Допуская, что случайная величина х ар имеет нормальное распределение с параметрами М[х ар ] и D, находим приближенно вероятность того, что оценка х ар отклоняется от своего математического ожидания менее чем на s.

где Ф 0 (х) - нормированная функция Лапласа, о которой уже говорилось в главе 2. Для нее составлены таблицы (см. приложение 5).

Используем данные рассматриваемого нами примера и оценим точность и надежность х ар. Для нашего примера имеем: х ар = 90; D x = 57,5; д х = 7,6. Найдем вероятность того, что, полагая М[Х] * х ар, не совершим ошибки более чем е - 3.

По формулам (6.60)-(6.62) получили:

По таблице приложения 5 находим Ф о (1,765) = 0,46164, т. е. вероятность того, что ошибки от замены М[Х] на х ар не превысит 3 приближенно равна 0,92 (92%). Эту вероятность можно считать достаточной.

Доказывается, что при п > 20 оценка D x независимо от распределения случайной величины X приближенно распределена по нормальному закону с параметрами:

Заменяя в формулах (6.64)-(6.66) D[X] ее статистической оценкой D x получим:

Используя данные примера, по формулам (6.67)и (6.69) получим:

Теперь по формуле (6.63) находим вероятность того, что оценка D x отклонится от своего истинного значения D[X] меньше чем на е = 3.

По таблице приложения 5 находим ФД0Д6) = 0,06356, т. е. вероятность того что оценка от замены D[X] на D x будет менее 3 равна 0,13 (13%), что явно недостаточно. У нас всего 20 наблюдений, а формулы (6.64)-(6.66) работают при п > 20.

Мы уже говорили, что наш пример учебный. В реальных задачах данных значительно больше, поэтому и вероятность, полученная по формуле (6.63), будет значительно выше.

Полученная нами гистограмма (см. рис. 6.2.) - это графическое изображение нашего распределения. Но пользоваться гистограммой при дальнейших исследованиях неудобно. Поэтому ставиться вопрос о том, как подобрать для данного конкретного распределения аналитическую зависимость (формулу), которая выражала бы лишь существенные черты нашего распределения. Данную задачу называют, выравниваем статистических распределений. Обычно выравнивают гистограммы, т. е. заменяют ее некоторой теоретической кривой, имеющей определенное аналитическое выражение. А затем это выражение принимают за плотность распределения /(х).

В рассматриваемом примере мы выравниваем построенную нами гистограмму по нормальному закону с параметрами х ар = 90; а х = 7,6, т. е. в выражении для плотности нормального распределения

Заменяем М[Х] и а[Х] их оценками и получаем

В качестве значений х берем границы интервалов в нашем группированном ряду, подставляем их в формулу (6.70) и получаем:

Полученные данные наносим на рис 6.2 и получаем плавную кривую.

Теперь проверим гипотезу Н о о нормальном законе распределения с плотностью f(x). Гипотезе Н о противопоставляется альтернативная гипотеза Н 1 которая говорит о том, что случайная величина X не подчиняется нормальному закону с параметрами х ар = 90; а х = 7,6.

Для того чтобы сделать вывод о том, согласуются ли данные наблюдений с выдвинутой нами гипотезой, применяют критерий согласия. Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о законе распределения. Он применяется для проверки согласия предполагаемого вида закона распределения с опытными данными.

Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Фишера, Колмогорова и др.

При проверке гипотез могут допускаться ошибки двух видов. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается верная нулевая гипотеза Н о; ошибка второго рода - в том, что отвергается верная альтернативная гипотеза Н г

Вероятность ошибки первого рода (а) называется уровнем значимости критерия. Чем меньше а, тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу Н о Допустимую а обычно задают заранее. Как правило, применяют стандартные значения а = 0,01; 0,05; 0,1.

Вероятность ошибки второго рода обозначают через р. Величину (1 - р) - вероятность недопущения ошибки второго рода (принять верную гипотезу и отвергнуть неверную гипотезу Н 0) - называют мощностью критерия.

Сначала используем для проверки гипотезы о нормальном распределении критерий Пирсона (х 2)- Приведем краткие теоретические сведения. Предположим, что проведено п опытов в каждом из которых случайная величина X приняла определенное значение, т. е. х 1 х 2 ....., х к (к - число возможных значений

случайной величины X). В результате получаем статистический ряд распределения (табл. 6.6).

Таблица 6.6

где - соответствующие вероятности.

Считаем, что отклонения / от Р имеют случайные причины. Для проверки правдоподобия выдвинутой гипотезы надо выбрать какую-то меру расхождения между статистическими и теоретическими распределениями.

В качестве такой меры расхождения при использовании критерия Пирсона берется сумма квадратов отклонений (/. - Р.), взятых с некоторыми весами С { , т. е.

Веса С. вводят, так как отклонения, относящиеся к разным значениям Р., нельзя считать равноправными по значимости.

Пирсон доказал, что если взять

то при большом числе опытов п закон распределения величины R a обладает следующими свойствами: он практически не зависит от закона распределения случайной величины X, мало зависит от числа опытов п, зависит только от количества значений случайной величины Х(к) и при п -> оо приближается к распределению х 2 Поэтому меру расхождения в данном случае обозначают % 2 , т. е.

Вводим п под знак суммы, учитывая, что, и после

преобразований получаем

Распределение х 2 зависит от параметра называемого числом степеней свободы (г с), который определяется следующим образом:

где S e -- количество независимых условий, которые наложены на относительные частоты. Для нашего примера S e = 3. Мы потребовали, чтобы выполнялись условия:

Для распределения % 2 составлены таблицы (см. приложение 6). Для нашего примера проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Вернемся к табл. 6.5, где осталась одна незаполненная графа (Р.) - это теоретические вероятности попадания в интервал случайной величины X, имеющей нормальное распределение с параметрами х ар = 90; а х = 7,6.

Для их нахождения используем формулу (2.44). Получаем:

где Ф о (х) - нормированная функция Лапласа, для которой, как мы уже говорили, составлены таблицы (см. приложение 5).

Полученные значения вероятностей занесем в табл. 6.5. Далее по формуле (6.74) получим:

Число степеней свободы в нашем случае равно г, = 6 - 3 = 3. Уровень значимости принимаем равным 0,1, т. е. а = 0,1. По таблице распределения х 2 (см. приложение 6) по уровню значимости а = 0,1 и по числу степеней свободы г = 3 находим %т = 6,25.

Так как Хт > Х Р, то гипотеза о нормальном распределении не противоречит данным наблюдений и ее можно принять с уровнем значимости 0,1. Если под рукой нет таблицы распределения х 2 , для оценки случайности расхождения /. от Р. можно использовать критерий Романовского

Если соотношение (6.76) меньше трех, то расхождение между фактическим и теоретическим распределениями носит случайный характер, а в противном случае они существенны.

Для данных примера имеем , поэтому гипотезу о нормальном распределении тоже можно принять.

Теперь применим для проверки гипотезы о нормальном распределении критерий согласия Колмогорова.

Критерий Колмогорова основан на нахождении максимального расхождения между накопленными частотами или относительными частотами экспериментального распределения и вероятностями теоретического распределения. Он определяется по формулам:

если пользоваться накопленными относительными частотами;

если пользоваться накопленными частотами, где d M - максимальная величина расхождений между накопленными относительными частотами и вероятностями;

D M - максимальная разность между реальными и теоретическими частотами.

Будем использовать формулу (6.77), и необходимые данные разместим в табл. 6.8.

Из табл. 6.8 следует, что, поэтому по формуле

(6.75) получаем

Таблица 6.8

Затем по таблицам Р() (см. приложение 8) находим Р(Х к) = 1. Поэтому можно полагать, что расхождения между относительными частотами и теоретическими вероятностями носят случайный характер, а, следовательно, гипотеза о нормальном распределении не противоречит данным наблюдений.

В заключение еще раз повторим, что наш пример носит учебный характер. Надо иметь в виду, что при использовании критерия Пирсона количество наблюдений должно быть не менее нескольких десятков, в каждом разряде должно быть не менее пяти наблюдений, а количество разрядов должно быть примерно 10-15.

Вопросы для самопроверки

• 1. Какие виды средних величин применяют в статистике?
• 2. Как определяются средняя гармоническая простая и взвешенная?
• 3. Как определяются средняя геометрическая простая и взвешенная?
• 4. Как определяется средняя арифметическая простая и взвешенная?
• 5. Как вычисляются средняя квадратическая и средняя кубическая?
• 6. Какие показатели вариации вы знаете?
• 7. Что представляют собой размах вариации и среднее линейное отклонение? По каким формулам они вычисляются?
• 8. Что такое дисперсия и среднее квадратическое отклонение? По каким формулам они вычисляются?
• 9. По какой формуле находится дисперсия качественного признака?
• 10. Что представляет собой коэффициент вариации? Каково его значение для экономического анализа?
• 11. Что представляет собой правило сложения дисперсии?
• 12. Что представляют собой асимметрия и эксцесс, и по каким формулам они находятся?

Вариация - это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение его причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщенную характеристику признака изучаемой совокупности,но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагается около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом - эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом велика, это весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

Это можно показать на таком примере. Предположим, что одинаковую работу выполняют две бригады, каждая из трех человек. Пусть количество деталей, шт., изготовленных за смену отдельными рабочими, составляло:

В первой бригаде 95, 100, 105 (???????х1=100 шт.);

Во второй бригаде - 75, 100, 125 (?х2=100 шт.)

Средняя выработка на одного рабочего в обеих бригадах одинакова и составляет 1=2=100 шт., однако колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде гораздо меньше, чем во второй.

Поэтому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей:

• * размах вариации;
• *среднее линейное отклонение;
• * дисперсия;
• * среднее квадратическое отклонение;
• *коэффициент вариации.

Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариацииR, представляющим собой разность максимальным и минимальным значениями признака:

R = хmax- хmin.

В нашем примере размах вариации сменной выработки деталей составляет: в первой бригаде - R1= 10 шт. (т.е.105-95); во второй бригаде - R2=50 шт. (т.е 125-75), что в 5 раз больше.

Это свидетельствует о том, что при численном равенстве средняя выработка первой бригады более «устойчива». Размах вариации может служить базой расчета возможных резервов роста выработки. Таких резервов больше у второй бригады, поскольку в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки деталей, ею может быть изготовлено 375 шт., т.е. (3Ч125), а в первой - только 315 шт., т.е. (3Ч105).

Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику. Простейший показатель такого типа - среднее линейное отклонение.

>Cреднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: (x -).

Среднее линейное отклонение:

* для несгруппированных данных

где n - число членов ряда;

*для сгруппированных данных

где?f - сумма частот вариационного ряда.

В формулах (2.1) и (2.2) разности в числителе взяты по модулю, (иначе в числителе всегда будет ноль - алгебраическая сумма отклонений вариантов отих средней арифметической). Поэтому среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл). С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.

> Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется поформула простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):

*простая дисперсия для несгруппированных данных

*взвешенная дисперсия для вариационного ряда

Техника вычисления дисперсии по формулам (2.3) и (2.4) достаточно сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой.

Расчет можно упростить, используя свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике). Приведем два из них:

• 1) если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;
• 2) если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и тоже число раз (iраз), то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в i2раз.

Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. В математической статистике важную роль для характеристики качества статистических оценок играет их дисперсия. Ниже, в частности, будет показано разложение дисперсии на соответствующие элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака.

• >Среднее квадратическое отклонение у равно корню квадратному из дисперсии:
• *для несгруппированных данных

*для вариационного ряда

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

>Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Решение задач

Задача 3.6

Пользуясь формулой Стерджесса, определите интервал группировки сотрудников фирмы по уровню доходов, если общая численность составляет 20 человек, а минимальный и максимальный доход соответственно равен 5000 и 30000 рублей.

Согласно формуле Стерджессаn = 1 + 3,322 - lgN,

где n - число групп;

N - число единиц совокупности, определим число групп в коллективе фирмы.

n = 1 + 3,322 - lg 20 = 1 + 3,322 -1,3?3.

Вариация признака (уровень дохода сотрудников) проявляется в сравнительно узких границах и распределение будет носить равномерный характер. Совокупность сотрудников разделится на 3 группировки с равными интервалами. Величина равного интервала определяется по следующей формуле:

h = R/n = (xmax-xmin)/n,

где xmax и xmin- максимальное и минимальное значение признака в совокупности;

n - число групп.

h = (30000 - 5000)/3 = 8333,33.

Итак, величина интервала определена, теперь можно определить границы групп:

• 5000 - 13333,33 1-я группа
• 13333,33 - 21666,66 2-я группа
• 21666,66 - 30000 3-я группа.

Задача 7.4

По результатам зимней экзаменационной сессии одного курса студентов:

Определите:

• а) средний балл оценки знаний студентов;
• б) модальный балл успеваемости и медианное значение балла;
• в) сделайте выводы о характере данногораспределении.

Средний балл найдем по формуле

ар= (2х6 + 3х75 + 4х120 + 5х99)/300 = 1212/300 = 4,04. Средний балл по итогам сессии достаточно высокий и равен 4.

Мода (Mo) - значение признака наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности, т.е., это один из вариантов признака, который в ряду распределения имеет наибольшую частоту (частость).

В дискретном ряду модальное значение определяется визуальнопо максимальной частоте. Соответственно, Mo= 4,т.к в данной совокупности именно эту оценку получило самое большое число студентов в группе.

Медиана (Ме) - значение признака (варианта), приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части.

Медиана, как и мода, не зависит от крайних значений вариантов, поэтому применяется для характеристики центра в ряду распределения.

Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо вначале найти номер медианы по формуле:

N = (300+1)/2 = 150,5

Затем используют кумулятивные частоты Sfили частость Sd.

Зная, чтоN = 150,5, накапливаем частоты до тех пор, пока кумулятивная частотаSfне будет равна этому номеру или превысит его. Следовательно, на 2 балла сдали 6 человек + 75 человек, сдавшие на 3 балла - это 81человек, + 120 человек, сдавшие на 4, равно 201 человек. Таким образом, медиана данного ряда распределения равна 4 баллам, т.е. половина студентов сдали на 2, 3 и 4,а половина на 4 и 5.

Вывод: средний балл,модальное значение и медиана совпадают и равняются 4 баллам. Это говорит о симметричном распределении частот множества.

По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Определите:

1) размах вариации;

2) средний размер вклада;

3) среднее линейное отклонение;

4) дисперсию;

5) среднее квадратическое отклонение;

6) коэффициент вариации вкладов.

Решение:

Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.

Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.

1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.

2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.

Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.

Среднее значение первого интервала будет равно:

второго - 500 и т. д.

Занесём результаты вычислений в таблицу:

Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:

3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:

1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).

2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:

3. Полученные отклонения умножаются на частоты:

4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:

5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:

Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.

4) Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:

Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:

1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).

2. Находят отклонения вариант от средней:

3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:

4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):

5. Суммируют полученные произведения:

6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):

Расчёты оформим в таблицу:

Понятие вариации и ее значение

Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу и т.д.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, т.к. помогает познать сущность изучаемого явления. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.д.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Поэтому для характеристики колебания признака используют показатели вариации.

Показатели вариации и их значение в статистике

Для измерения вариации признака в совокупностях используют следующие обобщающие показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение .

1. Самым распространенным абсолютным показателем является размах вариации (), определяемый как разность между наибольшим () и наименьшим () значениями вариантов.

. (5.1)

Этот показатель прост для расчета, что и обусловило его широкое распространение. Однако он улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонений всех вариант в ряду.

2. Для обобщающей характеристики распределения отклонений рассчитывают среднее линейное отклонение , определяемое как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:

Невзвешенное среднее линейное отклонение:

, (5.2)

Взвешенное среднее линейное отклонение:

. (5.3)

В этих формулах разности в числителе взяты по модулю, иначе в числителе всегда будет ноль. Поэтому среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко, только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл. С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.

3. Меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии ( - средний квадрат отклонений), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат:

Невзвешенная:

, (5.4)

Взвешенная:

. (5.5)

Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. В математической статистике важную роль для характеристики качества статистических оценок играет их дисперсия.

4. Корень квадратный из дисперсии «среднего квадрата отклонений» представляет собой среднее квадратическое отклонение :

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно показывает, насколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Чем меньше значения дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокупность и тем более типичной будет средняя величина.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков (например, сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы).

Для осуществления такого рода сравнений используют следующие относительные показатели:

Коэффициент осциляции – отражающий относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:

. (5.7)

Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:

. (5.8)

Коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средней величины:

. (5.9)

Если , то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

5.3 Дисперсия: свойства и методы расчета

Дисперсия обладает рядом свойств, которые позволяют упростить ее расчеты.

1) Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число , то средний квадрат отклонений от этого не изменится:

. (5.10)

2) Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число , то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в раз, а среднее квадратическое отклонение – в раз.

. (5.11)

3) Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины , которая в той или иной степени отличается от средней арифметической , то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений , исчисленного от средней арифметической:

А именно средний квадрат отклонений при этом будет больше на квадрат разности средней и этой условно взятой величиной, т.е. на :

Дисперсия от средней имеет свойство минимальности , т.е. она всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин. В этом случае, когда приравнивается к нулю, формула принимает вид:

. (5.14)

Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала, получим следующую формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

, (5.15)

где - дисперсия, исчисленная по способу моментов;

Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Абсолютные показатели:
размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака: .

Размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику. Простейшим показателем такого типа является среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: ()).

Среднее линейное отклонение для несгруппированных данных:

,

где n – число членов ряда; для сгруппированных данных:

,

где — сумма частот вариационного ряда.

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных).

Простая дисперсия для несгруппированных данных:

;

взвешенная дисперсия для вариационного ряда:

.

Дисперсия обладает определенными свойствами, два из которых:

1) если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;

2) если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (i раз).

То дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в раз. Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала, можно получить формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

,

где -дисперсия, исчисленная по способу моментов;

i – величина интервала;

– новые (преобразованные) значения вариантов (А – условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой);

— момент второго порядка;

— квадрат момента первого порядка.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии: для несгруппированных данных:

,

для вариационного ряда:

.

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Относительные показатели:
Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

.

Также коэффициент вариации используется как характеристика однородности совокупности. Если , то колеблемость незначительная, если , то колеблемость умеренная-средняя, если , то колеблемость значительная, если , то совокупность однородная.

Коэффициент осцилляции:

.

Относительное линейное отклонение:

.

Вариация признаков обусловлена различными факторами, некоторые из этих факторов можно выделить, если статистическую совокупность разбить на группы по какому-либо признаку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы, а также и между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность расчленена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значение признака х от общей средней величины и может быть вычислена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних от общей средней :

,

где f – численность единиц в группе.

Внутригрупповая (частная) дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировка. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы x i (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия

или как взвешенная дисперсия .

На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе, т.е. на основании можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий: .

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

.

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью – неизвестную. Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак.

Поэтому в статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации — показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:

.

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х (остальная часть общей вариации у обуславливается вариацией прочих факторов). При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи – единице.

Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации: .

Он показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками. Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1. Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации. Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии , т.е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака. Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Задание 2. Относительные показатели

Вариант 10. Имеются следующие данные о численности населения за 1999 г. и территории по двум странам:

Определить:

Плотность населения по обеим странам.


Относительный показатель сравнения по численности населения.


Решение


Плотность населения рассчитывается как относительный показатель интенсивности (ОПИ), характеризующий степень распространения или уровень развития того или иного явления в определенной среде. Он рассчитывается как отношение показателя, характеризующего явление, к показателю, характеризующему среду распространения явления.


ОПИ Молдова =чел/км 2 . Т.е. плотность населения Молдавы 31,15 человека на 1 км 2 .


ОПИ Азербайджан =чел/км 2 . Т.е. плотность населения Украины 82,33 человека на 1 км 2 .


ОПСр=. Т.е. территория Украины в 20,708 раза (или на 1970%) больше территории Молдавии.


Задание 3. Средние показатели


Вариант 10. Имеются следующие данные о распределении численности безработных женщин, зарегистрированных службами занятости, по возрастным группам на конец 1999 г. (тыс.чел.):


Возраст	менее 20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	45-50	50 и старше
Численность безработных	12,7	11,3

Найти среднее значение возраста зарегистрированной безработной.


Решение


Для того, чтобы рассчитать среднюю арифметическую интервального ряда, надо сначала перейти к условному дискретному ряду из средних значений интервалов. Если имеются интервалы без указания нижней границы или верхней границы (50 и старше), то соответствующее значение устанавливают таким образом, чтобы получился ряд с равновеликими интервалами. В данном случае условный дискретный ряд имеет вид:


Возраст	17,5	22,5	27,5	32,5	37,5	42,5	47,5	52,5
Численность населения	12,7	11,3


,


где x i – i -тое значение признака,


n i – частота x i , k – число различных значений признака в совокупности.


. Т.е. среднее значение возраста 35,0 лет.


Задание 4. Ряды динамики


Вариант 10. Имеются следующие данные о динамике среднегодовой численности населения Украины (млн. чел.):


Годы	1995	1996	1997	1998	1999
Численность населения	51,3	50,9	50,4	50,0	49,7

Определить:


Абсолютные приросты (цепные и базисные).


Средний абсолютный прирост.


Темпы роста (цепные и базисные).


Темпы прироста (цепные и базисные).


Абсолютное значение 1% прироста.


1. Среднегодовой темп роста.
   

   Решение
   

   Абсолютный прирост характеризует размер увеличения или уменьшения изучаемого явления за определенный период времени. Он определяется как разность между данным уровнем и предыдущим (цепной) или первоначальным (базисный).
   

   Для динамического ряда , состоящего из n+1 уровней, абсолютный прирост определяется таким образом:
   

   цепной , где – текущий уровень ряда, –уровень, предшествующий .	базисный , где – текущий уровень ряда, – начальный уровень ряда.
   (млн.чел.)	(млн.чел.)
   (млн.чел.)	(млн.чел.)
   (млн.чел.)	(млн.чел.)
   (млн.чел.)	(млн.чел.)

   Средний абсолютный прирост рассчитывается по формуле
   

   ,
   

   где – конечный уровень ряда.
   

   Т. е. среднегодовая численность населения Украины за данный период времени снижалась в среднем на 0,4 млн. человек в год.
   

   Темпом роста называется отношение данного уровня явления к предыдущему (цепной) или начальному (базисный) уровню, выраженное в процентах. Темпы роста вычисляются по формулам:
   

   цепной .	базисный .

   Темпом прироста называется отношение абсолютного прироста к предыдущему (цепной) или начальному (базисный) уровню, выраженное в процентах. Темпы прироста вычисляются по формулам:
   

   цепной .