Какие зависимости можно установить между величинами. Прямая пропорциональная зависимость

Моделирование зависимостей

между величинами

«Единственный путь, который ведет к знаниям – это ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ» Б. Шоу

Назвался груздем – полезай

в кузов

Как аукнется - так и откликнется.

Значение

• Имя: смысловое (давление газа, время) и символическое (P,t)
• Значение: постоянная величина (константа) или переменная
• Тип: числовой, символьный, логический

По способу представления

информационные

материальные

вербальные

знаковые

образные

компьютерные

некомпьютерные

Информационные модели

Ч и с л о в о й т и п

Математические Табличные Графические

Время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты

t(с) – время падения; H (м) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой

Давление газа в баллоне зависит от его температуры

P (н/м 2) – давление газа; t (°С) – температура газа. Давление при нуле градусов P 0 будем считать константой для данного газа.

Уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе

Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей – С (мг/м 3). Единица измерения – масса примесей, содержащаяся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей

Математическая модель

Это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики

Табличные и графические модели

Проверим закон свободного падения тела экспериментальным путем.

Будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время его падения.

Таблица и график результатов эксперимента

H, м

t, с

• Существует три способа моделирования числовых величин: функциональный (формула), табличный и графический;

• Формула более универсальна; имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график

Представьте математическую модель зависимости давления газа от температуры

T= от 10 до 150 с шагом 10

Рефлексия

Цель : выявление уровня осознания содержания пройденного материала

Продолжите фразу:

• Сегодня я узнал…
• Я приобрел…
• У меня получилось …
• Я смог…
• Урок дал мне для жизни…
• Мне захотелось…
• Было интересно…
• Было трудно…
• Я выполнял задания…
• Самым сложным при выполнении задания для меня было…
• Самым простым при выполнении задания для меня было…
• Самым интересным при выполнении задания для меня было…

Рефле́ксия (от позднелат. reflexio - обращение назад) - это обращение внимания субъекта на самого себя и на своё сознание, в частности, на продукты собственной активности, а также какое-либо их переосмысление.

Домашнее задание

• Из окна дома на высоте 19,6 м брошена монета со скоростью 5 м/с. Определить время, через которое монета упадет на землю. Используя MS EXCEL, построить модель падения с изменением начальной скорости от 5 м/с до 20м/с

Шаг изменения скорости 1 м/с.

Результат отправить по адресу:

Первый слайд на экране.

Добрый день! Садитесь. Откроем рабочие тетради запишем сегодняшнее число и тему урока:

«Моделирование зависимостей между величинами». Откройте рабочие тетради запишите сегодняшнюю дату и название темы. А в качестве эпиграфа к уроку я хотел бы взять известную фразу лауреата Нобелевской премии в области литературы Джоржа Бернарда Шоу: «Единственный путь, который ведет к знаниям – это

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ»

Определите цель сегодняшнего урока. (Научиться моделировать зависимости между величинами).

что такое модель?

Упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении, которое отражает его существенные свойства.

что такое моделирование?

Моделирование

Процесс построения моделей для исследования и изучения объектов, процессов или явлений;

Метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей.

Какие вы знаете модели по способу их представления

Материальные и информационные

Какое стандартное программное обеспечение позволяет нам строить

информационные модели?

Майкрософт эксесс

Майкрософт эксель

Какое приложение из перечисленных включает в себя более развитый математический аппарат?

Майкрософт эксель

Как вы считаете каким стандартным программным обеспечением необходимо научиться пользоваться для получения результата обозначенного темой урока?

Майкрософт эксель

Второй слайд.

Итак, приступим. Перед вами на слайде пословицы:

4. Как аукнется - так и откликнется.

5. Назвался груздем - полезай в кузов.

Определите понятие, которое объединяет все эти пословицы.

ЗАВИСИМОСТЬ

На каких уроках вы встречались с этим понятием?

(на математике физике химии биологии информатике и т.д).

Какие бывают зависимости?

Зависимости бывают математические, физические социальные информационные и т.д.

Давайте определим понятие зависимость как вид связи между величинами, объектами и субъектами.

Запишите это определение. Отметьте что определение понятия зависимость может изменяться исходя из сферы применения этого понятия. (Например определение наркотической зависимости будет включать в себя составляющие отличные от составляющих информационной зависимости).

Отметим еще две существенные формы зависимости величин, имеющих

утилитарное значение

Это – функциональная и статистическая. В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y=f(x). Однако, если X и Y случайные величины, то между ними может существовать зависимость иного рода, называемая статистической.

Разновидностью статистической зависимости является корреляционная зависимость, моделированием которой, мы займемся в следующей четверти.

Третий слайд

Определим понятие величина.

Что такое величина?

Величина – количественная характеристика исследуемого объекта.

Запишем это определение и перечислим свойства величин.

Свойства величин:

Имя величины.

может быть полным (подчеркивающим ее смысл), а может быть символическим.

Значение.

Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой. Пример константы - число Пифагора n =З,14159... Величина, меняющая свое значение, называется переменной.

определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический.

Поскольку при раскрытии темы урока мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа, описываемые математическими, табличными и графическими моделями.

Четвертый слайд

Слайд «Место информатики в системе наук»

Межпредметное значение информатики в значительной степени проявляется именно через внедрение компьютерного моделирования в различные научные и прикладные области: математику и физику, технику, биологию и медицину, экономику, управление и многие другие. С помощью компьютерного моделирования решаются многие научные и производственные задачи. Гибким инструментом для компьютерного моделирования является MS Excel.

Шестой слайд

Рассмотрим построение компьютерных моделей на

Примерах следующих зависимостей:

1) время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;

2) давление зависит от температуры газа в баллоне;

3) частота заболевания жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха.

Рассмотрим различные методы представления зависимостей.

Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта (процесса, явления).

Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота (Н) и время падения (t).

Кроме имен укажем размерности величин.

t (сек) - время падения; Н (ж) - высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха. Ускорение свободного падения g (м/сек2) - константа.

Отметим что

Если зависимое между величинами удается представить в математической форме, то мы имеем математическую модель.

Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.

Хорошо известны математические модели для первых двух примеров из перечисленных выше. Они отражают физические законы и представляются в виде формул:

Построить самостоятельно табличную и графическую модель процесса изменения давления газа, при изменении температуры.

Для того чтобы вспомнить основные принципы работы с MS Excel построим модель процесса падения тела с высоты.

Демонстрация на экране.

В этом примере мы рассмотрели три способа отображения зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Почему? Потому что формула универсальна. Она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 2.11.

Кроме того, таблица и диаграмма (график) констатируют факты, а математическая модель позволяет прогнозировать, предсказывать путем расчетов.

Сейчас вы выполните компьютерный тест.

Поднимите руки те, кто получил за тест 5.

Определите проблемные места.

и по завершении тестирования построите модель процесса изменения давления.

Исходные данные:

t меняется от 0 до 150 с шагом 10 ПРОВЕРИТЬ!!!

Коротко о главном

Величина - некоторая количественная характеристика объекта.

Зависимости между величинами могут быть представлены в виде математической модели, в табличной и графической формах.

Зависимость, представленная в виде формулы, является математической моделью.

MS Excel явлется гибким доступным и понятным средством моделирования.

Вспомним цель, которую поставили в начале урока.

Достигли ее?

Все ли было понятно на уроке?-рефлексия

Вопросы и задания

1. а) Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?

б) Что такое математическая модель?

в) Может ли математическая модель включать в себя только константы?

2. Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками некоторой системы.

3. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.

рочитеать &36. Ответить письменно на вопорсы после параграфа.

В начале урока будет проверка по созданию зависимости между величинами в программе Excel на время.

Две величины называются прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

Зависимость между такими величинами — прямая пропорциональная зависимость. Примеры прямой пропорциональной зависимости:

1) при постоянной скорости пройденный путь прямо пропорционально зависит от времени;

2) периметр квадрата и его сторона — прямо пропорциональные величины;

3) стоимость товара, купленного по одной цене, прямо пропорционально зависит от его количества.

Чтобы отличить прямую пропорциональную зависимость от обратной можно использовать пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше дров».

Задачи на прямо пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции.

1) Для изготовления 10 деталей нужно 3,5 кг металла. Сколько металла пойдет на изготовление 12 таких деталей?

(Рассуждаем так:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше деталей, тем больше металла нужно для их изготовления. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.

Пусть х кг металла нужно для изготовления 12 деталей. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу):

12:10=х:3,5

Чтобы найти , надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:

Значит, потребуется 4,2 кг металла.

Ответ: 4,2 кг.

2) За 15 метров ткани заплатили 1680 рублей. Сколько стоят 12 метров такой ткани?

(1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем меньше ткани покупают, тем меньше за нее надо заплатить. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.

3. Поэтому вторая стрелка одинаково направлена с первой).

Пусть х рублей стоят 12 метров ткани. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу):

15:12=1680:х

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член пропорции:

Значит, 12 метров стоят 1344 рубля.

Ответ: 1344 рубля.

Величинами являются количественные значения предметов, длин отрезков, времени, углов и т.д.

Определение. Величина - результат измерения, представленный числом и наименованием единицы измерения.

Например: 1 км; 5 ч. 60 км/ч; 15 кг; 180 °.

Величины могут быть независимыми или зависимыми одна от другой. Связь величин может быть жестко установлена (как. например, 1 дм = 10 см) или может отражать зависимость между величинами, выраженную формулой для определения конкретного численного значения (так, например, путь зависит от скорости и продолжительности движения; площадь квадрата — от длины его стороны и т. д.).

Основа метрической системы мер длины - метр - была введена в России в начале XIX века, а до этого для измерения длин использовались: аршин (= 71 см), верста (= 1067 м), косая сажень (= 2 м 13 см), маховая сажень (= 1 м 76 см), простая сажень (= 1 м 52 см), четверть (= 18 см), локоть (приблизительно от 35 см до 46 см), пядь (от 18 см до 23 см).

Как видим, было много величин для измерения длины. С вводом метрической системы мер жестко закреплена зависимость величин длины:

• 1 км = 1 000 м; 1 м = 100 см;
• 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм.

В метрической системе мер определены единицы измерения времени, длины, массы, объема, площади и скорости.

Между двумя и более величинами или системами мер тоже можно устанавливать зависимость, она зафиксирована в формулах, а формулы выведены опытным путем.

Определение. Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными , если отношение их значений остается неизменным.

Неизменное отношение двух величин называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой величины. Если коэффициенты равны. То и отношения равны.

Расстояние есть произведение скорости и времени движения: отсюда вывели основную формулу движении:

где S - путь; V - скорость; t - время.

Основная формула движения — это зависимость расстояния от скорости и времени движения. Такая зависимость называется пряно пропорциональной .

Определение. Две переменные величины прямо пропорциональны, если с увеличением (или уменьшением) в несколько раз одной величины другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз; т.е. отношение соответствующих значений таких величин является величиной постоянной.

При неизменном расстоянии скорость и время связаны другой зависимостью, которая называется обратно пропорциональной .

Правило. Две переменные величины обратно пропорциональны, если с увеличением (или уменьшением) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (или увеличивается) во столько же раз; т.е. произведение соответствующих значений таких величин является величиной постоянной.

Из формулы движения можно вывести еще два соотношения, выражающих прямую и обратную зависимости входящих в них величин:

t = S: V - время движения прямо пропорционально пройденному пути и обратно пропорционально скорости движении (для одинаковых отрезков пути чем больше скорость, тем меньше времени требуется для преодоления расстояния).

V = S: t - скорость движения прямо пропорциональна пройденному пути и обратно пропорциональна времени движения (для одинаковых отрезков пути чем больше
времени движется предмет, тем меньшая скорость требуется для преодоления расстояний).

Все три формулы движения равносильны и используются для решения задач.

Зависимость одной случайной величины от значений, которые прини- мает другая случайная величина (физическая характеристика), в статистике принято называть регрессией. В случае если этой зависимости придан аналитический вид, то такую форму представления изображают уравнением регрессии.

Процедура поиска предполагаемой зависимости между различными числовыми совокупностями обычно включает следующие этапы:

установление значимости связи между ними;

возможность представления этой зависимости в форме математиче- ского выражения (уравнения регрессии).

Первый этап в указанном статистическом анализе касается выявления так называемой корреляции, или корреляционной зависимости. Корреляция рассматривается как признак, указывающий на взаимосвязь ряда числовых последовательностей. Иначе говоря, корреляция характеризует силу взаимосвязи в данных. В случае если это касается взаимосвязи двух числовых массивов xi и yi, то такую корреляцию называют парной.

При поиске корреляционной зависимости обычно выявляется вероятная связь одной измеренной величины x (для какого-то ограниченного диапазона ее изменения, к примеру от x1 до xn) с другой измеренной величиной y (также изменяющейся в каком-то интервале y1 … yn). В таком случае мы будем иметь дело с двумя числовыми последовательностями, между которыми и надлежит установить наличие статистической (корреляционной) связи. На этом этапе пока не ставится задача определить, является ли одна из этих случайных величин функцией, а другая – аргументом. Отыскание количественной зависимости между ними в форме конкретного аналитического выражения y = f(x) - это задача уже другого анализа, регрессионного.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, корреляционный анализ позволяет сделать вывод о силе взаимосвязи между парами данных х и у, а регрессионный анализ используется для прогнозирования одной переменной (у) на основании другой (х). Иными словами, в этом случае пытаются выявить причинно-следственную связь между анализируемыми совокупностями.

Строго говоря, принято различать два вида связи между числовыми совокупностями - ϶ᴛᴏ может быть функциональная зависимость или же статистическая (случайная). При наличии функциональной связи каждому значению воздействующего фактора (аргумента) соответствует строго определœенная величина другого показателя (функции), ᴛ.ᴇ. изменение результативного признака всœецело обусловлено действием факторного признака.

Аналитически функциональная зависимость представляется в следую-щем виде: y = f(x).

В случае статистической связи значению одного фактора соответствует какое-то приближенное значение исследуемого параметра, его точная величина является непредсказуемой, непрогнозируемой, в связи с этим получаемые показатели оказываются случайными величинами. Это значит, что изме-нение результативного признака у обусловлено влиянием факторного признака х лишь частично, т.к. возможно воздействие и иных факторов, вклад которых обозначен как є: y = ф(x) + є.

По своему характеру корреляционные связи - ϶ᴛᴏ соотносительные связи. Примером корреляционной связи показателœей коммерческой деятельности является, к примеру, зависимость сумм издержек обращения от объема товарооборота. В этой связи помимо факторного признака х (объема товарооборота) на результативный признак у (сумму издержек обращения) влияют и другие факторы, в том числе и неучтенные, порождающие вклад є.

Для количественной оценки существования связи между изучаемыми совокупностями случайных величин используется специальный статистический показатель – коэффициент корреляции r.

В случае если предполагается, что эту связь можно описать линœейным уравне- нием типа y=a+bx (где a и b - константы), то принято говорить о существовании линœейной корреляции.

Коэффициент r - это безразмерная величина, она может меняться от 0 до ±1. Чем ближе значение коэффициента к единице (неважно, с каким знаком), тем с большей уверенностью можно утверждать, что между двумя рассматриваемыми совокупностями переменных существует линœейная связь. Иными словами, значение какой-то одной из этих случайных величин (y) существенным образом зависит от того, какое значение принимает другая (x).

В случае если окажется, что r = 1 (или -1), то имеет место классический случай чисто функциональной зависимости (ᴛ.ᴇ. реализуется идеальная взаимосвязь).

При анализе двумерной диаграммы рассеяния можно обнаружить различные взаимосвязи. Простейшим вариантом является линœейная взаимосвязь, которая выражается в том, что точки размещаются случайным образом вдоль прямой линии. Диаграмма свидетельствует об отсутствии взаимосвязи, если точки расположены случайно, и при перемещении слева направо невозможно обнаружить какой-либо уклон (ни вверх, ни вниз).

В случае если точки на ней группируются вдоль кривой линии, то диаграмма рассеяния характеризуется нелинœейной взаимосвязью. Такие ситуации вполне возможны