Деление числа в данном отношении несколько. Объяснение нового материала. Выполняют в тетрадях дифференцированные задания

Глава 3 ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ

§ 15. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ. МАСШТАБ

1. Пропорциональное деление

На практике часто возникают задачи с требованием поделить некоторую величину в заданном отношении: распределение доходов, приготовления различных смесей или блюд и тому подобное. Чтобы решить такие задачи, надо выполнить пропорциональное деление данной величины.

На рисунке 16 вы видите отрезок A В, точка С делит в отношении 2: 3. Можем составить пропорцию:

Из этой пропорции следует, что

Пусть значение отношений данной пропорции равен k , тогда Отсюда то есть АС = 2 k и ВС = 3 k . Итак, мы осуществили пропорциональное деление отрезка АВ в отношении 2: 3 и выразили длины его частей АС и ВС через число k (рис. 17).

Рис. 16

Рис. 17

Запомните!

Число, которое равно значению отношений пропорции, называется коэффициентом пропорциональности.

Коэффициент пропорциональности обозначают буквой k . Иногда приходится пропорционально делить величину более чем на две части. И здесь снова на помощь приходит коэффициент пропорциональности.

Задача 1. Разделите число 60 в отношении 3:4:5 .

Решения. Пусть к - коэффициент пропорциональности. Тогда первая часть данного числа равна 3к, вторая - Ah , а третья - 5к. Поскольку число, которое надо разделить, равен 60, то можем составить уравнение: 3 k + Ah + 5 k = 60. Отсюда: к = 5. Итак, первая часть числа равна 3 ∙ 5 = 15, вторая - 4 ∙ 5 = 20, а третья - 5 ∙ 5= 25.

2. Масштаб

Для изображения на бумаге предметов из окружающего мира нужно менять их реальные размеры: большие предметы доводит вся уменьшать, а маленькие, наоборот, увеличивать. Но для того, чтобы чертеж или план давали правил вне представления о предметах, необходимо изменять их размеры пропорционально. Для этого используют масштаб изображения.

Чаще всего масштаб применяют для создания географических карт.

Запомните!

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называется масштабом карты.

Обозначают: «М: 1: 1 000 000». Этот зал с означает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности.

Задача 2 . Расстояние между Черкассами и Харьковом на карте равна 4,1 см. Найдите расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты 1:10 000 000.

Решения.

На карте: 4,1 см -1см

На местности: х -10000000 см

Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 4,1: х. Значение данного отношения равен значению масштаба карты, следовательно, 4,1: х=1:10 000 000.

Отсюда

Следовательно, расстояние от Черкасс до Харькова - 410 км.

Как записать масштаб изображения, если на нем нужно увеличить реальные размеры предмета например, в 1000 раз. В таком случае масштаб записывают наоборот: 1000: 1. Такой масштаб понадобится, когда нужно изобразить, например, детали часов

Узнайте больше

1. Слово «коэффициент» происходит от латинского Coefficiens , что состоит из двух слов: Со - «вместе »и efficiens - «производящий». Обозначает множитель, который обычно выражается числом. Термин ввел Ф. Вієт.

2. Слово «масштаб» происходит от немецкого Mabstab - «линейка», что состоит из двух слов: Ма b - «мера и Stab - «веха».

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Какие задачи относят к задачам на пропорциональное деление? Приведите примеры.

2. Что такое коэффициент пропорциональности?

3. Как решают задачи на пропорциональное деление?

4. Что называется масштабом карты?

5. Как решают задачи с применением масштаба?

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

629". Назовите части отрезка AB (рис. 18-19).

Рис. 18

Ma л . 19

630". Правильно. что коэффициент пропорциональности равен:

1) пропорции; 2) отношению; 3) значению отношения;

4) значению отношений пропорции?

631". Правильного масштаб карты - это:

1) число; 2) величина; 3) выражение?

632". Что показывает масштаб карты:

1)1:100 000; 2)1:5 000000; 3)1:500; 4)1:2000?

633". Что показывает масштаб изображения:

1)4:1; 2)10:1; 3)50:1; 4)400:1?

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

634°. Какой коэффициент пропорциональности закрашенной и незакрашенной частей: 1) шестиугольника (рис. 20); 2) треугольника (рис. 21)?

635°. Какой коэффициент пропорциональности: 1) закрашенной и незакрашенной частей квадрата (рис. 22); 2) двух частей отрезка MN (рис. 23)?

636°. Для нахождения частей, на которые разделен число 21 в отношении 3: 4, Сережа составил уравнения;

1)3 x + 4х = 7; 2)3 + 4 = 21х; 3) 3х + 4х = 21.

Правильно ли он это сделал?

637°. Поделите число 24 в отношении:

1)1:3; 2)3:5; 3) 1: 2: 5; 4) 2: 2: 4.

638°. Разделите число 30 в отношении:

1)1:2; 2)3: 4: 8.

639°. Два числа относятся, как 5: 3. Найдите эти числа, если;

1) их сумма равна 40; 2) их разность равна 16.

640°. Два числа относятся, как 4: 1. Найдите эти числа, если:

1) их сумма равна 25; 2) их разность равна 21.

641°. Отрезок АВ длиной 18 см точкой С разделен в отношении 2: 7. Найдите длину каждой части.

642°. Отрезок АС длиной 24 см точкой с разделен в отношении: 5. Найдите длину каждой части.

643°. Два отреза одинаковой ткани стоят 320 грн. Длина первого отрезка составляет 5 м, а второго - 3 м. Сколько стоит каждый отрез ткани?

644°. Две школы закупили билеты в театр и заплатили за них 12 200 грн. Сколько заплатила каждая школа, если театр посетили 286 учащихся первой школы и 324 ученики - второй?

645°. Латунь представляет собой сплав меди и олова. Сколько граммов меди и сколько граммов олова содержит 270 г латуни, если для сплава нужно взять 1 часть олова и 2 части меди?

646°. Для сплава берут одну часть свинца и три части олова. Сколько граммов свинца и олова содержится в 600 г сплава?

647°. Каким является масштаб карты, если длина отрезка АВ:

1) на карте в 20 000 раз меньше, чем на местности;

2) на местности в 400 раз больше, чем на карте?

648°. Каким является масштаб карты, если длина отрезка CD .

1) на карте в 50 000 раз меньше, чем на местности;

2) на местности в 1000 раз больше, чем на карте?

649°. Какой будет длина отрезка АВ на местности, если отрезок АВ = 1 см изображен на карте с масштабом 1: 100 000?

650 Какой будет длина отрезка CD на местности, если отрезок CD = 1 см изображен на карте с масштабом 1:10 000?

651°. Масштаб карты 1: 500 000. Определите расстояние на местности, если на карте оно изображено отрезком:

1)1см; 2) Зсм; 3) 4,5 см; 4) 6 см 2 мм.

652°. Масштаб карты 1: 4 000 000. Определите расстояние на местности, если на карте оно изображено отрезком:

1) 2 см; 2) 5 см 5 мм.

653°. Расстояние между Киевом и Винницей составляет 260 км. Чему равно расстояние между этими городами на карте, масштаб которой:

1)1: 10000000; 2)1: 4 000000?

654°. Расстояние между Донецком и Житомиром составляет 880 км. Чему равно расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1: 10 000 000?

655. Отрезок ВС точкой А разделен в отношении 3: 8, причем одна из частей на 5 см больше другой. Найдите длину каждой части.

656. Отрезок АВ точкой С разделен в отношении 4: 7, причем одна из частей на 9 см меньше другой. Найдите длину каждой части.

657. Отрезок CD длиной 48 см точками А и В разделили в отношении 5:3:4. Найдите длину каждой части.

658. Отрезок АВ длиной 36 см точками С и D разделен в отношении 4:3:2. Найдите длину каждой части.

659. Некоторое расстояние пассажирский поезд преодолевает за 10 ч 30 мин, а товарный - за 12 часов. Какое расстояние проедут до встречи поезда, если они отправятся одновременно из двух городов, расстояние между которыми 465 км?

660. Первый спортсмен пробегает 100 м за 12 с, а второй - за 13 сек. Сколько метров пробежит каждый спортсмен до встречи, если они начнут бег одновременно навстречу друг другу, разойдясь на 200 м?

Рис. 24

661. Первая машинистка может напечатать 90 страниц за час, а вторая - за 7 час. Как распределить машинисткам между собой 90 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?

662. Первая бригада может изготовить 70 деталей за 4 ч, а вторая - за 3 часа. Как распределить бригадам между собой 70 деталей, чтобы они выполнили задачу в кратчайший срок?

663. Для приготовления строительного раствора на 2 части цемента берут 2 части песка и 0,8 частей воды. Сколько килограммов строительного раствора получат, если возьмут 100 кг цемента?

664. Для приготовления напитка берут 2 части вишневого сока, Из части воды и 1 часть меда. Сколько напитка получат, если возьмут 400 г вишневого сока?

665. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого составляет 360 м, а ширина - 240 м. Какие размеры будет иметь изображение этого огорода на плане, выполненном в масштабе 1: 500?

666. План комнаты имеет форму прямоугольника со сторонами 20 мм и 30 мм. Какие размеры имеет комната, если план выполнен в масштабе 1:300?

671 *. Три числа относятся, как Найдите эти числа, если известно, что первое число меньше половины второго числа на 32.

672*. Определите масштаб плана, если лес площадью 4 га на плане занимает 1 см2.

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

673. Для пошива платья Татьянка сделала выкройку по чертежу в журнале. Длина изделия на выкройке платья равняется 75 см. Вычислите масштаб чертежа в журнале, если на нем длина платья равна 15 см.

674. Длина детали - 30 мм. Какой использовали масштаб, если на чертеже длина детали равна 60 мм?

675. Начертите в масштабе 1: 50 план:

1) класс; 2) одной из комнат своей квартиры.

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

676. Вычислите устно, какое число нужно вписать в последнюю клеточку цепочки.

677. Найдите:

678. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из села на станцию. Велосипедист ехал со скоростью 18 км/ч и через полчаса обогнал пешехода на 7 км. С какой скоростью шел пешеход?

667. По карте (рис. 24) определите расстояние между: 1) Николаевом и Ровным; 2) Киевом и Ужгородом; 3) Черниговом и Одессой; 4) Луганском и Черновцами.

668. По карте (рис. 24) определите расстояние между: 1) Черкассами и Львовом; 2) Харьковом и Ивано-Франковском.

669*. Сумма четырех чисел равна 4,2. Первые три числа относятся, как 1,2: 4: 0,8, а четвертое число составляет 0,6 от второго. Найдите первое число.

670*. Число 144 разделен на три части х, у, z так, что х: у = 3: 2, у: z = 4: 5. Найдите части данного числа.

УРОК № 8. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты (26 часов)

Тема . Деление числа в данном отношении. С/р № 1.

Цель. Проверить знания учащихся по теме «Масштаб». Научится делить число в данном отношении; формирование навыков решения задач по теме.

Ход урока.

Организационный момент.

Самостоятельная работа по теме «Масштаб». (20 min )

Вариант 1.

1. Масштаб на карте 1: 200 000. Расстояние между двумя селами на карте 10 см. Каково расстояние между этими селами на местности?

На карте – 10 см

На местности – ? км

Масштаб – 1: 200 000

10 см  200 000 = 2 000 000 см = 20 км – расстояние на местности.

Ответ : 20 км.

2. Расстояние между двумя городами 40 км. Каково расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1: 1 000 000?

На карте – ? см

На местности – 40 км

Масштаб – 1: 1 000 000

40 км: 1 000 000 = 4 000 000 см: 1 000 000 = 4 см – расстояние на карте. Ответ : 4 см.

3. Расстояние между городами А и В равно 150 км. Расстояние между городами А и В на карте равно 3 см. Определите масштаб карты.

На карте – 3 см

На местности – 150 км

Масштаб – 1: ?

– масштаб. Ответ :
.

Вариант 2.

1. Масштаб на карте 1: 1 000 000. Расстояние между двумя селами на карте 8 см. Каково расстояние между этими селами на местности?

На карте – 8 см

На местности – ? км

Масштаб – 1: 1 000 000

8 см  1 000 000 = 8 000 000 см = 80 км – расстояние на местности.

Ответ : 80 км.

2. Расстояние между двумя городами 100 км. Каково расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1: 2 000 000?

На карте – ? см

На местности – 100 км

Масштаб – 1: 2 000 000

100 км: 2 000 000 = 10 000 000 см: 2 000 000 = 5 см – расстояние на карте. Ответ : 5 см.

3. Расстояние между городами А и В равно 140 км. Расстояние между городами А и В на карте равно 7 см. Определите масштаб карты.

На карте – 7 см

На местности – 140 км

Масштаб – 1: ?

– масштаб. Ответ :
.

Устное решение упражнений.

Мультимедийная доска: 1 ученику. Тестовые задания. (Эл. приложение к уч. Математика 6. Никольский. Каталог. Тренажер. Отношение величин (5 заданий)).

Отношение величин (5 заданий) (Каждое задание по 1 баллу)

1. Чем является отношение величин одного наименования? (Ответ: число).

2. Найдите отношение величин
. (Ответ: 20).

3. Упростите отношение величин
. (Ответ: 200).

4. Упростите отношение величин
. (Ответ: 40).

5. Упростите отношение величин
. (Ответ: ).

Объяснение нового материала.

Деление числа в данном отношении.

(Слайд 2) Пусть требуется разделить между двумя друзьями 60 конфет в отношении 2: 3.

1 друг – ? конфет

2: 3 60 конфет

2 друг – ? конфет

I способ .

1) 2 + 3 = 5 (частей) – составляют все конфеты;

2) 60: 5 = 12 (конфет) – приходится на 1 часть;

3) 2  12 = 24 (конфеты) – приходится на 2 части, это для 1 друга;

4) 3  12 = 36 (конфет) – приходится на 3 части, это для 2 друга.

(Слайд 3) Решим эту же задачу по другому.

II способ .

1)
(конфеты) – приходится на 2 части, это для 1 друга;

2)
(конфет) – приходится на 3 части, это для 2 друга.

Ответ : 24 конфеты, 36 конфет.

Таким образом, чтобы разделить число 60 в отношении 2: 3, можно разделить число 60 на сумму членов отношения 2 + 3 и результат умножить на каждый член отношения.

(Слайд 4) Разделим число с (с  0) в отношении a : b .

Получим два числа:

1 число:
;

2 число:
.

(Слайд 5) Задача 1. Два брата сложили свои деньги для покупки акций. Старший внес 500 р., а младший – 300 р. Через некоторое время они продали акции за 1000 р. Как они должны разделить эти деньги между собой?

Решение.

Естественно разделить 100 р. в том отношении в котором они вложили деньги, т.е. в отношении 500: 300 = 5: 3.

Поэтому надо дать:

1) старшему брату
;

2) младшему брату
. Ответ : 625 р., 375 р.

(Слайд 6) Решить устно. После сбора урожая яблок одна их часть была высушена, а другая использована для приготовления сока. Сколько яблок пошло на сушку, а сколько на сок?

Решение упражнений.

Уч.с.13 № 37 (а,в). Разделите число:

Деление является одним из четырех самых распространенных арифметических действий. Редко встречаются комплексные расчеты, которые могут обойтись без него. Программа Excel имеет широкий функционал по использованию данного арифметического действия. Давайте выясним, какими способами можно выполнить деление в Экселе.

В Microsoft Excel деление можно произвести как при помощи формул, так и используя функции. Делимым и делителем при этом выступают числа и адреса ячеек.

Способ 1: деление числа на число

Лист Эксель можно использовать как своеобразный калькулятор, просто деля одно число на другое. Знаком деления выступает слеш (обратная черта) – «/» .

После этого Эксель рассчитает формулу и в указанную ячейку выведет результат вычислений.

Если вычисление производится с несколькими знаками, то очередность их выполнения производится программой согласно законам математики. То есть, прежде всего, выполняется деление и умножение, а уже потом – сложение и вычитание.

Как известно, деление на 0 является некорректным действием. Поэтому при такой попытке совершить подобный расчет в Экселе в ячейке появится результат «#ДЕЛ/0!» .

Способ 2: деление содержимого ячеек

Также в Excel можно делить данные, находящиеся в ячейках.

Можно также комбинировать, в качестве делимого или делителя используя одновременно и адреса ячеек и статические числа.

Способ 3: деление столбца на столбец

Для расчета в таблицах часто требуется значения одного столбца разделить на данные второй колонки. Конечно, можно делить значение каждой ячейки тем способом, который указан выше, но можно эту процедуру сделать гораздо быстрее.

Как видим, после этого действия будет полностью выполнена процедура деления одного столбца на второй, а результат выведен в отдельной колонке. Дело в том, что посредством маркера заполнения производится копирование формулы в нижние ячейки. Но, с учетом того, что по умолчанию все ссылки относительные, а не абсолютные, то в формуле по мере перемещения вниз происходит изменение адресов ячеек относительно первоначальных координат. А именно это нам и нужно для конкретного случая.

Способ 4: деление столбца на константу

Бывают случаи, когда нужно разделить столбец на одно и то же постоянное число – константу, и вывести сумму деления в отдельную колонку.

Как видим, на этот раз деление тоже выполнено корректно. В этом случае при копировании данных маркером заполнения ссылки опять оставались относительными. Адрес делимого для каждой строки автоматически изменялся. А вот делитель является в данном случае постоянным числом, а значит, свойство относительности на него не распространяется. Таким образом, мы разделили содержимое ячеек столбца на константу.

Способ 5: деление столбца на ячейку

Но, что делать, если нужно разделить столбец на содержимое одной ячейки. Ведь по принципу относительности ссылок координаты делимого и делителя будут смещаться. Нам же нужно сделать адрес ячейки с делителем фиксированным.

После этого результат по всему столбцу готов. Как видим, в данном случае произошло деление колонки на ячейку с фиксированным адресом.

Способ 6: функция ЧАСТНОЕ

Деление в Экселе можно также выполнить при помощи специальной функции, которая называется ЧАСТНОЕ . Особенность этой функции состоит в том, что она делит, но без остатка. То есть, при использовании данного способа деления итогом всегда будет целое число. При этом, округление производится не по общепринятым математическим правилам к ближайшему целому, а к меньшему по модулю. То есть, число 5,8 функция округлит не до 6, а до 5.

Посмотрим применение данной функции на примере.

После этих действий функция ЧАСТНОЕ производит обработку данных и выдает ответ в ячейку, которая была указана в первом шаге данного способа деления.

Эту функцию можно также ввести вручную без использования Мастера. Её синтаксис выглядит следующим образом:

ЧАСТНОЕ(числитель;знаменатель)

Как видим, основным способом деления в программе Microsoft Office является использование формул. Символом деления в них является слеш – «/» . В то же время, для определенных целей можно использовать в процессе деления функцию ЧАСТНОЕ . Но, нужно учесть, что при расчете таким способом разность получается без остатка, целым числом. При этом округление производится не по общепринятым нормам, а к меньшему по модулю целому числу.

«Отношения и пропорции» - Творческий проект. Крайние. Свойства прямой пропорциональной зависимости. «Золотое сечение» в искусстве. Математической моделью прямой пропорциональной зависимости величин х и у является формула у = кх. Золотое сечение. Разрушен в 1687; частично восстановлен. Возникновение учений об отношениях и пропорциях.

«Задачи на отношения» - «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.» Н.Жуковский. 2способ: алгебраический Пусть х –коэффициент пропорциональности чисел. Каждый человек рождается внутренне не свободным. Творческое задание: где применяется пропорция (на неделю). Общество использует отношение, общество использует математику.

«Задачи на прямую и обратную пропорциональность» - Почему в городе существуют ограничения на скорость движения транспорта. В задачах тех ищи удачи, где получить рискуешь сдачи. По какой стороне должен двигаться пешеход по загородной дороге. Прямая и обратная пропорциональность. Трудность задач повышаем, решенье найти приглашаем. Какой пропорциональной зависимостью являются величины.

«Пропорции 6 класс» - Основное свойство пропорции. Средние члены. В математике – равенство двух отношений Пропорция (лат. proportio) - соразмерность. Составьте верные пропорции 1, 3, 5, 15. Полученные равенства называются пропорцией. Крайние члены. С, b - средние члены. Пропорция (этимологический словарь). А, d - крайние члены.

«Математика 6 класс отношения» - Решение упражнений: Египтяне использовали золотое сечение при строительстве пирамид. Аристотель. В чем состоит основное свойство отношения? Чем занимаются математики, как не порядком и отношением? Отношение. А и т – крайние члены пропорции в и п - средние члены пропорции. Что называют отношением двух чисел?

«Прямая и обратная пропорциональные зависимости» - Примеры прямо пропорциональных величин. Значения величины. Пропорциональные зависимости. Произведение. Частное величин. Составим пропорцию. Отношение любых двух значений. Найдём неизвестный член пропорции. Характеристическое свойство обратно пропорциональных величин. Проверьте себя. Определение обратно пропорциональных величин.

Всего в теме 26 презентаций