Указать промежутки непрерывности функции онлайн. Непрерывность функции в точке и на интервале. Основные свойства непрерывных функций

Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a непрерывна справа, т.е. , а в точке b непрерывна слева, т. е.).

Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

• 1) Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса).
• 2) Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своего наименьшего значения и наибольшего значения (вторая теорема Вейерштрасса) (см. рис. 2).
• 3) Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что (теорема Больцано-Коши).

Точки разрыва функции и их классификация

функция непрерывность точка отрезок

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции, то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно:

1) Функция определена в окрестности точки, но не определена в самой точке. Так функция, рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке, так как не определена в этой точке.

2) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, но они не равны между собой: . Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но, так как, а.

3) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, они равны между собой, но не равны значению функции в точке: . Например, функция. Здесь - точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и, равные между собой, но, т. е. .

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.

Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке.

Определение 6 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, они равны между собой: , но сама функция не определена в точке, или определена, но.

Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (или) не существует или равен бесконечности.

Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) б)

Решение. а) Функция определена и непрерывна на интервалах, и, так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и. Найдем односторонние пределы функции в точке:

Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции:

Для точки находим.

Функция называется непрерывной в точке х0, если f(x) стремится к f(x0) при стремлении x к x0. При этом f(x) - A = f(x) - f(x0) = ∆f. Если функция f непрерывна в каждой точке некоторого промежутка А, то эта функция будет являться непрерывной на всем промежутке А. А сам промежуток А, называют в таком случае промежутком непрерывности функции f.

График непрерывных функций, изучаемых в школьном курсе математики, можно нарисовать «не отрывая карандаш от бумаги», так как он представляет собой сплошную линию. Если на некотором интервале (a;b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она будет сохранять постоянный знак.

Это свойство очень легко для понимания. Функция, расположенная выше оси Ох, имеет знак «плюс», функция, расположенная ниже оси Ох, имеет знак «минус». Если линия функции не пересечет ось Ох (на оси Ох функция равна нулю), то она явно не изменит свой знак.

Метод интервалов

Одним из ярких применений свойств непрерывности функций является метод интервалов, который используется для решения неравенств с одной переменной. Пусть некоторая функции непрерывна на интервале А и обращается в нуль в конечном числе точек принадлежащих этому интервалу.

Используя свойство, приведенное выше, эти точки будут разбивать весь интервал А на промежутки, в которых функция будет сохранять свой знак. Чтобы определить знаки всех промежутков, достаточно знать знак одного любого из этих интервалов.

Пример функции, которая не является непрерывной

До сих пор мы сталкивались только с непрерывными функциями. Но существуют функции, которые не являются непрерывными в каждой точке, в которой они определены. Например, функция f(x) = {x}, где {x} - есть дробная часть числа х. Её график изображен на следующем рисунке.

Легко заметить, что основное свойство непрерывности функции в точке х0 равное любому целому числу, не будет выполняться. Но в тоже время функция f(x) = {x} непрерывна во всех других точках, на которых она определена, кроме точек, где x равно целому числу. На графике такие точки отмечены выколотыми кружками.

Функции непрерывные, но не дифференцируемые в данной точке

Есть функции которые являются непрерывными в каждой точке своей области определения. Но при этом не будут иметь производные в некоторых точках. Например, функция y=|x| непрерывна на все числовой оси, но при этом не дифференцируема в точке х = 0. Ниже представлен график этой функции.

Определение . Если функция f (x ) определена на отрезке [a, b ], непрерывна в каждой точке интервала (a, b ), в точке a непрерывна справа, в точке b непрерывна слева, то говорят, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ].

Другими словами, функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], если выполнены три условия:

1) "x 0 Î(a, b ): f (x ) = f (x 0);

2) f (x ) = f (a );

3) f (x ) = f (b ).

Для функций, непрерывных на отрезке, рассмотрим некоторые свойства, которые сформулируем в виде следующих теорем, не проводя доказательств.

Теорема 1 . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения.

Эта теорема утверждает (рис. 1.15), что на отрезке [a, b ] найдется такая точка x 1 , что f (x 1) £ f (x ) для любых x из [a, b ] и что найдется точка x 2 (x 2 Î[a, b ]) такая, что "x Î[a, b ] (f (x 2) ³ f (x )).

Значение f (x 1) является наибольшим для данной функции на [a, b ], а f (x 2) – наименьшим. Обозначим: f (x 1) = M , f (x 2) = m . Так как для f (x ) выполняется неравенство: "x Î[a, b ] m £ f (x ) £ M , то получаем следующее следствие из теоремы 1.

Следствие . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2 . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a,b ] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдется такая внутренняя точка x 0 отрезка [a, b ], в которой функция обращается в 0, т.е. $x 0 Î (a, b ) (f (x 0) = 0).

Эта теорема утверждает, что график функции y = f (x ), непрерывной на отрезке [a, b ], пересекает ось Ox хотя бы один раз, если значения f (a ) и f (b ) имеют противоположные знаки. Так, (рис. 1.16) f (a ) > 0, f (b ) < 0 и функция f (x ) обращается в 0 в точках x 1 , x 2 , x 3 .

Теорема 3 . Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], f (a ) = A , f (b ) = B и A ¹ B . (рис. 1.17). Тогда для любого числа C , заключенного между числами A и B , найдется такая внутренняя точка x 0 отрезка [a, b ], что f (x 0) = C .

Следствие . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], m – наименьшее значение f (x ), M – наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a, b ], то функция принимает (хотя бы один раз) любое значение m , заключенное между m и M , а потому отрезок [m, M ] является множеством всех значений функции f (x ) на отрезке [a, b ].

Заметим, что если функция непрерывна на интервале (a, b ) или имеет на отрезке [a, b ] точки разрыва, то теоремы 1, 2, 3 для такой функции перестают быть верными.

В заключение рассмотрим теорему о существовании обратной функции.

Теорема 4 . Пусть f (x ) непрерывна на промежутке X , возрастает (или убывает) на X и имеет множеством значений промежуток Y . Тогда для функции y = f (x ) существует обратная функция x = j (y ), определенная на промежутке Y , непрерывная и возрастающая (или убывающая) на Y с множеством значений X .

Замечание . Пусть функция x = j (y ) является обратной для функции f (x ). Так как обычно аргумент обозначают через x , а функцию через y , то запишем обратную функцию в виде y = j (x ).

Пример 1 . Функция y = x 2 (рис. 1.8, а) на множестве X = a , b [ и непрерывна в каждой точке этого интервала. Тогда она называется непрерывной в интервале ]a , b [ . Аналогично определяется понятие непрерывности функции на промежутках вида ]- ∞, b [ , ]a , + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . Пусть теперь функция y = f (x ) определена на отрезке [a , b ] . Разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок. Здесь следует упомянуть о так называемой односторонней непрерывности: в точке a , оставаясь на отрезке [a , b ] , мы можем приближаться только справа, а к точке b - только слева. Функция называется непрерывной на отрезке [a , b ] , если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b .

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции и непрерывны на любом отрезке [a , b ] , функция непрерывна на отрезке [0 , b ] , функция непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку a = 2 .

Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Проверяем первое условие. Функция не определена в точках - 3 и 3. По меньшей мере одно из условий непрерывности функции на всей числовой прямой не выполняется. Поэтому данная функция является непрерывной на интервалах

Пример 5. Определить, при каком значении параметра a непрерывна на всей области определения функция

Решение.

Найдём правосторонний предел при :

.

Очевидно, что значение в точке x = 2 должно быть равно ax :

a = 1,5 .

Пример 6. Определить, при каких значениях параметров a и b непрерывна на всей области определения функция

Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :

.

Следовательно, значение в точке должно быть равно 1:

Найдём левосторонний функции в точке :

Очевидно, что значение функции в точке должно быть равно :

Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1; b = -3 .

Основные свойства непрерывных функций

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t , выраженная законом s = f (t ) , даёт пример непрерывной функции f (t ) . Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f (t ) .

В математическом анализе доказаны некоторые свойства, которыми обладают непрерывные функции. Приведём важнейшие из этих свойств.

1. Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как первая теорема Больцано-Коши.

2. Функция f (x ) , непрерывная на интервале [a , b ] , принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, то есть, между f (a ) и f (b ) . В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как вторая теорема Больцано-Коши.