Свойства квадратичной функции y ax2 bx c. Определение значений коэффициентов квадратичной функции по графику
Презентация «Функция y=ax 2 , ее график и свойства» является наглядным пособием, которое создано для сопровождения объяснения учителя по данной теме. В данной презентации подробно рассматривается квадратичная функция, ее свойства, особенности построения графика, практическое приложение используемых методов решения задач в физике.
Предоставляя высокую степень наглядности, данный материал поможет учителю повысить эффективность обучения, даст возможность более рационально распределить время на уроке. При помощи анимационных эффектов, выделения понятий и важных моментов цветом, внимание учеников акцентируется на изучаемом предмете, достигается лучшее запоминание определений и хода рассуждения при решении задач.
Презентация начинается с ознакомления с названием презентации и понятием квадратичной функции. Подчеркивается важность данной темы. Ученикам предлагается запомнить определение квадратичной функции как функциональной зависимости вида y=ax 2 +bx+c, в которой является независимой переменной, а - числа, при этом a≠0. Отдельно на слайде 4 отмечается для запоминания, что областью определения данной функции является вся ось действительных значений. Условно данное утверждения обозначается D(x)=R.
Примером квадратичной функции является важное ее приложение в физике - формула зависимости пути при равноускоренном движении от времени. Параллельно на уроках физики ученики изучают формулы различных видов движения, поэтому умение решать подобные задачи им будет необходимо. На слайде 5 ученикам напоминается, что при движении тела с ускорением и на начало отсчета времени известен пройденный путь и скорость движения, то функциональная зависимость, представляющая такое движение, будет выражаться формулой S=(at 2)/2+v 0 t+S 0 . Ниже приводится пример превращения данной формулы в заданную квадратичную функцию, если значения ускорения =8, начальной скорости =3 и начального пути =18. В этом случае функция приобретет вид S=4t 2 +3t+18.
На слайде 6 рассматривается вид квадратичной функции y=ax 2 , в котором она представляется при. Если же =1, то квадратичная функция имеет вид y=x 2 . Отмечается, что графиком данной функции будет парабола.
Следующая часть презентации посвящена построению графика квадратичной функции. Предлагается рассмотреть построение графика функции y=3x 2 . Сначала в таблице отмечается соответствие значений функции значениям аргумента. Отмечается, что отличие построенного графика функции y=3x 2 от графика функции y=x 2 в том, что каждое значение ее будет больше соответствующего в три раза. В табличном представлении эта разница хорошо отслеживается. Рядом в графическом представлении также хорошо заметна разница в сужении параболы.
На следующем слайде рассматривается построение графика квадратичной функции y=1/3 x 2 . Для построения графика необходимо в таблице указать значения функции в ряде ее точек. Отмечается, что каждое значение функции y=1/3 x 2 меньше соответствующего значения функции y=x 2 в 3 раза. Данная разница, кроме таблицы, хорошо видна и на графике. Ее парабола более расширена относительно оси ординат, чем парабола функции y=x 2 .
Деятельность учителя | Деятельность ученика |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Организационный момент |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Здравствуйте ребята, присаживайтесь. | Учащиеся рассаживаются, слушают учителя. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Актуализация опорных знаний и способов действий |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, начнем. Откройте тетради, запишите число, классная работа. Сегодня на уроке мы будем изучать новый материал. Перед тем, как перейти к новой теме, ответьте на несколько вопросов. Учитель задаёт ученикам вопросы - Что такое функция? Что называют графиком функции? С какими видами функции вы знакомы? Что называется линейной функцией? Что называется квадратичной функцией? С каким видом квадратичной функции вы уже работали? Как это функция получилась и как она называется? Сегодня вы познакомитесь с новым видом квадратичной функции. Поэтому записываем новую тему: «Функция и её свойства». | Записывают в тетради число, классная работа. Отвечают на вопросы учителя - Функция – зависимость одной переменной величины от другой. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной, а ординаты – соответствующим значениям функции. С линейной и квадратичной. Линейной функцией называется функция вида . - Квадратичная функция – это функция , где – заданные действительные числа, – действительная переменная. Это функция называется параболой. Так как квадратичная функция имеет вид , то парабола получилась при коэффициентах Записывают новую тему в тетрадь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Изучение нового материала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При а=1 формула принимает вид . Мы уже сказали, что графиком этой функции является парабола. Поэтому построим график функции . Записываем задача №1: Построить график функции . Давайте вызовем кого - нибудь к доске.
Как для любой другой функции, мы составляем таблицу значений. Какой график у нас получился? , то мы заметим, что при одном и том же х значение функции в 2 раза больше значения функции . Это значит, что каждую точку графика можно получить из точки графика с той же абсциссой увеличением ее ординаты в 2 раза. Следовательно, график функции получается растяжением графика функции от оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза. Следующая задача: Построить график функции К доске пойдёт …. Учитель вызывает к доске ученика Решаем также по аналогии с предыдущим примером. Теперь по данным точкам построим график. Соединим точки плавной кривой. Если мы сравним графики функций , то мы заметим, что каждую точку графика можно получить из точки графика функции с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза. Следовательно, график функции получается сжатием графика функции к оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза. Как вы считаете, какими будут графики ? Куда тогда будут направлены ветви параболы графика ? После всех решенных примеров, какой вывод мы можем сделать по функции ? Теперь поговорим о свойствах функции . На доске записаны графики функции, по ним учитель рассказывает свойства 1)Если a0, то функция принимает положительные значения при ; если a принимает отрицательные значения при ; значение функции равно 0 только при х=0. 2)Парабола симметрична относительно оси координат. 3) Если a0, то функции возрастает при и убывает при если a убывает при и возрастает при . | Слушают учителя
Задача №1: Построить график функции . Решают вместе с учителем.
У нас получилась парабола. Записывают первое задание в тетрадь Задача №2: Построить график функции Решают вместе с учителем. Один из учеников выходит к доске Они будут симметричными, так как график будет иметь противоположные значения графика . Ветви параболы будут направлены вниз. График функции также является параболой. При a0 ветви направлены вверх, при a Слушают учителя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Первичное применение нового материала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
А теперь попробуем на практике применить полученные знания. Открываем учебники на стр. 161 и записываем в тетради номера. Учитель вызывает учеников к доске для решения заданий Разберем устно №596. Определить направление ветвей параболы: Записываем в тетрадь №597 (1,3): На одной координатной плоскости построить графики функций Учитель вызывает ученика к доске | Открывают учебники и записывают номер в тетрадь Ученики у доски решают задания Устно проговаривают решение задачи 1) - вверх, т. к. a0 2) - вверх, т. к. a0 3) - вниз, т. к. a 4) -вниз, т. к. a Один из учеников выходит к доске |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Постановка домашнего задания |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Учитель сообщает домашнее задание. Наш урок подошел к концу. Запишите домашнее задание. Учитель записывает домашнее задание на доске. П 37 стр. 157. Выучить свойства. №595(2): На миллиметровой бумаге построить график функции . По графику приближенно найти значения х, если у=9; 6; 2; 8; 1,3. №597 (2,4): На одной координатной плоскости построить графики функций Используя графики, выяснить, какие из этих функций возрастают на промежутке . | Записывают домашнее задание. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подведение итогов урока |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Что мы изучили на уроке? Все ли вам было понятно? На этом наш урок закончен. Ученики, которые выходили к доске, подойдите ко мне с дневниками. До свидания! | Учащиеся отвечают на вопросы: Мы изучили новый вид квадратичной функции и её свойства. Прощаются с учителем. Подходят с дневниками. |
Конспект урока по алгебре для 8 класса средней общеобразовательной школы
Тема урока : Функция
Цель урока:
· Образовательная: определить понятие квадратичной функции вида (сравнить графики функций и), показать формулу нахождения координат вершины параболы (научить применять данную формулу на практике); сформировать умение определения свойств квадратичной функции по графику (нахождение оси симметрии, координат вершины параболы, координат точек пересечения графика с осями координат).
· Развивающая : развитие математической речи, умения правильно, последовательно и рационально излагать свои мысли; развитие навыка правильной записи математического текста при помощи символов и обозначений; развитие аналитического мышления; развитие познавательной деятельности учащихся через умение анализировать, систематизировать и обобщать материал.
· Воспитательная : воспитание самостоятельности, умения выслушать других, формирование аккуратности и внимания в письменной математической речи.
Тип урока : изучение нового материала.
Методы обучения:
обобщенно-репродуктивный, индуктивно-эвристический.
Требования к знаниям и умениям учащихся
знать, что такое квадратичная функция вида, формулу нахождения координат вершины параболы; уметь находить координаты вершины параболы, координаты точек пересечения графика функции с осями координат, по графику функции определять свойства квадратичной функции.
Оборудование :
План урока
I. Организационный момент (1-2 мин)
II. Актуализация знаний (10 мин)
III. Изложение нового материала (15 мин)
IV. Закрепление нового материала (12 мин)
V. Подведение итогов (3 мин)
VI. Задание на дом (2 мин)
Ход урока
I. Организационный момент
Приветствие, проверка
отсутствующих, сбор тетрадей.
II. Актуализация знаний
Учитель : На сегодняшнем уроке мы изучим новую тему: "Функция ". Но для начала повторим ранее изученный материал.
Фронтальный опрос:
1) Что называется квадратичной функцией? (Функция, где заданные действительные числа, действительная переменная, называется квадратичной функцией.)
2) Что является графиком квадратичной функции? (Графиком квадратичной функции является парабола.)
3) Что такое нули квадратичной функции? (Нули квадратичной функции – значения, при которых она обращается в нуль.)
4) Перечислите свойства функции. (Значения функции положительны при и равно нулю при; график функции симметричен относительно ос ординат; при функция возрастает, при - убывает.)
5)
Перечислите
свойства функции. (Если, то
функция принимает положительные значения при, если, то функция принимает отрицательные значения
при, значение функции равно 0 только; парабола симметрична относительно оси ординат;
если, то функция возрастает при и убывает при, если, то функция возрастает при, убывает – при.)
III. Изложение нового материала
Учитель : Приступим к изучению нового материала. Откройте тетради, запишите число и тему урока. Обратите внимание на доску.
Запись на доске
: Число.
Функция.
Учитель : На доске вы видите два графика функций. Первый график, а второй. Давайте попробуем сравнить их.
Свойства функции вы знаете. На их основании, и сравнивая наши графики, можно выделить свойства функции.
Итак, как вы думаете, от чего будет зависеть направление ветвей параболы?
Ученики: Направление ветвей обеих парабол будет зависеть от коэффициента.
Учитель: Совершенно верно. Так же можно заметить, что у обеих парабол есть ось симметрии. У первого графика функции, что является осью симметрии?
Ученики: У параболы вида осью симметрии является ось ординат.
Учитель: Верно. А что является осью симметрии параболы
Ученики: Осью симметрии параболы является линия, которая проходит через вершину параболы, параллельно оси ординат.
Учитель : Правильно. Итак, осью симметрии графика функции будем называть прямую, проходящую через вершину параболы, параллельную оси ординат.
А вершина параболы – это
точка с координатами. Они определяются по формуле:
Запишите формулу в тетрадь и обведите в рамочку.
Запись на доске и в
тетрадях
Координаты вершины параболы.
Учитель : Теперь, чтобы было более понятно, рассмотрим пример.
Пример 1 : Найдите координаты вершины параболы.
Решение: По формуле
имеем:
Учитель : Как мы уже отметили, ось симметрии проходит через вершину параболы. Посмотрите на доску. Начертите этот рисунок в тетради.
Запись на доске и в тетрадях:
Учитель: На чертеже: - уравнение оси симметрии параболы с вершиной в точке, где абсцисса вершины параболы.
Рассмотрим пример.
Пример 2:
По графику функции определите
уравнение оси симметрии параболы.
Уравнение оси симметрии имеет вид: , значит, уравнение оси симметрии данной параболы.
Ответ: - уравнение оси симметрии.
IV. Закрепление нового материала
Учитель : На доске записаны задания, которые необходимо решить в классе.
Запись на доске : № 609(3), 612(1), 613(3)
Учитель: Но сначала решим пример не из учебника. Решать будем у доски.
Пример 1: Найти
координаты вершины параболы
Решение: По формуле
имеем:
Ответ: координаты вершины параболы.
Пример 2: Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.
Решение: 1) С осью:
По теореме Виета:
Точки пересечения с осью абсцисс (1;0) и (2;0).
2) С осью:
Точка пересечения с осью ординат (0;2).
Ответ: (1;0), (2;0), (0;2) – координаты точек пересечения с осями координат.
№ 609(3). Найти
координаты вершины параболы
Решение: Абсцисса вершины
параболы:
Ордината вершины
параболы:
Ответ: - координаты вершины параболы.
№ 612(1). Проходит ли ось симметрии параболы через точку (5;10)?
Решение: Уравнение оси симметрии: .
Находим абсциссу вершины
параболы: . Значит, уравнение оси симметрии выглядит. Схематично начертим данную параболу:
Следовательно, ось симметрии проходит через точку (5;10).
№ 613(3). Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.
Решение: 1) С осью:
Ищем дискриминант:
значит с осью абсцисс точек пересечения нет.
Точка пересечения с осью ординат (0;12).
Ответ: (0;12) –
координаты точки пересечения с осью ординат, с осью абсцисс парабола не
пересекается.
V. Подведение итогов
Учитель:
На сегодняшнем уроке мы изучили
новую тему: "Функция ", научились
находить координаты вершины параболы, координаты точек пересечения параболы с
осями координат. На следующем уроке мы продолжим решение задач по данной теме.
VI. Домашнее задание
Учитель: На доске записано задание на дом. Запишите его в дневники.
Запись на доске и в
дневниках: §38, № 609(2), 612(2), 613(2).
Литература
1. Алимов Ш.А. Алгебра 8 класс
2. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе
3. Мишин В.И. Частная методика преподавания математики в средней школе