 3 y 2 5x+8x 2 -4 x 2 +x x 2 +x 16x 3 +32x 2 -2x 2 +x 4 2x 3 +10x 2 +6x x 3 y 2 +x 2 y 3 x 2 +2x x 4 +2x 3 +3x 2 3x 3 -6x 2 -3x 2 -3xy -3x 5 y+9x 2 y 2 2x 2 +14x 4x 2 -8x

11-13 правильных ответов – 5 8-10 правильных ответов – 4 5-7 правильных ответов - 3

Разгрузка 20 сек.

Работа с учебником №682 (а)- у доски (б)-самостоятельно в тетрадях №683 (а)- у доски (б)- самостоятельно в тетрадях

(3- x)(3x 2 +x-4) -x∙(-4)= 3∙3x 2 +3∙x -3∙4 -x∙3x 2 - x∙x 9x 2 +3x -12 -3x 3 -x 2 +4x= 9x 2 + 3x -12-3x 3 -x 2 + 4x = -3x 3 +8x 2 +7x-12.

(3x-1)(5x+4)-15x 2 =17 (1-2x)(1-3x)=(6x-1)∙x-1 Решите уравнение №697;698 1 2 -x∙(x-3)=(6-x)(x+2) 5+x 2 =(x-1)∙(x+6) 2x(x-8)=(x+1)∙(2x-3)

Решение уравнений 2)5+х²=(х-1)(х+6) 5+х²=х²+6х-х-6 6х-х=5+6 5х=11 х=2,2 3)2х(х-8)=(х+1)(2х-3) 2х²-16х=2х²-3х+2х-3 -16х+3х-2х=-3 -15х=-3 х=0,2 1) 12-х(x-3) =(6-x)(х+ 2) 12- х ² +3x =6х +12- х ²- 2 х 3 х - 6 х +2x=0 -x=0 x=0

Задача №700 Назовите три любых последовательных числа На сколько отличаются друг от друга соседние числа? Как записать с помощью х три последовательных числа?

Синквейн Уравнения Сложные, красивые Думать, терпеть, радоваться Уравнения важнее политики, политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно основа Многочлен Стандартный, трудный Умножать, складывать, трудиться

Спасибо за урок! Учитель математики МБОУ «Инсарская»СОШ№1 Антонова Татьяна Викторовна