Определить скорость движения по окружности. Равномерное движение по окружности
1. Движением тела по окружности называют движение, траекторией которого является окружность. По окружности движутся, например, конец стрелки часов, точки лопасти вращающейся турбины, вращающегося вала двигателя и др.
При движении по окружности направление скорости непрерывно изменяется. При этом модуль скорости тела может изменяться, а может оставаться неизменным. Движение, при котором изменяется только направление скорости, а её модуль сохраняется постоянным, называется равномерным движением тела по окружности . Под телом в данном случае имеют в виду материальную точку.
2. Движение тела по окружности характеризуется определёнными величинами. К ним относятся, прежде всего, период и частота обращения. Период обращения тела по окружности \(T \) - время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Единица периода - \([\,T\,] \) = 1 с.
Частота обращения \((n) \) - число полных оборотов тела за одну секунду: \(n=N/t \) . Единица частоты обращения - \([\,n\,] \) = 1 с -1 = 1 Гц (герц). Один герц - это такая частота, при которой тело совершает один оборот за одну секунду.
Связь между частотой и периодом обращения выражается формулой: \(n=1/T \) .
Пусть некоторое тело, движущееся по окружности, за время \(t \) переместилось из точки А в точку В. Радиус, соединяющий центр окружности с точкой А, называют радиусом-вектором . При перемещении тела из точки А в точку В радиус-вектор повернётся на угол \(\varphi \) .
Быстроту обращения тела характеризуют угловая и линейная скорости .
Угловая скорость \(\omega \) - физическая величина, равная отношению угла поворота \(\varphi \) радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел: \(\omega=\varphi/t \) . Единица угловой скорости - радиан в секунду, т.е. \([\,\omega\,] \) = 1 рад/с. За время, равное периоду обращения, угол поворота радиуса-вектора равен \(2\pi \) . Поэтому \(\omega=2\pi/T \) .
Линейная скорость тела \(v \) - скорость, с которой тело движется вдоль траектории. Линейная скорость при равномерном движении по окружности постоянна по модулю, меняется по направлению и направлена по касательной к траектории.
Линейная скорость равна отношению пути, пройденному телом вдоль траектории, ко времени, за которое этот путь пройден: \(\vec{v}=l/t \) . За один оборот точка проходит путь, равный длине окружности. Поэтому \(\vec{v}=2\pi\!R/T \) . Связь между линейной и угловой скоростью выражается формулой: \(v=\omega R \) .
4. Ускорение тела равно отношению изменения его скорости ко времени, за которое оно произошло. При движении тела по окружности изменяется направление скорости, следовательно, разность скоростей не равна нулю, т.е. тело движется с ускорением. Оно определяется по формуле: \(\vec{a}=\frac{\Delta\vec{v}}{t} \) и направлено так же, как вектор изменения скорости. Это ускорение называется центростремительным ускорением .
Центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности — физическая величина, равная отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности: \(a=\frac{v^2}{R} \) . Так как \(v=\omega R \) , то \(a=\omega^2R \) .
При движении тела по окружности его центростремительное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.
Часть 1
1. При равномерном движении тела по окружности
1) изменяется только модуль его скорости
2) изменяется только направление его скорости
3) изменяются и модуль, и направление его скорости
4) не изменяется ни модуль, ни направление его скорости
2. Линейная скорость точки 1, находящейся на расстоянии \(R_1 \) от центра вращающегося колеса, равна \(v_1 \) . Чему равна скорость \(v_2 \) точки 2, находящейся от центра на расстоянии \(R_2=4R_1 \) ?
1) \(v_2=v_1 \)
2) \(v_2=2v_1 \)
3) \(v_2=0,25v_1 \)
4) \(v_2=4v_1 \)
3. Период обращения точки по окружности можно вычислить по формуле:
1) \(T=2\pi\!Rv \)
2) \(T=2\pi\!R/v \)
3) \(T=2\pi v \)
4) \(T=2\pi/v \)
4. Угловая скорость вращения колеса автомобиля вычисляется по формуле:
1) \(\omega=a^2R \)
2) \(\omega=vR^2 \)
3) \(\omega=vR \)
4) \(\omega=v/R \)
5. Угловая скорость вращения колеса велосипеда увеличилась в 2 раза. Как изменилась линейная скорость точек обода колеса?
1) увеличилась в 2 раза
2) уменьшилась в 2 раза
3) увеличилась в 4 раза
4) не изменилась
6. Линейная скорость точек лопасти винта вертолёта уменьшилась в 4 раза. Как изменилось их центростремительное ускорение?
1) не изменилось
2) уменьшилось в 16 раз
3) уменьшилось в 4 раза
4) уменьшилось в 2 раза
7. Радиус движения тела по окружности увеличили в 3 раза, не меняя его линейную скорость. Как изменилось центростремительное ускорение тела?
1) увеличилось в 9 раз
2) уменьшилось в 9 раз
3) уменьшилось в 3 раза
4) увеличилось в 3 раза
8. Чему равен период обращения коленчатого вала двигателя, если за 3 мин он совершил 600 000 оборотов?
1) 200 000 с
2) 3300 с
3) 3·10 -4 с
4) 5·10 -6 с
9. Чему равна частота вращения точки обода колеса, если период обращения составляет 0,05 с?
1) 0,05 Гц
2) 2 Гц
3) 20 Гц
4) 200 Гц
10. Линейная скорость точки обода велосипедного колеса радиусом 35 см равна 5 м/с. Чему равен период обращения колеса?
1) 14 с
2) 7 с
3) 0,07 с
4) 0,44 с
11.
Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и формулами для их вычисления в правом столбце. В таблице под номером физической
величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранной вами формулы из правого столбца.
ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
А) линейная скорость
Б) угловая скорость
В) частота обращения
ФОРМУЛА
1) \(1/T \)
2) \(v^2/R \)
3) \(v/R \)
4) \(\omega R \)
5) \(1/n \)
12.
Период обращения колеса увеличился. Как изменились угловая и линейная скорости точки обода колеса и её центростремительное ускорение. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и характером их изменения в правом столбце.
В таблице под номером физической величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.
ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A) угловая скорость
Б) линейная скорость
B) центростремительное ускорение
ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась
Часть 2
13. Какой путь пройдёт точка обода колеса за 10 с, если частота обращения колеса составляет 8 Гц, а радиус колеса 5 м?
Ответы
Движение по окружности.
1.Равномерное движение по окружности
2.Угловая скорость вращательного движения.
3.Период вращения.
4.Частота вращения.
5.Связь линейной скорости с угловой.
6.Центростремительное ускорение.
7.Равнопеременное движение по окружности.
8.Угловое ускорение в равнопеременном движении по окружности.
9.Тангенциальное ускорение.
10.Закон равноускоренного движения по окружности.
11. Средняя угловая скорость в равноускоренном движении по окружности.
12.Формулы, устанавливающие связь между угловой скоростью, угловым ускорением и углом поворота в равноускоренном движении по окружности.
1.Равномерное движение по окружности – движение, при котором материальная точка за равные интервалы времени проходит равные отрезки дуги окружности, т.е. точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. В этом случае скорость равна отношению дуги окружности, пройденной точкой ко времени движения, т.е.
и называется линейной скоростью движения по окружности.
Как и в криволинейном движении вектор скорости направлен по касательной к окружности в направлении движения (Рис.25).
2. Угловая скорость в равномерном движении по окружности – отношение угла поворота радиуса ко времени поворота:
В равномерном движении по окружности угловая скорость постоянна. В системе СИ угловая скорость измеряется в(рад/c). Один радиан – рад это центральный угол, стягивающий дугу окружности длиной равной радиусу. Полный угол содержит радиан, т.е. за один оборот радиус поворачивается на угол радиан.
3. Период вращения – интервал времени Т, в течении которого материальная точка совершает один полный оборот. В системе СИ период измеряется в секундах.
4. Частота вращения – число оборотов , совершаемых за одну секунду. В системе СИ частота измеряется в герцах (1Гц = 1 ) . Один герц – частота, при которой за одну секунду совершается один оборот. Легко сообразить, что
Если за время t точка совершает n оборотов по окружности то .
Зная период и частоту вращения, угловую скорость можно вычислять по формуле:
5 Связь линейной скорости с угловой . Длина дуги окружности равна где центральный угол, выраженный в радианах, стягивающий дугу радиус окружности. Теперь линейную скорость запишем в виде
Часто бывает удобно использовать формулы: или Угловую скорость часто называют циклической частотой, а частоту линейной частотой.
6. Центростремительное ускорение . В равномерном движении по окружности модуль скорости остаётся неизменным , а направление её непрерывно меняется (Рис.26). Это значит, что тело, движущееся равномерно по окружности, испытывает ускорение, которое направлено к центру и называется центростремительным ускорением.
Пусть за промежуток времени прошло путь равный дуге окружности . Перенесём вектор , оставляя его параллельным самому себе, так чтобы его начало совпало с началом вектора в точке В. Модуль изменения скорости равен , а модуль центростремительного ускорения равен
На Рис.26 треугольники АОВ и ДВС равнобедренные и углы при вершинах О и В равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами АО и ОВ Это значит, что треугольники АОВ и ДВС подобные. Следовательно Если то есть интервал времени принимает сколь угодно малые значения, то дугу можно приближенно считать равной хорде АВ, т.е. . Поэтому можем записать Учитывая, что ВД= , ОА=R получим Умножая обе части последнего равенства на , получим и далее выражение для модуля центростремительного ускорения в равномерном движении по окружности: . Учитывая, что получим две часто применяемые формулы:
Итак, в равномерном движении по окружности центростремительное ускорение постоянно по модулю.
Легко сообразить, что в пределе при , угол . Это значит, что углы при основании ДС треугольника ДВС стремятся значению , а вектор изменения скорости становится перпендикулярным к вектору скорости , т.е. направлен по радиусу к центру окружности.
7. Равнопеременное движение по окружности – движение по окружности, при котором за равные интервалы времени угловая скорость изменяется на одну и ту же величину.
8. Угловое ускорение в равнопеременном движении по окружности – отношение изменения угловой скорости к интервалу времени , в течении которого это изменение произошло, т.е.
где начальное значение угловой скорости, конечное значение угловой скорости, угловое ускорение, в системе СИ измеряется в . Из последнего равенства получим формулы для вычисления угловой скорости
И , если .
Умножая обе части этих равенств на и учитывая, что , - тангенциальное ускорение, т.е. ускорение, направленное по касательной к окружности, получим формулы для вычисления линейной скорости:
И , если .
9. Тангенциальное ускорение численно равно изменению скорости в единицу времени и направлено вдоль касательной к окружности. Если >0, >0, то движение равноускоренное. Если <0 и <0 – движение.
10. Закон равноускоренного движения по окружности . Путь, пройденный по окружности за время в равноускоренном движении, вычисляется по формуле:
Подставляя сюда , , сокращая на , получим закон равноускоренного движения по окружности:
Или , если .
Если же движение равнозамедленное, т.е. <0, то
11.Полное ускорение в равноускоренном движении по окружности
. В равноускоренном движении по окружности центростремительное ускорение с течением времени возрастает, т.к. благодаря тангенциальному ускорению возрастает линейная скорость. Очень часто центростремительное ускорение называют нормальным и обозначают как . Так как полное ускорение в данный момент определяют по теореме Пифагора (Рис.27).
12. Средняя угловая скорость в равноускоренном движении по окружности . Средняя линейная скорость в равноускоренном движении по окружности равна . Подставляя сюда и и сокращая на получим
Если , то .
12. Формулы, устанавливающие связь между угловой скоростью, угловым ускорением и углом поворота в равноускоренном движении по окружности .
Подставляя в формулу величины , , , ,
и сокращая на , получим
Лекция- 4. Динамика.
1. Динамика
2. Взаимодействие тел.
3. Инерция. Принцип инерции.
4. Первый закон Ньютона.
5. Свободная материальная точка.
6. Инерциальная система отсчета.
7. Неинерциальная система отсчета.
8. Принцип относительности Галилея.
9. Преобразования Галилея.
11. Сложение сил.
13. Плотность веществ.
14. Центр масс.
15. Второй закон Ньютона.
16. Единица измерения силы.
17. Третий закон Ньютона
1. Динамика есть раздел механики, изучающий механическое движение, в зависимости от сил, вызывающих изменение этого движения.
2.Взаимодействия тел . Тела могут взаимодествовать, как при непосредственном соприкосновенном соприкосновении, так и на расстоянии посредством особого вида материи, называемого физическим полем.
Например, все тела притягиваются друг к другу и это притяжение осуществляется посредством гравитационного поля, а силы притяжения называются гравитационными.
Тела, несущие в себе электрический заряд, взаимодействуют посредством электрического поля. Электрические токи взаимодействуют посредством магнитного поля. Эти силы называют электромагнитными.
Элементарные частицы взаимодействуют посредсвом ядерных полей и эти силы называют ядерными.
3.Инерция . В IV в. до н. э. греческий философ Аристотель утверждал, что причиной движения тела является сила, действующая со стороны другого тела или тел. При этом, по движения мнению Аристотеля постоянная сила сообщает телу постоянную скорость и с прекращением действия силы прекращается движение.
В 16 в. итальянский физик Галилео Галилей, проводя опыты с телами, скатывающимися по наклонной плоскости и с падающими телами показал, что постоянная сила (в данном случае вес тела) сообщает телу ускорение.
Итак, на основе экспериментов Галилей показал, что сила причина ускорения тел. Приведем рассуждения Галилея. Пусть очень гладкий шар катится по гладкой горизонтальной плоскости. Если шару ничего не мешает, то он может катиться сколь угодно долго. Если же на пути шара насыпать тонкий слой песка, то он очень скоро остановится, т.к. на него подействовала сила трения песка.
Так Галилей пришел к формулировке принципа инерции, согласно которому материальное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на не действуют внешние силы. Часто это свойство материи называют инерцией, а движение тела без внешних воздействий- движением по инерции.
4. Первый закон Ньютона . В 1687 году на основе принципа инерции Галилея Ньютон сформулировал первый закон динамики – первый закон Ньютона:
Материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если на неё не действуют другие тела, либо силы, действующие со стороны других тел, уравновешены, т.е. скомпенсированы.
5.Свободная материальная точка – материальная точка, на которую не действуют другие тела. Иногда говорят – изолированная материальная точка.
6. Инерциальная система отсчета (ИСО) – система отсчёта, относительно которой изолированная материальная точка движется прямолинейно и равномерно, либо находится в состоянии покоя.
Любая система отсчёта, которая движется равномерно и прямолинейно относительно ИСО является инерциальной,
Приведём ещё одну формулировку первого закона Ньютона: Существуют системы отсчёта, относительно которых свободная материальная точка движется прямолинейно и равномерно, либо находится в состоянии покоя. Такие системы отсчёта называются инерциальными. Часто первый закон Ньютона называют законом инерции.
Первому закону Ньютона можно дать ещё и такую формулировку: всякое материальное тело сопротивляется изменению его скорости. Это свойство материи называется инертностью.
С проявлением этого закона мы сталкиваемся ежедневно в городском транспорте. Когда автобус резко набирает скорость, нас прижимает к спинке сидения. Когда же автобус тормозит, то наше тело заносит по ходу движения автобуса.
7. Неинерциальная система отсчёта – система отсчёта, которая движется неравномерно относительно ИСО.
Тело, которое относительно ИСО находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Относительно неинерциальной системы отсчёта движется неравномерно.
Любая вращающаяся система отсчёта есть неинерциальная система отсчёта, т.к. в этой системе тело испытывает центростремительное ускорение.
В природе и технике нет тел, которые могли бы служить в качестве ИСО. Например, Земля вращается вокруг своей оси и любое тело на её поверхности испытывает центростремительное ускорение. Однако в течение достаточно коротких промежутков времени систему отсчёта, связанную с поверхностью Земли в некотором приближении можно считать ИСО.
8.Принцип относительности Галилея. ИСО может быть соль угодно много. Поэтому возникает вопрос: как выглядят одни и те же механические явления в разных ИСО? Можно ли используя механические явления, обнаружить движение ИСО, в которой они наблюдаются.
Ответ на эти вопросы дает принцип относительности классической механики, открытый Галилеем.
Смысл принципа относительности классической механики заключается в утверждении: все механические явления протекают совершенно одинаково во всех инерциальных системах отсчёта.
Этот принцип можно сформулировать и так: все законы классической механики выражаются одинаковыми математическими формулами. Иными словами никакие механические опыты не помогут нам обнаружить движение ИСО. Это значит, что попытка обнаружить движение ИСО лишена смысла.
С проявлением принципа относительности мы сталкивались, путишествуя в поездах. В момент, когда наш поезд стоит на станции, а поезд, стоявший на соседнем пути, медленно начинает движение, то в первые мгновения нам кажется, движется наш поезд. Но бывает и наоборот, когда наш поезд плавно набирает ход, нам кажется, что движение начал соседний поезд.
В приведённом примере принцип относительности проявляется в течение малых интервалов времени. С увеличением скорости мы начинаем ощущать толчки раскачивание вагона, т. е. наша система отсчёта становится неинерциальной.
Итак, попытка обнаружить движение ИСО лишена смысла. Следовательно, абсолютно безразлично, какую ИСО считать неподвижной, а какую – движущейся.
9. Преобразования Галилея . Пусть две ИСО и движутся друг относительно друга со скоростью . Согласно с принципом относительности мы можем положить, что ИСО К неподвижна, а ИСО движется относительно со скоростью . Для простоты положим, что соответствующие оси координат систем и параллельны, а оси и совпадают. Пусть в момент начала систем совпадают и движение происходит вдоль осей и , т.е. (Рис.28)
Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота ), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением
При малых углах поворота Δl ≈ Δs .
Угловой скоростью ω тела в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt →0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt :
Угловая скорость измеряется в рад/с .
Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:
При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора
Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение
направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением . Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями:
Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости 
за малый промежуток времени Δt
. По определению ускорения
Векторы скоростей и в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υA =υB = υ.
Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:
При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB | =Δs ≈ υΔt . Так как |OA | = R и |CD | = Δυ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:
При малых углах Δφ направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt
→0, получаем:
При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.
В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде
где - радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.
Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная ) составляющая ускорения (см 1.1):
В этой формуле Δυ τ = υ 2 - υ 1 - изменение модуля скорости за промежуток времени Δt .
Направление вектора полного ускорения 
определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПО ОКРУЖНОСТИ.
1.ПЕРИОД (Т)-промежуток времени, за который тело совершает один полный оборот.
, где t-время, в течение которого совершено N оборотов.
2. ЧАСТОТА ()- число оборотов N, совершаемых телом за единицу времени.
(герц)
3. СВЯЗЬ ПЕРИОДА И ЧАСТОТЫ:
4. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ () направлено по хордам.
5.УГЛОВОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ (угол поворота ).
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ - это такое движение при котором модуль скорости не изменяется.
6. ЛИНЕЙНАЯ СКОРОСТЬ ( направлена по касательной к окружности.
7. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ 
8. СВЯЗЬ ЛИНЕЙНОЙ И УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
Угловая скорость не зависит от радиуса окружности, по которой движется тело. Если в задаче рассматривается движение точек, расположенных на одном диске, но на разном расстоянии от его центра, то надо иметь в виду, что УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ЭТИХ ТОЧЕК ОДИНАКОВА.
9. ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОЕ (нормальное) УСКОРЕНИЕ ().
Т. к. при движении по окружности постоянно изменяется направление вектора скорости, то движение по окружности происходит с ускорением. Если тело движется по окружности равномерно, то оно обладает только центростремительным (нормальным) ускорением, которое направлено по радиусу к центру окружности. Ускорение называется нормальным, так как в данной точке вектор ускорения расположен перпендикулярно (нормально) к вектору линейной скорости. .
Если тело движется по окружности с изменяющейся по модулю скоростью, то наряду с нормальным ускорением, характеризующим изменение скорости по направлению, появляется ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ, характеризующее изменение скорости по модулю (). Направлено тангенциальное ускорение по касательной к окружности. Полное ускорение тела при неравномерном движении по окружности определится по теореме Пифагора:
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
При рассмотрении движения тела относительно разных систем отсчета траектория, путь, скорость, перемещение оказываются различными. Например, человек сидит в движущемся автобусе. Его траектория относительно автобуса - точка, а относительно Солнца - дуга окружности, путь, скорость, перемещение относительно автобуса равны нулю, а относительно Земли отличны от нуля. Если рассматривается движение тела относительно подвижной и неподвижной систем отсчета, то согласно классического закона сложения скоростей скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной :
Аналогично
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАКОНА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ
1) Движение тел относительно Земли
б) тела движутся навстречу друг другу
2) Движение тел относительно друг друга
а) тела движутся в одном направлении
б) тела движутся в разных направлениях (навстречу друг другу)
3) Скорость тела относительно берега при движении
а) по течению
б) против течения , где - скорость тела относительно воды, - скорость течения.
4) Скорости тел направлены под углом друг к другу.
Например: а) тело переплывает реку, двигаясь перпендикулярно течению
б) тело переплывает реку, двигаясь перпендикулярно берегу
| |
в) тело одновременно участвует в поступательном и вращательном движении, например, колесо движущегося автомобиля. Каждая точка тела имеет скорость поступательного движения, направленную в сторону движения тела и - скорость вращательного движения, направленную по касательной к окружности. Причем, Чтобы найти скорость любой точки относительно Земли необходимо векторно сложить скорость поступательного и вращательного движения:
| |
ДИНАМИКА
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА (ЗАКОН ИНЕРЦИИ)
Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело находится в покое или движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела или действия тел компенсируются (уравновешиваются).
Явление сохранения скорости тала при отсутствии действия на него других тел или при компенсации действия других тел называется инерцией.
Системы отсчета, в которых выполняются законы Ньютона, называются инерциальными системами отсчета (ИСО). К ИСО относятся системы отсчета связанные с Землей или не имеющие ускорения относительно Земли. Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно Земли, являются неинерциальными, в них законы Ньютона не выполняются. Согласно классическому принципу относительности Галилея все ИСО равноправны, законы механики имеют одинаковую форму во всех ИСО, все механические процессы протекают одинаково во всех ИСО (никакими механическими опытами, проведенными внутри ИСО, нельзя определить находится она в покое или движется прямолинейно и равномерно).
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
Скорость тела изменяется при действии на тело силы. Любое тело обладает свойством инертности. Инертность – это свойство тел, состоящее в том, что для изменения скорости тела требуется время, скорость тела мгновенно измениться не может. То тело, которое больше изменяет свою скорость при действии одинаковой силы, является менее инертным. Мерой инертности служит масса тела.
Ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела.
Сила и ускорение всегда сонаправлены. Если на тело действуют несколько сил
, то ускорение телу сообщает равнодействующая
этих сил (), которая равна векторной сумме всех сил, действующих на тело: 
Если тело совершает равноускоренное движение, то на него действует постоянная сила.
ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
Силы возникают при взаимодействии тел.
Тела действуют друг на друга с силами, направленными вдоль одной прямой, равными по модулю и противоположными по направлению.
Особенности сил, возникающих при взаимодействии:
1. Силы всегда возникают парами.
2 Силы, возникающие при взаимодействии, имеют одну природу.
3.Силы, не имеют равнодействующей, т. к. приложены к разным телам.
СИЛЫ В МЕХАНИКЕ
СИЛА ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ-сила, с которой притягиваются все тела во Вселенной.
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ: тела притягиваются друг к другу с силами прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними.
(формулой можно пользоваться для расчета притяжения точечных тел и шаров), где G-гравитационная постоянная (постоянная всемирного тяготения), G=6,67·10 -11 , -массы тел, R-расстояние между телами, измеряется между центрами тел. 
СИЛА ТЯЖЕСТИ – сила притяжения тел к планете. Сила тяжести вычисляется по формулам:
1) , где - масса планеты, - масса тела, - расстояние между центром планеты и телом.
2) , где - ускорение свободного падения,
Сила тяжести всегда направлена к центру тяжести планеты. 
Радиус орбиты искусственного спутника, - радиус планеты, - высота спутника над поверхностью планеты,
Тело становится искусственным спутником, если ему в горизонтальном направлении сообщить необходимую скорость. Скорость, необходимая для того, чтобы тело двигалось по круговой орбите вокруг планеты, называется первой космической скоростью . Чтобы получить формулу для вычисления первой космической скорости, необходимо помнить, что все космические тела, в том числе и искусственные спутники, движутся под действием силы всемирного тяготения , кроме того, скорость – величина кинематическая, «мостиком» в кинематику может служить формула, следующая из второго закона Ньютона Приравнивая правые части формул, получаем: или Учитывая, что тело движется по окружности и поэтому обладает центростремительным ускорением , получаем: или . Отсюда - формула для вычисления первой космической скорости . Учитывая, что формулу для расчета первой космической скорости можно записать в виде: .Аналогично, используя второй закон Ньютона и формулы криволинейного движения, можно определить, например, период обращения тела по орбите.
СИЛА УПРУГОСТИ – сила, действующая со стороны деформированного тела и направленная в сторону, противоположную смещению частиц при деформации. Силу упругости можно вычислить с помощью закона Гука: сила упругости прямо пропорциональна удлинению: где - удлинение,
Жесткость, . Жесткость зависит от материала тела, его формы и размеров.
СОЕДИНЕНИЕ ПРУЖИН
Закон Гука выполняется только при упругих деформациях тел. Упругими называются деформации, при которых после прекращения действия силы тело приобретает прежние форму и размеры.
Движение по окружности - простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.
Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.
∆ l = R ∆ φ
Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .
Проиллюстрируем сказанное:
Угловая скорость
При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.
Определение. Угловая скорость
Угловая скорость в данной точке траектории - предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .
Единица измерения угловой скорости - радиан в секунду (р а д с).
Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:
При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.
При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.
a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:
a n = v 2 R = ω 2 R
Докажем эти соотношения.
Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .
В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.
По определению ускорения:
a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Взглянем на рисунок:
Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .
Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:
R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R
При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → - v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:
a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .
При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.
Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:
a n → = - ω 2 R → .
Здесь R → - радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.
В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонент - нормальное, и тангенциальное.
Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.
a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0
Здесь ∆ v τ = v 2 - v 1 - изменение модуля скорости за промежуток ∆ t
Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.
Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .
Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Загрузка...
