Длина дуги и ее вычисление. Геометрия круга

Инструкция

Если длина дуги (l) между крайними точками, задающими хорду, известна, а кроме нее в условиях дан и радиус окружности (R), задачу вычисления длины хорды (m) можно свести к расчету длины основания равнобедренного треугольника. Боковые стороны этого треугольника будут двумя радиусами окружности, а угол между ними будет центральным углом, который вам и нужно рассчитать в первую очередь. Для этого разделите длину дуги на радиус: l/R. Полученный результат выражен в радианах. Если вам удобнее производить вычисления , будет значительно сложнее - сначала умножьте длину дуги на 360, а затем поделите результат на удвоенное произведение Пи на радиус: l*360/(2*π*R) = l*180/(π*R).

Выяснив величину центрального угла, рассчитайте длину хорды . Для этого удвоенный радиус умножьте на синус половины центрального угла. Если вы выбрали расчеты в градусах, в общем виде полученную формулу запишите так: m = 2*R*sin(l*90/(π*R)). Для расчетов в радианах она будет содержать на одно математическое действие меньше m = 2*R*sin(l/(2*R)). Например, при длине дуги в 90 см и радиусе 60 см должна иметь длину 2*60*sin(90*90/(3,14*60)) = 120*sin(8100/188,4) = 120*sin(42,99°) ≈ 120*0,68 = 81,6 см при точности расчетов до двух после запятой.

Если в дополнение к длине дуги (l) в условиях задачи дана полная (L), выразите через нее радиус, разделив на удвоенное Пи. Затем подставьте это выражение в общую формулу из предыдущего шага: m = 2*(L/(2*π))*sin(l*90/(π*L/(2*π))). После упрощения выражения у вас должно получиться равенство для расчетов в градусах: m = L/π*sin(l*180/L). Для вычислений в радианах оно будет выглядеть так: m = L/π*sin(l*π/L). Например, если длина дуги составляет 90 см, а длина окружности - 376,8 см, длина хорды составит 376,8/3,14*sin(90*180/376,8) = 120*sin(42,99°) ≈ 120*0,68 = 81,6 см.

Понятие хорда в школьном курсе геометрии связано с понятием окружность.Окружностью называется плоская фигура, составленная из всех точек этой плоскости равностоящих от заданной плоскости. Радиусом окружности называется расстояние от центра до любой точки лежащей на ней.Ходой называется отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на окружности.

Инструкция

Для получения длины произвольной хорды необходимо ввести дополнительное .
Угол с вершиной в центре окружности центральным углом этой окружности.
Если известна градусная мера центрального угла??, то длина хорды, на которую она опирается, рассчитывается по формулам
h = 2 * R * sin(??/2)
h = R * v(2 * (1 - cos??))
h = 2 * R * cos??, где?? = (П - ??)/2, П – П

Видео по теме

Все чаще в повседневной практике приходится решать задачи, которые когда-то как семечки щелкали на уроках математики, но по прошествии лет, что-то подзабылось. Нахождение длины дуги окружности - одна из задач, с которой человек может столкнуться в жизни.

Вам понадобится

калькулятор, значение числа π = 3,14 , значение радиуса r и центрального угла α, взятых из условия задачи.

Инструкция

Для начала нужно определиться с понятиями. Окружность - это множество всех точек плоскости, находящихся на данном положительном расстоянии от некоторой данной точки плоскости, называемой центром (точка О). Дуга - часть окружности , расположенная между А и В этой окружности , где ОА и ОВ радиусы этой окружности . Чтобы различать эти дуги , на каждой из них отмечают промежуточную L и М. Таким образом, получаем две дуги ALB и AMB.

Итак, дуга окружности определяется радиусом окружности r и центральным углом?. Зная эти два , несложно длину дуги L по формуле:
L = ?r?/180
где? - числовая константа равная 3,14.
Подставив в формулу значения?, r, ? и вооружившись калькулятором, вы легко вычислите длину дуги L.

Необходимость вычислить длину дуги может возникнуть при выполнении самых разнообразных проектных работ. Это разработка арочных перекрытий, строительство мостов и тоннелей, прокладка автомобильных и железнодорожных путей и многое другое. Исходные условия для решения этой задачи могут быть очень разными. Для того, чтобы наиболее оптимальным способом вычислить длину дуги, необходимо знать радиус окружности и центральный угол.

Вам понадобится

- лист бумаги;
- циркуль;
- линейка;
- транспортир;
- компьютер с программой AutoCAD;
- калькулятор.

Инструкция

Постройте окружность с заданным радиусом. Принципы ее построение в AutoCAD те же самые, что и на листе бумаги. Освоив способы построения разных геометрических фигур классическим способом, вы очень быстро поймете, как это делается на компьютере. Разница заключается в том, что при обычном построении с помощью циркуля вы находите центр окружности по точке, куда ставится иголка. В AutoCAD найдите в верхнем меню кнопку «arc” или «Дуга». Выберите построение по центру, начальной точке и углу и введите нужные параметры. Обозначьте центр окружности как О.

С помощью карандаша и линейки или компьютерной мыши проведите радиус. Если вы чертите на листе, то с помощью транспортира отложите заданный размер угла. Для этого нулевую отметку транспортира совместите с точкой О, отметьте нужный угол и проведите через полученную точку второй радиус. Угол обозначьте как α. Можно назвать его и АОВ, если соответствующими буквами отметить точки пересечения с окружностью. Вам нужно найти длину дуги АВ.

Если размер угла задан в градусах, то длина дуги равна удвоенному произведению радиуса окружности на коэффициент π и на соотношение угла α к полному центрального угла окружность. Он составляет 360°. То есть ее можно найти по формуле L=2πRα/360°, где L – искомая длина дуги, R- радиус окружности, а α – размер угла в градусах. Угол может быть задан и в . Тогда длина дуги равна произведению радиуса на угол, то есть L=Rα. В этом случае остальная часть формулы уже сократилась при переводе градусов в .

Проектировщикам приходится рассчитывать длину дуги, знач только предположительную высоту моста или перекрытия и длину пролета. В этом случае сделайте чертеж. Пролет будет являться хордой, а высота - частью радиуса. Проведите ее из самой верхней точки будущей арки перпендикулярно к и продолжите дальше, до предполагаемого центра окружности. Высота делит

Формула для нахождения длины дуги окружности довольно проста, и очень часто на важных экзаменах типа ЕГЭ встречаются такие задачи, которые невозможно решить без ее применения. Также необходимо ее знать для сдачи международных стандартизированных тестов, например SAT и других.

Чему равна длина дуги окружности?

Формула выглядит следующим образом:

l = πrα / 180°

Что собой представляет каждый из элементов формулы:

π - число Пи (постоянная величина, равная ≈ 3,14);
r - радиус данной окружности;
α - величина угла, на который опирается дуга (центральный, а не вписанный).

Как видно, чтобы решить задачу, в условии должны присутствовать r и α. Без этих двух величин длину дуги найти невозможно.

Каким образом выводится эта формула и почему она так выглядит?

Все предельно легко. Станет намного понятнее, если в знаменателе поставить 360°, а в числителе спереди добавить двойку. Также можно α не оставить в дроби, вывести ее и написать со знаком умножения. Это вполне можно себе позволить, так как данный элемент стоит в числителе. Тогда общий вид станет таким:

l = (2πr / 360°) × α

Просто для удобства сократили 2 и 360°. А теперь, если приглядеться, то можно заметить очень знакомую формулу длины всей окружности, а именно - 2πr. Весь круг состоит из 360°, потому мы делим полученную меру на 360 частей. Затем мы умножаем на число α, то есть на то количество "кусков пирога", которое нам требуется. Но всем доподлинно известно, что число (то есть длина всей окружности) не может делиться на градус. Что же делать в таком случае? Обычно, как правило, градус сокращается с градусом центрального угла, то есть с α. После же остаются только числа, а в итоге получается конечный ответ.

Этим можно объяснить то, почему длина дуги окружности находится таким образом и имеет такой вид.

Пример задачи средней сложности с применением данной формулы

Условие: Имеется окружность с радиусом 10 сантиметров. Градусная мера центрального угла составляет 90°. Найти длину дуги окружности, образованную этим углом.

Решение: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Ответ: l = 5π

Также возможно, чтоб вместо градусной меры давалась бы радианная мера угла. Ни в коем случае не стоит пугаться, ведь на сей раз задача стала намного легче. Чтобы перевести радианную меру в градусную, нужно данное число умножить на 180° / π. Значит, теперь можно подставить вместо α следующую комбинацию: m × 180° / π. Где m - это радианное значение. А дальше 180 и число π сокращаются и получается совершенно упрощенная формула, которая выглядит следующим образом:

m - радианная мера угла;
r - радиус данной окружности.

Часть фигуры, которая образует окружность, точки которой равноудалены, называется дугой. Если из точки центра окружности, провести лучи в точки, совпадающие с концами дуги, будет образован её центральный угол.

Определение длины дуги

Производится по следующей формуле:

где L – искомая длина дуги, π = 3,14 , r – радиус окружности, α – центральный угол.

3,14 × 10 × 85

14,82

Ответ:

Длина дуги окружности равна 14,82 сантиметра.

В элементарной геометрии под дугой понимается подмножество окружности, расположенной между двумя расположенными на ней точками. На практике решать задачи по определению ее длины инженерам и архитекторам приходится достаточно часто, поскольку этот геометрический элемент широко распространен в самых разнообразных конструкциях.

Пожалуй, первым, перед кем встала эта задача, были древние зодчие, которым так или иначе приходилось определять этот параметр для сооружения сводов, широко используемых для перекрытия промежутков между опорами в круглых, многоугольных или эллиптических зданиях. Если внимательно присмотреться к дошедшим до наших дней шедеврам древнегреческого, древнеримского и особенно арабского зодчества, то можно заметить, что в их конструкциях дуги и своды встречаются чрезвычайно часто. Творения современных архитекторов ими не так богаты, но эти геометрические элементы наличествуют, конечно же, и в них.

Длину различных дуг необходимо рассчитывать при сооружении автомобильных и железных дорог, а также автодромов, причем во многих случаях от правильности и точности вычислений во многом зависит безопасность движения. Дело в том, что многие повороты магистралей с точки зрения геометрии представляют собой именно дуги, и по движению по ним на транспорт воздействуют различные физические силы. Параметры их результирующей во многом определяются длиной дуги, а также ее центральным углом и радиусом.

Конструкторам машин и механизмов приходится вычислить длины различных дуг для правильной и точной компоновки составных частей различных агрегатов. В данном случае ошибки в расчетах чреваты тем, что важные и ответственные детали будут неправильно взаимодействовать друг с другом и механизм просто не сможет функционировать так, как планируют его создатели. В качестве примеров конструкций, изобилующих такими геометрическими элементами, как дуги, можно привести двигатели внутреннего сгорания, коробки переключения передач, дерево- и металлообрабатывающее оборудование, кузовные элементы легковых и грузовых автомобилей и т.д.

Дуги достаточно широко встречаются в медицине, в частности, в стоматологии. Например, они используются для исправления неправильного прикуса. Корректирующие элементы, называемые брекетами (или брекет-системами) и имеющие соответствующую форму, изготавливаются из специальных сплавов, и устанавливаются таким образом, чтобы изменить положение зубов. Само собой разумеется, что для того, чтобы лечение проходило успешно, эти дуги должны быть очень точно рассчитаны. Кроме того, дуги очень широко используются в травматологии, и, пожалуй, самым ярким примером тому является знаменитый аппарат Илизарова, изобретенный российским врачом в 1951 году и чрезвычайно успешно используемый по сей день. Неотъемлемыми его частями являются металлические дуги, снабженные отверстиями, через которые продеваются специальные спицы, и являющиеся основными опорам всей конструкции.

Углом называется геометрическая фигура, которая образована двумя лучами – сторонами угла, исходящими из одной точки – вершины угла. Обычно для построения плоского угла в планиметрии используется транспортир, с помощью которого можно легко отложить угол с заданной градусной мерой, но как быть, если под рукой этого инструмента нет?Для построения угла можно воспользоваться тригонометрическими функциями и построением прямоугол ьного треугол ьника.

Вам понадобится

Полная таблица тангенсов, линейка

Инструкция

Пусть стоит задача построить угол некоторой размерности?.
Построим отрезок AB произвольной . Использую соотношение катетов в угол ьном треугол ьнике можно BC этого треугол ьника BC = AB tg?, тангенса угла? можно узнать по .
Далее от точки A необходимо отложить отрезок длины BC перпендикулярно отрезку AB.

Видео по теме

Обратите внимание

Для построения углов ∠α ≥ 90º, необходимо построить угол ∠β

Вам понадобится

калькулятор, значение числа π = 3,14 , значение радиуса r и центрального угла α, взятых из условия задачи.

Инструкция

Длиной принято обозначать расстояние между двумя точками какого-либо отрезка. Это может быть прямая, ломаная или замкнутая линия. Вычислить длину можно довольно простым путем, если знать некоторые другие показатели отрезка.

Инструкция

Если вам нужно найти длину стороны квадрата, то это не составит , если вам известна его площадь S. В связи с тем, что все стороны квадрата имеют , вычислить величину одной из них можно по формуле: a = √S.

Обратите внимание

Две точки делят окружность на две дуги. В задании может быть указано, длину какой из них нужно найти. В этом случае необходимо вычислить больший угол, отняв от полного угла заданный острый.

При вычислении любой длины следует помнить, что это величина конечная, то есть просто число. Если имеется в виду длина дуги кривой , то такая задача решается с помощью определенного интеграла (в плоском случае) или криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Дуга АВ будет обозначаться UАВ.

Инструкция

Первый случай (). Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ (см. рис. 1а). Для решения этой задачи разбейте рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдете длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получите результат, приведенный на рисунке 1b.

Второй случай (дуга UАВ задана параметрически). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на отрезке этом отрезке. Найдите их дифференциалы. dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставьте эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесите dt из квадратного корня под интегралом, положите х(α)=а, x(β)=b и придете к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).

Третий случай. Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ) Полярный угол φ при прохождении дуги от α до β. Функция ρ(φ)) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберите φ в качестве параметра и подставьте в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ y=ρsinφ. Продифференцируйте эти формулы и подставьте квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получите формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).

Четвертый случай (пространственная кривая, заданная параметрически). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный первого рода (по длине дуги). Криволинейные вычисляют их определенные. В результате ответ останется практическим таким же как и случае два, с тем лишь отличием, что появится слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).

Источники:

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учебник для ВТУЗов. Т.1.-М.: Наука, 1972.-576 с.
вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла

Дугой называется часть окружности. Окружность - геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой центром. В бытовых ситуациях, когда погрешность не важна и измерения затруднены, длину дуги иногда измеряют с помощью мягкого материала, например нити, который повторяет форму дуги , а затем выпрямляется и измеряется. Для серьёзных измерений такой метод неприемлем.

Окружностью называют замкнутую, плоскую кривую, все точки которой, лежащие в одной плоскости, удалены на одинаковом расстоянии от центра.

Точка О является центром окружности, R является радиусом окружности — расстоянием от какой-нибудь точки окружности до центра. По определению все радиусы замкнутой

рис. 1

кривой имеют одинаковую длину.

Расстояние между двумя точками окружности называется хордой. Отрезок окружности, проходящий через ее центр и соединяющий две ее точки, называется диаметром. Середина диаметра является центром окружности. Точки окружности делят замкнутую кривую на две части, каждая часть носит название дуги окружности. Если концы дуги принадлежат диаметру, то такая окружность называется полуокружностью, длину которой принято обозначать π . Градусная мера двух окружностей, имеющих общие концы, составляет 360 градусов.

Концентрические окружности - это окружности, имеющие общий центр. Ортогональные окружности — это окружности, которые пересекаются под углом равным 90 градусов.

Плоскость, которую ограничивает окружность, называется кругом. Одна часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой — это круговой сектор. Дуга сектора - это дуга, ограничивающая сектор.

Рис. 2

Взаимное расположение окружности и прямой (рис.2).

Окружность и прямая имеют две общие точки, если расстояние от прямой до центра окружности менее радиуса окружности. В таком случае прямая по отношению к окружности называется секущей.

Окружность и прямая имеют одну общую точку, если расстояние от прямой до центра окружности равно радиусу окружности. В таком случае прямая по отношению к окружности называется касательной к окружности. Их общая точка носит название точки касания окружности и прямой.

Основные формулы окружности:

C = 2πR , где C — длина окружности
R = С/(2π) = D/2 , где С/(2π) — длина дуги окружности
D = C/π = 2R , где D — диаметр
S = πR2 , где S — площадь круга
S = ((πR2)/360)α , где S — площадь кругового сектора

Окружность и круг получили свое название в Древней Греции. Уже в древности человека интересовали круглые тела, поэтому окружность становилась венцом совершенства. То, что круглое тело могло двигаться само по себе, стало толчком к изобретению колеса. Казалось бы, что особенного в этом изобретении? Но представьте, если в одно мгновение колеса исчезнут из нашей жизни. В дальнейшем это изобретение и породило математическое понятие окружности.