Теоретическая механика метод сечений. Метод сечений и внутренние силовые факторы (ВСФ). Задачи и методы сопротивления материалов

Внутренние силы. Метод сечений

Внешние силы, действующие на реальный объект, чаще всего известны. Обычно необходимо определить внутренние силы (результат взаимодействия между отдельными частями данного тела) которые неизвестны по величине и направлению, но знание которых необходимо для прочностных и деформационных расчетов. Определение внутренних сил осуществляется с помощью так называемого метода сечений , сущность которого заключается в следующем:

Мысленно разрезают тело по интересующему нас сечению.

Отбрасывают одну из частей (независимо какую).

Заменяют действие отброшенной части тела на оставшуюся системой сил, которые в данном случае переходят в разряд внешних. Силы упругости по принципу действия и противодействия всегда взаимны и представляют непрерывно распределенную по сечению систему сил. Их значение и ориентация в каждой точке сечения произвольны, зависят от ориентации сечения относительно тела, величины и направления внешних сил, геометрических размеров тела. Внутренние силы можно привести к главному векторуR и главному моменту М. За точку приведения обычно принимают центр тяжести сечения. Выбрав систему координат Х, У, Z (Z – продольная ось по нормали к поперечному сечению, Х и У – в плоскости этого сечения) и начало системы в центре тяжести, обозначим проекции главного вектора R на координатные оси через N, Q x , Q y , а проекции главного момента М – М х, М у, М k . Эти три силы и три момента называют внутренними силовыми факторами в сечении :

N – продольная сила,

Q x , Q y – поперечные силы,

M k – крутящий момент,

M x , M y – изгибающие моменты.

4. Так как внутренние силы находятся в равновесии с внешними силами, они могут быть определены из уравнений равновесия статики:

Р z =0, P y =0, P x =0,

 M x =0, M y =0, M z =0.

Любой внутренний силовой фактор в сечении равен алгебраической сумме соответствующих внешних силовых факторов, действующих с одной стороны от сечения.

Внутренний силовой фактор в сечении численно равен интегральной сумме соответствующих элементарных внутренних сил или моментов по всей площади сечения:

Классификация основных видов нагружения связана с внутренним силовым фактором, возникающим в сечении. Так, если в поперечных сечениях возникает только продольная сила N, а другие внутренние силовые факторы обращаются в нуль, то на этом участке имеет место растяжение или сжатие, в зависимости от направления силы N. Нагружение, когда в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q, называют сдвигом.

Если в поперечном сечении возникает только крутящий момент М к, то стержень работает на кручение. В случае, когда от внешних сил, приложенных к стержню возникает только изгибающий момент М х (или М у), то такой вид нагружения называют чистым изгибом в плоскости уz (или xz). Если в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом (например, М х) возникает поперечная сила Q y , то такой вид нагружения называют плоским поперечным изгибом (в плоскости yz). Вид нагружения, когда в поперечном сечении стержня возникают только изгибающие моменты М х и М у, называют косым изгибом (плоским или пространственным). При действии в поперечном сечении нормальной силы N и изгибающих моментов М х и М у возникает нагружение, называемое сложным изгибом с растяжением сжатием или внецентренным растяжением (сжатием). При действии в сечении изгибающего момента и крутящего момента возникает изгиб с кручением.

Общим случаем нагружения называют случай, когда в поперечном сечении возникают все шесть внутренних силовых факторов.

К особым видам нагружения следует отнести смятие, когда деформация носит местный характер, не распространяясь на всё тело и продольный изгиб (частный случай общего явления потери устойчивости).

Понятие о напряжениях

Величина внутренних силовых факторов не отражает интенсивности
напряженного состояния тела, близости к опасному состоянию (разрушению). Для оценки интенсивности внутренних сил вводится критерий (числовая мера), называемый напряжением. Если в поперечном сечении F некоторо-го тела выделим элементарную пло-щадку F, рис.1.1, в пределах которой выявлена внутрен-няя сила R, то за среднее напряжение на площадке F может быть принято отношение:

Истинное напряжение в точке можно определить, уменьшая площадку:

Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке. Размерность напряжения принима-ется в Па (Паскаль) или МПа (Мегапас-каль). Полное напря-жение обычно в расчетах не применя-ется, а определяется его нормальная к сечению составля-ющая  - нормальное напряжение, и каса-тельные   ,   – касательные напряжения (рис.1.2). Полные напряжения, приходящиеся на единицу площади, можно выразить через нормальные и касательные напряжения:

Между действующими напряжениями и внутренними силовыми факторами существует следующая связь:

;

Нормальные и касательные напряжения являются функцией внутренних силовых факторов и геометрических характеристик сечения. Эти напряжения, вычисленные по соответствующим формулам, можно назвать фактическими или рабочими.

Наибольшее значение фактических напряжений ограничено предельным напряжением, при котором материал разрушается или появляются недопустимые пластические деформации. Первая из этих границ существует у любого хрупкого материала и называется пределом прочности ( в,  в), вторая имеет место только у пластичных материалов и называется пределом текучести ( т,  т). При действии циклически изменяющихся напряжениях разрушение происходит при достижении так называемого предела выносливости ( R ,  R), значительно меньшего, чем соответствующие пределы прочности.

Этапы определения внутренних сил: 1. Рассекаем изучаемый стержень мысленно плоскостью на две части (рис. В.5). Каждая из частей предполагается находящейся в равновесии под действием внешних сил, приложенных к этой части, и внутренних сил, возникающих в сечении и представляющих собой силы взаимодействия между оставшейся и отброшенной частями. Равнодействующая внутренних сил в сечении называется усилием, а величина внутренней силы, приходящейся на единицу площади сечения, называется напряжением в данной точке сечения. Напряжение может быть выражено через усилие. Рис. В.5 2. Отбросим одну из частей стержня, например левую, и исследуем усилия в сечении оставшейся (правой) части (рис. В.5). Обычно отбрасывают ту часть, на которую действует большее количество сил, что упрощает расчет. 3. Заменяем действие отброшенной части тела на оставшуюся внутренними силами. Приведя внутренние силы, действующие в данном сечении, к центру тяжести сечения, получим главный вектор RВН и главный момент МВН внутренних сил упругости. Раскладывая главный вектор и главный момент на составляющие по координатным осям, получим шесть внутренних силовых факторов (усилий) NX , Qу, QZ , MX , Mу, MZ (рис. В.6). Рис. В.6 11 Составляющими главного вектора R являются: NX – продольная сила; Qy , QZ – поперечные силы; Составляющими главного момента М являются: МХ – крутящий момент, в дальнейшем обозначающийся МК; Му, МZ – изгибающие моменты. Оси У, Z рассматриваются как главные центральные оси поперечного сечения. Заметим, что в том же сечении левой части будут те же усилия, но имеющие противоположное направление. 4. Уравновешиваем оставшуюся правую часть тела (рис. В.6). Для каждой части стержня должны быть выполнены шесть условий равновесия: Из рассмотрения этих уравнений находим внутренние усилия (NX , Qy , QZ , МХ, Му, МZ). Каждому из этих силовых факторов соответствует свой вид деформации. Продольная сила (N) вызывает растяжение (сжатие), поперечная сила Q – сдвиг, крутящий момент (МК) – кручение, изгибающие моменты (МZ , Му) – изгиб. Итак, под действием внешних сил в теле возникают внутренние силы, сопровождающие деформацию тел и связанные с ними нормальные () и касательные () напряжения. Этим двум видам напряжений соответствуют два вида разрушения элементов конструкций путем отрыва или взаимного сжатия частиц в точке тела и путем сдвига частиц. Зная величины напряжений, которые возникают в элементах конструкции, и те напряжения, которые выдерживает материал (предел прочности в), можно судить о прочности элементов и в целом конструкции. Для обеспечения надежной работы конструкции необходимо, чтобы фактические напряжения, возникающие в элементах конструкции, не превосходили допускаемых нормальных напряжений и касательных напряжений . Допускаемые напряжения составляют некоторую часть от предельных напряжений и гарантируют безопасную работу конструкции и ее элементов на весь период эксплуатации. Для пластичных материалов за опасное напряжение принимается предел текучести Т, а для хрупких предел прочности – В. Допускаемые нормальные напряжения и касательные напряжения зависят от материала, из которого изготовляют элементы конструкции, степени ответственности и назначения конструкции, технологических, конструктивных и других факторов. В инженерной практике используется три вида расчета на прочность: 1) по допускаемым напряжениям; 2) разрушающим нагрузкам; 3) предельным состояниям.

Находящемся в равновесии под действием .

Рассмотрим идеально упругий призматический стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.2, а).

Выделим внутри стержня какие-либо две частицы K и L, расположенные на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Для большей наглядности предположим, что между этими частицами имеется некоторая пружинка, удерживающая их на определенном расстоянии друг от друга. Пусть натяжение пружинки равно нулю.

Приложим теперь к стержню растягивающую силу (рис. 1.2, б ). Пусть в результате деформации стержня, частица K перейдет в положение , а частица L – в положение . Соединяющая эти частицы пружинка при этом растянется. После снятия внешней нагрузки частицы вернутся в первоначальное положение K и L благодаря усилию, которое возникло в пружинке. Сила, которая возникла между частицами (в пружинке) в результате деформации идеально упругого стержня, называются силой или внутренней силой. Она может быть найдена методом сечений .

Этапы метода сечений

Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить .

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.

Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.

Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами, заменим действие отброшенной части (рис. 1.3, б).

Внутренние силы в методе сечений

Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов , возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы (рис. 1.3, г) и три момента (рис. 1.3, д).

Сила N - продольная сила

– поперечные силамы,

момент относительно оси z () – крутящий момент

моменты относительно осей x, y () – изгибающие моменты.

Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия (уравновесим ):

Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня.

Внутри любого материала имеются внутренние междуатомные силы, наличие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. Приложение к телу внешней нагрузки вызывает изменение внутренних сил. В сопротивлении материалов изучаются дополнительные внутренние силы. В сопротивлении материалов они называются просто внутренними силами.

Внутренние силы – силы взаимодействия между отдельными элементами конструкций или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил.

Чтобы численно установить величину внутренних сил пользуются методом сечений.

Метод сечений сводится к четырем действиям:

Рис. 7

Отбрасывают любую отрезанную часть тела (желательно наиболее сложную), а ее действие на оставшуюся часть заменяют внутренними силами, чтобы оставшаяся исследуемая часть находилась в равновесии (рис.8);

Рис. 8

Полученные силы (N, Qy, Qz) (рис. 9) и моменты (Мк, Мy, Mz) называют внутренними силовыми факторами в сечении

Рис. 9

Для внутренних силовых факторов приняты следующие названия:

-продольная или осевая сила;

и-поперечные силы ;

-крутящий момент ;

и
-изгибающие моменты .

Находят внутренние силовые факторы, составляя шесть уравнений равновесия статики для рассматриваемой части рассеченного тела.

Напряжение

Если в сечении выделить бесконечно малую площадку
и предположить, что внутренние силы, приложенные к его различным точкам, одинаковы по величине и направлению, то равнодействующая их
будет проходить через центр тяжести элемента
(рис. 10).

Рис. 10

Проекциями
на оси,ибудут элементарная продольная сила
, и элементарные поперечные силы
и
.

Разделим эти элементарные силы на площадь
, получим величины, называемые напряжениями в точке проведенного сечения.

;
;
,

где - нормальное напряжение;- касательное напряжение.

Напряжение – внутренняя сила, отнесенная к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения.

Напряжение измеряется в единицах напряжения - паскалях (Па) и кратных ему – (кПа, МПа)

Иногда кроме нормальных и касательных напряжений рассматривают еще и полное напряжение

Понятие «напряжение » играет очень важную роль в расчетах на прочность. Поэтому значительная часть курса сопротивления материалов отводится изучению способов вычисления напряженийи.

Растяжение и сжатие

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая и сжимающая) а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю.

Продольные силы определяются с помощью метода сечений.

Пример

Пусть имеется ступенчатый стержень, нагруженный силами
,
и
вдоль оси стержня, показанного на рис. 11, а. Определить величину продольных сил.

Решение . Стержень может быть разделен на участки по местам приложения нагрузок и по местам изменения поперечного сечения.

Первый участок ограничен точками приложения сил и. Направим ось(начало первого участка). Мысленно рассечем первый участок поперечным сечением на расстоянииот начала первого участка. Причем координатаможет быть взята в интервале
, где- длина первого участка.

;
, кН

Положительный знак продольной силы говорит о том, что первый участок растянут.

Значение продольной силы не зависит от координаты , поэтому на всем участке значение продольной силы постоянно и равно.

Рис. 11

Второй участок ограничен точками приложения сил и. Направим осьвдоль оси участка вверх с началом координат в точке приложения силы(начало второго участка).

Мысленно рассечем второй участок поперечным сечением на расстоянии от начала второго участка. Причем координатаможет быть взята в интервале
, где- длина второго участка.

Рассмотрим равновесие нижней части стержня, заменив действие верхней части на нижнюю часть стержня продольной силой
, предварительно направив ее в сторону растяжения рассматриваемой части.

Из условия равновесия статики:

;

Знак минус говорит о том, что второй участок сжат.

Аналогично для третьего участка:

;

Полученные результаты для большей наглядности удобней представить в виде графика (эпюры N ), показывающего изменение продольной силы вдоль оси стержня. Для этого проводим нулевую (базовую) линию параллельно оси стержня, перпендикулярно которой будем в масштабе откладывать значения осевых усилий (рис.1.11, д). В одну сторону откладываем положительные значения, в другую - отрицательные. Эпюра заштриховывается перпендикулярно нулевой линии, а в нутрии эпюры ставится знак откладываемой величины. Рядом указываются значения откладываемых величин. Рядом с эпюрой в кавычках указывается название эпюры («N») и через запятую - единицы измерения (кН)

Метод сечений позволяет определить внутренние силы, которые возникают в стержне, находящемся в равновесии под действием внешней нагрузки.

ЭТАПЫ МЕТОДА СЕЧЕНИЙ

Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить .

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.

Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.

Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами, заменим действие отброшенной части внутренними силами(рис. 1.3, б).

ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ В МЕТОДЕ СЕЧЕНИЙ

Полученную бесконечную систему сил по правилам теоретической механики можно привести к центру тяжести поперечного сечения. В результате получим главный вектор R и главный момент M (рис. 1.3, в).

Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов , возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы (рис. 1.3, г) и три момента(рис. 1.3, д).

Сила N - продольная сила

–поперечные силамы,

момент относительно оси z () – крутящий момент

моменты относительно осей x, y () – изгибающие моменты.

Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия (уравновесим ):

Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня.

12.Метод сечений. Понятие о внутренних усилиях. Простые и сложные деформации. Деформации рассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от приложения внешней силы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяются универсальным методом сечений (или метод разреза).Простые и сложные деформации. Использование принципа суперпозиции.

Деформация бруса называется простой, если в его поперечных сечениях возникает только один из вышеперечисленных внутренних силовых факторов. Здесь и далее силовым фактором будем называть любую силу или момент.

Лемма. Если брус прямой, то любая внешняя нагрузка (сложная нагрузка) может быть разложена на составляющие (простые нагрузки), каждая из которых вызывает одну простую деформацию (один внутренний силовой фактор в любом сечении бруса).

Читателю предлагается самостоятельно доказать лемму для любого частного случая нагружения бруса (подсказка: в ряде случаев требуется вводить фиктивные самоуравновешенные нагрузки).

Существуют четыре простые деформации прямого бруса:

Чистое растяжение – сжатие (N ≠ 0, Q y = Q z = M x = M y = M z =0);

Чистый сдвиг (Q y или Q z ≠ 0, N = M x = M y = M z = 0);

Чистое кручение (M x ≠ 0, N = Q y = Q z = M y = M z = 0);

Чистый изгиб (M y или M z ≠ 0, N = Q y = Q z = M x = 0).

На основании леммы и принципа суперпозиции задачи сопротивления материалов можно решать в следующей последовательности:

В соответствии с леммой сложную нагрузку разложить на простые составляющие;

Решить полученные задачи о простых деформациях бруса;

Просуммировать найденные результаты (с учётом векторного характера параметров напряженно-деформированного состояния). В соответствии с принципом суперпозиции это будет искомое решение задачи.

13. Понятие о напряжённых внутренних силах. Связь между напряжениями и внутренними силами. Механическое напряжение - это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле, под влиянием различных факторов. Механическое напряжение в точке тела определяется как отношение внутренней силы к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения.

Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом напряжения препятствуют смещению частиц, ограничивая его в большинстве случаев некоторой малой величиной.

Q - механическое напряжение.

F - сила, возникшая в теле при деформации.

S - площадь.

Различают две составляющие вектора механического напряжения:

Нормальное механическое напряжение - приложено на единичную площадку сечения, по нормали к сечению (обозначается).

Касательное механическое напряжение - приложено на единичную площадку сечения, в плоскости сечения по касательной (обозначается).

Совокупность напряжений, действующих по различным площадкам, проведенным через данную точку, называется напряженным состоянием в точке.

В Международной системе единиц (СИ) механическое напряжение измеряется в паскалях.

14.Центральное растяжение и сжатие. Внутренние усилия. Напряжения. Условия прочности. Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием) .

Правило знаков

Растягивающие продольные усилия принято считать положительными, а сжимающие - отрицательными.

Рассмотрим прямолинейный брус (стержень), нагруженный силой F

Растяжение стержня

Определим внутренние усилия в поперечных сечениях стержня методом сечения.

Напряжение - это внутренне усилие N, приходящее на единицу площади A. Формула для нормальных напряжений σ при растяжении

Так как поперечная сила при центральном растяжении-сжатии равна нулю2, то и касательное напряжение =0.

Условие прочности при растяжении-сжатии

max = | |

15. Центральное растяжение и сжатие. Условие прочности. Три типа задач при центральном растяжении (сжатии). Условие прочности позволяет решать три типа задач:

1. Проверка прочности (проверочный расчет)

2. Подбор сечения (проектировочный расчет)

3. Определение грузоподъемности (допускаемой нагрузки)