Изображение прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник. Свойства треугольника
Решение геометрических задач требует огромного количества знаний. Одним из основополагающих определений этой науки является прямоугольный треугольник.
Под этим понятием подразумевается состоящая из трех углов и
сторон, причем величина одного из углов составляет 90 градусов. Стороны, составляющие прямой угол, носят названия катеты, третья же сторона, которая противолежит ему, носит название гипотенузы.
Если катеты в такой фигуре равны, она называется равнобедренный прямоугольный треугольник. В этом случае имеет место принадлежность к двум а значит, соблюдаются свойства обеих групп. Вспомним, что углы у основания равнобедренного треугольника абсолютно всегда равны, следовательно острые углы такой фигуры будут включать по 45 градусов.
Наличие одного из следующих свойств позволяет утверждать, что один прямоугольный треугольник равен другому:
- катеты двух треугольников равны;
- фигуры имеют одинаковые гипотенузу и один из катетов;
- равны гипотенуза и любой из острых углов;
- соблюдается условие равенства катета и острого угла.
Площадь прямоугольного треугольника с легкостью вычисляется как при помощи стандартных формул, так и как величина, равная половине произведения его катетов.
В прямоугольном треугольнике соблюдаются следующие соотношения:
- катет есть не что иное, как среднее пропорциональное гипотенузы и его проекции на нее;
- если описать около прямоугольного треугольника окружность, ее центр будет находиться в середине гипотенузы;
- высота, проведенная из прямого угла, представляет собой среднее пропорциональное с проекциями катетов треугольника на его гипотенузу.
Интересным является то, что каким бы ни был прямоугольный треугольник, свойства эти всегда соблюдаются.
Теорема Пифагора
Помимо вышеназванных свойств для прямоугольных треугольников характерно соблюдение следующего условия:
Теорема эта носит название по имени ее основателя - теорема Пифагора. Он открыл это соотношение, когда занимался изучением свойств квадратов, построенных на
Для доказательства теоремы построим треугольник АВС, катеты у которого обозначим a и b, а гипотенузу с. Далее построим два квадрата. У одного стороной будет являться гипотенуза, у другого сумма двух катетов.
Тогда площадь первого квадрата можно будет найти двумя способами: как сумму площадей четырех треугольников АВС и второго квадрата, либо как квадрат стороны, естественно, что соотношения эти будут равны. То есть:
с 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 , преобразуем получившееся выражение:
с 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab
В итоге получаем: с 2 = a 2 + b 2
Таким образом, геометрическая фигура прямоугольный треугольник соответствует не только всем свойствам, характерным для треугольников. Наличие прямого угла ведет к тому, что фигура обладает другими уникальными соотношениями. Их изучение пригодится не только в науке, но и в повседневной жизни, так как такая фигура, как прямоугольный треугольник, встречается повсеместно.
Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов - прямой, то есть равен 90 градусам.
- Сторона, противолежащая прямому углу называется гипотенузой (на рисунке обозначена как c или AB)
- Сторона, прилежащая к прямому углу, называется катетом. Каждый прямоугольный треугольник имеет два катета (на рисунке обозначены как a и b или AC и BC)
Формулы и свойства прямоугольного треугольника
Обозначения формул:(см. рисунок выше)
a, b - катеты прямоугольного треугольника
c - гипотенуза
α, β - острые углы треугольника
S - площадь
h - высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу
m a a из противолежащего угла (α )
m b - медиана, проведенная к стороне b из противолежащего угла (β )
m c - медиана, проведенная к стороне c из противолежащего угла (γ )
В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы (Формулы 1 и 2). Данное свойство является следствием теоремы Пифагора .
Косинус любого из острых углов меньше единицы (Формулы 3 и 4). Данное свойство следует из предыдущего. Так как любой из катетов меньше гипотенузы, то из соотношение катета к гипотенузе всегда меньше единицы.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). (Формула 5). Это свойство постоянно используется при решении задач.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (Формула 6)
Сумма квадратов медиан к катетам, равна пяти квадратам медианы к гипотенузе и пяти квадратам гипотенузы, деленных на четыре (Формула 7). Кроме указанной, есть еще 5 формул , поэтому рекомендуется ознакомиться также и с уроком "Медиана прямоугольного треугольника ", в котором более подробно изложены свойства медианы.
Высота прямоугольного треугольника равна произведению катетов, деленному на гипотенузу (Формула 8)
Квадраты катетов обратно пропорциональны квадрату высоты, опущенной на гипотенузу (Формула 9). Данное тождество также является одним из следствий теоремы Пифагора.
Длина гипотенузы равна диаметру (двум радиусам) описанной окружности (Формула 10). Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности . Это свойство часто используется при решении задач.
Радиус вписанной
в прямоугольный треугольник
окружности
можно найти как половину от выражения, включающего в себя сумму катетов этого треугольника минус длину гипотенузы. Или как произведение катетов, деленное на сумму всех сторон (периметр) данного треугольника. (Формула 11)
Синус угла отношению противолежащего
данному углу катета к гипотенузе
(по определению синуса). (Формула 12). Данное свойство используется при решении задач. Зная величины сторон, можно найти угол, который они образуют.
Косинус угла А (α, альфа) в прямоугольном треугольнике будет равен отношению прилежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 13)
Прямоугольный треугольник - треугольник, один угол которого прямой (равен 90 0). Следовательно, два других угла в сумме дают 90 0 .
Стороны прямоугольного треугольника
Сторона, которая располагается напротив угла в девяносто градусов, называется гипотенузой. Две другие стороны именуются катетами. Гипотенуза всегда длиннее, чем катеты, но короче их суммы.
Прямоугольный треугольник. Свойства треугольника
Если катет находится напротив угла в тридцать градусов, то его длина соответствует половине длины гипотенузы. Отсюда вытекает, что угол, противоположный катету, длина которого соответствует половине гипотенузы, равен тридцати градусам. Катет равняется среднему пропорциональному гипотенузы и проекции, которую дает катет на гипотенузу.
Теорема Пифагора
Любой прямоугольный треугольник подчиняется теореме Пифагора. Эта теорема гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если принять, что катеты равны а и в, а гипотенуза - с, то запишем: а 2 +в 2 =с 2 . Теорема Пифагора применяется для решения всех геометрических задач, в которых фигурируют прямоугольные треугольники. Также она поможет начертить прямой угол при отсутствии необходимых инструментов.
Высота и медиана
Прямоугольный треугольник характеризуется тем, что две его высоты совмещаются с катетами. Чтобы найти третью сторону, нужно найти сумму проекций катетов на гипотенузу и разделить на два. Если из вершины прямого угла провести медиану, то она окажется радиусом окружности, которую описали вокруг треугольника. Центром этой окружности будет середина гипотенузы.
Прямоугольный треугольник. Площадь и ее вычисление
Площадь прямоугольных треугольников вычисляется по любой формуле нахождения площади треугольника. Помимо этого, можно использовать еще одну формулу: S=а*в/2, которая гласит, что для нахождения площади нужно произведение длин катетов разделить на два.
Косинус, синус и тангенс прямоугольного треугольника
Косинусом острого угла именуют отношение катета, прилегающего к углу, к гипотенузе. Он всегда меньше, чем единица. Синус - это отношение катета, который лежит напротив угла, к гипотенузе. Тангенс - отношение катета, лежащего против угла, к катету, прилегающему к этому углу. Котангенсом называют отношение катета, прилегающего к углу, к катету, находящемуся напротив угла. Косинус, синус, тангенс и котангенс не являются зависимыми от размеров треугольника. На их значение влияет только градусная мера угла.
Решение треугольника
Чтобы вычислить значение катета, противолежащего углу, нужно умножить длину гипотенузы на синус этого угла или размер второго катета на тангенс угла. Для нахождения катета, прилежащего к углу, необходимо посчитать произведение гипотенузы на косинус угла.
Равнобедренный прямоугольный треугольник
Если треугольник имеет прямой угол и равные катеты, то его называют равнобедренным прямоугольным треугольником. Острые углы такого треугольника тоже равны - по 45 0 . Медиана, биссектриса и высота, проведенные из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника, совпадают.
Свойства прямоугольного треугольника
Дорогие семиклассники, вы уже знаете какие геометрические фигуры называются треугольниками, умеете доказывать признаки их равенства. Знаете вы и о частных случаях треугольников: равнобедренных и прямоугольных. Свойства равнобедренных треугольников вам хорошо известны.
Но и у прямоугольных треугольников есть немало свойств. Одно, очевидное, связано с теоремой о сумме внутренних углов треугольника: в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равно 90°. Самое удивительное свойство прямоугольного треугольника вы узнаете в 8 классе , когда изучите знаменитую теорему Пифагора.
А сейчас мы поговорим еще о двух важных свойствах. Одно из них относится к прямоугольным треугольникам с углом 30°, а другое к произвольным прямоугольным треугольникам. Сформулируем и докажем эти свойства.
Вам хорошо известно, что в геометрии принято формулировать утверждения обратные к доказанным, когда условие и заключение в утверждении меняются местами. Далеко не всегда обратные утверждения оказываются верными. В нашем случае оба обратных утверждения верны.
Свойство 1.1 В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.
Доказательство: Рассмотрим прямоугольный ∆ АВС, в котором ÐА=90°, ÐВ=30°, тогда ÐС=60°..gif" width="167" height="41">, следовательно , что и требовалось доказать.
Свойство 1.2 (обратное к свойству 1.1) Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
Свойство 2.1 В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный ∆ АВС, в котором ÐВ=90°.
BD-медиана, то есть AD=DC. Докажем, что .
Для доказательства сделаем дополнительное построение: продолжим BD за точку D так, чтоBD=DN и соединим N с A и C..gif" width="616" height="372 src=">
Дано: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7см
1. ÐEBC=30o, т. к. в прямоугольном ∆BCE сумма острых углов 90о
2. BE=14см(свойство 1)
3. ÐABE=30o, так как ÐA+ÐABE=ÐBEC (свойство внешнего угла треугольника) поэтому ∆AEB- равнобедренный AE=EB=14см.
BC=2AN=20 см (свойство 2).
Задача 3. Доказать, что высота и медиана прямоугольного треугольника, проведенные к гипотенузе, образуют угол, равный разности острых углов треугольника.
Дано: ∆ АВС, ÐВАС=90°, АМ-медиана, АН-высота.
Доказать: ÐМАН=ÐС-ÐВ.
Доказательство:
1)ÐМАС=ÐС (по свойству 2 ∆ АМС-равнобедренный, АМ=СМ)
2)ÐМАН=ÐМАС-ÐНАС=ÐС-ÐНАС.
Остается доказать, что ÐНАС=ÐВ. Это следует из того, что ÐВ+ÐС=90°(в ∆ АВС) и ÐНАС+ÐС=90° (из ∆ АНС).
Итак, ÐМАН=ÐС-ÐВ, что и требовалось доказать.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Дано: ∆АВС, ÐВАС=90°, АН-высота, .
Найти: ÐВ, ÐС.
Решение: Проведем медиану АМ. Пусть АН=х, тогда ВС=4х и
ВМ=МС=АМ=2х.
В прямоугольном ∆ АМН, гипотенуза АМ в 2 раза больше катета АН, поэтому ÐАМН=30°. Так как ВМ=АМ,
ÐВ=ÐВАМ100%">
Продолжим AC за точку А так, что AD=AC. Тогда ∆ABC=∆ABD(по 2-м катетам). BD=BC=2AC=CD, таким образом ∆DBC-равносторонний, ÐС=60о и ÐАВС=30о.
Задача 5
В равнобедренном треугольнике один из углов 120о, основание равно 10 см. Найти высоту, проведенную к боковой стороне.
Решение: для начала отметим, что угол 120о может быть только при вершине треугольника и что высота проведенная к боковой стороне попадет на её продолжение.
АВ - лестница, К - котенок.
При любом положении лестницы, пока она окончательно не упала на землю ∆АВС- прямоугольный. СК - медиана ∆АВС.
По свойству 2 СК=1/2АВ. То есть в любой момент времени длина отрезка СК постоянна.
Ответ: точка К будет двигаться по дуге окружности с центром С и радиусом СК=1/2АВ.
Задачи для самостоятельного решения.
Один из углов прямоугольного треугольника равен 60о, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 4см. найти длину гипотенузы. В прямоугольном ∆ АВС с гипотенузой ВС и углом В, равным 60о, проведена высота АD. Найти DC, если DB=2см. В ∆АВС ÐС=90о, СD - высот, ВС=2ВD. Докажите, что АD=3ВD. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на части 3см и 9см. Найти углы треугольника и расстояние от середины гипотенузы до большего катета. Биссектриса разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника. Найти углы исходного треугольника. Медиана разбивает треугольник на два равнобедренных. Можно ли найти углы
Исходного треугольника?
Загрузка...
